（计算数学专业论文）关于内abel群边传递的图.pdf

中国民航大学硕上学位论文 中文摘要 群和图的结合是从1 9 3 8 年开始，r f r u c h t 证明了对于任意给定的抽象群，都存在 一个图以它为自同构群。近些年来，在这方面取得了很多重要的成果。图的自同构群是 联系图与群的桥梁，运用图的自同构群的某种传递性来对图和群进行研究，在群与图的 研究中是一种基本而又重要的方法。相对于半传递图，局部传递图，弧传递图和半对称 图来说，边传递图是一个限制条件较弱的图，然而确定出某类群作用下边传递的图对于 研究其它传递图有重要的理论意义和应用价值。 内、外一群作为群论独立的研究对象是饶有兴趣的一个部分；作为论证和研究方 法对有限群论更具有重大的意义。本文选取其中内- a b e l 群作为研究对象，得到的研究 成果是： 1 进一步给出了内一a b e lp 一群和有限内循环群的性质； 2 确定出了一类内一a b e lp 一群的子群结构； 3 获得了关于有限内循环群边传递的图的完全分类； 4 获得了关于内- a b e lp 一群点传递且边传递的图的完全分类； 5 获得了关于群g = ( a , biap 一b ，一c p = 1 ，p ，a 】一c ，【口，c 】= 陋，c 】；1 ) 的边传递图的 完全分类； 6 获得了关于群gt ( a , b i 口，一6 p ；1 b a ；a 1 + ，b ) 的边传递图的完全分类。 关键词：内一a b e l 群；p 一群；内循环群；点传递；边传递 中国民航大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ec o m b i n a t i o no fg r o u pa n dg r a p hb e g a ni n1 9 3 8 f o ra n ya b s t r a c tg r o u pgr f r u c h t p r o v e dt h a tt h eg r a p h sw i t ha u t o m o r p h i s mg r o u pg e x i s t i nr e c e n ty e a r s ，as e r i e so fr e s u l t s a r eo b t a i n e d t h ea u t o m o r p h i s mg r o u po fag r a p hc o n n e c t sg r o u p sa n dg r a p h s at i p i c a l m e t h o df o rs t u d y i n gg r a p h sa n dg r o u p si su s i n gs o m et r a n s i t i v ep r o p e r t i e so ft h eg r a p h s a u t o m o r p h i s mg r o u p s c o m p a r e dw i t hs e m i - t r a n s i t i v e ，l o c a l t r a n s i t i v e ，a r e t r a n s i t i v ea n d s e m i s y m m e t r i cg r a p h s ，e d g e t r a n s i t i v eg r a p h sh a v el e s sc o n f i n e dc o n d i t i o n h o w e v e r , t h e d e t e r m i n a t i o no fe d g e t r a n s i t i v eg r a p h sp l a y sa k e y r o l ei na c a d e m i ca n dp r a c t i c a la s p e c t s a si n d e p e n d e n to b j e c t s ，i n n e ra n do u t e r - g r o u p sa r ei n t e r e s t i n gp a r t so fm a t h e m a t i c s t h em e t h o d so fd e m o n s t r a t i o na n dr e s e a r c ha r es i g n i f i c a n ti nf i n i t eg r o u pf i e l d b yt h e r e s e a r c ho fa ni n n e r - a b e lg r o u p ，t h eo r i g i n a l i t yo ft h i st h e s i si sa sf o l l o w s ： 1 t