（概率论与数理统计专业论文）刻度指数族中参数的经验bayes统计推断问题.pdf

摘要 本文主要研究了刻度指数族中参数的经验b a y e s 统计推断问题在本文第一 章中，介绍了b a y e s 方法的原理和经验b a y e s 方法，并着重回顾和介绍了指数族 中ba l v e s 和经验b a y e s 方法的研究现状和进展，简略介绍了本篇硕士论文的结构 和主要内容 本文第二章讨论了指数分布定数截尾情形下刻度参数失效率函数的经验b a y e s ( e b ) 双侧检验问题利用概率密度函数的核估计构造了e b 检验函数，证明了它 的渐近最优性，并获得了其收敛速度最后，给出了一个满足定理条件的例子。 本文第三章对刻度指数族在加权平方损失下获得了参数的b a y e s 估计，利用 基于b e s s e l 函数的核估计方法构造了相应的经验b a y e s ( e b ) 估计，并证明了所提 出的e b 估计具有收敛速度o ( ( n 一1 i n l o n ) 恭) ，此处d 2 ，1 2 a 2 , 1 2 p 1 没x i ，托x m 为从分布( 2 1 1 ) 中抽取的相互独立相同分布( e i d ) 样本， 若在伞体样本中仅观测到前r 个：x ( 1 ) x ( 2 ) 茎sx ( ，) ( 1s rsm ) ，由 3 ! 舅丛叁堂婴主箜圭 l a w l e s s ( 1 9 8 2 ) 可知t = x ( ：) + ( m r ) x ( ，) 是0 的充分统计量，且2 t o x 所以n ”t 的密度函数为 巾= 一1 射娄善畈 皿， 此处r 0 ，r mt 的样本空间为t = ( 0 ，。) ，0 的参数空间为o = ( 0 ，o o ) 2 2 b a y e s 检验函数 没0 的先验分布为g ( p ) ，满足条件 g ( p ) ，= g ( 口) ：e ( o 廿钏) o 。) ( 2 2 1 ) 设氍敷i 廿j 题昀琐矢幽致力： 工。( 。，a 。t t ，) = 。h 1 9 一盏。2 一p 刁若t f 。1 ( ( 。e ) ) 一- 芦u 。o f l - 卢m 。，, ( 2 2 2 ) l t ，a t 。，= 。【肛；。暑，一p 。，。 ，霎：窨： 其中。是正的常数；d o 表示接受o ，d l 表示拒绝凰 设 5 = p ( 接受h o l t = t )( 2 23 ) 为随机化判决函数，则在先验分布a ( o ) 下6 ( t ) 的风险函数为： n a ( 口) ，d ( ) ) = f f l 。( ，d 。) 6 。) + l l ( a ，d t ) ( 1 6 ) ) 】，( l 口) d t d g ( 日) = ( ，d o ) 一列1 ) 邮) 巾捌叩) + 训刈彬踟姗( 口) = n ( ) 5 ( t ) d t 十c g ，( 22 4 ) ，3 - 其。 1 c 台：= j 苫】( a ( p ) ，d 】) d g ( p ) ， ( 1 ( ) = ( a ( 口) 一伽) 2 一郭i ( t l o ) d g ( o ) j 0 = f 0 2 , u o o 。+ ( 扁一肛；) u ( 1 ) p t l o ) d g ( o ) j o 。 第二章指数分布定数截尾样本下参数的堡盟e b 竺墅塑墅 此处u ( t ) = t ”1 而且 n ( ) p ( 2 ( ) 十2 j o 姓( ) p 【1 ) + ( p iy ) f ( o 、 ( 2 2 5 ) ，( t ) = u ( 1 ) p ( 卵) d g ( 日) = u ( t ) p ( t ) ， ( 2 2 6 ) j o 州) = 加删= 工篙e 嘞吣 ( 2 2 ，7 ) p ( t ) = ( 一1 ) 2 f r _ ) o - ( r + i ) e 一5 d g ( 日) = ( 一1 ) 。f o - i p ( 卵) d g ( 口) ，江1 ，2 ( 2 2 8 ) 注2 1 易见，若e ( o 一( r + k ) ) 。，则s u pi p ( ) ( t ) i 】为任意确定的自然数， 贸；9 ) ( 。= o ，1 ，2 ) 是b c r r e l 可测的有界函数，在f 0 ，1 ) 区阐之外取值为零，对 i = o ，1 ，2 满足条件： 刍z 1 ，j k 。t ，a v = ：；i ：，：，。一， t zs ， ! ：旦世塾墨堂堡笙塞 定义，( ) 和( t ) ( z = 1 ，2 ) 的核估计为 令n ( t ) 的估计为 圳，= 上7 t h n 妻。= lk 。( 等) 蝌= 嘉喜甄( 等) 俘1 ，。 