（运筹学与控制论专业论文）一类混杂系统的生存性研究.pdf

内蒙古大学硕士学位论文 一类混杂系统的生存性研究 摘要 生存性问题是控制理论中的一个重要研究领域，其研究成果具 有重要的理论意义和应用价值本文首先讨论了一类混杂微分包含关 于次可微函数形成的区域生存性的判别问题当微分包含右端的集 值映射为多面体，边界为次可微函数，且次微分为有限点集凸包时， 基于非光滑分析理论，给出了在一点处检验生存性条件是否成立的 方法该方法将生存性判别转化为判别线性不等式组的相容性或等 价地转化为求解一个线性规划问题同时讨论了次可微函数上图的生 存性问题，并举例说明如何具体判断其次本文分别讨论了由微分包 含描述的确定和不确定混杂系统的生存性判别问题，定义了三个算 子，给出了这些算子的一些基本性质最后对于给定的区域，得到了 判断其是否为生存域的方法，若不是生存域，给出了求该区域内生 存核的近似算法，并举例说明如何求给定区域的生存核 关键词：混杂系统，微分包含，生存域，生存核 内蒙古大学硕士学位论文 s t u d i e so nt h ev i a b i l i t y f o r ac l a s so fh y b r i ds y s t e m s a b s t r a c t t h ev i a b i l i t yp r o b l e mi sa ni m p o r t a n ta r e ao fr e s e a r c hi nt h ec o n t r o lt h e o r y , t h e r e s u l t so ft h e i rr e s e a r c hh a v ep r o f o u n ds i g n i f i c a n c ei nb o t ht h e o r ya n dp r a c t i c e t h i s p a p e rf i r s t l yi n t r o d u c e st h ev i a b i l i t yo fah y b r i dd i f f e r e n t i a li n c l u s i o no nar e g i o nw i t h s u b - d i f f e r e n t i a b l eb o u n d a r y b a s e do nn o n - s m o o t ha n a l y s i st h e o r y , t h ev i a b i l i t yc r i t e r i o n i sv e r i f i e du n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h es e t - v a l u e dm a p p i n gi nt h er i g h ts i d eo fd i f f e r e n t i a l i n c l u s i o ni sap o l y - t o p ea n dt h eb o u n d a r yf u n c t i o no ft h er e g i o ni ss u b - d i f f e r e n t i a b l ea n di t s s u b - d i f f e r e n t i a li sac o n v e xh u l lo fm a n yf i n i t ep o i n t s t h i sv e r i f i c a t i o nc a l lb ei m p l e m e n t e d b yd e t e r m i n i n gt h ec o n s i s t e n c yo fag r o u po fl i n e a ri n e q u a l i t i e s ，o re q u i v a l e n t l y , b ys o l v i n g al i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m a n dt h ev i a b i l i t yo fe p i g r a p ho fas u b - d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o ni sd i s c u s s e d e x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h er e s u l t s s e c o n d l y , t h e v i a b i l i t yc r i t e r