（运筹学与控制论专业论文）基于均匀设计的稳健设计模型和经济设计模型.pdf

摘要 日本的田口玄一博士提出的参数设计或稳健设计技术是在产品设计开发阶 段减少产品的性能波动，提高设计质量的一种有效的手段。在参数设计中，如何 减少质量特性的波动是实验设计与分析的重点。均匀设计是我国的统计学家方开 泰先生针对实验因子水平较多时，设计的一种高效的试验方法。该方法旨在用最 少的试验次数建立实验数据的回归模型。在均匀设计中，如何选取合适的水平组 合使实验结果得到置信度较高的响应曲面是研究与分析的重点。 本文在系统地回顾稳健设计和均匀设计国内外研究现状的基础上，对稳健设 计和均匀设计以及双重响应曲面法进行了深入地分析比较。充分利用均匀设计与 田口方法优缺点之间所具有的强烈互补性，提出了均匀稳健设计的均匀内外表法 和田口方法的三阶段稳健设计策略。建立了相应的均匀稳健设计模型和经济模 型，并利用实例对模型的实施流程和结果作了验证。同时，本文还重点研究了输 入因子和噪声因子共同作用下的响应情况，提出了波动是由可控因子波动和噪声 因子造成的波动两个部分，并进一步得到了此种情况的稳健性和经济性模型，其 研究更符合实际情况。 本文的研究特色与创新之处主要表现在：提出了均匀稳健设计的均匀内外 表法，并提供了基于均匀设计的三阶段稳健设计策略；建立了基于均匀设计 的稳健设计模型和经济设计模型；对于连续情形，将输出响应的波动划分为 由可控因子波动和噪声因子波动造成的两个部分，研究了输入因子和噪声因子共 同作用下的稳健性模型和经济性模型。 本文的研究结果不仅能够避免因外表设计试验次数过多造成的效率下降，而 且能够评估各实验点的质量特性的稳健性。稳健性和经济性模型可便捷地找到稳 健最优解，并可直接用于指导生产，具有很强的实际应用价值。 关键词：田口方法，均匀设计，稳健设计，均匀稳健设计，响应曲面方法 a b s t r a c t o r i g i n a t e db yd r t a g u c h i ，p a r a m e t e rd e s i g n i s a l w a y s a ne c o n o m i c a la n d e f f e c t i v ea p p r o a c ht or e d u c ev a r i a t i o ni np r o d u c t sa n di m p r o v ep r o d u c tq u a l i t yd u r i n g t h ep e r i o do fd e s i g n i n g t h r o u g hf i n d i n gt h ea p p r o p r i a t ep a r a m e t e r sc o m b i n a t i o n ，t h e p a r a m e t e rd e s i g nm a k i n gq u a l i t ya t t r i b u t et h a ti sn o ts e n s i t i v et ot h ei m p o r t a t i o n ，t h u s r e d u c et h ea m o u n to f p r o d u c t sv a r i a t i o n u n i f o r md e s i g n ，w h i c hi sc r e a t e db yd r k t f a n g , e m p h a s i z et h em o d e ld e v e l o p i n gd a t af r o me x p e r i m e n t a ld a t ab yl e s sr u n i nt h e p r o c e s so fu n i f o r md e s i g n ，t h ef o c u so ft h ee x p e r i m e n t a t i o ni sc h o o s i n gf a c t o rl e v e l s u i t a b i l i t ys ot h a tw ec a ng e tap r e c i s i o nm o d e l i nt h i sd i s s e r t a t i o n , at h o r o u g ha n a l y s i so fa l lm o d e l so fr o b u s td e s i g na n d u n i f o r md e s i g ni ne x i s t e n c eh a sb e e nd o n eo nt h eb a s i so ft h es y s t e m i cr e v i e wo ft h e d e v e l o p m e n th i s t o r ya n dc u r r e n tr e s e a r c hs t a t u so f r o b u s td e s i g na n du n i f o r md e s i g n a f t e r w a r d s ，ag r o u p en e