（理论物理专业论文）palatini形式的修改引力理论及其在宇宙学中的应用.pdf

ab s t r a c t ab s t r a c t a c c o r d i n g t o r e c e n t a s t r o n o m i c a l o b s e r v a t i o n , o u r u n i v e r s e i s e x p a n d i n g w i t h a p o s it i v e a c c e l e r a t i o n . i n o r d e r t o i n t e r p r e t t h i s r e s u l t , t h e s t a n d a r d c o s m o l o g y , w h i c h i s b a s e d o n g e n e r a l r e l e t i v i t y , h a s t o i n t r o d u c e e x t r a d a r k e n e r g y w h i c h c o n s t it u t e s ov e r 7 0 % o f t h e s o u r c e i n t h e u n i v e r s e . i n o r d e r t o a v o i d o r r e d u c e t h e t o t a l p e r c e n ta g e o f d a rk e n e rg y , w e a p p ly f ( r ) g r a v ity in p a la t in i f o r m a lis m to th e f r w c o s m o lo g y . i n c h o o s in g th e f u n c tio n f ( r ) , w e d e lib e ra te ly r e q u ir e th a t th e m o d e l s h o u ld b e a b l e t o i n t e r p r e t t h e c u r r e n t a c c e l e r a t io n , r e d u c e t h e r e q u i r e m e n t o f d a r k e n e r g y a n d h a s a n f ( r ) o f th e fo r m w ith le a s t p a r a m e te r. f o llo w in g t h is , w e s tu d ie d t w o k in d s o f m o d e ls w ith th e fo r m o f a ( 1 一 r i n a ) a n d a e e i 0 . i n th e f ir s t k i n d o f m o d e l s , e s p e c i a l l y w i t h n = 3 , w e g e t r e s u l t s w h i c h r e d u c e d t h e n e e d o f d a r k e n e r g y a n d a l s o p r e d i c t e d a d e c e l e r a t in g p h a s e i n t h e f u t u r e . i n t h e s e c o n d mo d e l , w e c a n e x p r e s s t h e s o l u t i o n w i t h a l a m b e r f f u n c t i o n , w h i c h r e s u l t s in a d i v e r g e n c e p r o b l e m . i n o r d e r t o a v o i d t h i s p r o b l e m , w e e x p a n d t h e l a m b e r t w f u n t i o n w i t h t a y l o r s e r i e s a r o u n d t h e c u r r e n t t i m e . a s a r e s u l t , t h i s p r o c e d u r e w i l l p r o d u c e s o m e d e v i a t i o n f r o m t h e e x a c t m o d e l . e v e n t h o u g h w e s t i l l b e l i e v e t h a t t h e p r o c e d u r e g i v e s s o me u s e f u l i n f o r ma t i o n o n t h i s