i o n so fc e r t a i na n du n c e r t a i nh y b r i ds y s t e ma r ed i s c u s s e d j 胍d e f i n et h r e e o p e r a t o r s ，t h e ng i v es o m eb a s i cp r o p e r t i e s f o raf i x e dr e g i o n ，w eo b t a i nam e t h o dt h a t d e t e r m i n e sw h e t h e ri th a sb e e nav i a b l es e t i fi ti sn o t a na p p r o x i m a t i o na l g o r i t h mi s g i v e nt os o l v et h ev i a b l ek e r n e li nt h er e g i o n f i n a l l y , s p e c i f i ce x a m p l e sa r ep r o v i d e dt o i l l u s t r a t et h ea l g o r i t h m k e y w o r d s ：h y b r i ds y s t e m s ，d i f e r e n t i a li n c l u s i o n s ，v i a b l es e t ，v i a b l ek e r n e l i i 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者弛雌指导教师签名去琴整 日 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有 权将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和 磁盘，允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编 学位论文。为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大 学。作者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间 导师的同意；若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名： 指导撕虢壶签垫 第一章引言帚一早，l 商 1 1 混杂系统简介 混杂系统足当今控制理论界的前沿热点问题，在该领域已经取得了很多 有价值的研究成果1 3 9 】混杂系统是指由不同种动力系统组成的系统，并且这 些不同的动力系统是相互影响的一般最常见的是由连续系统和离散系统所组 成的混杂系统，混杂系统呈现出一般系统所没有的特点，如不确定性、不同系 统间的相互干扰性等混杂系统的应用范围极其广泛，包括空中交通控制、自 动控制、生物工程、化学过程控制、高速公路系统及制造业等 混杂系统理论的最早文献可以追溯至l j w i t s e nh a u s e n 于1 9 6 6 年在i e e et r a n s a c - t i o n so na u t o m a t i cc o n t r o l 上发表的一篇关于混杂状态连续时间的动态系统的论 文【3 6 】，开创了混杂系统理论研究的先河混杂系统的优化控制是指在满足一定 约束条件下，寻找控制策略使给定的目标函数达到最优，它是混杂系统研究 的重要内容，由于离散决策变量的引入以及连续动态的不确定性，其求解方 法要比普通最优控制问题困难和复杂得多混杂系统优化控制的研究尚处于初 级阶段，许多基本问题亟待解决在已有结果中，为了简化计算，求解过程中 通常都作了不少抽象和假设，这些研究成果距离实际应用还相差甚远到目前 为止，混杂系统的精确定义尚未统一给出，根据所研究问题的重点不同而给 出不同的模型，本文采用文献【4 】中给出的混杂微分包含来描述混杂系统，其 好处是便于讨论系统的生存性 1 2 生存性问题 生存性理论是法国数学家j p a u b i n 提出的大系统理论，a u b i n 认为通常的微 分方程模型主要是用于描述确定性系统，但对于经济学、生物学等涉及的宏 观系统则不一定适合因为这类系统中总有不确定性，其中包括认识上的限制 所引起的不确定性从数学的角度看，这类宏观系统的模型更适合用如下形式 的微分包含来描述： 圣( t ) f ( t ，z ( t ) ) ，x ( t o ) = z o ，x x( 1 2 1 ) 式中x 是线性赋范空问，f 