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) n 。( t ) = u ( t ) p 乎0 ) 十2 肛o u ( ) p 0 ( t ) + ( 卢3 一卢2 ) ，n ( t ) ； ( 2 3 4 ) 定义检验问题( 2 1 3 ) 的e b 税验函效力 ，= r ：黼： 。s ， 以后k 记关于m ，码，已) 的联合分布求均值，则“( t ) 的全面b a y e s 风险 为： ，o 。 = ( 6 。，g ) = o n ( t ) 玩( 靠( 茚) d t + c a ( 2 3 6 ) j o 2 4e b 榆验函数的渐近量饶性和收敛速度 本章以下令c ，c t ，c 2 ，表示常数，且在不同之处可表示不同值，即使在同一 表达式中也是如此 引理4 1 设r g ，如分别由( 2 2 4 ) 和( 2 3 6 ) 给出，则 r 0s r n r a n l n ( t ) l p ( 1 n 。( f ) 一o ( ) i i c * ( t ) 1 ) d t j 0 证明：见j o h n s ( 1 9 7 2 ) 引理1 引理4 2 设，( # ) 和厶( z ) 分别由( 2 2 6 ) 和( 23 2 ) 给出 ( 1 ) 若，( t ) 在( o ，o o ) 上连续，则当 。叶0 ，n h 。o o ( n + ) 时，对任意 给定的t ，有 ，。l 。i r a 。e n l f n ( t ) 一巾) | = o ； 第二章指数分布定数截尾样本下参数的双侧e b 检验问题 ( 2 ) 若e 【日一( r + 5 1 。o r s 为正整数，则当取h 。= ，l 。s h 时，对0 _ s2 ， 有 岛l ( t ) 一，( t ) l ”曼m 器 证明：( 1 ) 由c ，不等式可知 晶f ，n ( 。) 一f ( t ) ls2 i v 8 r ( 厶) ) j ；+ 2 u k ，n ( ) 一i ( t h ( 2 4 1 ) 哳( 删= 志陋( 等) 孙。z 1 吼t + h n y 脚 sc l ( n h 。) ( 2 4 2 ) 由( 2 4 2 ) 知当n h n m ( n o 。) ，对任意固定t ，有曼恐y ( 厶( t ) ) = o ，又由 ( 3 1 ) 可知 i ，忭( z ) 一巾) | = 1 2 1 硒( 州，( t + h n y ) 一巾) 】由 ， ( 2 4 3 ) 由f ( t ) 的连续性和( 2 4 3 ) 可知，当h n 0 ( n o o ) ，对任意固定的t ，有 。 。l ，i r a 。i e n f n ( 旷，( t ) 1 z 1 m ( 删熙叭t + h n y ) 一仲) i 白= 。 因此 0 。l _ 斗i m 。e n i 厶( t ) 一f ( t ) l 攫恐2 【y n r ( 矗( ) ) 1 + 2 。l 。i m o 。i e n ，n ( t ) ，( t ) l 一0 ， 引理4 2 ( 1 ) 得证 ( 2 ) 结论( 2 ) 的证明见文献韦来生和袁家成( 2 0 0 3 ) 引理3 2 引理4 3 设p ( t ( 饥p g ( t ) ( i 1 ，2 ) 分别由( 22 8 ) 和( 2 ，3 3 ) 给出 ( 1 ) 若p ( t ) ，i = i ，2 为t 的连续函数，则当h n 0 ，n 硌+ 1 o 。( n o 。) 时，对任意给定的t ，有 。| ，i r a 。晶i p ( f ) 一p 1 0 ( f ) i = 0 ，i = l ，2 ( 2 ) 若e f 0 - ( + 5 。，r ，s 为正整数，则当取h 。= n 一赤时，对0 ”2 有 甄圳( 。) 一础z 妒sf c t + 晓一学卜鼎待l ，2 ! 旦堕垫叁兰塑主堡圭 证明；( 1 ) 由g 不等式可知 晶蝌( ) 一础) f 2 i v a r ( p 黜) ) + 2 b p 靴) 一以f ) ， ( 2 删 由于n ( ) 为t 的单调增函数，所以 陆( p ( 2 m ) ，= 阳川) - l v a t i ( 百t i - t ) 志 s + 1 ) 一1 上1 丽1 k p ( t + h n y ) 咖 q ( n 著+ 1 ) 当n ：”，o 。( n ，o 。) 时，对任意固定t ，有拦恐y ( 硝( t ) ) = o 另一方面， 由( 3 1 ) 可知 i 晶硝) ( 一p ( i ) ( 钟7 = f 去z 1 甄( ”) p ( c + 。”) 勘一砸) f = i z l 甄( ”) p ( z + f 。”) 