（概率论与数理统计专业论文）一类分式随机场及相关spdes.pdf

南开大学学位论文原创性声明 本人郑。蓖声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究i j 作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位沦文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：i l p 鸟 m 7 年f 月i f 】 南开大学博士学位论文 一类分式随机场及相关s p d e s 作 者： 年级： 专业： 研究方向： 导师： 完成时间： 江一鸣 二零零三级 一令令= 缴 概率论与数理统计 随机过程及其应用 王永进教授 二零零七年九月 南开大学数学科学学院 j 二零零七年九月 d o c t o i a ld i s s e r t a t i o n 4cl a s so ff r a c t i o n a lr a n d o m f i e l d sa n dr e l a t e ds p d e s p h dc a n d i d a t e ： y i m i n gj i a n g s p e c i a l i t y ：p r o b a b i l t yt h e o r y a n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s r e s e a r c hf i e l d ： s t ，o c h 翻s t i cp r o c e s s e s a n dt h e i ra p p l i c a t i o n s a d v i s o r ：p r o f e s s o r y o n g j i nw a n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s n a n k a iu n i v e r s i t ) 7 ，t i a n i i n3 0 0 0 7 1 ，p r c h i n a s e p t 2 0 0 7 t o f a m i l y 0m y 醴： ：? 、 y i m i n gj i a n g s e p t 2 0 0 7 a l lr i g h t sr e s e r v e d a b s tr a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l yc o n s i d e rt w op a r t s i np a r ti ，w ed i s c u s sv a r i o u s t y p e so fl o c a lt i m e sf o rf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n sa n db i f r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o n s i np a r ti i ，w ed e v o t et os t u d y i n gh i g h e ro r d e rs t o c h a s t i ch e a te q u a t i o n s d r i v e nb yf r a c t i o n a ln o i s e s ，i n c l u d i n gc a h n h i l l i a r ds t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a l i o n s ( a b b r s p d e s ) f o i p a r t ，i i ) a s e do nt i l es t u d yo ft h el o c a lt i m ea n ds e l f - i n t e r s e c t i o nl o c a lt i m e f o raf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n 。w ed i s c u s sc o l l i s i o nl e t a lt i m e so ft w oi n d e p e n d e n tf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n s f u r t h e r m o r e ，w ee x t e n dt h e s el o c a lt i n l e s t ob i f l a c t i o n a lb r o w n i a nn m t i o n s ，w h i c hw e r ei n t r o d u c e db yr u s s oa n dt u d o l 。 ( 2 0 0 6 ) t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a r ta r ea 8f o l l o w s ：f i r s t l y ，t h ee x i s t e n c ea n d s m o o t h n e s so ft h ec o l l i s i o nl o e a lu m ea r ep x e y e dt o rt w oi n d e p e n d e n tf t a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o n s ，t h r o u g hl 2c o n v e r g e n c ea n dc h a o se x p a n s i o n m e a n w h i l e ，w e s t u d yt h er e g u l a r i t yo ft h ec o l l i s i o nl o c a lt i m ep r o c e s s s e c o n d l y , w ed i s c u s st h e l o c a lt i m ea n dt h es e l f - i n t e r s e c t i o nl o c a lt i m ef o rab i f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n a sw e l la st h ec o l l i s i o nl o c a lt i m ef o rt w oi n d e p e n d e n tb