是集值映射形如上式的微分包含系统的目标与控 制论的目标不同，它不追求系统发展的最优轨线，而是随着外界环境的不断 变化为求生存而不断演化，追求系统的可生存性这与传统的优化原理存在着 本质的差别，这也正足a u b i n 提出并建立生存性理论的基础生存性理论的提出 1 内蒙古大学硕士学位论文 为生物系统、经济系统、社会系统等领域的宏观演化研究提供了新的方法其 主要思想是：系统从某一初始状态开始，在可生存区域内变化，当变化到生 存域的边缘，有离开生存域的趋势时，系统处于危机状态如果系统能够以尽 可能慢的方式控制自身变化的方向和速度，向生存域内变化，则回到可生存 状态；当系统的变化不能够通过控制再指向生存域内时，系统将离开生存域， 趋于瓦解近年来生存性之所以在控制理论领域中引起广泛关注，主要是人们 逐渐发现控制理论中许多问题( 例如系统的可达性，可控性，李雅普诺夫稳定 性，微分对策等) 本质上都可以利用生存理论这一工具有效的刻画和解决另一 方面，系统的安全域设计本身就是一个直接的生存性问题，它在一定意义下 就是设计一个生存域然而，要使生存性理论真正能够在实际中应用还需要解 决两个问题：一是给定一个区域，判断其是否为生存域；二是给定一个系统， 计算它的一个生存域，特别是计算较大的生存域由于多面体可以逼近任意区 域，因此研究多面体生存域更加有意义近年来，关于多面体生存域的研究取 得了一系列成果，这些工作主要集中在利用凸分析理论判断一个多面体的生 存性，得到了若干生存性判别准则【6 2 63 0 1 对于线性系统多面体生存性的判别 准则已基本解决但对于非线性系统，目前只有利用逼近切锥和逼近法锥表示 的生存性判别准则 1 3 本文的主要工作 混杂系统的可生存性研究是近年来控制理论中的一个重要研究领域，它 在系统的可达性研究和系统的安全域设计等方面都有广泛的应用目前对混杂 控制系统的可生存性的研究较少，对于判断给定的一个区域是否为生存域，文 献【4 】中给出了判断可生存域的充要条件，但要定量地判断还是相当困难，没 有一种可以具体判别生存域的方法高岩在文献【1 0 1 中讨论了一类混杂微分包 含在光滑区域内的可生存性判别问题，证明了判断一点的可生存性等价于求 解一个线性规划，并给出了具体算法本文在文献p o 的基础上讨论了一类混杂 微分包含在次可微函数形成的区域内可生存性的判别问题，利用非光滑优化 与凸分析理论，给出了具体算法 文f 1 8 1 考虑了由微分方程描述的不确定混杂系统，通过定义r e a c h 算子，利 用微分对策的理论给出了求生存核的近似算法若给定一个区域，利用该算法 可得到一个最大生存域但该算法有局限性：其一是只能在无限时间区域上进 行连续计算一般而言，必须依赖数值工具，并且希望算子r e a c h 的计算是收敛 的，即使算法的每一步都能够执行，但仍旧需要无限步的计算；其二是只能解 2 内蒙古大学硕士学位论文 决由微分方程描述的简单混杂系统的生存域的计算而通常的混杂系统含不确 定因素较多，更适合用微分包含来描述本文在文献 1 8 】的基础上，引入了由微 分包含描述的混杂系统，定义了三个算子，给出了这些算子的一些基本性质， 得到了计算给定区域最大可生存域的算法，并举例说明如何求给定区域的生 存核 3 第二章一类混杂微分包含的生存性判别 2 1 基本概念及预备知识 本章是在舭中讨论问题，因此本章均假设x = 舯 定义2 1 1 设缸是x 中的任意一个集合，k 的所有子集构成的集合称为k 的 幂集，用2 表示 定义2 1 2 设r ：x _ 2 x 是集值映射，且k x ，则 r 一1 ( k ) = z xia ( x ) r lk d ) 称为k 在r 下的逆像 定义2 1 3 设z x ，k x ，d k ( x ) 表示点z 到集合k 的距离， 注意至0 若。k ，贝4d r ( a ：) = 0 定义2 1 4 设z o x ，呀 0 ， d k ( z ) = i 婴f ，| i z y y e k b ( x o ，7 ) = z xif i z x o i | 町) 表示以z o 为中心，7 o 为半径的闭球设k x 是一个集合，定义 b ( k ，t 7 ) = ub ( x ，叩) x e k 定义2 1 5 设k x ，z k ， f k ( z ) = 耖xid k ( y - t - z ) = l i v l l n p k ( x ) 称为集合k 在z k 的近似法注意到，若z 是k 的内点，则y p r ( x ) = o 定义2 1 6 设k 冬x 非空，集合在点z k 的切锥定义为 殛( z ) = 恍x i l i ，i m o i n + f d k ( z + l u ) = o ) 事实上， 取( z ) 当且仅当存在k 0 ，x ，k = 1 ，2 ，满足h 七_ 0 ，矿_ ，使 得对任意k n ，有z - kh k 扩k 4 内蒙古大学硕士学位论文 定义2 1 7 设f ( ) ：x 一2 x 是一个集值映射，对所有x 0ex 和任意e 0 ， 若存在d 0 ，使得对所有z x ，当i i x x o i l 0 ，使得对所有卫x ，有 s u p l l v l | iu f ( z ) ) a c i i x l i + 1 ) 称f 是m a r c h a u d 的 定义2 1 9f ( ) ：x _ 2 x 是一个集值映射，若存在常数入 0 ，使得对所有 z 1 。