一沁) ) 匆 这里0 1 当 。- - - - 0 ( n + o 。) ，对任意固定的t ，有 。曼热既蝴( ) 一p ( t ) l n 。l i r a 哳( t ) ) 5 1 + 2 熙| 风p 黜) 一p ( t ) l ：。 对i = 】，2 成立引理4 3 ( 1 ) 得证 ( 2 ) 结论( 2 ) 当i = 1 情形的证明与文献韦来生和袁家成( 2 0 0 3 ) 引理3 2 相 同，i = 2 的情形可用类似于i = 1 情形的方法证明 引理4 4 设口( t ) 由( 22 5 ) 给出，若e ( o 一2 ) o o ，则 ， j a ( z ) 胁 o o j 0 证明：由( 2 2 5 ) 可知 z 。l 。( ) l 毗= z 。j “( t ) p ( 2 ) ( ) + 2 # o u f 场( 1 ) ( ) + ( 肛3 一“ ) ，( t ) i 出 l 肛；一肛 p 。1j ，o ”品1 邮澎捌刚)j ol rj 、 + 2 z 。篙硼扩删 第= 章t l b d - 布定数截尾样本下参数的双侧e b 检验问题 = 。l + c 2 e ( o 2 ) + e ( 0 2 ) o o 引理4 1 5 设a ( t ) 由( 2 2 5 ) 给出，若g ( 9 ) ，e p 晋 。，其中l ( 2 + e ) ，j 0 任意小，r 由( 21 4 ) 给出，则 ( 1 ) 伊i a ( ) r ”d t 0 0 ； ( 2 ) j t ( r - i 吲o ( ) 1 1 - 1 d t r 2 0 ； ( 3 ) 铲t ( r - ) ) l 2 f n ( ) j 。”d t 。 证明：见韦来生和袁家成( 2 0 0 3 ) 引理3 6 定理4 1 设r g ，r 。分别由( 2 2 1 0 ) 和( 2 , 3 6 ) 给出，若e ( o 。) 0 0 ，且，( 巩 2 冀) 为t 的连续函数，贝f j 当6 n - o ，n 域一o 。礼_ 十o o ) 时有：墨恐( 臻一勘) = 0 证明：由引理4 1 可知 r 。一= a l a ( t ) i p l a n ( ) 一n ( t ) l l n ( t ) i d t ， 令b 。( t ) = l a ( t ) l p k ( t ) 一a ( t ) 1 i n ( 圳) ，易见日n ( t ) si a ( t ) 1 再由引理4 4 知j l a ( t ) i d t 0 0 ，故由控制收敛定理可知 吣。1 + i r a 。( r n r g ) 8 z 热b n 黜， 由g 不等式，引理4 2 ( 1 ) 和引理4 3 ( 1 ) 可得 。l + i r a o 。b f t ) s 。l 。i n o o t 玩 。n ( ) 一a ( t ) l c o 。l 。i m 。日t f 踏一，( t ) + c l u ( “。l i r a 晶渊( z ) 一p 0 ) ( t ) i + c 2 u ( z ) 熙岛泖( ) 一p ( 2 ) ( 驯= 0n 叶。on + 。0 因此有0 曼撬( 凰( 矗，g ) 一r g ) s 。旷。l 。i m 。b n ( t ) d t = 0 ，定理4 1 证毕 定理4 2 设眙和懿分别由( 2 2 1 0 ) 和( 2 3 6 ) 给出，若e ( 0 - p + 5 1 。，ep 皆 o o ，其中整数r 由( 2 1 4 ) 式给出，s 3 为整数，l ( 2 + s ) ” 0 任意小，则当取h 。= n 南时，有 忍一r g c n 赫 证明：由引理31 及m a r k o v 不等式有 异n 一冗g s 。j d ( z ) l p f i 。( # ) 一n ( ) a ( t ) 1 ) d t 中国科艘大学硕士论文 。酬1 慨m 卜州r 出， 由( 2 25 ) 和( 23 4 ) 可得 玩l 。( t ) 一。( t ) i ”。，t ( r - * h 取舻( t ) 一p 【2 ( ) | ” 十c 2 t ( r - a ) ”晶坶( ) 一p 【1 ) 圳”+ c 3 取1 ( t ) 一，( t ) | ” 将16 ) 代入【2 45 ) ，由引理4 2 ( 2 ) 和引理4 3 ( 2 ) 可知 勘兰。z 。r 巾卜啪鼠( f ) 恂叫4 风( t ) 一p ( 1 ) ( t ) 卜c 3 e i f ( o f ( t ) l ” 班 ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 。