（概率论与数理统计专业论文）投影矩阵的性质与一类正交表的结合方案.pdf

摘要 正交表不仅在统计上非常有用，还被广泛应用于密码学、编码学、计算机科学等正 交表在数据处理中起着重要作用，对于不同的实际问题，需要用不同类型的正交表进行设 计和分析为了有效地分析数据，还需要了解更多的正交表及其结构和性质随着正交表 的应用越来越广泛，怎样构造更多的正交表成为很多人研究的问题 矩阵象是在按照表安排试验时，引出的一个重要概念利用矩阵象把构作正交表的问 题转化为投影矩阵的正交分解问题在张应山、庞善起的文章中都已经出现，张应山在他的 博士论文中把它称为m i 构作法( m a t r i xi m a g ec o n s t r u c t i o n ) 而正交表矩阵象是一个特 殊的投影矩阵，在利用矩阵象构造正交表时多次用到了投影矩阵的性质本文第二章采用 初等方法证明了在构作正交表时常用的投影矩阵的一些性质，并给出了研究矩阵象时常用 的k r o n e c k e r 积的一些性质 s c h e m a t i c 正交表是正交表的行按照h a m m i n g 距离形成一个结合方案1 9 5 2 年b o s e 和s h i m a m o t o 提出了结合方案，1 9 7 3 年d e l s a r t e 将它引出的理论应用到设计和编码 具有两类结合方案的正交表在统计中有重要的应用，然而对强度2 的正交表的结合方案 研究结果很少，因此h e d a y a t 在专著o r t h o g o n a la r r y s ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n d 1 2 l 中将其列为一个开问题第三章依据正交表行的h a m m i n g 距离给出了一类强度2 的正交 表的结合方案 第一章介绍了正交表的发展，研究现状，正交表矩阵象的概念及必备的基础知识和相 关性质 第二章利用矩阵论的基本知识证明了在正交表的m i 构作法中，构造正交表常用的投 影矩阵的一些性质，并证明了置换矩阵的k r o n c e k e r 积的性质 第三章根据行的h a m m i n g 距离的定义，研究了一类强度2 的正交表的结合方案，并 给出了所对应的参数 最后，总结了本篇硕士论文的结果，提出了具有建设性的意见和建议，以及一些有待 解决的问题 关键词：正交表，幂等矩阵，投影矩阵，结合方案，h a m m i n g 距离 a bs t r a c t o r t h o g o n a la r r a y sc a nb eu s e dn o to n l yi ns t a t i s t i c sb u ta l s oi nc o d i n gt h e o r y ，c r y p - t o g r a p h ya n dc o m p u t e rs c i e n c e ，e t c o r t h o g o n a la r r a y sa r es i g n i f i c a n ti nd a t a ，p r o c e s s i n g ，d i f f e r e n to r t h o g o n a la r r a y sa r eu s e dt od e s i g na n da n a l y z ed i f f e r e n tp r a c t i c a lp r o b l e m s i no r d e rt oa n a l y z ed a t ae f f e c t i v e l y ，m o r eo r t h o g o n a la r r a y sa n dt h e i rs t r u c t u r e sa n dn a - t u r e ss h o u l db ek n o w n w i t ht h ei n c r e a s i n ga p p l i c a t i o no fo r t h o g o n a la r r a y s ，i tb e c o m e s aq u e s t i o nh o wt om a k em o r eo r t h o g o n a la r r a y s a r r a yi m a g ei sa ni m p o r t a n tc o n c e p ti n t r o d u c e dw h e nm a k i n gt a b l ea r r a n g m e n t s t r a n s f e r i n gm a k i n go r t h o g o n a la r r a y si n t oo r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o no fp r o j e c t i o nm a t r i x b yu s i n ga r r a yi m a g eh a sa p p e a r e di nz h a n g ，p a n g sa r t i c l e ，w h i c hw a sc a l l e d m a t r i x i m a g ec o n s t r u c t i o n i nz h