h i st h e s i so b t a i ns o m ep r o p e r t i e so fi n n e r - a b e lp - g r o u p sa n df i n i t e i n n e r - c y c l i c g r o u p s ； 2 t h i st h e s i sd e t e r m i n et h es u b g r o u p so fa ni n n e v a b e l p - g r o u p ； 3 t h i st h e s i sc o m p l e t et h ec l a s s i f i c a t i o no fg r a p h so nw h i c ha ni n n e r c y c l i cg r o u pa c t s e d g e - t r a n s i t i v e l y ； 4 t h i st h e s i sc o m p l e t et h ec l a s s i f i c a t i o no fg r a p h so nw h i c ha ni n n e r - a b e lp - g r o u pa c t s v e r t e x t r a n s i t i v e l ya n de d g e - t r a n s i t i v e l y ； 5 t h i st h e s i s c o m p l e t et h ec l a s s i f i c a t i o n o fg r a p h so nw h i c hg 一( a , b i a 旷一 b p c p ；1 ，【6 ，a 】= c ，【口，c 】一p ，c 】= 1 ) a c t se d g e t r a n s i t i v e l y ； 6 t h i st h e s i sc o m p l e t et h ec l a s s i f i c a t i o no fg r a p h so nw h i c hg a ，bi 口p 3 。b p 一1 ， b a a l + p 2 b ) a c t se d g e t r a n s i t i v e l y k e yw o r d s ：i n n e r - a b e lg r o u p ；p - g r o u p ；i n n e r - c y c l i cg r o u p ；v e r t e x - t r a n s i t i v e ；e d g e - - t r a n s i t i v e i l 中国民航大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得中国民航大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：垒： 立兰e l 中国民航大学学位论文使用授权声明 中国民航大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件 和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内 容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全 部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权中国民航人学研究生部办理。 研究生签名：笙ii 垄 导师签名： 中国民航大学硕上学位论文 第一章绪论 1 1 课题背景与研究现状 在代数图论中群和图一直都是人们研究得较多的数学对象，但是把二者结合起来， 应用图来研究群以及应用群来研究图则是较近的事在1 9 3 8 年r f r u c h t 在文献 1 中 证明了对于任意给定的抽象群，都存在一个图以它为自同构群这个重要的工作揭开 了这个领域的帷幕，而w t t u t t e 在文献 2 中的贡献则可以看作是群对图论的第一 个精彩的应用但是，对这个领域的广泛的研究则是在1 9 6 0 年以后近些年来，在这 方面出现了很多重要的工作例如，对于图论在群论上的应用，值得提出的是应用图 论方法研究置换群，特别是研究本原群的次轨道结构关于这方面我们有文献 3 ，又 h i g m a n - s i m s 单群就是作为图的自同构群而发现的，它对于有限单群分类问题的完成做 出了贡献 图的自同构群是联系图与群的桥梁对于一个给定的图1 1 ，以v ( r ) 和e ( 1 1 ) 分别 表示r 的顶点集合和边集合：对于q v ( r ) ，以r ( q ) 表示与q 毗邻的顶点的集合： 对于一个群g ，如果g 既作用在v ( r ) 上，又作用在e ( r ) 上，则称g 作用在图r 上如 果g 分别在v ( r ) 、e ( r ) 、a ( r ) 和r ( c i ) 上传递，则分别称r 是g 一顶点传递图、g 一边 传递图、g 一弧传递图和g 一局部传递图运用群g 在图r 上的各种传递作用来研究群与图 在代数图论的研究中是一种基本而又非常重要的方法，目前已有丰富的结果相对于 半传递图，局部传递图，弧传递图和半对称图来说，边传递图是一个限制条件较弱的 图，确定出某类群作用下边传递的图对于研究其他传递图有重要的理论意义和应用价 值 d f h o l t 在文献 4 中研究了边传递但不弧传递的图，i v a n o v 在文献 5 中确定 出了所有的图，其中图的自同构群含有一个子群同构于s 。且是距离传递的，r s s a n d e r s 在文献 6 中确定出了所有的二面体群边传递的图，李才恒和h s s i m 在文献 7 中确定出了素数阶亚循环群半传递的图，路在平和徐明曜在文献 8 中研究了p q 阶 群上c a y l e y 图的正规性，路在平在文献 9 中研究了双c a y l e y 图的自同构群，路在平， 王长群和徐明曜在文献 1 0 中研究了6 p 2 阶的三度半对称图，徐明曜，张勤海和周进鑫 在文献 1 i 中研究了交换群上的c a y l e y 有向图的f 规性，陈尚弟在文献 1 2 中确定出 了所有广义四元数群边传递的图，在文献 1 3 中确定出了有循环极大子群的素数幂阶 群的作用是边传递的图，杜少飞和徐明曜在文献 1 4 中确定了2 p q 阶半对称图，李才恒， 路在平和d r a g a nm a r u s i c 在文献 1 5 中研究了本原置换群的次轨道和轨道图 对于内、外一群， 1 6 早已给出了内一a b e lp 一群的结构， 1 7 应用内- a b e lp 一群 给出了内亚循环p 一群的结构，何立囡和朱刚在文献 1 8 中研究了内超可解群，徐尚进 等人在文献 1 9 中研究了4 p 阶内2 一闭群的md c i 一性 中国民航大学硕士学位论文 1 2 本文研究的主要内容 本文所指的群是有限的，图是有限的、单的、无向的且无孤立点，p ，q ，t 是素数， 口，m ，r 是正整数且满足，1 暑r q ( m o d p ) 有关群和图的术语请参阅 2 0 一 2 2 在 本文的以下部分假定l a gi ，卢) = ( a , bia p 4 6 ，一c p 一1 ，陋，口】一c ，c 】= p ，c 】= 1 ( 口苫卢，( p ，口，卢) 乒( 2 ，】，1 ) ) i a gi i ( a ，卢) = ( 口，b l 口，= b p = 1 ，b a a l + p a - l b ) ( 口，口 1 ) 内一群是一类内容非常丰富有趣的群，本文选取其中内一a b e l 群作为研究对象，给出 了有限内循环群边传递的图和 勾- a b e lp 一群点传递且边传递的图还分析确定出了一类 内- a b e lp 一群的子群结构，并在其基础上给出了i a gi ( 2 ，1 ) 和i a gi i ( 3 ，1 ) 半点传递的 边传递图的完全分类下面叙述本文的主要定理 定理1 2 1 群i a gi ，卢) 的子群是： ( 1 ) a p k c ) ，其中0s 七s 口，0 墨， p ； ( 2 ) ( 口妒“c i b p 纠) ，其中o s f ，j p ； ( 3 ) ( 口p 4 。c 6 6 p 。叫) ，其中0sj p ，0s | ；c l f ，1 墨6 墨p 一p 且( 6 ，p ) 一1 ； ( 4 ) ( d i e 。“1 c j b p 即) ，其d p1 a s f ，0 i 墨p 一丑且o ，p ) 一1 ，osj p ( 5 ) 比一( 口p ) ( c ) ( k o , l ，口一1 ) ； ( 6 ) ( c ) 如妒“b p 纠) ，其中o i p ； ( 7 ) ( c ) ( 口p 4 。b 6 p 4 。) ，其中1s6 墨p 且( 6 ，p ) = 1 ； ( 8 ) ( c ) ( 口驷4 。“b p 9 。) ，其中1s as f ，1 is p 一a 且o ，p ) 一1 ； ( 9 ) ( a p k ) ( c i b p 。) ，其中osj p ，ksf ，( 七，f ) ( o ，声) ； ( 1 0 )( a p k ) ( 口i p c j b p ) ，其中l isp 。一5 且o ，p ) = 1 ， os j p ， 口一tss 足sf ， a 矿) ( 口f i | p “c j b p ) 一( a p ) ( 口i 2 p 2 c 厶6 p 9 4 ) 争 一j 2 ，岛一s 2 ，蛊助。一s - + 乞( m o d p 。q ) ， 0sa p 。