o o i 删h p h p 均一挚卜艚 划一he l + 妒学卜帮伯n 焉) 出 c 1 ( ”j n r 嘣h h 一艚d r + c 2z ”| 。( t ) j 1 - 1 t 挚n 一锗出 + c 3 ，。0i 。( t ) 器出 j 0 ( r 十) q ( 1 一q ) ，其中r2 1 ，l ( 2 + e ) q 0 任意小。 由于e 【o - ( ”1 1 】= r ( + r + 1 ) r f p ) 。o ，故知g ( 8 ) ，又有 e0 1 ts ) = 掣 0 时，“( ) 0 ， ( h ) = 日 0 ：铲“( t ) e x p ( 一t o ) d t o l k 1 ( t ) = 丢酬t ) = 一t - l , 1 2 ( 2 v 在) i i t o 】 施( ) = 羞蜀o ) _ 一；3 五( 2 以) ， 伽j 此处， = 曼衍旨蒜面( ；) 付2 ( 1 = l ，2 j 3 ) 为第一类b e s s e l 函数 令随机窗宽h n = h ( t ，n ) = 磊8 t ，t o ：n 为任意自然数，定义，( ) ，妒( ) ，( ) 的 核估计如下： 州归熹砉翁( 竿) ， z ， 第三章在加权平方损失下刻度指数篷查墼塑丝望璺! ! 竺堡! 墨苎些丝鎏垦 如= 壶喜滴竿) + 确( 竿) t ( 3 22 ) 州牡嘉喜糟罕) 俑( 竿) + 引竿) 卜2 3 ) 定义。的e b 佰计刀： ；【豁 仙 z 删 f6当0 b 0 ， 。)z”ko(t)exp(一zz)dt0 = i e z p ( 一z 一1 ) ，z 0 ”f ( f 刀2 出= 1 ； ( j ) 一 = i 一娜h 。) ，f 矧2 出= 1 ； j o (2)!。0。(t)一；=z-z(一。一1)，：。【k(t)】2=j1k e x p ( z t ) d t 1 z e x p dt0 ； ( 2 ) l ( t ) 一 ( 一。) ， f 【k l ( t 舻2i ； j ju 。 ( 3 ) z 。0k 。( 幻e x p ( 一z t ) 出= 互1 - - z + z 2 - z 2 e x p ( 一z 。) ，z 。f z ( t ) 】2 班= 面1 证明：见b a t e m a n a n de r d e l y i ( 1 9 5 4 ) ，g r a d s h t e y na n dr y z h i k ( 1 9 6 5 ) 引理2 2 设p ( t ) ，币( 氓垂( t ) 由( 3 1 4 ) ，( 3 1 6 ) 和( 31 7 ) 定义，令h = 燕若 e f c 够) 7 t l ，( 竿) 丽h p ( t ) 矗小即手 一h p ( t ) 一 2 o - l c ( o ) e 一；一 d g ( p ) j o 2 妒( t ) + h a 庐( ) 一百1 危39 f 0 8 - 2 e ( 口) e 一；一d g ( 目) 1 4 墨三! 垒堡壑查塑圭! 皇堕堂墼童查墼箜丝壁堡! 塑堡! ! 塾基些墼壅壁 v a r f 糟托( 竿) j 器 证明：仅证明( 3 ) ，( 6 ) 而( 1 ) ，( 2 ) 用类似( 3 ) 的方法可得，( 4 ) ，( 5 ) 证盟与 ( 6 ) 类似由引理2 , 1 ( 3 ) 和引理2 2 ( 3 ) 可知： ( 3 ) e 1 l 乃可 t l 恐( 竿) 1 3 ，。志尬( 譬) m 炉n ：0 。脚脚胁 一小e 坤( 一；) o o 脚沁p f 一；。d 。 d g = n o 惦。( 一摊一；+ 万万。砷( 一：) 1 招 。；t , 上t o o 咿，唧z , 招拼z h 。2 一h 郴2 ，毒( 书a g 籼3 z 扩2 帮蛔( 一；) 阳卅z 。舻叩蛔( 一；一胁 =hp(t)-h3 j ( o ”舻印蛔( ；一；) 嘏 ( 6 ) 利用p ( 。) 为t 的单调降函数和“( z ) 为t 的单调增性质及引理2 1 ( 3 ) 可知 v _ a t i i t 圳i t l k 2 ( 竿) 卜f 糟凰( 竿) 】2 3 z 0 。船础( 譬) z 。张赢二。 筹z 。啪) d v c 丽h p ( t ) 。 。：套! 兰! ! ? 毋和晶分别表示关于( 噩，乃，矗；( 正纠及( 妨，孔，) 的联合分布求期望，故自f b 的全面b a y e 。风险为： “ 一“ 耻吣邸卜 江躺， 筹要繁。4 苎避，础f g ) 对g 旺则称为口的关于，的渐近最优 警冀：、估计若对某们o耻即)：o扩砌猕的收复磊苫0阶是亿一6 1 “一4 8 ” 中国科枝大学硕士论文 3 3 主要结果 为获得e b 估计的收敛速度，我们需要如下几个引理： g l 理3 1 对任一估计毋，有： 兄( 妒，g ) 一只( g ) ：e 。