z 2 x 满足 f ( x 1 ) f ( x 2 ) + a | f z l 一x 2 i i b ( o ，1 ) 则称f 是l i p s c h i t z 的，其中入 o 称为l i p s c h i t z 常数 定义2 1 1 0 设集合ksx ，如果对任意初始条件x 0 k ，均存在 毫0 ) f ( z ) ，、t x ( 2 1 1 ) 的解x c t ) ，使得对任意t 0 ，有x c t ) k ，则称集合k 关于微分包含( 2 1 1 ) 是 可生存的，或称缸是微分包含( 2 1 1 ) 的可生存域，这样的解。( t ) 也称为微分包 含( 2 1 1 ) 的一个生存解如果对任意初始点z o k 和解x ( 0 ，对任意t o 均有 x c t ) k ，则集合k 称为微分包含( 2 1 1 ) 的严格可生存域 定义2 1 1 11 4 j ( f 昆杂时间集) 设下= g ：o 是实数轴上有限或无限的区间序列，满足下述三个条件： i ) 对所有i n ，厶= 【7 1 ，】； i i ) 若n o o ，则抽= 【t n ，) ( 喝= o o 是可能的) ，或者i n = 【哪，1 ； i i i ) 对所有l ，气= 气+ 1 则1 称为混杂时间集 注：因为我们考虑的动态系统是时间不变的，所以不失一般性，假设1 o = o 其 中，i = 1 ，2 ，是离散转换发生的时间 5 内蒙古大学硕士学位论文 定义2 1 1 2 【4 】( 混杂微分包含) 设集值映射f ：x 一2 x 称为微分包含，记为 圣( t ) f c x ) 集值映射r ：x 一2 x 称为重置映射，集合j x 称为强迫转换集， 称集族h = ( x ，f r ，j ) 为混杂微分包含 定义2 1 1 31 4 】( 混杂微分包含的域) 混杂微分包含日= ( x ，er ，j ) 的域由混杂时间集下和映射z ：7 i _ x 组成，记 为( r ，z ) ，它满足条件： 口璃散部分：对所有的i ，z ( 瓦+ 1 ) r ( ) ) ； 6 连续部分：如果心 蠢，z ( ) 是微分包含圣( t ) f ( z ) 在区间h ，】上的 始于。( 曩) 的一个解，而且对于所有的t h ，) ，z ( ) 甓j 定义2 1 1 4 设函数，( z ) 为x 上的方向可微函数，如果存在凸紧集o f ( x ) cx ， 使得其方向导数可表示为 ，( 卫洲= 一l i r a l ( f ( z + d ) 一m ) ) 2 戮，d v d x 则称，( z ) 是次可微的，o l ( x ) 称为，( z ) 的次微分 注：次可微函数是一族很广的非光滑函数，连续函数、凸函数、极大值函数 鼍擎( z ) 和r r 好九( z ，耖) ( 其中( z ) 和九( z ，妙) 均为连续可微函数，j 为有限指标集) 均 l t | ，t r 为次可微函数如果玩( z ) “j ) 为次可微函数，则 i l ( z ) = m a j x 概( z ) t 亦为次可微函数，其次微分为 o h ( x ) = c oua 玩( z ) ，( 霉) 其中i ( x ) = t iih i ( x ) = h ( z ) 】由此可见，如果每个次微分a ( z ) 为有限点集凸 包，则o h ( x ) 也为有限点集凸包 引理2 1 1 【5 】设微分包含圣( t ) f ( z ) ，z x ，闭集k x 是可生存域的充要 条件为 f ( x ) nt k ( x ) 0 ，比k( 2 1 2 ) 闭集k x 是严格可生存域的充要条件为 f ( x ) c 取( z ) ，k( 2 1 3 ) 其中取( z ) 为集合k 在点z k 的切锥 6 内蒙古大学硕士学位论文 注：对于集合k 的内点z ，总有玖( z ) = x 因此对内点z ，f ( x ) n 玖( z ) o 和 f ( x ) c 甄( z ) 总成立故判别式( 2 1 2 ) 和式( 2 1 3 ) 是否成立，只需考虑k 的边界点 2 2 一类混杂微分包含关于次可微函数形成的区域的生存性判别 文献【5 】给出了微分包含在一个闭集上生存性判别的充要条件，尽管在理 论上很完美，然而对一般的集合关于一般的微分包含或非线性控制系统验证 ( 2 1 2 ) 式是很困难的，甚至是不可能的文献f l o 】讨论了一类混杂微分包含关于 光滑函数形成的区域的生存性问题，在此基础上本节考虑一类混杂微分包含 在边界为次可微函数形成的区域上生存性的判别问题下面给出两个重要引理： 引理2 2 1 【4 】考虑一个混杂微分包含h = ( x ，f 冗，j ) 满足f 是m a r c h a u d 的， r 是上半连续的，而且其定义域是闭的，。