一； ( 11 ) ( 6 p 9 。“。) ( 口，c 7 6 6 | p 4 。) ，其中1s6sp f 1 ( 6 ，p ) ；1 ， osj p ，s m i n ( a f ，七) ，七sf ，( “b q ) 妇p s ic j bp 卜) = ( “) a p * 2 c j ：驴p p ) 营j 。= j ：，s 。= 2 中国民航人学硕士学位论文 s 2 ，5 1 量x p 一2 + 6 2 ( m o d p ) ，o s a p 一+ 5 2 ； ( 1 2 ) ( a p ) x ( c ；b p ) ，其中0s _ p ，t 七； ( 1 3 ) ( 口矿) ( 口 p “c i b ， ) ， 其中lsis p 8 一“t 一5 且 o ，p ) - 1 0s ， p ，口一t 墨s f 七，( a p k ) x ( a i d - c j ：b p 1 ) 一( a e kx a i 2 p k + 2 c j ：b p 4 。) 争j 1 - j 2 ，s 1 = s 2 ，量印一 + f 2 ( m o d p ”“卜 ) ，0 墨a p 4 一； ( 1 4 ) b e 4 4x ( a p k 。”c 6 6 p 。) ，其中1 s 6s p 且 ( 6 ，p ) 一1 0 s _ p ， s m i n ( a 一七，f ) ，t 七， b p p - 电) ( 口p 扣川c j - b 6 - p 即) 一 b e 4 唧) ( 口p h 恤c 厶6 6 z ，即) 尊 一j 2 ， 一s 2 ，6 l 暑印”2 + 6 2 ( m o d p ) ，0sa p 5 2 ； ( 1 5 ) ( a e k c 7 ) ( c 协p 纠) ，其中os | p ， ，) 乒( o ，1 ) ； ( 1 6 ) ( a d c 7 ) ( c 7 6 p p - t ) ，其中osj p ，k f ，( 七，f ) ( o ，卢) ； ( 1 7 ) ( 口矿c 7 ) ( 口妒b e 9 。) ，其中l i s p 。一。 且 a ，p ) 一1 口一t s ks f 一1 ( 七，s ，t ，p ) 乒g o ，卢，2 ) ，( a p k c 7 ) ( 口 p “b p 4 1 ) 一( a p k c 7x a i 2 e 2 b p 4 。) 争孔一s 2 ，i a p 1 + f 2 ( m o d p 8 ”1 ) ，0sa p 。，a 皇0 ( m o dp ) ； ( 1 8 ) b e p - 4 讧- - s c 7 ) ( 口矿b 6 p 9 。) ， 其中1 s6sp 且 ( 6 ，p ) ；1 ，s m i n ( a f ，七) ； k5 f 一1 p p 卜m 一，) ( a e l b 咖即) 一( 6 p 即小”c 7 ) ( 口严6 咖即) 营墨ts ：，盈_ 初h ：+ 6 ： ( m o d p ) ，0 s a p 一七+ “，a 暑0 ( m o d p ) ； ( 1 9 ) ( a e k c 。x ( c j b e 9 。) ，其中o sj x ，k o ； ( 2 1 )( a p t c 7 ) ( 口妒。”b e , - , ) ，其中l i s p 。一+ 卜5且o ，p ) ，1 ； 口一kss f 七+ 1 a p k c 7 ) ( 口妇h ”。6 ，卜) = ( a e k c 7 ) ( 口i 2 p k 。+ s 2 b e e - ) 营5 l = s 2 ，暑印阳t + f 2 ( m o dp a - k + t - s t ) ， 0s a p 。一，a 量0 ( m o dp ) ； ( 2 2 ) ( b e , - , c 7x ( a e k - + 6 6 户4 。) ，其中1s 65p 且( 6 ，p ) = 1 ，s m i n ( a 一七，f ) ， 3 中国民航大学硕十学位论文 t 七+ 1 p p 4 1 c 7 ) ( 口p h * a b a i p 即) ；伽p 9 吨c 7 ) ( 口p h 地6 6 z p 即) 兮s 1 = s ：，盈量印一，z + 6 ： ( m o d p ) ，0sa p “，a 叠0 ( r o o d p ) ； ( 2 3 ) a p t ) ( c ) ( 6 p 。) ，其中七s f ，( 七，f ) ( o ，声) ； ( 2 4 ) a p t ) ( c ) ( 口 p 6 p 4 。) ，其中o ss 口，1s fs p 。一。且o ，p ) ；1 ， 口一tss 七 s f ，( a p k ) ( c ) ( 口p 1 b p ) = ( a p k ) ( c ) ( 口如p 屹b p ) 营墨= s 2 ，三印七- j t + f 2 ( m o d p - ) ， 0 s a p 。