i f r a c t i o n a lb r o w n i a nm e - t i o n s i no r d e rt op r o v et h ee x i s t e n c ea n ds m o o t h n e s so ft h es e l f i n t e r s e c t i o nl o c a l t i m ea n dt h ec o l l i s i o nl o c a lt i n l e w ea l s ou s et h es t r o n gl o c a ln o n d e t e r n l i n i s mo f b i f r a c t i o n a lb t o w n i a , ni n o t i o n s ，b e s i d e sl 2c o n v e r g e n c ea n dc h a o se x p a n s i o n a t t h es a n l et i m e w ea r pc o i l ( e r n e ( 1w i t ht h es l l l o o t h l l e s so ft h e1 0 c a lt i m e m o r e o v e r ，t h er e g u l a r i t yo ft h el o c a lt i m ep r o c e s sa n dt h ec o l l i s i o nl o c a lt i m ep r o c e s s a r eo b t a i n e d f o rp a r ti i an a t u r a le x t e n s i o ni sf r o mf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o nt of r a c t i o n a lb r o w n i a nf i e l d t h e nw ep r o p o s eac l a s so fh i g h e ro r d e rs t o c h a s t i ch e a t e q u a t i o n sd r i v e nb yf r a c t i o n a ln o i s e sw i t hl i p s c h i t z i a nd l i f t so rn o n l i n e a rd r i f t s a tf i r s t ，w es t u d yh i g h e ro r d e rs t o c h a s t i ch e a te q u a t i o n sw i t hl i p s c h i t z i a nd r i f t s ， w h e r et h ef r a c t i o n a ln o i s et e r mi sf r a c t i o n a l i nt i m ea n dw h i t ei ns p a c e t h ei n t e g r a lo ft h i sn o i s ec a nb et r a n s f o r m e dt oi t 6i n t e g r a lo ft h es p a c e - t i m ew h i t en o i s e a sf o rt h ee q u a t i o n sm e n t i o n e da b o v e ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t t l e i l n l i l ds o l u t i o n a l s o ，t h er e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o ni so b t a i n e d m e a n w h i l e ， t h el a r g ed e v i a t i o np r i n ( i p l e ( a b b l l d p ) f o rt h ee q u a t i o nw i t has l n a l ln o i s ep e t 一 t i n 。b a t ，i o ni se s t a b l i s h e db yp r o v i n gt h ef r e i d l i n w e n t i z e l le s t i m a t i o n s s e c o n d ，a s at y p i c a le x a m p l eo fh i g h e re l d m s t o c h a s t i ch e a t e q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rd r i f t ，s w ec o n s i d e ras t o c h a s t i cc a h n h i l l i a r de q u a t i o nw i t hf r a c t i o n a ln o i s e sff r a c t i o n a l r 0 w n t i o n a l a t i o n 摘要 在这篇论义巾，我们主要考虑两部分内容：一是讨论分式布朗运动和双分 式布朗运动的各种类型的局部时问题：二是研究由分式噪声驱动的高阶随机热 方程的性质，其中包括c a h n h i l l i a r d 型随机偏微分方程。 第一部分，征研究分式布朗运动的局部h , - t 干a 自相交局部时的基础，我们讨 论两个独立分式布朗运动的相遇局部时，并目进步把这些局部时推j 至f l j r u s s o , f l j t u d m 。( 2 0 0 6 ) 提出的双分式布朗运动上。主要得到以下结果：首先，我们主 要运用l 2 收敛和混沌腱肝，证明j ，两个独立分式伽朗运动的相遇局部时的存在 性和光滑性，以及局部时过程的正则性。其次，针刘双分式布朗运动，我们考 虑一个双分式布朗运动的局部时、白相交局部时和两个独立双分式布朗运动的 扪遇局部时。在证明自棚交局部时的存在性和光滑性时，除了应用2 收敛和混 沌展开，我们还主要运用了双分式布朗运动的强局部4 i 确定性。另外，我们也 讨论了相遇局部时的光滑性和存在性。针对这些局部时过程，我们还得到其止 则性。 有了分式布朗运动，我们很自然地把它推广到分式随机场。因此征第 二部分中，我们提出类由分式噪声驱动的高阶随机热方程，其中漂移项 是l i p s c h i t z 的或非线性的。首先，考虑有l i p s c h i t z 漂移的高阶随机热方程，其 中噪声项关r 时间是分式的，关r 空间是白噪声的。