a n g sa r t i c l ef o rd o c t o r sd e g r e e a r r a yi m a g ei sas p e c i a l p r o j e c t i o nm a t r i x ，t h eq u a l i t yo fw h i c hi so f t e nu s e di nm a k i n go r t h o g o n a la r r a y s s c h e m a t i co r t h o g o n a la r r a yi saa s s o c i a t i o ns c h e m eo fl i n e si no r t h o g o n a la r r a y sa c - c o r d i n gt oh a m n f i n gd i s t a n c e ，w h i c hw a sc r e a t e db yb o s ea n ds h i m a m o t oi n1 9 5 2 i n1 9 7 3 ， i t st h e o r yw a su s e di nd e s i g n i n ga n dc o d i n g t h i sk i n do fo r t h o g o n a la r r a y si si m p o r t a n t i ns t a t i s t i c s h o w e v e r ，t h e r ea r ef e wr e s e a r c h e so nt h eo r t h o g o n a la r r a y so fs t r e n g t h2 t h e r e f o r e ，h e d a y a tl i s t e di ta sap r o b l e mi n “o r t h o g o n a la r r y s ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n ” i nc h a p t e ri ，t h ec o n c e p ta n dt h ed e v e l o p m e n to fa r r a yi m a g e ，a sw e l la 8t h en e c e s s a r y b a s i ck n o w l e d g ea n dr e l a t e dl e m m a s ，a r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e ri i ，t h em a t r i xi nt h ea d v a n c e dm a t h e m a t i c si su s e dt op r o v et h en a t u r e s o ft h ep r o j e c t i o nm a t r i xa n dt h ep l o to fp e r m u t a t i o nm a t r i x i nc h a p t e ri l l ，a c c o r d i n gt ot h ed e f i n i t i o n o fh a ，m m i n gd i s t a n c e ，t h ea s s o c i a t i o n s c h e m eo ft h eo r t h o g o n a la r r a y so fs t r e n g t h2i sr e s e a r c h e d ，a n dt h er e l a t e dp a r a m e t e r sa r e g i v e n f i n a l l y ，t h es u m m a r yo ft h er e s u l t so ft h i sm a s t e r st h e s i s ，p u tf o r w a r dc o n s t r u c t i v e c o m m e n t sa n ds u g g e s t i o n s ，a sw e l l3 8s o m eo u t s t a n d i n gi s s u e s k e y w o r d s ：o r t h o g o n a la r r a y s ，i d e m p o t e n tm a t r i x ，p r o j e c t i o nm a t r i x ，a s s o c i a t i o n i l l s c h e m e ，h a m m i n gd i s t a n c e i v 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 关于论文使用授权的说明 边2 笪： 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：石耋刁老 导师签名：日期：鲨2 ：1 5 l 第一章绪论 本章首先综述了正交表的历史及研究现状，给出了正交表矩阵象的定义，并介绍了本 文所需要的预备知识和定义 1 1 正交表发展的历史和现状 试验设计是在数理统计的基础上，逐渐发展起来的一门应用统计学的分支学科随着 