； ( 2 5 ) ( 6 p 。“。) ( c ) ( 口，b 6 p # 。) ，其中七sf ，oss m i n ( a f ，七) ， 1s6s p 且 p ，p ) ；1 ，p p 即“川) ( c ) 妇p q b 6 , p ”) ；p p 4 州吨) ( c ) ( 口b 咖卜1 ) 营s l ；s ：，6 。暑初吨+ 6 2 ( m o d p ) ，0 s a p 一七+ 屯； ( 2 6 ) ( a p ) ( c ) 伽p ) ，其中f 后； ( 2 7 ) ( 口，) ( c ) ( 口i p 。”6 p 。) ，其中a ks s f 七，l i 墨p 。一。+ 卜。 且 ( f ，p ) = 1 ， a p t ) ( c ) ( 口 矿。呐6 p p ) 一a p t ) ( c ) ( 口如p h 愧6 p 即) 静墨一j 2 ，墨a p 一j l + i 2 ( m o dp a - k + t - s t ) ， 0 s a p 。一； ( 2 8 ) ( b p 加) ( c ) ( 口p h ”b 6 p ) ，其中t 七，l s m i n ( a 一七，f ) ， 1 5s p 且 ( 6 ，p ) 一1 ，b p p - 4 ) ( c ) ( 口p t - + q b 6 - p 即) - ( 6 p 4 吨) ( c ) ( 口p h 峨6 6 ：p 即) 兮5 ，= s ：，6 。_ 印一j ： + 5 2 ( m o d p ) ，0 s a p “ 定理1 2 2 设r 是一个图，g 是一个阶为p q ”或f 2 或8 的内循环群，rg 墨a u t ( f ) ， 则r 是g 一边传递的当且仅当r 同构于下列图之一：( 1 ) q - c 硝，o e m ：( 2 ) p q ”。c 。，1s p 1 ：( 4 ) p ，( g ，1 ) 一 ( 2 ，1 ) ； ( 5 ) p k l l ， 朋；1 ：( 6 ) c a y ( z p ，c ) ，c = ri | c , e z 。) ， ，l = 1 ： ( 7 ) b ( z p ，c ) ， 其中c = 1 一厂，ije z 。) ，肌一1 ：( 8 ) k t l ，垅= 1 ：( 9 ) p ：( 1 0 ) k 矶1 ：( 1 1 ) 。，口：( 12 ) p q 。k 均。，l a e m ：( 1 3 ) q e k l ，p 矿一l ses 垅：( 1 4 ) q e k q ，p ， 4 中国民航大学硕上学位论文 l 2 ； ( 3 ) 。p a - + l c p ， 口 1 ，p - 1 , p 2 ， 1s 2 ，1s s 口；( 6 ) s a b ( g ，p ) ，伽) 扣，口。1 ) ) ，p 2 定理1 2 4 设g ；i a gi i ( 口，p ) 是图r 的自同构群，则r 既是g 一边传递的，又是 g 一点传递的当且仅当f 同构于下列图之一：( 1 ) 2 - 1 k 1 j ，- 1 , p ；2 ；( 2 ) p ”。c ， - lp 2 ， 1 墨 2 ， 1s1 0s 口； ( 5 ) s a b ( g ，够) ，( b ) i a ，a 。1 ) ) ，p 2 定理1 2 5 设g i a gi ( 2 ，1 ) 是图r 的自同构群，则r 是g 一边传递的，但不是 g 一点传递的当且仅当f 同构于下列图之一：( 1 ) k 。, v 3 ；( 2 ) k ，；( 3 ) 鬈：，z ；( 4 ) , p s ；( 5 ) 强；( 6 ) 蠼；( 7 ) p k v ，p ；( 8 ) 晖；( 9 ) p 2 k ，p ；( 1 0 ) p 2 k 。, p 2 ； ( 1 1 ) p 2 群，p ；( 12 ) p 3 ( 1 ，；( 1 3 ) p 3 墨，p ；( 1 4 ) p 4 k 1 ，1 ；( 1 5 ) b ( 6 ，( 口) ，( 6 ) ；( 6 ) ( 口) ) 定理1 2 6 设g = i a gi i ( 3 ，1 ) 是图r 的自同构群，则r 是g 一边传递的，但不是 g 一点传递的当且仅当f 同构于下列图之一：( 1 ) 墨，p ，；( 2 ) k ，p ；( 3 ) k e , v ；( 4 ) p k ：； ( 5 ) p k ，p ，；( 6 ) p k p , v ：； ( 7 ) p 2 k ，p ； ( 8 ) p 2 簟，p ：； ( 9 ) p 2 k p ，p ； ( 1 0 ) p 3 k ，l ；( 11 ) p 3 k ，p ；( 1 2 ) p 4 k i 1 全文分为五章第一章是绪论，第二章简要介绍了与本论文有关的群和图的基本 概念和结果，第三章给出了内一a b e l 群i a gi ，p ) 的子群结构，第四章给出了有限内 循环群边传递的图，第五章确定了内一a b e lp 一群点传递且边传递的图，还有i a gl ( 2 ，1 ) 和i a gi i ( 3 1 ) 半点传递的边传递的图 5 中国民航人学硕上学位论文 第二章预备知识 本章简要介绍与本论文有关的群和图的基本概念和结果 2 1 群的基本概念和结果 定义2 1 1 设q - a ，户，y ，) 是一个非空集合，其元素称为点表示q 上的对 称群所谓群g 在q 上的一个作用驴指的是g 到的一个同态，即对g 的每个元素x ， 对应q 上的一个变换驴o ) ：口一口。