而这类噪声的积分可以 转化为时空白噪声的i t 6 积分。我们研究这类方程的m i l d 解的存在唯一性和正则 一降。另一方面，通过f r e i d l i n w e n t i z e l l 估讣证明了这类方程的小噪声扰动大偏差 问题。其次，考虑。类典型非线性漂移的高阶热方- 程一随机c a h n h i l l i a r d 方程 ( 噪声项依然关于时间是分式的，关于空间是臼噪声的) 这类方稗在材! l ： 科 学中有很重要的应用。我们主要通过弱收敛的方法得剑它的唯一全局m i l d 解。 最后，我们引入一类新型的高阶随机热方程( 也叫随f j l a n d e r s o n 模型) 一一它没 有漂移项但是噪声项关于时窄舣参数都是分式的。这时候关于噪智的秋分需 要s k o r o k h o d 积分。在合适的希尔伯特空间里，我们构建了这类模型的唯解， 并且得到了解的l y a p u n o v 指数估计和正则性。 学科分类号：6 0 g 1 5 ，6 0 h 1 5 ，3 5 r 6 0 关键词：分式布朗运动，双分式布朗运动，局部时，自相交局部时，相遇局 部时，分式噪卢，高阶随机热力程，随术1 k c a h n h i l l i a r d j 程，随4 j t a n d e r s o n 模 型。 v摘要 a b s t r a c t 摘要 1i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g l 。o u n d 1 2m a i nc o n t e n t ，s c o n t e n t s 2l o c a lt i m e so ff r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n s 2 1f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n 3 2 2c h a o se x p a n s i o n - - 2 3c o l l i s i o nl o c a lt i m eo ff r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n s 2 3 1 s e l f - i i l t e r s e c t i o nl o c a lt i m e 2 3 2c o l l i s i o nl o c a lt i m e l o c a lt i m e so fb i f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n s 3 1d e f i n i t i o n so fb i f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n sa n dl o c a lt i m e s 3 2 e x i s t e n c ea n ds m o o t h n e s so ft h es e l f - i n t e r s e c t i o nl o c a lt i m e 3 3e x i s t e n c ea n ds i n o o t h n e s so ft h e ( c o l l i s i o n ) l o c a lt i m e 3 4 r e g u l a l i t 5 ，o i t h e ( c o l l i s i o n ) l o c a lt i m ep r o c e s s 4h i g h e ro r d e rh e a te q u a t i o n sw i t hf r a c t i o n a ln o i s e s 5 4 1p r e l i m i n a r i e s 。 4 2e x i s t e n c e 、u n i q u e n e s sa n dr e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o n 4 3 l a r g ed e v i a t i o np r i n c i p l eo ft h es o l u t i o n 4 3 1 m a i nt h e o r e mo fl a r g ed e v i a t i o np r i n c i p l e - 。 4 3 2 r e g u l a r i t yo ft h es k e l e t o n - - - 4 3 3 f r e i d l i n w e n t i z e l li n e q u a l i t y i i i 1 1 4 2 3 2 3 2 5 3 3 4 1 4 3 4 4 4 7 5 4 5 4 5 5 5 7 c a h n h i l l i a r de q u a t i o nw i t hf r a c t i o n a ln o i s e s 6 3 5 1 e s t i n l a t ，e so nt h eg i e e nf u n c t i o n 6 4 5 2w ( j a kc o n v e r g e n c eo fl o c a ls o l u t i o n s - 7 l 6a n d e r s o nm o d e l sw i t hf r a c t i o n a ln o i s e s 6 1s k o r o k h o di n t e g r a l v 8 3 8 3 7 7 9 0 o l11，l v ic o n t e 6 2 l y a p u n o ve x p o n e n te s t i m a t e s o ft h es o l u t i o n 6 3 r e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o n 7 c o n c l u d i n gr e m a r k s b i b l i o g r a p h y a c k n o w l e d g m e n t s r e s u m ea n dp u b l i c a t i o n s c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d 1 1 1r e c e l l ty e a i s t h p l 。eh a v eb e e ni n c l 。e a s i n gi n t e r e s t si ns t u d y i n gh 。