计算机的应用深入到各学科，试验设计的应用范围日益广泛，已成为制定科研方案和分析 实验数据的必要手段著名统计学家g e p b o x 说过，假如有十分之一的工程师使用试 验设计的方法，产品的质量与数量都会得到很大的提高质量工程学创始人田口玄一( g t a g u c h i ) 博士说过，不懂试验设计的工程师只能算半个工程师 试验设计是由英国统计学家r a f i s h e r 创立的，至今已有近八十年的历史了在过去 的2 0 多年中，试验设计方法不仅应用于农业、林业，还广泛应用于工业、食品、电子、医 学、航空等领域产生了许多试验设计的方法，如随机区组试验，不完全区组试验，正交 试验设计，回归正交试验设计，饱和d 一最优化设计 1 】，均匀试验设计f 2 、3 1 以及最近几年 提出的饱和设计和超饱和设计 4 】等2 0 0 0 年，w u 和h a d a m a r d 的专著e x p e r i m e n r p l a n n i n ga n a l y s i s ，p a r a m e t e rd e s i g no p t i m i z a t i o n 【5 l 由w i l e y 出版社出版，其中文译 本试验设计与分析及参数优化【6 】由南开大学张润楚教授等于2 0 0 3 年完成该书侧重 于试验设计的应用，列出了近二十年来试验设计发展的新思想，理论和方法 正交试验设计( o r t h o g o n a le x p e r i m e n t a ld e s i g n ) 是研究多因素多水平的又一种设计 方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的 点具有“均匀分散，齐整可比 的特点正交试验设计在我国普及使用始于2 0 世纪6 0 年 代末，7 0 年代达到高潮，并在实践应用中发展了多种实用设计表，随后在各行各业逐步展 开应用由于正交试验设计可以通过至少安排因素数的平方个试验，由直观分析获取最佳 参数，且简单易行，从而已成为我国研究多因子最优化问题的主要方法正交设计在实际 工程可以灵活运用，它主要适用于：水平数相同或不相同的试验；考虑或不考虑交互作用 本研究得到国家自然科学基金( 1 0 5 7 1 0 4 5 ) 资助 投影矩阵的性质与一类正交表的结合方案 的试验；单一指标或多指标的试验；计量指标或非计量指标的试验；分批或不分批试验； 安排区组或进行裂区设计；单一或联合的正交试验；利用正交表作配方设计；利用正交表 作序贯设计；利用正交表可以对试验结果作直观分析、级差分析、方差分析、回归分析和 协方差分析等等而正交试验设计是通过正交表来安排试验的，因此关于正交表的研究也 在不断加强 7 ，8 】在众多的构造正交表的方法中，通过研究矩阵象的正交性来研究表中各 列的正交性是一种较直观的方法f 9 ，1 0 矩阵象构作法是上个世纪八十年代末才被提出和发展起来，虽然此种方法的提出较 晚，但是在构造正交表的灵活性方面却独具魅力，我国数学工作者为这种构造方法的推 广和发展做出了重要贡献张应山，卢一强和庞善起在文 1 1 】中利用正交表和正交投影 矩阵的关系给出了一种构造强度为2 的混合正交表的一般方法一矩阵象构作法( m a t r i x i m a g ec o n s t r u c t i o n ) ，简称为m i 构作法这种方法基于张应山的多边矩阵理论不需要太 多的组合知识，在实际运用中也十分的简便，并且运用这种思想构造正交表的运算体系正 在形成张应山在他的博士论文中将传统的构造方法与m i 构作法结合起来，在此基础上 系统阐述了正交表的加、减、乘、除、替换五种运算理论，把正交表的构造化为了矩阵的 运算进行处理，利用已有的小正交表构造大的正交表，使得大的正交表的构造更为方便 关于这种方法，h e d a y a t ，s l o a n e 和s t u f k e n 在文 1 2 】中这样评价：他们的方法是基于将 正交投影矩阵分解成较小的正交投影矩阵的和，使得从小的正交表构造大的正交表较为方 便，体现了创造性 本文第二章用初等的方法证明了在m i 构作法中常用的投影矩阵的一些性质，同时研 究了与矩阵象有关的的置换矩阵的k r o n e c k e r 积的性质第三章通过正交表行的h a m m i n g 距离研究了一类正交表的结合方案这在密码学，编码学中被广泛的应用 1 2 预备知识和主要引理 文 1 3 】中给出了强度为d 的正交表的定义，即一个南矩阵，k = k l + 岛+ + ，如 果它的任意d 列中所有可能水平组合都出现并且出现的次数相同，称这个矩阵为具有k i 个 & ( i = 1 ，2 ，7 ) 水平列强度为d 的正交表，记为o a ( n ，s ：1 s hd ) ，k = 七1 + 也+ + 辟 当所有的水平数都相等时，即s 1 = 8 2 = = 8 ，= s ，我们称这样的正交表为对称正交表 或固定水平的正交表，记作o a ( n ，k ，s ，d ) ；当s 1 ，s 2 ，8 r 不完全相等时，称这样的正交 2 第一章绪论 表为非对称正交表或混合正交表( 混合水平正交表) 一般地我们总是假设2 s 1 s 2 1 ，则最的阶啦 1 ib xl l ，v x 形 特别在上述条件之一成立时，若r k ( a ) = r k ( b ) 