，并且满足 ( 口工) y 一口掣，工，y g ，口q 如果k e r r p 一1 ，则称g 忠实地作用在q 上，此时，可把g 看作是q 上的变换群而如 果k e r r p 。g ，则称g 平凡的作用在q 上 定义2 1 2 设群g 作用在集合q 上，则对每个口q ， 瓯a 仁e gi 口。一a 】- 是g 的子群，称为点a 的稳定子群，并且对任意的y g ，吧，iy 。g 口y 定义2 1 3 设群g 作用在集合q 上，在q 上规定一个关系“力：对于任意的 口，多q ， 口j 6 f 尊存在ge g 使得口g = ， 则关系“ 是q 上的一个等价关系对于关系“ 的等价类叫做g 在q 上的轨道一 个轨道包含元素的个数叫做该轨道的长对于口q ，令o l g 一位gi g e g ，则a g 是包 含c t 的一条轨道如果g 在q 上只有一个轨道，即q 本身，则称g 在q 上的作用是传 递的否则，称g 在q 上的作用是非传递的 定义2 1 - 4 设h 是群g 的一个子群，如果c d 厂( h ) 一n h g - , 1 ，则称日是群g 暑6 g 的一个无核子群 引理2 1 5 啪1 设群g 作用在集合q 上，则对任意的a q 都有ia gi = ig ：g ai 引理2 1 6 乜订设有限群g 传递地作用在集合q 上，并且是g 的正规子群，则 ( 1 ) h 的轨道形成g 的一个不变区系： ( 2 ) 如果和是两个h 一轨道，那么日6 和6 是置换同构的： 6 中国民航大学硕士学位论文 ( 3 ) 日在q 上作用的轨道数整除ig ：日1 引理2 1 7 嘲设g 是有限内循环群，则g 只有下列三种互不同构的类型： ( 1 ) g 量互x z t ： ( 2 ) g 为8 阶四元数群： ( 3 ) g = ( 口，bia ，一b 矿一1 , a 6 一ar ) 弓i 理2 1 8 令g = ( a , b i a p = b q 。一1 , a 6 一a r ) ，乒1 置r q ( m o d p ) ，贝i j ( 1 ) z ( a ) = ( 6 9 ) ： ( 2 ) q f p 一) ( f o ，1 ，p - 1 ) 是g 的所有s y l o w q 子群，且c d ( q i ) 一z ( g ) 是q ! f 的极大子群： ( 3 ) q 是g 的所有非正规子群： ( 4 ) g 的真正规子群是( 口，6 9 ) mz p z 叮。和( 6 9 ) 薯z 叮。，f 一1 ，2 ，腕： ( 5 ) g 含有非平凡的无核子群当且仅当m 一1 此时，s y l o w 一口子群是所有的非平 凡的无核子群： ( 6 ) 对于1 s i s p 一1 ，g 的变换q - a a b 卢一a i x b 一是g 的自同构 引理2 1 9 n 6 1 内- a b e lp 一群有下述三型： ( i ) 四元数群g 一( 口，6 ) ，a 4 1 ，b 2 一a 2 ，b a a - l b ； ( i i ) g ；( 口，6 ) ，a p 4 。b p 4 ；c p ；1 ，b a ：a b c ，c a ：a c ，c b ；b c ，口f l ； ( i i i ) g 。( 口，6 ) ，口p 。b p 4 = 1 ，b a ；a l + p o - i b ，乜苫卢，a 2 当p = 2 时，( i i ) 中口一声= 1 的群与( i i i ) 中口一2 ，声= 1 的群重合而同为8 阶二面体 群d 8 关于二面体群作用边传递的图在文献 6 中已有研究，故本文中不讨论这种情况 下边传递的图 引理2 1 1 0 设群g = i a gi ，卢) ，则g 具有以下基本性质： ( 1 ) z ( g ) = 矿( g ) ；( a p , b p ，c ) ，驴( g ) 是f r a t t i n i 子群： ( 2 ) b a 棚- - a r a b n c m n ，( a m b y - - a 朋c 下t ，l ，刀是j 下整数： l p l m ( ： ) g 的每一个元可唯一地表成a m b ”c ，0 川 p 。