k i n d o f mo d e l s whe n t h e o u t l i n e o f t h e e vo l u t ion o f t h e c o s mo s i s c o n c e r n e d . k e y wo r d s : f ( r ) g r a v i t y , p a l a t in i f o r m a l i s m, f r w c o s m o l o g y , d a r k e n e r g y 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、 保存、 使用学位论文的规定， 同 意如下各项内 容: 按照学 校要求提交学位论文的印 刷本和电 子版 本; 学校有权保存学位论文的印 刷本 和电 子版， 并采用影印 、 缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文;学校有权提供 目录检索以及提 供本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有 权按有关规定向国 家有关部门 或者机构送交论文的复印件和电 子版:在不以 赢利为目 的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活 动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 市 l ._ l -*7 年 s q “ 日 经指导教师同意， 本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间:年月日 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进 行研究工作所取得的 成果。除 文中己 经注明引 用的内容 外，本学位 论文的 研究成果不包含任何他人 创作的、已公 开发 表或者没有公开 发表的作品的内 容。 对本论 文所涉及的 研究工作做出贡献的 其他个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的 法律责任由本人承担。 学位论文作者签名: i 年 5 a 2-oh i 引言 1 引言 1 9 2 9 年，h u b b l e 通过总结前人和他自己的大量天文观测数据，总结出著名 的h u b b l e 定律m，即恒星光谱的红移量正比与星体与我们的 距离 z = 风r ( 1 . 1 ) 这个定律成立的条件是红移z 不能很大，这时红移与光源退行速度有如下关系 _v z 二 二一 c ( 1 . 2 ) 采用自 然单位制 ( 取c = 1 ) h u b b l e 定律可以写为 v = h o r ( 1 . 3 ) 其中h o 称为h u b b l e 常 数。 在h u b b l e 的 观 测 数 据中 ， 绝大 部 分 恒 星的 谱线 均 存 在不同 程度的 红移， 这一事实暗示着整个宇宙并非静态， 而是 在均匀地膨胀。 1 9 6 5 年， a r n o a . p e n z i a s与 r o b e r t w . w i l s o n i= 发现微波背景辐射( c m b ) , 随后的大量观测数据表明，宇宙在大尺度结构上是均匀各向同性的。于是我们 得到以 下两个假设: ( 1 )宇宙物质在空间上是均匀各向同性的 ( 宇宙学原理) ; ( 2 )宇宙目 前正在膨胀 根据以上假设在广义相对论基础上建立起来的标准宇宙学 ( 大爆炸模型) 经过 大量实验检验，符合目 前所有的观测结果。 随着观测技术的改进，近年来又获得大量新的天文观测数据，例如关于超 新星的观测)3 )4 )5 ) ， 对宇宙微波背景辐射( c m b r ) 各向异性 谱的 观测(61i2)以 及对 于宇宙大尺度结构的观测11 3 ) ，这些观测结果表明，当前的宇宙正处于加速膨胀 的演化阶段.要在现有的广义相对论及标准宇宙学的框架下解释这种加速膨胀， 需要额外引 入大量的 暗能 量p 4 h 19 ) ， 这些暗能 量脱离于超出 我 们常规的 观测手 段，我们也无法确切了 解它们的性质，从理论的角度看，我们并不希望人为引 1 引言 入这种不可预知的成分. 既然标准宇宙学不得不人为引入额外的机制才能保证我们所处的宇宙是一 个在空间均匀各向同 性并且正在加速膨胀的宇宙，接下来很自 然的一个问 题是， 超出太阳系之后，在更大的尺度上，广义相对论及在此基础上建立的标准宇宙 学是否仍然适用?由于关于广义相对论现有的验证只能通过求经典近似，然后 与观测数据作对比 得出，而从大更范围的 全面验证以目 前的观测手段无法进行. 那么，我们是不是可以设想，在宇宙学所涉及的大尺度上， 广义相对论也只是 另外某个理论的 低级近似呢? 