ws t r a t e g yo fu n i f o r mc r o s st a b l ed e s i g np r o c e s so ft h r e e s t a g e sb a s e d o nu n i f o r md e s i g na n dt a g n c h im e t h o d si sa d v a n c e d , t h i sp r o c e s sm a k e s f u l lo ft h ei n t e n s ec o m p l e m e n t a r ya c t i o no fc h a r a c t e r i s t i c sb e t w e e nu n i f o r md e s i g n a n dt a g u c h im e t h o d s a f t e rt h a t , w ee s t a b l i s h e dt h eu n i f o r mr o b u s tm o d e la n d u n i f o r me c o n o m i cm o d e l ，a n dt h e nm a d ee o n f i r m a t i o nu s i n go n ee x a m p l e p a r t i c u l a r l y , t h ep r o b l e mo ff i t t i n gr e s p o n s em o d e lw i t ht h o s ec o n t r o lf a c t o r sh a v e v a r i a t i o nh a sb e e nd i s c u s s e di nt h i s 也e s i s a n dt h em o d e lw a sc o n s i s t e n tw i t ha c t u a l s i t u a t i o n si d e a l l y t h ec h a r a c t e r i s t i c sa n di n n o v a t i o no ft h i sp a p e ri s ：( 0 t h eu n i f o r mr o b u s td e s i g n h a sb e e np r o p o s e db a s e do nu n i f o r mp r i n c i p l ea n dan e ws t r a t e g yo fr o b u s t o p t i m i z a t i o nd e s i g np r o c e s so ft h r e es t a g e sb a s e do nu n i f o r md e s i g na n dt a g u c h i m e t h o d si sa d v a n c e d t h eu n i f o r mr o b u s ta n de c o n o m i co p t i m i z a t i o nm o d e lh a s b e e ne s t a b l i s h e db a s e do nu n i f o r n ld e s i g n f o rt h ec o n t i n u o u ss i t u a t i o n , w es t u d i e d t h eu n i f o r mr o b u s ta n de c o n o m i co p t i m i z a t i o nm o d e lw h i c ho u t p u tv a r i a t i o nw a s c a u s e db yi n p u tv a r i a t i o na n dn o i s ef a c t o r si n p u t f i n a l l y , t h i sp a p e rh a sg r e a ta p p l i c a t i o nv a l u ef o rt w oa s p e c t s o nt h eo n eh a n d ， w ec a na v o i di n e f f i c i e n c yb ym n si n c r e a s ew i t hu s i n gu n i f o r mr o b u s td e s i g n o nt h e o t h e rh a n d , w ec a nf i n dt h ea c c u r a c yo p t i m a ls o l u t i o ne f f i c i e n t l y k e y w o r d s ：t a g n c h i sm e t h o d , u n i f o r md e s i g n , u n i f o r m r o b u s td e s i g n ， 第一章绪论 伴随着全球经济一体化的发展和科学技术的进步，国内外市场的竞争h 趋激 烈，竞争的焦点是质量( q u a l i t y ) 、成本价格( c o s t p r i c e ) 、上市时间和产量 ( m a r k e t i n gt i m ea n dy i e l d ) 。