，0 s n 1 时，i a g i 心，卢) 的p 阶正规子群为( 口矿4 c ) ，i , k = o 工，p 一1 ，( f ，七) ( o ，o ) ，i a 6iq ，卢) 的p 阶 非正规子群为( 口矿。1 6 ，c ) ，i , k = 0 , 1 ，p 一1 ；j 一1 ，2 ，p 一1 当口一声- , 1 时，i a gi ，卢) 的p 阶正规子群为( c ) ，i a gi ，) 的p 阶非正规子群为( a i c 七) ，f 一1 2 ，p - 1 , k * 0 工o9 p - 1 ( 2 ) 当声 1 时，i a gi i ，) 的所有p 阶子群都是正规子群：当pm l 时，i a g i i ，) 的p 阶正规子群为缸矿1 ) ，f 一1 ，2 ，p 一1 i a gi i ，f 1 ) 的p 阶非正规子群为 ( 口6 馕f 一1 , 2 ，p ，j 1 1 , 2 ，p 一1 证明( 1 ) 由于0 ，口，f 1 ) 一( 2 ，1 ，1 ) ，故群i a gi ，f 1 ) 中阶为p 的元素是口咖”1 6 扫 c ， f ，j ，k o ，1 ，p 一1 ；o ，k ) ( 0 , 0 ，o ) 设h 司g ，贝i j ( 口，h ) - ( a ) h ，p ，h ) 一( 6 ) h ，故 ( 口，h ) 和( 6 ，h ) 是g 的真子群，从而( 口，h ) 和( 6 ，h ) 是a b e l 群，进而hsz ( g ) 由于 a 苫，所以当卢 1 时hqg ，而当= 1 , a 1 时日qg 当且仅当j 一0 ，当口一声一1 时 hqg 当且仅当i 一- j = 0 当。1 a 1 时，i a gi ，f 1 ) 的p 阶非正规子群为如驴4 6 ，c ) ，i , k 一0 , 1 ，p 一1 ； j f 一1 2 ，p 一1 当口一卢一1 时，i a gi ，) 的p 阶非正规子群为( 口c ) ，i 一1 , 2 ，p - 1 , k ；0 上，p - 1 ( 2 ) 群i a gi i ，f 1 ) 中阶为p 的元素是口咖”1 6 加纠，f ，j ，= 0 , 1 ，p 一1 ；( f ，_ ) ( 0 ，o ) 设h 司g ，则( 口，h ) ；( 口) ，p ，h ) = 伽) 日，故妇，h ) 和( 6 ，) 是g 的真予群，从而 ( 口，h ) 和( 6 ，h ) 是a b e l 群，进而hsz ( g ) 由于口芑p ，所以当 1 时hq g ，而当 ；1 时hqg 当且仅当_ ：0 i a gi i ，f 1 ) 的p 阶非正规子群为如咖“6 馕 i = 1 , 2 ，p ，= 1 , 2 ，p 一1 8 中国民航大学硕士学位论文 引理2 1 1 2 设g = i a gi 位，1 ) ，则g 的下列变换均是g 的自同构其中1sasp 8 ， 1s sp ，1sks p ( 1 ) 岛：口 b p c 呻a i ；t b j , c 独，o ，p ) = 1 ，( j ，p ) = 1 口 1 ； ( 2 ) z ：a ：t b 。l c i - 口a ( 口p 口1 6 ) 。c 乇，口 1 ； ( 3 ) 复：口 6 一c _ ( 口6 ) a b c 趾，o ，p ) = 1 口= 1 ； ( 4 ) 妒玎：a ；t b 卢c _ 口aa b ) p c 弦，o ，p ) = 1 ( j ，p ) ；1 ； ( 5 ) ；：a x b u c 七_ a x b 芦c “ 引理2 1 1 3 当g = i a gi ，1 ) 时，a u t ( g ) 在g 的p 阶非正规子群集合上的作用是传 递的 证明当a 1 时，令t 一 ( 口矿4 b c ) if ，k o 工，p d ，则t 是g 的所有非正规p 阶 子群的集合由于存在a ( 0 asp ) 使得a + 七暑0 ( m o d p ) ，故( 口矿4 b c ) ”一a l p ”1 b ，即 ( 口矿1 b c ) 与( a p ”1 b ) 共轭由引理2 1 1 2 知当o ，p ) 一1 时( a p a - 6 ) 角t 一 口驷”1 b ) ， p ) 7 一如p ”1 6 ) ，所以p ) _ 如矿一6 ) a u t ( g ) 在t 上是传递的 当口。1 时，g 的非正规p 阶子群共轭于( 6 ) 或( 口) ，由引理2 1 1 2 知如) 一。