（运筹学与控制论专业论文）可积离散的nls方程的贝克朗变换及其解的结构.pdf

硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 即有 ( 3 .2 ) 等价于( 1 . 3 ) . 定理3 . 2 : 设0 。 为( 3 .1 ) 在 ( 9 n , : +)处的一 个解， 定义 r。一 ( + anzen ; bn+ zdn) 其中 d o = 2z + o n ( l0 n z l2 一 z + 12 l0 n , l2 ) , 、 = iz t l4 a 1 w n ,w n z , z 子。n = a 们 =b 心以 。 一 + (i 一 ，2 一 ，二 ，” 一 ，” 再定义 t 。 二r 4n , q n = 一 大 b n + l + 、 + :、 那么， 若w 。 为 式( 3 . 1 ) 在( 9 n , z + ) 处的一 个 解， 则41 。 就是式( 3 . 1 ) 在( q n , 2 + ) 处的一个解， 从而，q n ， q 。 均为( 1 .3 ) 式的 解. 引理4 . 2: 设l 。 在点z 处的特征值及相应的 特征向量为扭， w o) ， 其中 v o =( y o l , w 0 , ) t ， 则w 。 与( 3 .1 b ) 式相 容， 即lp 。 可 成 为( 3 . 1 b ) 式的 解. 定理4 . 3 : 设扭 1 , ip o ) , ( f 1 2 , 咖) 为l 。 的 两特 征 值 及相应的 特征向 量函 数， 且w o , 咖均为( 3 . 1 b ) 式的 解， 令w 。 二衅(p o ， 讥二理叻 。 ， y i n =k l w+ k 2 么， 则 0 . 为 方 程 (3 .1 ) 的 解 刁 关键词 : n l s + 方程， 离散， 拉克斯对， 贝 克朗变换. ab s t r a c t i n t h i s p a p e r , w e g i v e t h e b a c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n s a n d d i s c u s s i t s s t r u c t u r e s t o s o m e e x t e n t f o r t h e i n t e g r a b l e d i s c r e t i z a t i o n o f t h e n l s + e q u a t i o n : (ls) 匆 。 =( 外 十 1 十 q n - 1 一 2 q . ) / 矿一 如 引乳 十 1 十 吸 一 1 ) + 2 w g n t h e t r a n s f o r m a t io n g iv e s a w a y t o c o n s t r u c t s o l u t i o n s t o t h e s y s t e m ( 1 .3 ) , a n d i t a l s o d o e s t o t h e e q u a t i o n ( 3 . 1 ) , w h i c h c o n t r i b u t e t o r e c o n s t r u c t s o l u t i o n s t o t h e s y s t e m ( 1 . 3 ) . i n t h i s p a p e r , i n o r d e r t o a t t a i n t h e t r a n s f o r m a t i o n ( t h e o r e m3 . 2 ) , w e u s e a s p e c i a l m e t h o d , t h a t i s , t h e o n e o f l a x p a i r . s o w e fi r s t fi n d o u t t h e l a x p a i r o f t h e s y s t e m ( 1 . 3 ) ( l e m ma 3 . 1 ) . t h r o u g h t h e s y s t e m ( 1 . 3 ) s e q u i v a l e n c e t o t h e l a x r e p r e s e n t a t i o n , w e fi n i s h t h e p r o o f o f t h e o r e m 3 . 2 . mo r e o v e r , w e g i v e t h e s t a n d a r d i z a t i o n o f t h e t r a n s f o r m a t i o n ( t h e o r e m3 . 3 , c o r o l l a r y 3 .4 ) . a s f a r a s t h e d i s c u s s i o n a b o u t t h e s t r u c t u r e s i s c o n c e r n e d , t o s o m e e x t e n t , i t m a y b e s a i d t o b e a n a p p l i c a t i o n t o t h e b a c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n : f i x a s o l u t i o n q . t o t h e s y s t e m ( 1 . 