原则上，只要 这个理论在太阳系尺度上能够退化 为广义相对论， 这样就能保证与现有的观测结果相符合，另一方面，在宇观尺 度上，这个理论应该表现出与广义相对论不同的性质， 至少要能够明确地解释 宇宙当前的加速膨胀， 而且根据暴胀模型的 要求， 还要保证宇宙早期有一个短 暂的指数形式加速膨胀阶段。 虽然暗能量的具体性质无法确知，但是一般而言比 较认可的一种解释是， 暗能量的物理行为类似于具有负压的流体， 而且不随空间位置的变化而变化， 这就相当于整个宇宙处于真空状态时所具有的能量。标准宇宙学中，如果在场 方程中加入宇宙学常数项，常数项即可解释为真空能量.由此一来，暗能量对 宇宙演化的贡献也就等效于宇宙学常数项的贡献。只要在新的模型中，常数项 的贡献远小于非相对论物质的贡献，我们就可以 最大限度地减少对暗能量的需 要。 得到新引力模型最直接的办法，在引 力场的 作用量 “ = 一 告 丁 dx0 fg r + rc 丁 d44 g l. ( 1 . 4 ) 中 ， 放 弃 只 能 含 有 标曲 率r 的 线 性 项 的 要 求 ， 转 而 用r 的 任 意 函 数.f刃代 替 2 0 2 12 21 ， 因 此 ， 这 类 修 改 引 力 理 论 通 常 也 被 称 为 .f 刃理 论 如 果 直 接 使 用 经 典 的 变 分 原 理 对 度 规 8 , 变 分 ， 一 般 会 在 场 方 程 中 出 现 四 阶 微 分 ， 这 不 仅 大 大 增 加 了求解的 复杂性， 而且这 类解能否 符合 太阳 系 尺 度的 观测结果2 3 x 24 1 以 及能 否得 1 引言 到合适的 牛顿极限2 5 11 2 6 2 7 1 都有待进一步求 证。 另外很重要的一点， 这类解在弱 引力区域不可避免地会出现稳定性问 题2 8 下面引入一种新的变分，即所谓p a l a t i n i 形式的变分。需要说明的是，这 种变分方法最先由e i n s t e i n提出， 后来由 于历史的原因 一直被称为p a l a t i n i 形式。 在p a l a t i n i 形式中，将仿射联络当成不依赖于度规的独立参量，因此对 引 力 场 作 用 量 求 变分时 需 要 分 别 对 度 规9 和 仿 射 联 络r 进 行 变 分， 其中 对 度 规 变 分 的 部 分 将 会 得 出 新 的 含 f ( r ) 的 引 力 场 ， 而 对 仿 射 联 络 变 分 的 结 果 表 明 ， 通 过 适当的 共形变换， 可以找到另 外一个度规h ， 而r 则可以 表示为h 的r e i m a n n 联 络。 p a l a t i n i 形式的 变分得出 的 场方程 仅 含 二阶 偏微分 方程12 9 1 ( 相比 之 下， 度 规形式的 变分则会出现四 阶偏微分) ， 而且引力场作用量使用经典的e i n s t e i n - h i l b e r t 作 用 量( 1 . 4 ) 式 时 ， 含f ( 哟的 场 方 程 直 接 导 出 标 准 的e i n s t e i n 引 力 场 方 程3:1 在 真 空 条 件 下， f ( r ) 引 力 场 方 程 则 会 退 化 为 含 宇 宙 学 常 数 的 标 准 e i n s t e i n 引 力场方程3 1 (3 2 ) ， 这就保证 解出 的 运 动方 程能 够通过太阳 系尺 度的 实 验检验3 3 3 5 另外，度规形式的 变分中在弱引力区域出现的不稳定性这里也不 会出 现【2 8 1 。 目 前 已 有 大 量 关 于 f ( 刃理 论 的 研 究 当 f ( 刃中 含 有r ， 项 时 ， p a l a t i n i 变分导出 的引 力理论可以 导出 宇宙当 前的 加 速膨胀3 6 h 4 4 1另外一 些 研究工 作指 出了可能导出宇宙早期暴胀的情形4 14 2 4 5 1 ， 而当护和r - ， 项同时出 现在引力场 作用量中时，可以同时产生早期暴胀和当前加速膨胀的模型阴。更一般情形的 研 究 也 有 相 应 进 展 ， 如 f ( 刃分 别 取 多 项 式 “ 84 9 1 、 双曲 函 数 4 8 1 和 对 数 形 式 ， ” 。 f ( 刃具 体 形 式 的 选 择 ， 可 以 由 r 的 线 性 项 加 上 适 当 参 数 的 修 正 项 构 成 ， 这 样虽然在各种近似条件下能够较好地符合观测数据， 但是一般需要较多的 参数， 参数的取值也需要根据实验结果而作精确的调整。一个良 好的理论模型，不仅 需要符合实验结果，而且我们希望它所引入的参数最少，导出理论模型所需要 1 引言 的 假 设 最 少 ， 所 以 ， 在 进 一 步 研 究 f ( r ) 引 力 模 型 时 ， 我 们 同 样 希 望 f ( r ) 的 形 式 具 有 一 般 性 ， 同 时 在 f ( 刃的 表 达 式 中 尽 量 减 少 参 数 的 数 量 。 