l 塑- 二笋l 其中，j r ( 庐，g ) 表示曲的b a y e s 风险 证明：见王立春，韦来生( 2 0 0 2 b ) ，引理3 1 引理3 2 设v y 为r m ，y ，y 为实数，l 0 ，则对0 r 2 ，有： e j 等一鲁 l i z i ”i 一 e | y 一，1 7 + ( 1 等l + 工r e i y 一引7 ) 证明：见赵林城( 1 9 8 1 ) 引理3 引理3 j 3 - e i o 6 2 成立，则：廖l 珏e 1 6 o 。 证明：见王立春，韦来生( 2 0 0 2 b ) 引理3 6 引理3 4 若妒( t ) ，庐( t ) 分别由( 3 1 6 ) ，( 31 7 ) 定义，若( t ) ，( t ) 分别由 ( 2 2 ) ，( 2 3 ) 定义，则对0 t k 。( 竿) 卜恤 勰k ( 竿) + ；v a r 籍硒( 竿) ) 赤嘲= c f t - 1 i n i o n 器】 3 渤 南弓l 理2 3 可知 e 。( 籼( t ) ) = 冲船鲍( 竿) 卜黼尬( 竿) 中1 舞蜘( 竿) ) = 排) 一嘉五印矿“删”；正一帮) c _ n t o d g ( 。) 一_ 1 2f 0 0 - 2 c ( 口) e 一 一 d g ( 口) ( 3 3 1 0 ) 由( 3 3 1 0 ) 和引理2 2 ，注意到h = 五8 丐t 可知 1 2 = i 晶 咖。一( 圳 c l 一2 。i 1 防u ) l ；+ c 2 h 1 n 2 1 陋o ) 】 + c 3 n 一 汹( t ) ； 。嘲 ；哮+ c 2 n - 1 i l 。掣+ c 3 刑1 荆护( 3 3 1 1 ) 将( 339 ) 和( 3 , 31 1 ) 代入( 3 3 8 ) 得 孙刊驯。沁( n 珍) 妯( 警) 1 器r 恂( 宰) 1 嘲1 + c 3 ( 宰) 1 俐1 恂n 叫础炉 1 8 蔓三主查! 壑查塑叁! 型窒! ! 塾苎圭堑堕丝兰型竖型垄墨苎! ! 曼垦 引理慧3罩蝴帅143上7满出，巾庐卜对5p o 引理 设，( t ) 分别由( 3 - 1 4 ) ，( 3 。7 】瓦缗出。f 叫9 j 、 i 】 a 1 则有： p ( t ) c 【币( t ) 1 1 证明：由h 5 1 d e r 不等式 础卜e 嘲g = f o o 啪。m 即掣卜1 蚓们 o - 2 c ( o ) e - d a o ) m 瓶e 。圳 ：咖口瓮r c 1 1 引理3 6 - 若p ( 札妒( 九烈t ) 由( “4 ) ，( 3 1 - 6 ) ，( 3 1 7 ) 定义，p n ，讥o l ! ：l 分别由( 3 2 1 ) ，( 3 ，2 2 ) ，( 3 2 3 ) 定义，靠e 和珏口分别由( 3 l 5 ) ，( 3 2 + 4 ) 定义，则当 l i m 。a 。= 0 0 ，o 2 ，e l o l 6 。， 对 a 1 ，e c ( p ) p 热 c ，o ，且下列条件成立： 1 ) z o 。渺( 圳。2 1 警 3 瞰纠1 - # d t o 。，对( l = ( 3 ，1 ) ，( 5 ，1 ) ，( 2 ，0 ) ) ( 4 ，。) 成立； ，o 。 ( 2 ) 咖( f ) 】。1 u ( t ) t 刈1 d t o 。，对d = 0 ，2 成立， j0 k - r e = o ( ( t t - i 1 0 x 6 5 ) 证明：由引理3 1 可知 耻耻及 掣 = p 玩( 珏b 也e2 1 陆剐叫) + 臣r 口风( 珏口一b e ) 2 l 靠。， 叫 垒，a ) + 吧) ( 3 3 1 2 ) ，= e c v , e ，p 易( i 占也f ) 2 幽。| = e ( t ) e ( 8 2 l ? ) 晶( 6 e b - - 6 口e ) 2 乍嘣圳) = 籍晶( 珏州口e ) 2 如麒_ a t l j = e ( 也。2 1 刮叫器u p 斑 a 孙f 棚( 警) 1 c l f 器卜器卜。斟1 第三章在加权平方损失下刻度指数族参数的经验b a y e s 估计及其收敛速度 怕加) 1 埘 器卜m 伯加) | 1 棚嘲1 邮脾 恫加瑚叫警卜皿怕小圳i a t - 2 u 出 慨小。) l - kt t ( f ) a 0 4 ：( 搴) 1 娄碱 由定理条件( 1 ) ，( 2 ) 可知 故有 q ， 2 时，曰l 如e | 6 o 。 