任何企业要想在激烈的竞争中生存和发展，必须提 高质量，同时降低成本和提高效率，即达到西方人所说的全面质量( t o t a l q u a l i t y ) ( 参见 1 ， 2 ) 。质量促进了发展，发展提高了对质量的要求( 参见 3 ) ， 要达到全面有竞争力的质量，既需要质量管理的思想、方法和手段，也需要质量 工程技术的持续支持，最好是从实验设计出发，使用高效率的实验设计方法。因为 一般情况下设计投入的费用虽只占成本的5 ，但却决定了产品的质量和总成本 的7 0 ( 参见 4 ) 。 近来讨论比较多应用也比较广泛的试验设计方法有田口稳健设计、均匀设计 以及响应曲面设计等，各种实验方案都是致力于使设计方案尽可能简便，试验结 果最能体现质量属性和自变量的关系，以及实验结果可以直接用于指导生产这三 个方面。本文正是从这三个方面出发，首先构造均匀内外设计表，然后建立了稳 健型模型来衡量产品的稳健性，经济型模型来衡量产品生产的经济性，两者结合 用于指导生产，具有很强的应用价值和指导意义。 1 1 研究背景 上世纪二、三十年代，r o n a l da y l m e rf i s h e r ( 1 8 9 0 - 1 9 6 2 ) 在英格兰 r o t h a m s t e a d 试验站的开创性工作奠定了试验设计的统计原理，从而也在统计学 研究中开创了试验设计的方向。f i s h e r 意识到，只有当数据本身包含有效信息 时，对数据的统计分析才能提供有效信息；如果将统计思想应用于指导数据的收 集，那么就可能保证得到的数据包含有效信息。基于对试验设计的认识，f i s h e r 确定并提出了试验设计的三原则一重复、随机化和区组。这三条原则都是为了控 l 制误差或噪声因素的干扰，提高因素效应的估计和比较的效率，以后的试验设计 都是依照这三个原则建立的，并力图达到设计并制造出高质量、高可靠性、低成 本和短周期的产品。 最初，基于试验误差的随机性和独立性的假定，产生了重复与随机化两个试 验设计的基本原理。为了排除己知干扰源引起的变异性，产生了区组化的基本原 理。在多因子试验中，为同时研究各因子的效应，方差分析与析因设计( f a c t o r i a l d e s i g n ) 、部分析因设计( f r a c t i o n a lf a c t o r i a ld e s i g n ) 形成了相辅相成的一套方法。 当各因子是连续型变量时，为拟合响应变量随因子变动而变动的响应曲面模型， 并寻求因子水平的最优组合，产生了一套由回归设计、回归分析及优化方法集成 的响应曲面方法( r e s p o n s es u r f a c em e t h o d o l o g y ) 。在试验误差存在的情况下，为 追求统计推断的精确性，产生了最优设计理论( o p t i m a ld e s i g n ) 。出于减少模型失 拟或异常数据的影响的考虑，产生了设计稳健性( d e s i g nr o b u s m e s s ) 的概念。 后来，田口玄一博士在研究质量特性时候，为了解决产品质量特性的波动情 况，提出了著名的质量损失思想和三次设计实验流程。质量损失思想主要是假设 产品特性偏离目标值时就会造成损失，进而可以推广到产品性能输出服从正态分 布的情形；三次设计同样以减少产品性能稳健性为目标，主张选取合适的参数组 和，使得产品的质量指标对于输入因子的波动不明显。在日本，正交试验设计和 三次设计技术已成为企业界人士、工程技术人员、研究人员和管理人员必备的技 术，日本认为其电子产品能够打进美国市场、畅销世界各国的秘诀之一就在于运 用正交试验设计和三次设计这个得力工具，在日本把试验设计技术誉为“国宝” ( 参见【5 ) 。均匀设计则由我国著名统计专家方开泰博士和王元院士等提出( 参见 6 】，【7 】) ，其主要思想是保证试验组合在试验空间中的均匀性，从而试验的结果 能更好的代表质量特性在整个空间上的响应情况。响应曲面方法来源与最基本的 函数自变量与因变量的关系，后来为了达到目标值波动较小目标值的选取，发展 出了用一个函数曲面衡量响应函数的均值，另外一个曲面衡量函数的波动的双响 2 应曲面方法。最初的双响应曲面法是m y e r s 等于1 9 7 3 年提出仅用于衡量响应情 况( 参见【8 】) ，v i n i n g 等在1 9 9 0 年用它来解决稳健设计中的参数设计问题，并且 存1 9 9 6 年把双响应曲面法应用于稳健设计( 参见 9 】， 1 0 】) 。此方法有很好的数学 基础，首先建立最符合实际情况的响应函数，通过函数来寻求最优解来进行选优 或预测，而且通过半试验设计拟合出响应面模型进行优化，从而可以减少试验次 数和克服需预先知道最优解大致范围的不足。 本文首先研究了均匀设计，田口稳健设计以及响应曲面方法的优缺点，发现 均匀设计虽然有很高的效率，但是不能很方便衡量产品质量特性的稳健性；田口 稳健设计虽然能很好的衡量产品的稳健性，但是在因子水平多的时候试验次数呈 因子水平的四次方增长，导致试验效率大为下降；响应曲面方法虽然数学基础最 强，但是同样需要很多试验次数而且容易陷入局部最优。