原 则 上 讲 ， 只 要 f ( r ) 的 低 级 近 似 能 够 得 出 带 宇 宙 学 常 数 的 标 准 引 力 场 方 程 ， 那 么 它 在 小 尺 度 ( 相比 于整个宇宙， 太阳系也算小尺度) 范围内的动力学行为应该与标准宇宙 学 相 符 ， 也 就 是 说 ， 能 够 符 合 太 阳 系 尺 度 内 的 观 测 数 据。 所 前 所 述 ， 引 入 f ( 刃 理论的目 的，不仅要符合太阳系的观测结果，而且要能够产生宇宙目 前阶段的 加速膨胀以 及早期的暴胀， 进一步地，我们希望暗能量对宇宙演化的 贡献越小 越好。 基 于 以 上 原 则 ， 我 们 对f ( r ) 分 别 取 冥 函 数 r ( r ) 一 a ( 1 一 r y l” a少 ( 1 . 5 ) 和指数函数 f ( r ) = a e - r ie ( 1 . 6 ) 的一般情形作了详细的讨论。结果表明，这两种模型均能有效减小暗能量对宇 宙演化过程的影响，也就是说，相比 标准宇宙学，这两种新的模型需要人为引 入的 暗能量成分有明显减少. 不过不论哪一种模型， 对于早期暴胀的解释均有 待进一步完善。 接 下 来 的 部 分 ， 第 二 章 会 进 一 步 介 绍 f ( r ) 引 力 理 论 及 相 应 的f r w 宇 宙 学 ， 第 三 四 章 分 别 导 出 f ( 劝取 以 上( 1 . 5 ) , ( 1 . 6 ) 式 的 模 型 ， 并 讨 论 其 在f r w 宇 宙 学中的应用，包括宇宙年龄、宇宙的加速膨胀、尺度因子随时间的演化及对暗 能量的估算等，第五章做总结讨论。 2 p a la t in i 形 式 的 f ( r ) 引 力 理 论 综 述 2 p al a ti n i形 式的f ( r ) 引力 理 论 综述 在 对 f ( r ) 的 具 体 形 式 做 详 细 讨 论 之 前 ， 本 章 先 介 绍 一 般 形 式 f ( 幻引 力 理 论的相关结论， 并在此基础上进一步介绍f r w宇宙学， 导出 宇宙学基本的 动力 学 方 程 ， 即f r e i d m a n n 方 程 ， 最 后 对 于 f ( 劝的 具 体 形 式 选 择 作 简 要 讨 论 2 . 1 p a l a t i n i 形 式的 f 扭 ) 引 力 直接从修改后的引力场作用量入手 s 一 、 + 、 二 合 j d x j f (r ) + ,v j d x rg- l , ( 2 . 1 ) 其中 r a r ( g , r ) = g w r , ( r ) , g 表 示 度 规 矩 阵 的 行 列 式 ， s c 和s m 分 别 表 示 引 力部分和物 质部分的 作用 量.由 于 在p a l a t i n i 形式中 度规g 与 仿射联络r 相互 独 立， 我 们 在 这 里 假定 s .y 仅 为 度 规的 函 数。 先 对引 力 部 分 作 变 分 、 一 合 1 d 4x s (,fg f (r ) = 告 l d x f (r )6 ,jg- + ,r f (r ) 8 r x ,fg f f (r ) r ,， 一 委 ， (* ) 、 ! 、 二 lj ( 2 . 2 ) + 告 j d 0 x rg-f (r ) g - 3 r , , 其中 b r a,， 的 变 分 可 由 四 指 标r e i m a n n 张 量 缩 并 求 得 s r i , = 0 x 6 1 4 二 一 v ,6 t , a t 于是式( 2 . 2 ) 可化为 ( 2 . 3 ) 2 p a la tin i 形 式 的 f ( r ) 引 力 理 论 综 述 d孟a (2(2 、 一 1 j d x2冲(r ) r , - 2 f (r )8 . i 99 11 + 全 j d x vg f (r ): 二 (v ，二 ， 一 ; ，二 未， ) 一 合 dx,fg f (r )。 一 合 ， (， )9，。 二 + 奋 了 d 4x t- v , (,rg f (r )g )+ v , (,rg f (r )9 二 ) : 、 + 二 其中最后一项s t 是对一个全微分求积分的结果，由变分原理 s s = s s c + s s m = 0 并利用上式( 2 . 4 ) 可得 f (r )、 一 合 f (r ) g , = 、 v , (f ( r ) 倔二 ) = 0 ( 2 . 6 ) ( 2 . 7 ) 式( 2 . 6 ) 与( 2 . 7 ) 分 别 是 对 度 规s ， 与 仿 射 联 络 r z 二 变 分 的 结 果 ， 其 中 x = 8 f g , t k ， 为 源 物 质的 能 动 量 张 量， 其定 义 为 2s ( fl . 、 尹 _ - v 19- 一 a g a r ( 2 . 8 ) 由式( 2 . 7 ) 可以看出，只要能找到另外一个度规h 使得 棺f ( r ) g = 痴， (2 . 