，是闭集闭集k x 在日下是可生存 的当且仅当o a knj r 一1 ( ) ； b f ( x ) n7 k ( z ) o ，忱k r 一1 ( k ) 引理2 2 2 【4 】设混杂微分包含h = ( x ，f ，r ，) 满足f 是m a r c h a u d 的和l i p s c h i t z 的， l ，是闭的闭集k 冬x 在日下是严格可生存的当且仅当： a r ( k ) k ； b f ( x ) 政( z ) ，协k z 考虑如下形式的混杂微分包含h = ( x ，只r ，j ) ，其中： 圣f ( z ) = c o s i ( z ) ii = 1 ，2 ，p ) ，z x( 2 2 4 ) 五( z ) ，i = 1 ，2 ，p 为x 上的函数冗是重置映射，j 是强迫转换集考虑如下形式 的区域： k = z xl 乃( z ) o ，j = 1 ，2 ，m t( 2 2 5 ) 其中g j ( x ) ，歹= 1 ，2 ，m 为x 上的次可微函数对于混杂时间集7 - = r d i 丝o ，这里 考虑丁为区间序列，即对于i n ，五= 【7 i ，j ，并且对于所有的i ，亿= 瓦+ 1 其中 z ( ) 是发生跳跃前的点，z ( 死+ 1 ) 是发生跳跃后的点 即 x ( 1 - i + 1 ) r ( 蠢) )i n 另外，假定不发生有限时间内跳跃无限次的不合理情况集合，为强迫跳跃集， 即，中的每点必定发生跳跃不失一般性，假设集合k 包含了强迫转换集j ，并 7 内蒙古大学硕士学位论文 假设j 中包含了可列个发生跳跃的点，为了讨论方便，仍记为z ( ) ，t = 0 ，1 ，2 ， 另外，为了描述混杂微分系统中的不确定情况，集合 r q 僻) = z xir ( x ) 0 中的每一点z ，跳跃有可能发生也有可能不发生不失一般性，假设 r 一1 ( x ) ck ， jcr 一1 ( x ) 这就防止了必须跳跃但又不能发生跳跃的情况显然集合r 一1 ) j 内的点是 不确定是否发生跳跃的点 假设函数毋( z ) 是次可微的，且次微分锄( z ) 为有限点集凸包，令 9 ( z ) 2 l m 3 j a ：x 。g ，( z ) 由于点z x 满足 ，m a x 毋( z ) s0 1 ， m 。、7 一 等价于 彩( z ) 0 ，1 歹m 于是集合k 可等价的表示为 k = z xl9 ( z ) 0 )( 2 2 6 ) 由于g j ( x ) ( j = 1 ，2 ，仇) 是次可微的，故9 ( z ) 也是次可微的，又因为锄( z ) 为有限 点集凸包，则9 ( z ) 的次微分也为有限点集凸包，记的( z ) = c o v 1 ，伊】，其中 x ，i = 1 ，2 ，口定义矩阵b = ( u 1 ，伊) t 在非光滑优化中经常使用的两个约束品性： 约束品性1 ：1 5 1 存在y o x ，使得9 ( 掣y o ) 0 约束品性2 ：f 2 0 lc l t ( x ) = r ( z ) 成立，其中 ，y ( z ) = y xi9 7 ( z ；耖) 0 证明：只需证明在上述的约定下，定理2 2 1 中的。和6 与引理2 2 1 中的口和6 分 别是等价的对于引理2 2 1 中的a ，knj r - 1 ( k ) 等价于如下说法：对于任 意的z k ，当离散部分的跳跃必定发生时( z kf lj ) ，跳跃后的点必在k 中 ( n ( x ) n k o ) 由前面的假定，只要使，中包含的跳跃点z ( 蠢) ，z ( ) ，在发生跳跃 后的点( z ( 亿+ 1 ) r ( z ( ) ) ，i = 0 ，1 ，2 ，) 仍旧在k 中，也就是x ( t i + 1 ) k ，i = 0 ，1 ，2 ， 而由式( 2 2 6 ) ，有夕( z ( 死+ 1 ) ) 0 ，i = 0 ，l ，2 ，此即定理2 2 1 中的。和引理2 2 1 中的 。