针对上述不足之处，本 文提出了用均匀表作为田口设计的内外表，并结合拟合曲面分析的方法来处理数 据的稳健性和经济性模型，并对新模型的实施方法、注意事项、最优解的选取以 及预测做出了一系列分析，具有很强的理论研究意义和实际应用价值。 1 2 相关内容的国内外研究现状 通常所说的实验设计( d o e ) 是指以概率论、数理统计和线性代数等为理论基 础，科学地安排实验方案，正确地分析实验结果，尽快获得优化方案的一种数学 方法。在企业研发和管理实践中，为了开发设计研制新产品、更新或改进老产品， 优化生产工艺方法或流程，或者降低原材料、动力等资源消耗，都需要深入研究 质量特性与影响因素的关系。下面着重介绍田口方法、均匀设计方法、经典响应 曲面方法的思想以及研究现状。 1 2 1 田口方法及研究现状 田口方法注重实验设计与工程技术的结合，提出稳健性设计的思想，在实 验中综合考虑误差因素，寻求设计参数的优化配置，从而获得较为稳定的输出质 量特性。田口方法强调均值与方差的综合优化，寻求相对满意解，实验设计与分 析过程相对简单易用，追求质量与成本的均衡。田口的稳健设计主要包括质量损 失思想、信噪比方法、三次设计三个方面，目前研究主要集中在能有效的考虑多 因子高水平情况下产品性能的稳健性以及怎样对多质量属性产品整体稳健性进 行衡量。 1 质量损失思想 质量损失思想是田口方法的理论基础。田口认为：“所谓质量是商品上市后 给予社会的损失。但是，由功能本身所产生的损失除外。”田口则认为只要质量 特性值偏离目标值就会产生质量损失，而且偏离越大产生的质量损失越大，同时 他认为决定产品规格限的不应是工程师而应是消费者容许的界限( 参见 1 1 ) 。为 此，田口提出了著名的质量损失函数 l = 露( _ ，一矿 ( 1 2 1 ) 其中l ( y ) 质量指标y 偏离目标值t 时造成的质量损失，其中的系数k 由产 品本身来决定，是一个常数。从质量损失函数可以得到，质量指标偏离目标值越 远，造成的质量损失越大。质量损失函数的示意图为 k j 厂一 剧h z 。 i ： ! 图1 1 质量损失函数示意图 i 脱 在生产的过程中，由于一系列不可控制的因素的影响，使得产品功能的输 出一般服从正态分布，所以质量特性输出的整体偏差可以用输出质量特性的方差 来衡量，故在产品生产过程中质量损失函数也可以用下面式子来衡量 4 l ( y ) = k 盯2 ( 1 2 2 ) 从上面式子不难看出，质量损失函数体现了产品设计中的一个重要原则就 是要尽量减小波动。 2 信噪比方法 田口的信噪比思想的提出主要用来解决质量的波动问题。对于一个声音输 出设备来说，输出信号的增大会带来噪声随之增大，那么单纯衡量产品噪声的绝 对值便不能很好衡量产品的性能。田口则从输出和噪声的关系出发，认为如果输 出和噪声的比值越大，那么产品的性能相应的就会好，反之，如果比值小就说明 产品的性能不好。于是田口给出下面的信噪比公式 r = ( 1 2 3 ) 其中刁表示信噪比，s 表示信好的输出量，n 表示噪声的输出量，所以信噪 比又叫做s n 比。同样在生产过程中，由于各种不确定因素影响，使得输出总在 目标值周围波动。于是田口把信噪比的思想推广到了一般的模型为 ，7 ：1 0 l o g ( 1 2 4 ) 其中和仃2 分别为质量特性输出值的期望与方差。从上面的公式可以知道， 信噪比很好的衡量了产品输出的性能，即很好的考虑了输出值的波动情况。对每 一个响应值来说，信噪比越大就证明产品的质量特性的稳定性越好。这里需要注 意的一点是田口将信噪比方法分为三类，分别是望日、望大和望小，并分别用不 同方法处理，但是经韩之俊等人的发展，这三类指标都可以用一种统一的方法处 理( 参见 1 2 ) 。同时信噪比没有量纲，且对各个指标都用统一的标准进行度量， 故可以用信噪比的和作为多个质量指标的最优性衡一个衡量指标。经典的田口方 法用各个质量指标的信噪比的和来衡量系统的最优性，其公式为 ，r r - - r h = z l o l o g 丁i t k - ( 1 2 5 ) 1i = i u k 由于各个质量指标的属性及其重要程度不同，所以求和并不能很好的体现 产品整体最优性。所以现在的研究重点在怎样选取合适的整体稳健性指标，使得 指标能更好的体现产品性能的整体最优性。 3 三次设计 在试验事实上，为了选到质量性能最稳健的参数组合，田口提出了著名的 三次试验方法。三次试验的三个部分分别是：系统设计，参数设计和容差设计。 在系统设计阶段，主要解决的是因子的选取和消除稳健性的问题，以及目标值的 调整可行性问题；在容差设计阶段，主要解决的是原材料的定界问题，这方面一 般都是由专业的人士来做的，故这两部分不做太多的讨论。 在参数设的主要目的选取适当的试验参数( 可控因子) 组合，使产品的质量 特性对输入的噪声因子不敏感。为了结决参数组合的选取问题，田口提出了著名 的内外正交表方法，既由各可控变量的正交表组成内表，用不可控变量或者说是 噪声因子组成的变量组成的正交表组成外表，两者之间作乘积试验，从而分析每 一参数组合在各种外界条件变化的情况下的波动情况，再使用信噪比( s n 比) 得 到最佳参数组合。 