3 ) ， c o n s t r u c t a g r o u p o f s o l u t i o n s q n d i ff e r e n t f r o m q . t h r o u g h t h e b a c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n , a n d t h e n p r o v e t h a t q n i s c o n v e r g e n t t o q , . i n t h e s e c t i o n 4 , i t i s v i t a l f o r u s t o fi n d o u t t h e fi x e d s o l u t i o n必 。 t o t h e e q u a t i o n ( 3 . 1 ) i n t h e t h e o r e m 3 .2 , w h i c h i s c o m p l e t e d i n t h e l e mma 4 . 2 a n d t h e o r e m4 . 3 . l e mma 3 . 1 : t h e l a x p a i r o f s y s t e m ( 1 .3 ) t a k e s t h e f o r m 0 。 十 1 =l n 4 n 么 = ( 3 . 1 a ) ( 3 . 1 b ) wh e r e b n 4 n , 认q n - i h 易 1 / z a n d b n一t 2 - 1 一 : 2 + 2 i a h 十妒 如 氏 一 ; 一 。 矿一 “ h 十 i h g n _ 汀 : z i h q n - : 一认 瓜/ z 1 / 尸一1 十2 i a h 一h 2 瓜 外 一 : + w h 2 i n w h i c h : 二。 ia h ， a n d s y s t e m ( 3 . 1 ) g i v e s t h e l a x r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d i s c r e t e n l s e q u a t i o n ( 1 .3 ) l =b + i l 。 一l凡.( 3 .2 ) 五 i 硕士学位论文 m 人 s 1 e r s t h e s i s t h e o r e m3 . 2 : ( b d c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n ) : f i x a s o l u t i o n 0 . t o t h e s y s t e m ( 3 . 1 ) a t ( q . , : + ) ， a n d u s e 功 。 d e fi n e a 2 x 2 m a t r ix p n b y : +a n / z c 乙 。 1 / z +z d n /了j.、 -一 n r wh e r e a=z +-i z 子。n( i 0 n z i2 一 z + 12 10 n i 12 ) , 6 n 二4 a, a_,iz+ i n 1 4n tw n z, d o=6 - c .=b n a n d 一 + (ivn,l 一 二 ，“ 一 ” f u r t h e r ， d e fi n e t 。 二 r 。 叻 。 ， q n =一 六 b . + 1 + a n + l q n t h e n ， i f o n s o l v e s s y s t e m ( 3 .1 ) a t ( 9 n , z + ) ， 1 n w il l s o l v e s y s t e m ( 3 . 1 ) a t ( q n , : + ) .m o r e o v e r , b y t h e c o m p a t a b i l i t y o f s y s t e m ( 3 . 1 ) ， b o t h q . a n d q n s o l v e t h e d is c r e t e n l s i e q u a t i o n ( 1 .3 ) . l e mma 4 . 2: l e t a e i g e n v a l u e a n d t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n f u n c t i o n l o c a t e d a t z o f l n b e ( p , w o ) ， w h e r e p o =( p 0 1 0 0 z ) t ， t h e n w o i s c o m p a t a b le w it h e q . ( 3 . 