是等价的 引理2 2 1 中的b 等价于如下说法：离散部分的跳跃跳到k 中的一点不可能 ( r ( x ) f 3k = 0 ) 时，连续部分在k 中的变化是可能的( f ( z ) n t k ( x ) 0 ) 由于k 满足 约束品性1 或2 ，那么有 。 t 1 k ( z ) = 秽xib y o ) 9 内蒙古大学硕士学位论文 另外 则有 等价于 b = ( u 1 ，u 口) t ，u x ，i = 1 ，2 ，q ，o g ( x ) = c o v 1 ，护】 f ( z ) = c o f i ( z ) ii = 1 ，2 ，计 f ( x ) nt k ( z ) d pp 召( 凡五 ) ) = 凡b ) 0 i = li = 1 p = l ，扎o ，i = l 川2 一，p ( 2 2 8 ) 、 t = l 有解，而( 2 2 8 ) 有解又等价于线性规划问题( p ) 的最优值为零 口 定理2 2 2 对于上面讨论的混杂微分包含h = ( x ，f , r ，j ) ，并且k 满足约束 品性1 或2 ，集合k = z xl9 ( z ) o ) 在混杂微分包含日下严格可生存的充要条 件是： n 必定跳跃部分，9 ( z ( 死+ 1 ) ) 0 ，i = 0 ，1 ，2 ， 不确定部分，9 ( r ( z ) ) 0 ，比k ， 6 连续部分，b l ( x ) 0 ，i = 1 ，2 ，p ，v x k i ， 证明：同样只需证明在上述的约定下定理2 2 2 中的n 和6 与引理2 2 2 中的。和6 分 别等价即可对于引理2 2 2 中的a ，r ( k ) 互k 等价于如下的说法：对于任意的 正k ，离散部分的跳跃是可能的( z ，) ，那么跳跃后的所有状态也在k 中 ( r ( k ) k ) 由前面的约定，只要使j 中包含的跳跃点在跳跃后仍旧在k 中，也 就是存在 x ( r i + 1 ) r ( z ( 蠢) ) ，i = 0 ，1 ，2 ， 使得 x ( 7 i + 1 ) k ，i = 0 ，1 ，2 ， 而 k = z x9 ( z ) o ) 所以有 9 ( z ( 几十1 ) ) 0 ，i = 0 ，1 ，2 ， 另外，还有集合k j 中任意点z ，经r 作用后的点都在k 中，即有 夕( r ( z ) ) 0 ，v x k j 】0 内蒙古大学硕士学位论文 此即定理2 2 2 中的a m 引理2 2 2 中的n 等价 对于引理2 2 2 e 的b ，比k zf ( x ) 强( z ) 等价于如下的说法：如果发生 连续变化是可能的( z 簪j ) ，那么所有圣f ( z ) 的可能解都在k 中( f ( x ) 取( z ) ) ， 由于k 满足约束品性l 或2 ，有 j 噼( z ) = 耖xib y o ) 另外， f ( x ) = c o 五 ) li = 1 ，2 ，以 所以f ( x ) 政( z ) 等价于b l i ( = ) 0 ， = 1 ，2 ，p 此即定理2 2 2 中的b i g l 引理2 2 2 中 的6 等价 1 ：3 下面讨论次可微函数上图的生存性判别设y ( z ) 为x 上的次可微函数，它 的上图为 e p i ( v ) = ( z ，w ) r n + 1iy ( z ) 一t t ，o ， 令h ( z ) = v ( x ) 一w ，其中z = ( z ，埘) ，则有 e p i ( v ) = z 舻+ 1ih ( z ) 0 记s ( z ) = ( u ，一1 ) iu a y ( z ) ) ，通过计算得 日，( 删2 m a x ) t d 其中d x 根据次可微函数定义，日( z ) 是次可微的，其次微分为 o h ( z ) = ：s ( z ) = ( t ，- 1 ) iu a y ( z ) 】 假设y ( z ) 的次微分为有限点集凸包，则 a 日( z ) = c o ( u 1 ，一1 ) ，( u q ，一1 ) 】 也为有限点集凸包这样，前面讨论的方法可用来判别上图e p i ( v ) 的生存性问 题 本节讨论了一类混杂微分包含在边界条件为次可微函数的区域上生存性 的判别问题，所提出的方法将生存性判别转换为求解一个线性规划问题，其 优点在于这些方法是可以具体计算的，具有较强的可实现性 例2 1 ：考虑微分包含h = ( x ，f r ，j ) ，其中 f ( z ) = c o f i ( z ) ，f 2 ( 。) ，z r u ， ( z ) = ( z l + z 2 ，z 2 + 1 ) t ，丘( z ) = ( z l + z 2 + 1 ，z 2 ) t 1 1 一 塑鍪直盔堂堡圭堂垡迨塞 _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ - - _ _ _ - - _ - _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ 一 一 一 j = z r 2lx l 0 ，x 2 o ，x l + x 2 1so k ： z r 2ig ( z ) o ，夕( z ) = m a x 一x l ，一z 2 ，z ；+ z ；一1 r ( z ) = ( x l + 互1 ，现一亏1 j t ，z = ( z l ，眈) t 易见9 ( z ) 为次可微函数，集合k 为四分之一单位圆 判断点z ( 1 ) ：( o ，1 ) t 在混杂微分包含日下是否满足生存性条件由次微分的 定义及运算得 西( z ( 1 ) ) = c 0 ( ( 一1 ，o ) t ，( o ，2 ) t 显然，点z ( 1 ) 在集合，内，所以必发生跳跃，跳跃后的点为r ( ( o ，1 ) t ) = ( ，；) t 易 得( ，暑2 ，t 仙术日k ，中且是k j 的内点，所以点z ( 1 ) = ( o ，1 ) t 在k 中是满足生存 条件的 ， 判断点z ( 2 ) = ( ，乎) t 在混杂微分包含日下是否满足生存性条件显然，点 z ( 2 ) = ( ；，乎) t 在集合k t ，内且为边界点，判断z ( 2 ) 是否满足可生存性等价于求 解下面的线性规划问题的最优解是否为零 m i n u 8 t p 丸b 五( z ) + ( u ，u ) t 0 沁0 ，i = 1 ，2 入1 + a 2 = 1 u 0 由计算知，次微分却( z ( 2 ) ) = ( 1 ，怕) t ，所以b = ( 1 ，怕) ， 脚c 2 ) ) = ( 学，学) t ，2 ( z ) ：( 半，倜t 将数据代入，得到线性规划问题 m i n u s t 型号遁入l + 型笋a 2 一u 0 沁0 ，i = 1 ，2 a 1 + a 2 = 1 u 0 显然：o 不是约束优化的最优值，故z ( 2 ) = ( ，乎) t 不满足微分包含的生存性条 件 1 2 第三章确定混杂系统生存核的算法 3 1 基本概念与域的分类 文献f 4 1 中给出了混杂时间集、混杂微分包含及混杂微分包含域的定义， 用冗( z o ) 表示混杂微分包含h = ( x ，f r ，j ) 始于状态z ) = z o x 的所有域定 义2 1 1 3 表明，沿着微分包含的域，连续状态随着微分包含瘟f ( z ) 的解一直 到达集合，当r ( z ) = d 时，从状态z 到r ( z ) 中某个状态的离散转换不可能发 生当z j 时，离散转换必定发生注意到，若状态z j 且r ( z ) = o ，此时在 z j 处离散转换必须发生而又不能发生，则系统出现阻塞现象这就是说，不存 在始于z o 的混杂微分包含的域我们可以通过下面的假设来防止这种现象的出现 假设3 1 ：设h = ( x ，er ，) 是混杂微分包含，若j 至r 一1 ( x ) ，j 是开集( i = x t ，是闭的) ，对任意z i r - 1 ( x ) ，有f ( x ) nt i c x ) 口 定义3 1 11 4 1 ( 域分类) 设( 7 - ，z ) 是混杂微分包含的域： 若下是一个有限序列，并以一个紧区间结束，则称微分包含的域是有限的 若丁是一个有限序列，并且以形如h ，蠢) ( 其中 0 ，使得圣( t ) f ( x ，u ，e ) 的始于x ( o ) = 岔的解 z ( ) ，对于所有t f 0 ，研，z ( t ) 均不进入j 中对所有圣( t ) f ( x ，t ，e ) 的解存在的 口取上确界，记为否令t o = 0 ，= 舀，v t f o ，西) ，有z o ( t ) = z ( z ) ，护( ) = 雹( ) ，u o ( t ) = 扣，e o ( t ) = 爸( t ) ，6 0 ( t ) = 庐 1 ) 若否= o o ，则h z ) 是一个无限域，结论成立 2 ) 若舀 0 ，使得对任意t 【o ，o l ，有z ( t ) d 对所有的，f 取秒的上 确界，记为蚕= s u p 0 于是对所有的t 【o ，蚕) ，我们有z ( t ) 隹p r e v ( k ) 否则， 存在t 1 0 ，蚕) ，z ( t ) p r e v ( k ) 即z ( t ) j 且兄( z ) nk = o 此时，令 7 b = 0 ，晶= t ，z o ( s ) = z ( s ) ，v s 【o ，叫，z 1 ( n ) r ( z ( t ) ) 而r ( z ( t ) ) nk = o 故z ( ) 在一个区间的连续过程后经转换到达集合k 外， 此与k 是混杂生存域矛盾故对任意t 1 0 ，