如下图为是一个4 个可控因子和3 个噪声因子的内外设计表。每个可控因 子3 个水平，每个噪声因子2 水平，共3 6 试验，以内表的9 个不同水平组合分为 9 组，具体的试验安排表为： 6 表1 四个3 水平可控因子和3 个2 水平噪声因子的内外正交表 结表 122l n 迭 bl212 数据分析 1l22 n o abcd y iy 2y 3y 4均值 方差s n 比 l 1ll l y l ly t 2y 1 3yj 4 “ 0 1 2 n l 21222 y 2 1 y筮yy 2 4 地 o2 2 n2 31333 y j i y 3 2 y y 3 4 坞d 产n 42123 y 4 1y ny 4 3 山o ，q 52231 如iy 鸵弘3y 爿 o ，n 623l2 y 6 l阳 0 ，n 73l32 y 7 1抚期y 7 4 冉 o 7 2nt 83 2 l3 y s l y s 2 y s 3y s 4 地 a ，n 9332i y 9 1 y 9 2y 9 3y 9 4 心o ，q 均值 y ty 2y 3y 4 “0 2 n 对于试验数为n = m * n ( 其中m 、n 分别为s 个可控因子在其相应的自变量 水平下的正交试验的试验个数及g 个噪声因子在其相应的自变量水平下的正交 试验的试验个数) 个试验后，第，个参数组合的质量指标的信噪比为 州”工o g 等 ( 1 2 6 ) 最后通过对各个参数组合信噪比值，从中选取最大的一组即是最优参数组 合。对于产品有多个质量指标的情形，设第k 个质量指标在第i 组参数组合的值 为= l o * l o g 等，则第后个质量指标在第珀匡参数组合的整体信噪比为 玩= = l o l o g 。等 ( 1 2 7 ) t = l = lu 村 同样，从所得的m 个整体信噪比的数值中选取最大的，对应的参数组合就 是产品质量最稳健的组合。 3 研究现状 由于内外正交表法需要的试验次数很多，严重降低了试验过程中寻优的效 率，故讨论怎样使试验次数降到可行就成了一个需要注意的问题。其中一个重要 7 的问题就是把试验的次数降低到可以接受的水平。相关方面的研究主要集中在使 区间划分更为仔细，以及把内外表设计的外表换为均匀表( 参见 1 3 ) ，和内外表 都使用均匀设计表的设计( 参见 1 4 ) ，但这两个文章只是简单衡量了信噪比变化 的情况，并没有从试验方法本身做出分析以及从衡量模型上加以改进。但是这两 种设计在试验次数上大大减少，使得因子较多或者水平较多的设计使用稳健设计 有了可能，但是他们的文章没有注意到使用均匀表的一个重要的好处就是应用计 算机求最优点时可以大大减小陷入局部最优的概率。 为了使实验的次数减少，田口建议把各个噪声因子看成一个来衡量，即综 合信噪比，因为这种方法并不是特别完善，直接使用甚至有时候还会出现倒退的 情形，所以现在一般的研究都不再讨论这种情况。而对多个质量指标整体最优的 性衡量用信噪比的和来衡量，而且由于产品的性能往往都由一系列指标构成，则 函数整体的稳健性参数组合可以由下面整体信噪比模型得到 肋倭彬叱，埘)l = lj ( 1 2 8 ) 由于整体信噪比只是一种衡量多个质量特性的比较简单方法，而且这种方 法并不是特别完善，所以怎样更好衡量多个质量特性的稳健优化设一个研究热 点。李泳鲜、孟庆国提出的以模糊理论为基础的一种信噪比模糊综合评判方法， 来解决显著性检验中的跨水平问题( 参见 1 5 ， 1 6 ) ；刘玉敏、徐济超、马义中 认为现在处理多目标问题采用的协方差矩阵，仅反映了各个指标的波动及两个指 标之间的相关性，而不能刻画多个指标的整体波动，为此其引用信息论中有关熵 的概念，而建立了一个多指标的稳健设计的一般模型( 参见 1 7 ， 1 8 ) ，其提出 的整体信噪比为 玎= ( 1 2 9 ) 式中e ( 毛) 为，= ( 乃y 2 y r ) 7 的主成分的数学期望。国外则有等利用 五一t r a n s f o r m a t i o n 法和r e f e r e n c ep o i n ta p p r o a c h 解决离散的多目标问题( 参 8 见 1 9 ) 一 2 1 3 ) 。fm i s t r e e 则提出用计算机模拟和叭叶斯决策结合来解决多目标 问题( 参见 2 2 ) 。 关于如何衡量产品性能整体最优还有另外一种方法，就是直接利用推广的 损失函数l ( y ) = k 2 来进行产品稳健性的衡量，这样的好处是在求综合指标的时 候有统一的指标和度量。文献ar o b u s to p t i m i z a t i o na p p r o a c hu s i n gt a g u c h i s l o s sf u n c t i o nf o rs o l v i n gn o n l i n e a ro p t i m i z a t i o np r o b l e m s ( 参见 2 3 ) 提到直接以质量损失函数为优化目标，应用双响应面法的思想，将质量损失函数 分解成均值和方差c r 2 分别建模，然后利用s i ( s e n s i t i v i t yi n d e x ) ( 参见 2 4 2 5 ) 或是c p ( c o m p r o m i s ep r o g r a m m i n g ) 及效用函数( u t i l i t y f u n c t i o n ) ( 参见e z 6 ) 进行加权处理，统一优化目标。