9 ) 那 么 ， 仿 射 联 络 r x a ， 就 可 表 达 为 度 规 h 的r e i ， 联 络 ， 而r , ( r ) 则 变 成 度 规 h 的标准r i c c i 张量，即 r , , = r _ ( r ) = r a r ( h ) ( 2 . 1 0 ) 显然， 式( 2 . 9 ) 是一个共形变换， 通过简单的 计算 可以 找出 其变 换关系为s 2 ) h , = .f ( r ) g . ( 2 . 1 1 ) 进 一 步 可 得 出 仿 射 联 络r 坛的 表 达 式 4 7 )33 ) 2 p a la tin i 形 式 的 f ( r ) 引 力 理 论 综 述 r ;tn， 一 a命 2s zw a, f - gv,g a f i ( 2 . 1 2 ) 其 中 二 为 度 规 g ， 的 r e i 联 络 对式( 2 . 6 ) 进行指标收缩可得 f ( r ) r - 2 f ( r ) 二 k t ( 2 . 1 3 ) 其 中 t = tr t 二 g i 军 ， 这 就 是 所 谓 时 空 的 结 构 方 程( s t r u c t u r a l e q u a t i o n ) 。 式 ( 2 . 1 3 ) 表明，t 可以 表示为r的函数，反过来，r 应该也可以 表示为t 的函数， 将式( 2 . 6 ) 换一种写法 r ,(h)= 2 f (t )g, + 命tl, ( 2 . 1 4 ) 显 然 ， 当 f ( r ) = - r 时 ， 上 式 即 化 为 标 准 的 e i n s t e i n 引 力 场 方 程 ， 当 f ( r ) = a - r 时可以得到带宇宙学常数的引力场方程。为了 下面推导方便，我们将上式写成 混合指标形式 r , (h)一 f q sa + k t-2f (t ) . f (t ) v ( 2 . 1 5 ) 2 . 2 f r w 宇宙学 现在我们将上一节导出的场方程用于 f r w宇宙学并求解.使用如下的 f r e i d m a n n - r o b e r t s o n - w a l k e r 度规 * 一* 2 一 、 f;) r 1 了 d r 2 十 ， 2 (d o 2 + sin o d 0 2 )1 (2 . 1 6 ) 、 产 l 1 一 舫、产 j 其 中 。 ( t 为 宇 宙 的 尺 度 因 子 ， k 为 空 间 曲 率 参 数 ， 当 k = 0 , 1 , - 1 时 分 别 对 应 平 直 、 闭合及开放的空间.用度规h 可写为 ds h2 一 ， (r )j dt2一 (t) 1 dr21- kr2 一 (d82一 ，一 bd f, 21 (2.17) 2 p a la tin i 形 式 的 f ( r ) 引 力 理 论 综 述 将大尺度的宇宙结构当作理想流体处理，于是能动量张量为 t ,rv 二 ( p + p ) - x + p g , 利用f r w 度规( 2 . 1 6 ) 并写成混合指标形式 ( 2 . 1 8 ) ( 2 . 1 9 ) -p p 一 -p p j十11、 一一 尸 声 t 由 于 在 广 义 相 以 论 中 能 动 量 张 量 具 有 协 变 性 ， 于 是 由 0 - t , , = 0 可 得 p + 3 h ( p + p ) = 0 ( 2 . 2 0 ) 其中h= 6 1 a 为h u b b l e 参 数. 结 合宇 宙 学中 状态方程的 一 般形式 p = m p ( 2 . 2 1 ) 通过简单计算可以导出 p = r7 a i+ m ) ( 2 . 2 2 ) 以 上t o 和， 均为常 数.由 式( 2 . 1 9 ) 可知 t = p - 3 p = ( 1 - 3 m ) p ( 2 . 2 3 ) 于是能动量张量与h u b b l e 参数随时间演化的关系 - 3 ( 1 + m ) h ( 2 . 2 4 ) 结合场方程( 2 . 1 5 ) 及能动量张量式( 2 . 1 9 ) 可得 期-尸 r o o 二 ( 2 . 2 5 ) 。 ， _了ir p 月 、 . 一 2 f - f ( 2 . 2 6 ) 3r ,一 r oo = 夕 一 - (p + 3p ) ( 2 . 2 7 ) f r w 度规( 2 . 1 7 ) ，通过基本的广义相对论计算可以得到 是用 于使 2 p a la tin i 形 式 的 f ( r ) 引 力 理 论 综 述 r o o ( h ) b h 6 + b + a b ( 2 . 2 8 ) r , ( h ) b b _ a b a k - 二 + 一十丁+份 了 a口a v a ( 2 . 2 9 ) 、 十 ， 、!尹 a一a 2.、 4 r.eseses.l 以 上 二 式 中 为 了 书 写 方 便 已 令 b = 厂 ( 刃， 由 于扩 2 与 r 3 3 并 没 有 给 出 独 立 于叭 的新结果，所以不必考虑.将式( 2 . 2 8 ) ( 2 . 2 9 ) 代入( 2 . 2 7 ) 式并考虑到关系式 ( 2 . 