a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o nd u et oi t sa p p l i c a t i o n sa so n eo ft y p i c a ls e l f - s i m i l a r p r o c e s s e si n v a r i o u ss c i e n t i f i ca r e a s ，i n c l u d i n gt e l e c o m m u n i c a t i o n s ，t u r b u l e n c e ，i m a g ep r o c e s s i n ga n df i n a n c e w h a t sm o r e ，b a s e do nf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，s o m ep e o p l e h a v ed e v e l o p e dm o r eg e n e r a ls e l f - s i m i l a rg a u s s i a np t o c e s s e sa n dr a n d o mf i e l d sa s s t o c h a s t i cm o d e l s ，s e ee g b o n a m ia n de m ，r a d e1 9 】c h m i d i t o 【1 0 a n db e n s o ne t 凸正f 4 1 s u c ha p p l i c a t i o n sh a v er a i s e dm a n yi n t e r e s t i n gt h e o r e t i c a lq u e s t i o n so n s e l f - s i m i l a rg a u s s i a np r o c e s s e sa n df i e l d si ng e n e r a l w i d e l yk n o w n ，a sa s e l f - s i m i l a rg a u s s i a np r o c e s s ，f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n i ss i m i l a rt ob r o w n i a nm o t i o n n a t u r a l l y ，w ee x t e n ds o m eq u a l i t i e so fb r o w n i a nm o t i o nt of i a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n f o re x a m p l e ，l o c & lt i m e sh a v eb e e n c o m p i e h e n s i v c l yc o n s i d e r e db ym a n ya u t h o r s b u th e r ew eo n l ym e n t i o nt h er e l a t e dw o r k so t f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n i n1 4 9 ，r o s e np l 。o v e dt h ee x i s t e n c e o fn o r m a l i z e ( 1i n t e r s e c t i o nl o c a lt i m eo ff r a c t i o n a lb l o w n i a nm o t i o ni nt h ep l a n e a p r o p o so ff r a c t i o n a lb r o w n i a ns h e e t s ，t h ee x i s t e n c ea n dj o i n tc o n t i n u i t yo ft h e l o c a lt i m e sw e r ed i s c u s s e db yx i a oa n dz h a n g 【6 3 1a sw e l la sa y a c h ee ta 1 阱2 f u r t h e r m o r e ，s i n c et h ec h a o se x p a n s i o nw a sf i r s tb r o u g h ti n t ot h es t u d yo f1 , ) c a l t i m e sb yn u a l a r t a n dv i v e 4 5 1 ，i th a sb e e ne x t e n s i v e l ye m p l o y e dt os t u d yt h e s e l f - i n t e r s e c t i o nl o c a lt i m ea n dc o l l i s i o nl o c a lt i m e c h a o se x p a n s i o n so fd o u b l e i n t e r s e c t i o nl o c a lt i m eo fb r o w n i a nm o t i o ni nr “a n dr e n o r m a l i z a t i o nw e r ec o n s i d e r e db yi m k e l l e re ta 1 【2 9 】h uh a sg i v e ne l a b o r a t er e s u l t sa b o u ts e l f - i n t e r s e c t i o n l o c a lt i m ef o rf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ( s e ef 2 6 】a n d 2 8 f o rm o r ed e t a i l s ) b a s e do nt h e s ew o r k s ，w ed i s c u s s e dt h ec o l l i s i o nl o c a lt i m eo ff r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o na n dp r o v e di t se x i s t e n c ea n dr e g u l a r i t yi nj i a n ga n dw a n g 【3 0 】 f 1 l r t h e r