略) c e ( t ) 始e 乍廊圳e ( 口一2 l r ) ) c e ( t ) 簪刚i 6( 厶) o “ 在3 1 3 ) ，( 3 3 1 4 ) 中，令 1 = 硒a ( i = 拦将( 33 1 3 ) 总。一 a 。= n 7 ( i n n ) 6 i - ：由镌n ( 331 4 ) 代入( 3 3 1 2 ) 得 兄( g ) c f n 1 j 。1 u 。1 蒜 2 】 ( 3 3 1 4 ) 以二6 ，可解得 、f d o 旷 烈瓦 陋 揶可，凡 q 岛r，l 降一 r a 中国科技大学硕士论文 注：于立春和韦来生( 2 0 0 2 b ) 对相同的刻度指数族基于一般核函数而获得刻 度参数e b 估计的收敛速度为r 。一n ( g ) = 0h 西面 莉l ，其中1 2 a ，、n 1 、s 3 本文的收敛速度为一r ( g ) = o ( ( _ 1i n 加n ) 琊 ，其中1 2 m a x ( d ，# 每一nr 一( ，十2 ) ) p 一小，禹e 印( 一字) = 寿稿 慨a 删 2 2 茎三主查塑壑查塑叁! 型壅! ! 墼壅查墼鱼丝兰垫鲤兰_ 竺翌望立生些塾! 叁垦 此处c 1 中( t ：。m 删斋唧( 一字) 胡= 而薪t 。a s ， 此处c z = 塑喘盟 推论4 1 ：对刻度指数族( 3 4 2 ) ，先验分布由( 3 4 3 ) 引出，其中r 2 ，b m a x d ，罟告一n 芒i 一( r + 2 ) ， a 芒与一r 时成立 ( 3 ) 扛小1 1 _ 2 1 斟1 删1 - t + , 、d t = ：。0 ：j o 。瓦芒乏若：筹疵= j o ”q ( t ) 班5 而面丽丽而“一州“ = z 1q 【t ) d + ，o 。q ( t ) d t = 十j 2 其中q ( t ) = 芸杀矧籍祟岽去，易见 j l ：1 口( t ) d t o ( 此处p = 0 ，l ；r = 5 ，4 ，3 ，2 ) ，赦当0 南时， 芒i 一( r + 2 ) 时，第 一类广义积分如 。将( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) 代入( 346 ) 得，j o 。，故( 3 ) 成立 r r ，一卜d ar 。 ( 4 ) ，2 门0 删卜1 “( 班刮峋扛上万素而丽出。j o ) 出 jj o ll 卞“，、 = 小岫+ 小t ，d t = 1 1 + 如， ( 3 。- 9 ) 其中( t ) = 两j 等，易见 ，l ：，1 f o ) 出 0 ，( d = 0 ，2 ) ，故当r 2 时， ( 3 4 1 0 ) o 或2 ，由第二类广义积分收敛法则， 1 1 南一( r + 2 ) 时，1 2 c o 故将( 34 i 0 ) 和( 3 4 ，1 1 ) 代入( 3 4 9 ) 可得j o o 故条件( 4 ) 成立推论证毕 参考文献 | 1 1b a t e r n a i lh a n de r d e l y i a ，t a b l e so fi n t e g r a lt r a n s f o r m s ，m e g r a w h i l lb o o kc o n p a n y ， n e wy o r k ，1 9 5 4 2 】c h e nx i r u ，a s y m p t o t i c a l l yo p t i m a le m p i r i c a lb a y e se s t i m a c t i o nf o r p a r a n l e t e ro fo n e - d i 1 e n s i o nd i s e r e t ee x p 0 1 m n t i a lf a m i l i e s ，c h i n a n no fm a t h ，蛆( 1 9 8 3 ) ：4 1 5 0 f 3 1g r a d s h t e y n ，i s a n dr y z h i k ，im ，t a b l e so fi n t e g r a l ss e r i e s a n dp r o d u c t s ，a c a d e m i x p r e s s ，n e wy o r k ，1 9 6 5 4 1j o h n s ，mv ，j r a n dv a nr y z i n j ，c o n v e r g e n c er a t e si ne m p i r i c a lb a y e st w o a c t i o n d r o b i e mj d i s c r e t ec a s ea n n m a t h s