2 3 ) 可得 k b 一 + a 2 b+ a 6(f ,- f ,(2p 一 司 ( 2 . 3 0 ) 这 就 是 f ( r ) 引 力 场 中 的 基 本 动 力 学 方 程 ， 即 所 谓f r e i d m a n n 方 程 当 f ( 刃= - r 时 ， b = f ( r ) = - 1 ， r = k 1 ， 式( 2 . 3 0 ) 直 接 化 为 标 准 的f r e i d 方 程 2 . 3 关 于f ( r ) 的 具 体 形 式 一般而言，我们将宇宙学常数人 解释为真空能量， 如果换一个角度， 将它 当作曲率标量r的自 藕合参数， 则 f ( r ) 可 以 写 成以 下 形 式 f ( r ) 二 a l ( r / a ) 的无量纲函数，由上式可得 ( 2 . 3 1 ) 其中 以r / a ) 是 任 意 关 于r / a b (t) d dr )(t)= l (r (t)l习 ( 2 . 3 2 ) 一 个 具 体 的 f ( r ) 形 式 如 果 要 求 在 小 尺 度 条 件 下 符 合 实 验 结 果 ， 那 么 它 的 低 阶 近 似 必 然 会 退 化 为 标 准 的 引 力 场 ， 也 就 是 说 ， 对f ( r ) 作 级 数 展 开 之 后 ， 它 应 该 具 有如下形式 f ( r ) 一 ( a ) - r + ( 2 . 3 3 ) 2 p a la t in i 形 式 的 f ( r ) 引 力 理 论 综 述 其中 第 一 项( a ) 并 不是 必 须， 没 有( a ) 项 时 ，了 ( 劝的 低 阶 近 似化 为 标 准的 e i n s t e i n 引 力 场， 有( a ) 项 时 ， r ( 刃的 低 阶 近 似 化 为 带 宇 宙 学 常 数 项 的 标 准 引 力 场 由 r ( 哟的 展 开 式 ( 2 . 3 3 ) 可 知 以 r / 叼的 展 开 式 l ( x ) 一 ( 1 ) - x + . . . ( 2 . 3 4 ) 其中x = r / a 当 l ( x ) = ( i - x l n ) ” 时 _ ，、 n 一 1， 儿 杯) 一 i 一 x 十 二 二 了 x+.二 n ( 2 . 3 5 ) 当 l ( x ) = e时 l ( x ) - - 1 一 二 + 工 x 2 + 2 ( 2 . 3 6 ) 以 上 二 式 均 符 合 式( 2 . 3 4 ) 的 形 式 接 下 来 的 章 节 将 会 对 这 两 种 形 式 的 f ( r ) 模 型 作详细讨论. 3 f ( r ) = a ( i - r 1 n a ) ” 形 式 的 引 力 模 型 3 f ( r ) = a ( 1 - r / n a ) ” 形式的引力 模型 考 虑f ( r ) 取 如 下 形 式 ， ， 一 、 . r 丫 ji 式) =al 1 一i l刀 a夕 ( 3 . 1 ) ， ， 一 ( 尺 丫 _ , a= 1 i r1 =-l i 一i 、n aj ( 3 . 2 ) 直接代入结构方程( 2 . 1 3 ) 可得 r = 2f+ k t_ ( r、k t - =- 1 ni i 一i - - 一 - - 吮 ， ， 甲 1 、n a ) 1 1 一 二、 ，- n a j ( 3 . 3 ) 整理后化为 / 一 、 一 _- ( . r ) - ( n一1 1 r =- 2 n n一n k i( 1 一i l月 aj ( 3 . 4 ) 上式是一个相当复杂的代数方程， 对于任意的。 取值并不一定能够求解， 因此我 们只能对九 首先 取某些特定值的情形展开讨论。 当n =1 或n = 2 时，均可解得 r ( t ) = 2 a + rf t ( 3 . 5 ) 当n = 3 时， r (t ) = 3 1 a % t y + ( t ) ( 3 - 6 ) ， ， _ 、 ( / - 8 a 一 4 k t a z + 4 4 k t a s + x 2 t 2 a 2 51 1 1 = 2 ( 3 . 7 ) 当九 = - 1 时， r ( t ) = - a - 3 a 士av 9 az 十 4 k ta 2 r q ( 3 . 8 ) 3 f ( r ) = a ( i 一 r i 从r 形 式 的 引 力 模 型 当” 3 或n l) x t v x ( 3 . 5 7 ) 显 然， 宇宙 年 龄t o 风是 一 个 仅 与 参数， 有 关 的 量， 作出 其函 数 图( 图3 . 4 ) 并 用数 值逼近的 方法求得 ( t o h . 二 1 ) s = 6 . 2 9 9 ( 3 . 5 8 ) 值代入( 3 . 5 3 ) 式，可求得物质密度参数 乌 = 0 刀 ( 3 . 5 9 ) 2 .5 j : 陆叱 将1.t 0 . 9 5 0 . 9 o . b 5 0 . 8 0 . 7 5 0 . 