1 b ) ， t h a t i s ， v o m a y b e t h e s o l u t i o n t o e q . ( 3 . 1 b ) t h e o r e m4 . 3: l e t t h e t w o e i g e n v a l u e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n f u n c t i o n s l o c a t e d a t z o f l n b e ( p 1 , w o ) a n d ( p 2 , z bb o ) ， a n d b o t h p o a n d 衡a r e t h e s o l u t i o n s t o e q . ( 3 . 1 b ) . f u r t h e r m o r e , l e t co , =“ 梦 p o ， ?k=m 2 o o a n d 0 . =k 7 v n +k 2 v) n ， w h e r e k 1 , k 2 a r e a r b i t r a r y r e a l ( c o m p l e x ) n u m b e r s ， t h e n叻 。 i s t h e s o l u t i o n t o e q ( 3 .1 ) k e y w o r d s: n l s + e q u a t i o n , d i s c r e t i z a t i o n , l a x p a i r , b a c k l u n d t r a n s f o r - ma t i o n s. i v 硕士学位论文 m a s t e r s 7 7 1 f s i s 一、引言 反号的非线性薛定愕方程【 1 , 2 ( 我们记作n l s + 方程) i v ,， 一 i i 二 二 + 2 ju l u = 0 ,( 1 . 1 ) 是一个重要的非线性演化方程， 它可用来描述譬如在正常群速色散范围内的短脉 冲在单模光纤中的传播.若干年前，它已被证明是完全可积的. 回(ls) 设。 =g e 2 iw t ， 这里。 是一个正的常 数， 则 得到 i 4 一 q x x +2 1g 12 q 一 2 w q =0 离散即得 i 奋 二 =( q n + 1 + q n - ， 一 2 q n ) / h 2 一 q n 乳 ( q n 十 1 + q . - 1 ) +2 w g n , 其中h =责， 系 统( 1 .3 ) 是n l s 方 程 的 一 个 有 限 差 分 离 散， 作 为 一 个 大 但 又 是 有限维的完全可积的哈密顿系统以及作为对一个偏微分方程的近似， 它都是非常 有意义的. n l s + 方程和n l s 方程都是非常重要的非线性薛定愕方程， 都有着很强的 物理背景. 李延 光 老 师在他的 文章 3 中 给出了 离 散的n l s 方程的贝 克朗 变换， 并讨论了它的同 宿结 构. 在他的 另外一 篇文章中， 又 接着证明了 离散的 扰动 的 n l s系统中同宿轨的存在性.类似地，在本文中我们也给出了离散的n l s + 方程的贝克朗变换， 并在一定程度上讨论了它的结构. 本文中我们总 假定1 一矿引2 尹0 . 二、预备知识 1 .可积背景 离散的n l s * 方程 i d n =( q n + l + 一 ; 一 2 q n ) / h 2 一 g. 4 n ( 9 n + 1 - f- q . - i ) + 2 w g n ( 1 .3 ) 是一个完全可积的 哈密顿系统， 并可写成如下的哈密顿形式4 8 h q n = p n a q n ( 2 . 1 a ) 硕士学位论文 m a s t e r s me s i s a h = - p n a q n ( 2 . 1 6 ) 其中 i n il h 一h 2 态lq n (9 n + 1 ( 2 .2 ) ( 2 .3 ) 事实上，因为 一 兴 (9 n + 1 ! l a q n 一 z ( _o (q n + l l b - + 。一 ) + 杀 (1 一 ” 2)ln ll 一 ” 2 1。 一 ， p 。 二1 一 h 2 lg n l2 . 、 2 ， 、， ， 、 - h 2 q n + q n - i) 十 h 2 ( 一 w h ) 向一2 q n 2 上 + 一 ， + 2 (h 2 一 “ 2) - h2qn1 - h 2jgn 12 从而有 一 韧一 h lg n l2 ) (q n + 1 + q n - 1) + 兴 2 q n ( l 一 。 。 ， ) 几. 一 兴 (。 + ， + 、 一 : 一 2 4 n ) + i g n q n ( q . + 1 + q n - 1 ) 一 : z w g n i t - =q n, o h i ， ， -p n n=7 -1 l 1 一 uy n f t - h jg n l2 ) (q n + 1 + 。 一 ) 一 命 ， 。 ( 一“ ) 十瓜 一 : 一2 瓜) 一z q n g n ( q . + l +q,1)+2 i w g n + -乳 1-解qn 由 上面所导出的哈密顿公式系统， 使得我们对离散的n l s 方程的完全可积性有 了 一个更明确的理解. 