t a t i s t 4 2 ( 1 9 7 1 ) ：1 5 2 1 1 5 3 9 1 5 】j o h n s ，mv ，j r a n dv a nr y z i nj ，c o n v e r g e n c er a t e si ne m p i r i c a lb a y e st w o a c t i o n d r o b l e mi i 、c o n t i n u o u sc a s e ，a n n m a t h s t a t i s t 4 3 ( 1 9 7 2 ) ：9 3 4 9 4 7 f 6 1k a r u n a m u n i ，r j a n dy a n g ，h ，o nc o n v e r g e n c er a t e so f m o n o t o n ee m p i r i c a lb a y e st e s t s f o rt h ec o n t i n n o u so n e - p a r a m e t e re x p o n e n t i a lf a m i l y ，s t a t i s t d e c i s i o n s1 3 ( 1 9 9 5 ) ：1 8 1 1 9 2 f 7 1l a w l e s s ，j f ，s t a t i s t i c a lm o d e l sa n dm e t h o d s f o rl i f e t i m ed a t a ，j o h nw i l e y s o n s ，n e w y o r k ，1 9 8 2 f 8 1l e e ，et ，s t a t i s t i c a lm e t h o d sf o rs u r v i v a id a t aa n a l y s i s ，j o h nw i l e y s p m s ，n e wy o r k ， 1 9 9 2 1 9 l i a n g ，tc ，o n t h ee o n v e r g e i l e er a t e so fe m p i r i c a lb a y e sr u l e sf o rt w o - a c t i o np r o b l e m s ： d i s c r e t ec a s e ，a n n s t a t i s t ，1 6 ( 1 9 8 8 ) ：1 6 3 5 - 1 6 4 2 10 1 l i a n g ，tc ，a ni m p r o v e de m p i r i c a lb a y e s t e s tf o rp o s i t i v ee x p o n e n t i a lf a m i l i e s ，s t a t i s t i c a n e e r l a n d i c a ，5 6 ( 2 0 0 2 ) ：3 4 6 - 3 6 1 11 1 l i n ，p e 】r a t e so f c o n v e r g e n c ei ne m p i r i c a lb a y e se s t i m a t i o np r o b l e m s ：c o n t i n u o u sc a s e ， a n n s t a t i s t ：3 ( 1 9 7 5 ) ：1 5 5 1 6 4 1 2 1p e n s k a y a ，m ，ag e n e r a la p p r o e z l a t o n o n p a r a m e t r i e e m p i r i c a lb a y e s e s t i m a t i o n ，s t a t i s t i c s ， 2 9 ( 1 9 9 7 ) ：6 1 8 0 1 3 1p e n s k a y a ，m ，ag e n e r a la p p r o a c h t oe m p i r i c a lb a y e se s t i m a t i o n ，t e c h n i s tr e p o r t ，d e p a r t - m e a to fm a t h e m a t i c a ls t a r , t i c s ，u n i v e r s i t yo fl u n da n dl u n di n s t i t u t eo ft e c h n o l o g y ， 1 9 9 3 i 4 1r o b b i n sh ，a ne m p i r i c a lb a y e