本文正是基于这种思想， 采用了效用函数方法建立了衡量多质量特性产品波动的稳健性和经济性模型。因 为在选取最优值以后，必需对具有良好特性的调整因子进行调整，才能使产品的 性能达到目标值，而且保持稳健性。在本文中设计结果为了同时考虑响应值和波 动，并且考虑输入存在波动的情况，我们假设模型是可以稳健调整的，或者说可 以通过附加系统的加入使得质量属性达到目标范围内，但是要相应的有一部分调 整花费。设调整后响应值的期望刚好就是目标值f ，这样造成的损失就变成了全 部由波动造成的偏差造成的。 1 2 2 均匀设计及研究现状 均匀设计方法是由我国著名的统计专家方开泰先生在8 0 年代建立( 见引文 5 ， 6 ) ，其目的旨在用最少的试验建立质量特性和指标的回归函数，从函数 关系出发，可以很容易估计出全空问上的响应值情况，进而寻找最优参数组合， 从而有很高的估计效率。而且在用及计算机寻找最优点时候，可以以均匀设计点 的每个设计点出发寻找最优点，大大减少了找到局部最优解的概率。 因为是在试验空间中选取一系列点进行试验，所以就要求试验点均匀设计 9 的理论基础是使利用偏差来衡量设计点在试验空间中的均匀性，从而保证试验点 在试验空间上均匀分布。正交实验设为了试验有代表性而且数据容易处理，要求 试验点在试验空间上均匀分布，整齐可比，而均匀设计为了提高实验效率去掉了 整齐可比的性质，利用计算机等方法进行数据分析。同正交实验一样，均匀设计 的发明者方开泰等用改进的i i l ：、c l 2 、s l 2 偏差来衡量均匀性，并给出了常用因 子以及水平上的均匀使用表。在具体使用过程中，常用的均匀设计表都可以在均 匀设计主页( 丛p ；! 塑型：堡垒些：b 丛女：! 血：h k 些i q ! 迦i g ! ) 上得到。下面是一 个4 个3 水平因子的正交设计表和以及4 个5 水平因素的均匀设计表 表2 四个3 水平因子的正交设计表 abcd lllll 21222 3l333 42l23 52231 6 2 3l 2 7 3l3 2 832l3 93321 表3 四个5 水平因子的均匀设计表 ab c d l33l5 245 3 l 3l444 45213 52122 从上面两表可以看出，正交实验试验次数至少为因子水平的平方，而均匀设 计只要在每个水平作一次试验，试验总数仅为因子的水平数，在各因子水平不同 l o 的时候也加以变化，但是并不会增加太多试验次数。从而，我们可以知道均匀试 验设计在效率上比正交实验设计有很大提高，但是也存在试验点过少得不到结果 可能性，需要结合对系统本身的认识加以数据分析和确定改进方向。 目前，有关均匀设计的研究也主要集中在三个方面，1 ) 使得偏差准确且容 易计算，2 ) 使得偏差来能够更灵敏的衡量均匀性，3 ) 使得原点在偏差中的特殊的 地位一般化。这三个方面又是相辅相成、缺一不可的，故给出一个三方面都有改 进的试验设计非常困难。所以现在的大多数研究都是结合系统工程学，找到其中 某一类试验中偏差做出改进，然后进行设计。但是一般来说，好的均匀设计一般 应该满足下面几点： 1 容易计算，便于实际应用，有比较直观的几何解释； 2 对不同的设计敏感，能较大程度地加以区分： 3 考虑到低维投影的均匀性； 有关这些性质的具体含义及研究可以参见文献2 7 2 9 ，而且通过这些文章知 道，m l ：、c l 。、s l ：偏差都能很好的符合上述三条性质，由其构造出的均匀设计表 在实验中使用将有较好的数学性质。 1 2 3 响应曲面设计及研究现状 响应曲面模型分两个阶段，因子实验是第一阶段，用于建立一阶数学模型， 从而可以分析出重要影响因素与输出的变化规律，确定最优的因素组合。 然后用追加中心点的方法对模型拟合误差进行分析，判断是否存在曲率。 当发现曲率存在则进入第二阶段，选择响应曲面模型方法( 常见的有中心复合设 计与b o x - b e h n k e n 法) 拟合二次回归方程，并绘制出响应曲面与等高线图。利用 响应曲面与等高线图，工程师可以清楚地看到重要影响因素与输出的规律变化， 当由于考虑到经济与技术的均衡而避开一些限制条件而寻求次优点时，或者当响 应曲面存在的最大最小值位于实验区域之外时，借助等高线可以直观地找出优 化值。 1 l s h o e m a k e r 等人在1 9 9 1 年。l u c a s 在1 9 9 4 年讨论了用响应曲面方法进行试 验设计的问题，并给出了一系列实施的方法( 参见 3 0 ， 3 1 ) 。一般来讲响应曲 面设计分两个阶段，因子实验是第一阶段，用于建立一阶数学模型，从而可以分 析出重要影响因素与输出的变化规律，确定最优的因素组合。然后用追加中心点 的方法对模型拟合误差进行分析，判断是否存在曲率，如果存在曲率则利用数据 构造二次回归方程。 