m o l e r u s s oa n dt u d o rf 5 1 1f i r s t ，d e v e l o p e dt h eb i f r a c t i o n a lb r o w n i a n l n o t i o n 蹦a1 1 1 0 1 eg e n e l a ls e l f - s i m i l a rg a u s s i a np r o c e s st h a nf r a c t ，i o n a lb r o w n i a n i n o t i o n 7 r u d o ra n dx i a of 5 7 ld i s ( u s s e dth em a l l i a v i nc a l c u l u so fb i f i a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n i nt h e s ea r t i c l e s ，t h e yp r o p o s e dl o c a lt i m ea n dg a v et ，h ee x t e n s i o no f v a l u e ds o l u t i o n sf o l ac l a s so fs p a t i a l l yh o m o g e n e o u ss p d e s b a s e do i lt h e m t h e r eh a v eb e e nm u c hm o r es t u d i e so nt h ef o l l o w i n gs p d e sd r i v e nb ys e c o n d o r d e rn o i s e s ( s e e ，e g 4 3 ，5 8 1 ，e t c ) 笔= 三舭堋u ) 圳u ) 户， w h e r e = 耋1 差，盯a r e s o m es p e c i f i e df u n c t i o n sa n d 户d e n o t e saw h i t en o i s e o raf r a c t i o n a ln o i s eo ns o m ep r o b a b i l i t ys p a c e ( q ，厂p ) p a r t i c u l a r l y ，i ff = 0 a n da ( u ) = 1 2 ，i nt h el i t e r a t u r e ( s e ee g 2 6 2 7 ，4 6 j5 8 1 ) ，t h ef o l l o w i n gs e c o n d o r d e rs p d e sh a v eb e e na l s os t u d i e di n t e n s i v e l y w h i c ha r ea l s oc a l l e ds t o c h a s t i c a i i r i e r s o nm o d p l s 丝：! + 让户 o t 2 。4 i nt h ec a s eo ffb e i n gaw h i t en o i s e ，nu a l a r ta n dz a k a i 【4 6 】e s l ，a b l i s h e dt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n w h e r e a s i n 【5 8 ，u e m u r at r e a t e dt h e o n e d i m e n s i o n a le q u a t i o nw i t hf ( t ，z ) = 曲( z ) ，w h e r ew ( x ) w a sas p a c en o i s e ，a n d h es t u d i e dt h eh 6 1 d e rc o n t i n u i t yo ft h es o l u t i o no nt h em o d e l i n 【2 6 】，h ug o tt h e l y a p u n o ve x p o n e n te s t i m a t e so nt h es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n sw i t hf r a c t i o n a l n o i s ep o t e n t i a l si nt w oc a s e s ：f ( t ，z ) = 曲月( z ) ( s t a t i o n a r yf r a c t i o n a lp o t e n t i a l ) a n df ( t ，z ) = 西爿( t ，z ) ( m u l t i p l i c a t i v ef r a c t i o n a lp o t e n t i a l ) u n d e ra p p r o p r i a t e a s s u m p t i o n so nh u r s tp a r a m e t e rh = ( h 0 ，h i ，h e ) i nt h es u c c e s s i v ep a p e r 2 7 ，h us t u d i e das i m i l a ra r g u m e n tb u tw i t hs p a c e t i m ew h i t en o i s ep o t e n t i a l s i n s t e a do ft h ef r a c t i o n a lo n e s l e t st u r nt qt h ef o l l o w i n gt y p i c a lf o u r t ho r d e r ( d e t e r m i n i s t i c ) c a h n h i l l i a r d e q u a t i o n ，w h i c h c i i sa ni m p o r t a n te q u a t i o ni nm a t e r i a ls c i e n c e s 象+ 。心乱= k a f ( “) ，叫 。 