q 驷6 ) ， 故a u t ( g ) 在g 的p 阶非正规子群集合上的作用是传递的 2 2 图的基本概念和结果 定义2 2 1 设r 是一个图，g 是y ( r ) 上的一个置换称g 为图r 的一个自同构， 如果也，v e ( r ) 当且仅当扣g , v g ) ( r ) f 的所有自同构在置换乘法之下组成一个群， 称为r 的全自同构群，记为彳町( r ) a u t ( r ) 的任意子群g 都称为r 的一个自同构群 定义2 2 2 设r 是一个图，gsa u t ( r ) 如果g 在v ( r ) 上是传递的，则称r 是g 一 顶点传递图特别的，如果r 是a u t ( f ) 一顶点传递图，则称r 是顶点传递图 定义2 2 3 设r 是一个图，gsa u t ( f ) 如果g 在e ( f ) 上是传递的，则称f 是g 一 9 中国民航大学硕士学位论文 边传递图特别的，如果r 是a u t ( r ) 一边传递图，则称r 是边传递图 定义2 2 4 设g 是有限群，s 是g 的不含单位元的子集，我们如下定义群g 关于 子集s 的c a y l e y ( 有向) 图x = c a y ( g ，s ) ： y ( x ) = g ，e ( x ) = ( g ，s g ) ige g ，s s 定义2 2 5 设g 是有限群，h 是g 的子群设d 是若干个形如h g h ( g 圣h ) 的双 陪集的并我们定义g 关于日和d 的s a b i d u s s i 陪集( 有向) 图x s a b ( g ，h ，d ) 如下： y ( x ) = 【g ：日】，( h 在g 中的右陪集的集合) ， e ( x ) 一 ( 魄，h d g ) lge g ，d d 定义2 2 6 称具有二部划分v ( x ) = u ( x ) u w ( x ) 的二部图x 为半点传递图，如果 x 的自同构群a u t ( x ) 在u ( x ) 和w ( x ) 上都是传递的 定义2 2 7 设g 是有限群，和尺是g 的两个子群设d 是若干个形如r g l 的双 陪集的并我们定义g 关于己，尺和d 的双陪集图x ；b ( g ，l ，尺；d ) 如下： v ( x ) = 【g ：三】u g ：尺】， e ( x ) ； 似，r d g ) ige g ，de d 引理2 2 8 陋1r 是一个图，g c a u t ( r ) r r 是g 一边传递的，则y ( r ) 至多有两个 g 一轨道进一步，如果r 不是g 一点传递的，则r 的每条边的两个端点位于不同的g 一 轨道 引理2 2 9 n 司设g 是图r 的一个自同构群，如果r 是g 一顶点传递的，则 ( 1 ) r 璺s a b ( g ，h ，d ) ，其中h = g o 是g 的一个无核子群，口是v ( r ) 中任一固定 点，d 一 g gi a 占r ) ) 是的一些双陪集的并： ( 2 ) 令丁一( d ) ，, q i js a b ( t ，h ，d ) 是r 的一个连通分支特别，f 是连通的当且仅当 g = ( d ) ： ( ： ) r 是g 一边传递的当且仅当d = h g ，g 1 ) 何，其中ge g ： ( 4 ) r 是g 一弧传递的当且仅当d = h g h ，其r ，g e g ，g 2 中国民航大学硕士学位论文 引理2 2 1 0 n 钔设r 是一个g 一半点传递图，和a 是f 的二分部，则 ( 1 ) f 篁b ( g ，l ，尺；d ) ，其中= 瓯，r = 嘭，口和卢分别是和a 中的任意固定 点，d = g gi 卢譬r ) ) 是若干个形如尺比的双陪集的并，j lc o r e a ( l ) nc o ，似) 一1 ； ( 2 ) r 是g 一边传递的当且仅当d r d l 是单个的双陪集特别，如果 恤，声】- e ( r ) ，则f 是g 一边传递的当且仅当d = r l ： ( 3 ) 当1 d 时，令z = ( d 以d ) ，ns a b ( r ，厶尺；d ) 是r 的一个连通分支特别，r 是连通的当且仅当g 一( d 。1 d ) 引理2 2 1 1 设rts a b ( c ，h ， g ，g 一1 】- h ) 是无向图，若玩 一魄一h ，n a ( r ) 一 膨l ，否则d ( r ) = 2 i 1 中国民航大学硕士学位论文 第三章一类内一a b e l p 一群的子群结构 本章确定出了内a b e lp 群i a gi ( a ，b ) 的子群结构，并推出群i a gi ( 2 ，1 ) 和i a gi i ( 3 ，1 ) 的子群情况 3 1 关键引理 引理3 1 1 令日一( 口) ( c ) 皇z ，。z p ，其中l ai mp 口，ivi - p ，a 1 则h 的互不 相同的子群是： 一 ( 1 ) p ”阶循环群( os 七s 口) ： q 一( a d c 馕 osj p 特别的c a o 一1 和 c 口= c a 。- ( c ) 富z p ，o j p x c - 于o k 口，os ，厶 p ，吒皇当且仅当 t i l tj 2 ( 2 ) p a - k + i 阶非循环群( os 七 口) ：磁一( 口p k ) ( c ) 皇z p 。_ x z p ，其中w o 日 证明设s 是日的任一子群 ( 1 ) 当s 是循环群时由于ihi = p “1 ，所以设lsi p 口_ ，ka