相应于建模方法，人们采用组合表法( c o m b i n e da r r a y ) 替代田口的直积法 进行试验设计，也即当噪声因子在实验室条件下可控时，将噪声因子和可控因子 等同处理，同时设计；当噪声因子在实验室条件下也不可控时，选择可控因子的 部分水平组合进行少量的重复。这种设计思路主要是想充分利用模型假定的信息 来减少试验次数并衡量产品的稳健性，同时也可充分地将传统的设计方法用于参 数设计，但是组合表方法由于因子太多，因子之间的交互作用更加不清楚，考虑 了噪声因子的均值响应函数实际上是一种对资源的浪费。在响应曲面方法的基础 上，v i n i n g 讨论了双重响应曲面模型的设计方法，该方法把响应值和波动分开 考虑，有利于同时考虑响应和误差情况( 参见 1 0 ) ，但此种方法建立模型需要的 试验次数更多，所以基本上停留在理论的阶段。 1 3 本文主要研究内容 本文首先研究了田口稳健设计和均匀设计的特点，并针对田口方法试验次 数过多和均匀设计不能很好考虑产品的稳健性的特点，提出了用均匀内外表来安 排实验的实验方法。新的实验方法在因子水平数较多的时候具有很高的效率，它 不仅使实验的次数由因子水平的四次方降到了二次方，而且由于均匀分布的特 点，在知道产品质量指标响应函数的一些特征以后，还可以选取合适的因子水平， 使得试验数据刚好能够做出质量指标及其波动的响应函数，然后利用函数选取适 当的参数组合或者找到最优点。并且在寻求最优解的时候我们借助计算机，从每 一个试验点出发，均匀分布的设计点又大大降低了求最优解的时候陷入局部最优 的概率。 在本文第二章中酋先介绍了田口稳健设计、均匀设计以及响应曲面方法的 不足之处，然后给出均匀内外表的设计方案，最后给出均匀内外标的优点及使用 方法等；在第三章中首先综合了田口以及经典响应曲面方法衡量稳健性的方法， 然后分别对两种情形对系统不了解的离散模型以及对系统本身有了解的连 续模型建立了一系列对试验结果进行处理的模型。其中包括经典的只考虑系 统波动的稳健性模型；用信噪比衡量的只考虑噪声的稳健模型、考虑噪声和输入 波动的稳健模型；用质量损失函数来衡量的只考虑噪声经济稳健模型，同时考虑 噪声和输入因子波动的经济稳健模型，以及加入成本函数的生产指导模型。本文 在建立这些模型的基础上，还把这些模型推广n t 多质量指标的情形，这些模型 能使工程技术人员更加方便的比较产品稳健性以及经济性情况，以便在两者出现 背离时候做出较好的决策。在第四章中对一个简单的例子进行了处理，在例子中 的数据使用计算机模拟得到的，首先假设模型是离散的，处理各个模型后得到了 一系列结果；随后假定对系统情况有了一定了解，利用模拟时用的公式把系统看 作连续型处理，最终可以预测所有参数组合上的稳健性和经济性或者直接找到最 优解。 用均匀设计表作为内外表也解决了三次设计中试验次数过多导致试验物无 法进行的和均匀设计无法有效衡量产品稳健性的问题。稳健模型最优设计的目标 在考虑噪声造成产品性能的波动同时还考虑了由输入造成的波动；经济稳健模型 的目标同样考虑了输入噪声和输入因子造成产品性能波动产生的损失；经济生产 模型一方面考虑了产品性能造成的损失，一方面考虑了产品的成本，能更好的指 导生产。文中离散型模型可直接用于指导生产或验证结果，而连续型模型则用来 预测或寻优，从而构造了一种简便实用的模型可直接用于指导生产的模型。 1 。4 研究的特色与创新之处 试验设计地提出以来，一直向着方便快捷提高产品质量的方向迈进。各种 试验设计有不同的方案选取方法和指标的衡量方法，但是从试验设计的本质来 说，试验设计就是求一个可控因子组和空间上使得所衡量指标最优的解( 参见 3 2 3 ) 。故本文在以前研究的基础上，把试验设计的问题用一系列非线性模型来 求解，使得试验设计的目的性更加明确。 本文的研究特色与创新之处主要表现在： ( 1 ) 提出了均匀稳健设计的均匀内外表法，并提供了田口方法的三阶段稳 健设计策略。利用均匀稳健设计的均匀内外表法安排试验设计方案，不仅避免田 口内外表设计试验次数过多造成的效率下降，而且能够评估各实验点的质量特性 的稳健性情况。 ( 2 ) 建立了基于均匀设计的稳健设计模型和经济设计模型。利用稳健性和 经济性模型对试验数据及进行处理，可以方便的找到稳健最优解，并提供实际生 产过程的质量改进方向。 ( 3 ) 对于响应情况可以做出拟合函数的模型，将输出响应的波动划分为由 可控因子波动和噪声因子波动两个部分，研究了输入因子和噪声因子共同作用下 的稳健性和经济性模型。 本文的研究结果不仅能够避免田口内外表设计试验次数过多造成的效率下 降，而且能够评估各实验点的质量特性的稳健性。稳健性模型可便捷地找到产品 稳健最优解，经济性模型在考虑产品的稳健性的同时考虑了生产的经济性，可以 直接用于指导生产。 1 4 第二章均匀稳健设计的提出 为了克服田口稳健设计方法中试验次数过多带来的一系列问题，本章首先 分析了常用的三种实验方法的原理，结合这些实验方法的优点，提出了把均匀设 计表用于田口内外表的均匀稳健设计实验方法，指出了该实验设计方法的优点以 及使用的注意事项，并提供了均匀稳健设计的实施流程。 2 1 常用三种方案的原理及不足 在这一节里面着重介绍田口内外表设计、均匀设计以及响应曲面方法的原 理以及不足，并分析可能改进的方向。 