或者等价地d i m r ( a ) = d i m r ( b ) ，那 么a = b 证明：a 成立毒b ，c ，d 成立 a b 是投影矩阵，即 1 4 ( a 一召) 丁= a b ，( a b ) 2 = a b 第二章投影矩阵的性质 即存在实矩阵a j e 7 使得a b = ( a b ) 丁( a b ) ，所以由定理2 2 可得a b 是非 负定矩阵即b 成立 f a b ) 2 = a + b a b 日a = a b 即2 男= a b + b a 上式左乘矩阵b ，右乘矩阵b 后，得 2 8 2 = b a b 牟b a 2 8 2 = a b + b a b 二式相减得 ，4 b = b a = b 即c , d 均成立 b 成立爿e 成立 由a b 是非负定矩阵，得比形，有x t a x x t b x 由性质2 8 知，对于n 阶投影矩阵a ，像空间r ( a ) 存在惟一的正交补冗( a ) 上= 可i ( ，一a ) y ，y 肝】使得 形= r ( a ) o 月( a ) 上则由正交补的定义可得，若z r ( a ) 上，有a x = 0 ，从而z 丁a z = 0 因而x t b x = 0 ，即z 丁b 丁b x = 0 ，由向量的运算可得必有b x = 0 ，即z 兄( b ) 上，从 而可得r ( a ) 上cr ( b ) 上，等价于r ( a ) d 兄( b ) 即e 成立 b 成立仁 f 成立 由a b 是非负定矩阵，得v x 形，有z 丁( a b ) z 0 ，即z r a z x t b x ，又因为 a 丁a = a ，b t b = b ，所以 x t a 丁a x x t b t b x 由定义2 6 可得i i a x l l i i b x l l ，v x r n 上述每一步均可逆，所以b ，f 等价 c 成立考a 成立 由a ，b 为n 阶投影矩阵，得 ( a 日) 丁= a t b t = a b ( a b ) 2 = a 2 + b 2 一a b b a = a j e 7 a b 为投影矩阵，即a 成立 c 成立考b 成立 1 5 投影矩阵的性质与一类正交表的结合方案 由已知a ，b 为n 阶投影矩阵，且a b = b ，得a b = b 2 = b a ，因而有 ( a b ) b = b ( a b ) = 0 即a b 与口为正交的对称矩阵，又因为a = ( a b ) + b ，由定理2 9 可得， 月一b 为投影矩阵，故a b 07 即b 成立 c 成立兮d 成立 由a b = b ，a ，b 为t t 阶投影矩阵，得 b = b 丁= r a b ) t = b 丁a 丁= a b 即d 成立同理可证当d 成立时c 成立 c 成立毒e 成立 对任意的y r ( b ) ，存在x 形，使得y = b x ，由a b = b 得y = b x = a ( b x ) r ( a ) ，所以r ( a ) ) r ( b ) ，即e 成立 e 成立考c 成立 对任意的z r n ，令b x = y ，得y 冗( b ) 由e 成立，所以y r ( a ) 由a 为幂等 矩阵，故有a y = y 尺( a ) 即a ( b x ) = ( a b ) x = b x 由z 的任意性知，a b = b ，即c 成立 由上述性质的等价性，当上述条件之一成立时，若r k ( a ) = r k ( b ) 或者等价地d i m r ( a ) = d i m n ( b ) ，那么a = b 定理2 7幂等矩阵分解为幂等矩阵之和： 设a = a j ，a j 为n xn 方阵，则a , b ，c 中任意两个可以推出全部， c , d 可以推出 j = 1 a ，b a a j 是幂等矩阵，即a ；= a i ，v j = 1 ，m ； b a j ，a j = 0 ，v j j 7 ，并且r 七( a ；) = r k ( a j ) ，v j ，j 7 = 1 ，m ； c a 是幂等矩阵，即a 2 = a ； d r k ( a ) = 7 七( 山) j = l m 上述成立，a = a j 称为幂等矩阵a 的正交幂等分解 j = l 证明：a , b 成立令c ，d 成立 1 6 第二章投影矩阵的性质 首先证明c 成立 由b 成立，故a 2 5 暑a ；由a 成立， 其次证明d 成立 a 为幂等阵，由性质2 5 得 m 故a 2 = = a ，即c 成立 j = l r k ( a ) = t r ( a ) = t r ( a 1 + a 2 + + a m ) = t r ( a 1 ) + t r ( a 2 ) + + t r ( a m ) 又a f 为幂等矩阵，故 t r ( a j ) = r k ( a j ) ，j = 1 ，2 ，m r k ( a ) = r k ( a 1 ) + r k ( a 2 ) + + r k ( a m ) 即d 成立 a , c 成立兮b ，d 成立 首先证明d 成立 因为a ，a j ，j = 1 ，2 ，m 为幂等矩阵，由性质2 5 得t r ( a ) = r k ( a ) ，t r ( a 3 ) = r k ( a j ) 即d 成立 其次证b 成立 设r k ( a j ) = r 3 ，j = 1 ，2 ，m ，a 为n 阶矩阵，由性质2 6 则如有满秩分解 a j = g j h j ，j = 1 ，2 ，m ，q 为列满秩，马为行满秩故 ：。