sa p p r o a c ht os t a t i s t i c s ，p r o ct h i r db e r k e l e ys y m p m a t h s t a t i s t p r o b ，b e r k e l e y ：u n i vo f c a l i f o r n i ap r e s s ，1 ( 1 9 5 5 ) ：1 5 7 - 1 6 3 1 5 1r o b i n s ，h ，t h ee m p i r i c a lb a y e sa p p r o a c ht os t a t i s t i c a ld e c i s i o np r o b l e m s ，a n n m a t h s t a t i s t s ，3 5 ( 1 9 6 4 ) ：1 - 2 0 1 6 】s i n g h ，r s ，e m p i r i c a lb a y e s e s t i m a t i o nw i t h c o n b e r g e n c er a t e s i nn o n c o n t i n u o u s l e b e s g u e e x p o n e n t i a lf a m i l i e s ，a n n s t a t i s t ，4 ( 1 9 7 6 ) ：4 3 1 - 4 3 9 1r j s i n g h ：r s e m p i r i c a lb a y e se s t i m a t i o ni nl e b e s g u e e x p o n e n t i a lf a m i l i e sw i t hr a t e sn e a r t h eb e s tp o s s i b l er a t e ，a n n s t a t i s t ，7 ( 1 9 7 9 ) ：8 9 0 - 9 0 2 18 s i n g h rs a n dw e il s ，e m p i r i c a lb a y e sw i t hr a t e sa n db e s tr a t e so fc o n v e r g e n c ei n u ( z ) e 印( 一x o ) 一f a m i l y ：e s t i m a t i o nc a s e ，a n n i n s ts t a t i s t m a t h ，4 4 ( 1 9 9 2 ) ：4 3 , 5 - 4 3 9 19 s i n g h ，rs ，w e i ，ls ，n o n p a r a m e t r i ce m p i r i c a lb a y e sp r o c e d u r e s ，a s y m p t o t i co p t i m a l i t y 2 5 兰里壁塾查堂塑堡圭 a n dr a t e so fc o n v e r g e n c ef o rt w o t a i lt e s t si ne x p o n e n t i a lf a m i l y ，n o n p a r a m e t r i cs t a t i s t ， 1 2 ( 2 0 0 0 ) ：4 7 5 5 0 1 2 0 1 v a l lh o u w e l i n g e n ，j c ，m o n o t o n ee m p i r i c a lb a y e st e s t sf o rc o n t i n u o u so n e p a r a m e t e re x p o u e n t i a lf a m i l y ，a n n a l so fs t a t i s t i c s4 ( 1 9 7 6 ) ：9 8 1 9 8 9 f 2 tlw e i ，l s ，a ne m p i r i c a lb a y e st w o - s i d e dt e s tp r o b l e mf o rc o n t i n u o u so n e - p a r a a n e t e re x p o n e n t i a lf a m i l i e s ，s y s t e m ss c i e n c ea n dm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，2 ( 1 9 8 9 ) ：3 6 9 3 8 4 f 2 2 1y a n g ，y a n dw e i ，l s ，c o n v e r