7 0 24 6 8 1 0 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 .5 z 3 图3 .4当 n = - 1 时 ， 宇 宙 年 龄几 随 密 度 参 图3 . 5当 n = - 1 时 ， 宇 宙 时 间 s 随 尺 度 因 数之比s 变化关系图子x演 化关 系图 下面考查宇宙时间与尺度因子的演化， 将s 值( 3 . 5 8 ) 式代入( 3 . 5 6 ) 式可以作 3 f ( 刃= 人 ( 1 一 r / n a 丫 形 式 的 引 力 模 型 出 宇宙时间: 随 尺度因 子x 的 演 化关系图( 图3 . 5 ) . 如图( 3 . 5 ) 所示， 在宇 宙 演 化的 当 前 阶 段( x = a l a o = 1 ) ， 尺 度因 子x 随 宇 宙 时 间r 的 变 大 而 加 速变 大， 这正是我们所要的 加 速膨 胀阶 段， 而在宇宙 大 爆炸 早期( x - 0 ) , 则是 一个减 速膨胀的过程，并不能产生早期暴胀所要求的结果.为了进一步看清其变化趋 势， 对( 3 . 5 6 ) 式求二次微商 d r m ( s ,l ) ( d m ( s ,x )_ ， . ， ， ，、 、 、 命= 一 赫，稼 娜 二 二 万 二 艺 一十 ， m (s,x )x (3 . 6 0 ) 令 典一 。 可 求 出 图 ( 3 . 5 ) 拐 点 处 的 尺 度 因 子 一 d x x 代回( 3 . 5 6 ) 式求得相应的宇宙时间 ( 3 . 6 1 ) th o = 0 .4 1 5 也就是说， 在大爆炸之后相当于宇宙年龄 0 . 4 1 5倍的 时间 里， 膨胀向加速膨胀过渡。 再看 h u b l l e参数随尺度因子的变化，由( 3 . 5 4 ) 式可作出 3 . 6 ) ，由 图 可知， 当x - + 二 即r - 。 时， h u b b l e 参 数 趋于 零 u- * 0 ( 3 . 6 2 ) 宇宙开始由 减速 u 一 x 关系图 ( 图 ( 3 . 6 3 ) 352 . “2 “ 止兰立=一目 0 b一 乏一启 - 一 白 x 1 b 图3 .6当n = - 1 时， h u b l b l e 参数随尺度因 子x的 变 化 3 f ( r ) = a ( i 一 r / n a ) ” 形 式 的 引 力 模 型 3 . 3 f ( r ) = - r ( 1 一 a / 3 r ) 当 。 = 3 时 ， f ( r ) 使 用( 3 . 1 2 ) 的 形 式 ， 于 是 b = f ( r ) - - ( 3 r - a ) 2 (3 r + 川 2 7 r ( 3 . 6 4 ) 2 a 2 ( a 一 3 r ) b =一 二 - 一 乙 9 r ( 3 . 6 5 ) 将以 上表达式代入结构方程( 2 . 1 3 ) 可得 k犷=一( a 一 3 r ) 2 ( 4 a 一 3 r ) 2 7 r ( 3 . 6 6 ) 上式具有如下形式的解 i， 4 w + 4 r t a + x 2 t 2 ) 1 r j t ) = = j 2 a+ k t ) + = 1 , j t ) + , -1( 3 . 6 7 ) 3 6 l - ” ( t ) 其中 ( t ) = 8 a + 6 0 rc t a 2 + 4 8 x 2t a + 8 x t + 44 15 x t a + 6 9 x 2t w + i6 x t 4a l 1/3j ( 3 . 6 8 ) 考 查 f r e i d m a n n 方 程( 2 . 3 0 ) 左 边 ， 当 n = 3 时 ( 3 . 4 8 ) 式 仍 然 成 立 。 将 f ( r ) 和 f l ( r ) 的表达式( 3 . 1 2 ) ( 3 . 6 4 ) 代入f r e i d m a n n 方程右边并应用k 二 0 可得 - 、.j了 一 k . ( 2 p 一 t ) j 9 r (1 - a / 3 r ) + w , r ( 3 r - a ) 2 ( 3 r + 2 a ) ( 3 . 6 9 ) 注意当a m = 。 时t = p ， 于是整 理后的f r e i d m a n n 方 程具 有如下形式 3 f ( r ) = a ( 1 一 r / 从) ” 形 式 的 引 力 模 型 h =一r ( - 2 7 r + 2 7 r 2 a - 9 r a + a 一 2 7 w r ) ( 3 r + 2 a ) 一 1 - .万.，d r ( t ) ) 6 1 - 9 r 一 3 r a + 2 r a + 9 a p 一 i 、a l j ( 3 . 7 0 ) 类 似 地， r ( 约与t d r ( 约仍 然是关 于k p 和a 的 齐次 式， 于是f r e i d m a n n 方 程( 3 . 7 0 ) 展开 后也是关于k p 和a的 齐次 式. 