g，g。，gm，厂主 令g = ( g ，g 2 ，g m ) ，h = ( 日f ，砑，碾) 丁，则a = g h 显然有r k ( a ) r 七( g ) 1 7 a a 嘞 + n 7 a 。芦 i | p 4 m 触 = a a后r 。m l l 4r m 触 = m a + 2 a + ar i i ar = a七r 伤q m 博 = 今 仇芦 l l a 投影矩阵的性质与一类正交表的结合方案 故r k ( a ) = r k ( g ) 即a = g h 为a 的满秩分解 又a 2 = a ，即g h g h = g h ，故 a ( u a z ) h = 0 由g 为列满秩，日为行满秩，可得为h g i = 0 ，即h g = i o ：雕懑 =i 因而g 为单位矩阵，凰q = 0 ，i j ，i ，j = 1 ，2 ，m ，故 a j a j = g j h j g h3 = a j ， a i 呜= g i h i g j 坞= 0 ，i j ，i ，j = l ，2 ，m 所以有r k ( a ；) = r k ( a j ) 即b 成立 c , d 成立a ，b 成立 记a m + 1 = j a ，a 为幂等矩阵，由引理2 5 得r ( a ) + t ( i a ) = n 即 由引理2 4 可得钙= a j ，a 。a j = 0 ，i j ( i ，j = 1 ，2 ，m + 1 ) 即a , b 成立 b , c 成立a ，d 成立 首先证d 成立 m a 是幂等矩阵，且a = a j ，所以 i = 1 1 8 a七r i f 0 m 芦 i i 岛 七r 仇脚 一 m ggg后r i |g 膏r 又 n = a七 r 一闩 ， f f + m a+ + a+a a a 嘶 + n ， a m 硝 = p a m 纠 = a m 硝 第二章投影矩阵的性质 由b 成立，得 a j = 群 j = 1j = l 上式两边同乘以a j ，由b 成立得a ；= 4 ；：a ；= q = a ；，即得驾= a ；所以a ；是幂等 矩阵由性质2 5 得7 ( a ；) = 打( a ；) ，j = 1 ，2 ，m a 是幂等矩阵，由性质2 5 得 仇 = r 七( 筲) i = 1 已知7 后( 钙) = r k ( a j ) ，v j = 1 ，2 ，m ，所以 r 七( a ) = r k ( a j ) j = l 即d 成立 由上述结论可得，c , d 成立可推出a 成立 引理2 8a 是n 仇的实矩阵，证明r k ( a ) = r k ( a r a ) 证明：设a 是方程a x = 0 的系数矩阵，a 丁a 是方程a 丁a x = 0 的系数矩阵，则 a x = 0 与a r a x = 0 同解下面给出证明过程： 显然a x = 0 的解为a 丁a x = 0 的解设x o 是a 丁a x = 0 的解，则a 7 a x o = 0 ，故 x t oa t a x o = 0 由a 为实矩阵，故a x o = 0 ，即x o 为a x = 0 的解故r k ( a ) = r k ( a 丁a ) 定理2 9投影矩阵分解为投影矩阵之和： 设a = a ，4 歹= a j 为n xn 方阵，则a , b ，c 中任意两个可以推出全部，c , d 可以 j = l 推出a , b a a f 是投影矩阵； b a j ，a j = 0 ，歹7 ； c a 是投影矩阵； d r k ( a ) = er k ( a j ) j = l m 上述成立，a = a j 称为投影矩阵a 的正交幂等分解 1 9 n了 ar m 傅 = n ， a m 触 r 1 1 ar = a七r 投影矩阵的性质与一类正交表的结合方案 证明：因为a = a j ，a ，= a j ，j = 1 ，2 ，7 n ，故a 为对称矩阵 j = l a , b 成立令c ，d 成立 由a t = a j ，可得7 尼( 今a 歹) = r 南( a ；) 由引理2 8 得， r k ( a j a t ) = r k ( a j ) ，因而 r k ( 鬈) = r k ( a j ) ，j = 1 ，2 ，m 又a ，是投影矩阵，且 ，a j = 0 ，v j j 7 ，由定理2 7 可 知，a 是幂等矩阵，且r k ( a ) = r k ( a j ) ，即d 成立 j = 1 又因为a 为对称矩阵，故a 为投影矩阵，即c 成立 a , c 成立兮b ，d 成立 如，a 是投影矩阵，即 ，a 是幂等且对称的矩阵由引理2 8 可得r 后( a a ；。) = r k ( a j ) = r 后( a ；) 由定理2 7 可知，如，a j = 0 ，v j 歹7 ，r k ( a ) = r k ( a 3 ) ，即b , d 成 j = 1 立 c , d 成立令a ，b 成立 a 是投影矩阵，即a 是幂等且对称的矩阵，且r k ( a ) = 7 七( a j ) 由定理2 7 可得 j = l 如是幂等矩阵，如，a j = o ，j 7 ，所以a , b 成立 b ，c 成立a ，d 成立 由性质2 8 知r 惫( 如碍) = r k ( a j ) = 7