as t o c h a s t i cv e r s i o no ft h ee q u a t i o nw a sd e v e l o p e db yc a r d o n w e l ) e r i nf12 1 ，t h e a u t h o rp r o p o s e ds t o c h a s t i cc a h n - h i l l i a r de q u a t i o n sw i t hs p a c e t i m ew h i t en o i s e s 1 1 b a c k g r o u n d 3 o ns p a c ed i m e n s i o n sd 3 b oa n dw a n g 8 】c o n s i d e r e ds t o c h a s t i cc a h n h i t l i a l d e a i l a t i o n sw i t hl d v ys p a c e t i m ew h i t en o i s e s ，a r i de s t a b l i s h e dt h el o c a lm i l ds o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n s m o t i v a t e db yt h e s ew o r k s ，w ec o n s i d e rf o u r t ho r d e r s t o c h a s t i ca n d e r s o nm o d e l ，f o u i t h0 1 d e rs t o c h a s t i ch e a te q u a t i o n sa n ds t o c h a s t i c c a h n h i l l i a r de q u a t i o n sd r i v e nb yt r a c t i o n a ln o i s e s ( s e ee g 【6 ，7 ，3 2 1 ) i na d d i t i o n ，t h e r eh a v eb e e nm u c hm o r es t u d i e so nal a r g ed e v i a t i o np r i n - c i p l ef o rs p d e sw i t has m a l ln o i s ep e r t u r b a t i o n i ns o w e r s 【5 5 l ，t h ea u t h o r p r o v e dal d pf o rt h es o l u t i o no far e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hs m a l ln o n g a u s s i a np e r t u r b a t i o ni nt h es e to fo l h 6 1 d e r ( o 0 h h 、，h 2 ，t 、= j i i 酞b ? 1 一b ? 2 、d t ( 1 1 ) w h e r e6 ( ) d e n o t e st h ed i r a cd e l t a f u n c t i o no nr ，i e ，厶6 ( x ) f ( x ) d x = ，( o ) w e u s et h ef o l l o w i n ga p p r o x i m a t i o nt os t u d yt h ec o l l i s i o nl o c a lt i m e i 。( h 1 , h 2 , t ) = z 0 。( b 尸1 一b ，2 ) d ， w h e r ep 。( ) i st h ed e n s i t yf u n c t i o no fn o r m a ld i s t r i b u t i o nn ( 0 ，e ) i fh i ( 0 ，1 ) ， f o re a c hi = l ，2 ，t ( 日1 j 凰，t ) c o n v e r g e si nl 2 ( q ，p ) s e n s e ，a se _ 0 m o r e o v e r ， d e n o t et h el i m i tb y ，( h 1 ，仍，丁) ，t h e n ，( 日1 ，凰，t ) i sa ne l e m e n ti nl 2 ( q ，p ) i f m i n h 1 ，凰 j 1a n dm a x h 1 ，h 2 0 s 盯k 1 = en 畔一醴s m 1 2 m a i nc o n t e n t s 5 a n dw ea l s ou s et h es i m i l a ra p p r o x i m a t i o na s ( 1 1 ) w ed e a lw i t ht h i st e r m m a i n l yb yt h es t r o n gl o c a ln o n d e t e r m i n i s m f r o mt h el o c a ln o n d e t e r m i n i s mo f t h eb i f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ( s e ee g b e r l n a n 【5 j a n dx i a o 【6 2 】) ，w eh a v e t h ef o l l o w i n gp r o p e r t y ：i t 0 t l t 2 t n 0s u c ht h a t v a r ( u t ( j e 7 一纠h , k ) ) m 。u 弛 一- 1 2 删， t = 2i = 2 f o ra n yu i r ，i = 2 ，3 ，佗t h r o u g ht h i se s t i m a t i o n ，w eg e tt h er e s u l t i f h ( 0 1 ) a n dk ( 0 ，l 】& ( t h ，k ) c o l l v e l g e si nl 2 ( 化p ) s e n s e ，a se _ 0 a n ds ( 7 t t k ) = l i m ，训s ，( t h k ) i sa l le l ( h l l e i l to i l 2 ( q ，p ) n e x t ，w ec o n s i d e rt i l et b l l o w i n gh i g h e i o r d e rs t o c h a s t i ch e a t e q u a t i o n ： f 赘= 一2 u + ，( t 上) + 仇7 h ， i n 【0 ，丁】d ， u ( o ) = u 0 ， ( 1 3 ) 【券= 百o a u = 0 ，o n 【o ，丁】o d ， w h e r ed = 1 0 ，7 r 1a n d1 4 , 讲( t ，z ) = 罴b h ( ，z ) i saf r a c t i o n a ln o i s ew i