我们 采用与 前一节 相同 的 定 义， 分 别 代 入。 m 和。 、 及s ， 式( 3 . 7 0 ) 表 为 如 下 形 式 h 2 = h o 2 f l n ( s , x ) ( 3 . 7 1 ) 其 中 n ( s , x ) 是 一 个 关 于 密 度 参 数 之 比 ， 和 尺 度 因 子 x 的 形 式己 知 的 函 数( 附 录 s ) . 特别地， 将上式应用于当 前时刻， 解出 密度参数为 氏 = n - ( s , l ) ( 3 . 7 2 ) 由 此 可 知 ， 只 要 我 们 能 够 确 定 密 度 参 数 之 比 ， 便 可 以 根 据 函 数 n - ( s , 1 ) 来 确 定 物 质 密 度 参 数n , . 将( 3 . 7 2 ) 式代回( 3 . 7 1 ) 式可得 h ， 二 h p n ( s ,x ) n - ( s , l ) ( 3 . 7 3 ) 应用h与x 的 关系式( 3 . 3 0 ) ， 并 利用与( 3 . 1 ) 节相同 方法定 义宇宙时间r , 则从( 3 . 7 1 ) 式可建立以下微分方程 (3.74)(3.75) 积分可得 d : 一 n (s ,x ) n -(s ,l) e 一i2 d x : 二 和 x n ( s ,x ) n - ( s ,l) x 2 丁 ， 从大爆炸起始时刻积分到当前时刻即可得到宇宙年龄 toh o 一 上 d x n ( s ,x ) n - ( s , 1) x 2 t v z ( 3 . 7 6 ) 从 上 式 可以 看出 ， 宇宙 年 龄t o h o 是 一 个 仅 与 参 数， 有 关 的 量， 作出 其函 数图( 图 3 . 7 ) ， 令t o h o = 1 并 用数 值 逼 近的 方 法 求 得 密 度 参 数 之比 ，f ( r ) = a ( l 一 r l n a ) 形 式 的 引 力 模 型 s = 0 . 6 2 9( 3 . 7 7 ) 将s 值代入( 3 . 7 2 ) 式可求得相应的物质密度参数 f l = 0 .3 4 9 ( 3 . 7 8 ) 口一匕 t2 、18场1.4柱id.8 0 . 2 0 . 4 0 石0 月s00 20 - 40 . 60 月 11 _ 2 1 . 4 1 . 6 1 . b 2 x 图3 .7当n = 3 时 ， 宇 宙 年 赞几随 密 度 参 数 图3 .8 之比s 变化关系图 当” 二 3 时， 宇宙时间r随 尺度因 子 x演 化关 系图 下 面 再 看宇 宙时 间 t h o 与 尺 度 因 子x 的 演 化 关 系. 将， 的 值 代 入( 3 . 7 5 ) 式， 则 可 作出 t h o 随x 演 化的 关 系图( 图3 . 8 ) 。 从图( 3 . 8 ) 可以 看出 ， 演 化曲 线 相比 n = 2 与。 = - 1 的 情 形具 有 更 加 丰富的 细 节， 首 先 在x = a l a o = 1 时 ， 这 是 一 个 加 速 膨 胀阶 段， 尺 度因 子z 随 宇 宙 时间: 的 变大 而 加 速 变 大， 而 在 宇宙 大 爆炸 早期 ( x 一 0 ) ，则是 一 个减速膨 胀的 过程， 另外， 在x l 的 某个时 刻， 宇 宙膨 胀将会再次进入减速阶段。也就是说，在整个宇宙演化过程中将会经历先减速 再加速最后再次减速的阶段，当 然，按照暴胀理论，大爆炸早期应该有一个短 暂的指数加速阶段，这一点在n = 3 的模型中没有对应。 为了进一步看清宇宙演化的趋势，对( 3 . 7 5 ) 式求二次微商 d i z n ( s , l ) ( d n ( s , x )一 ，、 、 ， ， 、二 气-犷 =一丁二二 六 尸 . i x 十l -, v t s , xl x a x - z i v 一l s , x 八a x ( 3 . 7 9 ) 3 f ( r ) = a ( 1 一 r / n a ) ” 形 式 的 引 力 模 型 。一 ， _ _ 、_，、 二，、 _ ， ，“d r _ 一 注意图( 3 . 8 ) 所示的 演化曲 线有两个拐点， 令牛 共 ， = 0 解得 一 d x x = 0 .7 2 , x 2 = 1 .2 8 , ( 3 . 8 0 ) 代回( 3 . 5 6 ) 式求得相应的宇宙时间 r , = 0 .6 6 7 , r 2 = 1 . 1 5 8 ( 3 . 8 1 ) 这即是说， 在大爆炸之后相当于宇宙年龄 0 . 6 6 7倍的时间里，宇宙开始由 减速 膨胀向加速膨胀过渡，经过一段时间加速之后，在未来某个时刻，也就是相当 于宇宙当前年龄 1 . 1 5 8倍的时候，宇宙结束加速膨胀而开始进入减速膨胀并持 续下去，最终随着宇宙时间的增加尺度因子的变化越来越不明显. 2刀万j21 ullll o s 住5 n通 n. 2 。 匕1 2” . j ” ” 戴a 图3 .9 当 n 二 3 时 ， r u b lb le 参 数 随 尺