2 1 1 田口设计的原理及不足 田口质量损失函数导出的过程如下：假设第i 个消费者买了质量特性值为y 的产品，t 年后产生的经济损失为厶( f ，y ) 。那么每一个产品产生的质量损失可以 由下面式子来衡量 l ( y ) 2 专喜r 厶( w ) 出 ( 2 1 1 ) 其中( f ，y ) 表示在某个t 因故障产生损失，而在其它的处损失为0 的不连 续复杂函数。所有消费者为n ，则l ( y ) 表示设计寿命为t 年的产品的实际平均质 量损失函数。事实上因为这样的函数很复杂，所以我们一般用损失函数的近似值 来表示真正的质量损失函数。如果设t 为目标值的化，不失一般性，我们设损失 函数满足下面两个条件 l ( t ) = 0 l ，( t ) = 0 然后把损失函数在t 点做泰勒展开，于是损失函数可以表示为 l ( y ) =- t ) 2 + 在这里不考虑泰勒展式的3 次项，因为它表示y 比i l l 越小越有利，同时忽略 4 次以上的项，则损失函数l ( y ) 可用于目标值偏差的平方项近似，即 l ( y ) 2 专喜r 厶( ) 斫 ( 2 l 2 ) 损失函数刚好表明了质量特性值偏离目标值就会产生质量损失。而且偏离 越大产生的质量损失越大，如果定义了调整函数，那么目标值可以设在任意值。 这时质量损失函数就很自然的从公式( 1 2 1 ) 推广到( 1 2 2 ) ，也正是基于后者本 文在第三章中建立了经济性模型。 如果通过内外表得到了一组数据，那么一般用、o - ：的无偏估计来代替期 望值和方差本身。从统计知识可以知道、c r 2 、z 2 的无偏估计分别为 丘= 夕= 去喜乃 铲= s 2 = 上疗- - 1 窆i = l ( 乃一歹) 2 丘z ：歹z 一竺 若记= 矽3 = 吉( 喜咒 2 ，则信噪比可由下面的式子表示 刁：毋：去( s 可- 一s g 为了便于比较，田口一般对上式取对数乘以1 0 的方法来进行处理，- - t y 面 刚好和声音的分贝值对应，另一方面便于数据的处理，公式可化为 删眦昭挈 弦， 对每一个响应值来说，信噪比越大就证明产品的质量特性的稳定性越好。 对于多个质量指标来说，因为信噪比是比值没有量纲，所以可以直接求和得到整 体信噪比。整体信噪比也有很多缺点，例如望目和望大就不能一起处理，这个问 1 6 题已经在文献关于田口方法中望大特性信噪比的改进( 参见文献 1 2 ) 中解决，故 本文假设所有质量指标都是望目的。另外，由于每个质量指标公差和输出值的不 同，不同质量指标的信噪比要求也是小尽相同的，所以在求和的时候应该加上相 应的重要程度。还有，如果多个质量特性有交互作用的话，那么分析就变得困难 以至于无法进行。即使田口自己也明白，交互作用常常是难以避免的，故他建议 在试验设计时采用l 。l 。k 等正交表作为内表。他认为使用这些正交表可使可 控因子间的交互作用均匀地分布在所有列上，即使交互作用存在也不必去分析它 们。考虑交互作用处理方法主要有经典的方法如关键因子法等、用熵导出信噪比 方法( 参见 1 7 、 1 8 ) ，但是这些方法对实验要求太高，往往很难达到。所以 本文不进行交互作用的分析，而直接用响应函数方法处理。 因为损失函数和信噪比都是用来衡量波动的，所以必须有局部重复的实验 来模拟波动情况。为了避免波动的出现，找到对质量特性稳健的参数组合，田口 提出了著名的三次试验方法，其核心为选取最优参数组合的参数设计。三次设计 的三个部分是系统设计，参数设计和容差设计。 在系统设计阶段，主要解决的是质量指标及其界限的确定和试验因子的确 定的问题，这一块需要结合专门的工程技术来进行；在容差设计阶段，主要解决 的是原材料的定界以及进一步减少成本等问题，这方面一般都是由专业的人士来 做的，故这两部分本文不做太多的讨论。在参数设计阶段，为了结决参数的选取 问题，田口提出了著名的内外表方法，既由各可控变量的正交表组成内表，用不 可控变量或者说是噪声因子组成的变量组成的正交表组成外表，两者之间作乘积 试验，从而模拟正常生产状况时的质量指标变化情况。这样，对于因子和水平数 都不多且交互作用不显著的情形，便能很快得到稳健性或经济性最优解。 田口方法的优质高效使用方便性的特点使各个领域的人们都能很快的运 用，缩短产品开发周期，并能开发出具有良好稳健性的产品。正交稳健设计首先 提出了人们关心的产品质量特性的问题，是质量工程学的基础，而且质量工程学 的进一步发展，产品质量指标都是从顾客需求出发经过指标分析法量化而来的， 这也从一个侧面阐述了田口的质量观产品是为需求而设计的。同时内外表设 计思想也体现出它的优点：1 ) 能衡量产品在各点的性能波动；2 ) 应用正交表进行 设计，使结果具有可比性，可方便进行方差处理等。 所以总的来说，田口方法注重实验设计与工程技术的结合，提出稳健性设 计的思想，在实验中综合考虑误差因素，寻求设计参数的优化配置，从而获得较 为稳定的输出质量特性。田口方法强调均值与方差的综合优化，寻求相对满意解， 实验设计与分析过程相对简单易用，追求质量与成本的均衡。 但是内外表方法也有很多不足之处。首先的一点就是试验次数过多。从表2 的例子可以看到，一个四