但这并不意味着该方程就解出 来了，因 为h函数本身并 非显式. 2 .拉克斯表示 本文中， 在构造贝克朗变换时， 拉克斯对， 拉克斯表示起到了很重要的作用. 如果对于某一问题， 想要解决它， 用直接的方法非常困难。 那么人们往往会想到 用间接的手段.而拉克斯对及拉克斯表示正是起这种作用. 例如本文中， 离散的n l s 方程的拉克斯对所给出的拉克斯表示与该方程是 等价的( 引理3 . 1 ) ， 我们正是通过这种等价性， 把方程的求解间 题转化为其拉克斯 硕士学位论文 m a s t e r s t i 正 s i s 对形式上的间题来解决. 系统( 1 .3 ) 的拉克斯对取如下形式: 讥+ 1 二l n 叻 。 ， 么 =b , o _ 由 上两式的 相容性， 我们可得到系统( 1 .3 ) 的拉克斯表示 l 。 二b n + i l 。 一l n b n 事实上，因为 l n v) n +l , o n l , v) n +lb n ? g - v n + 1 = b n + i w n + 1 二 b n + 1 l . v) n , 所以有 l 。 二b n 十 i l n 一l n b n 三、贝克朗变换的导出 引理3 . 1 : 系 统( 1 . 3 ) 的 拉 克 斯对取如下 形式 叭+ t =l . 么, 0 。 二b n ) n , ( 3 . 1 a ) ( 3 . 1 b ) 其中 - i h 4 n i h 4 n 1 / z 了! -一 几 l 1 一z 2 +2 i a h +h 2 9 n g n - 1 一w h 2 z i h g n _ ， 一i h (f n / z 一 : i h 4 n +i h 4 n - 1 / z 1 / z 2 一1 +2 i a h 一h 2 4 n g n - 1 +w h 2 声了f.、 ?一解 一一 凡 这里: =e i a h ， 并且系统( 1 .3 ) 的拉克斯表示为 l n =b n + i l 。 一l 凡， ( 3 . 2 ) 硕士学位论文 % l w r e r s t h e s i s 即有( 3 . 2 ) 等价于( 1 . 3 ) . 证 明: ( 3 . 1 ) = , ( 3 .2 ) 4 ( 1 . 3 ) 很容易验证. 这里我们仅验证方程体2 ) r ( 1 .3 ) . 令 b n + 1 l n 一 a 1 一: 2 + 2 i a h + h 2 g n + l q n 一 、 h z - z i h g n + l +i h g n l z z i h g n 一 h q n + l l z 1 / z 2 一1 +2 i a h 一h 2 g n + l q n + w h 2 - i h g n 了了1、 * ，主.孟 ，内扮 aa l 一- 我们有 a l ， 一 户 (“ 一 “ 3 + 2 ia h z + h 2 g n q n l “ 一 : w h 2 ) , a 12 一 奈 (i h g n 一 z 2 ih g n - 2 a h 2 g n + ih 3 g n + lq n 一 h q n + 1 + i h g n l z ， 一 h g n w h 2 ) a z l 一 奋 (z 2 lh g n 一 h q n + 1 一 h q n / z 2 + i h g n + 2 a h 2 g n + i h g n + l q n 一 h g n w h 2 ) a 2 2 一 佘 ( 一 z h g n q n + 1 / z 3 一 / “ + 2 i a h / z + w h 2 / z ) . 再令 l bn一 二 2 h g n ) 一 h 2 、 一 h q n 1 / z 少 1 一z 2 +2 i a h +h 2 g n q n - 1 一w h 2 z i h q- ; 一i h g n l z 一 : i h q+i h g n - 1 l z 1 / z 2 一 1 + 2 i a h 一 h 2 g n q n - 1 + w h 2 b l l b 1 2 b 2 1 b 2 2 了.、 -一 4 、 硕士 学 位 论 丈 n 认s t l r, s i i 止 s i s 我们又有 b i i = b i t = b 2 1 = b 2 2= 定义 走 (“ 一 z 3 + 2 ia h z + h 2 g n q n l z 一 “ w h 2 ) , 众 ( - z 2 i h g n + ih 。 一 1 + ih g n / z ， 一 h 。 一 2 a h 2 q 。 一 h 3 g n g n q n - 1 + i h g n w h 2 ) , 和- ih g n + z 2 ih g n + 2 a h 2 g n 一 h 3 g n g n 。 一 1 + ih g n - 1 一 i h g n / z 2 + i h q w h 2 ) , 户 ( - z h g n g n + 1 / z 3 一 1 / z + 2 i a h / : 十 。 h 2 / z ) . 曰 b n + 1 l 。 一l n b n = 可得 i i i =a l l 一b 1 1 =0 , c 1 2 =a 1 2 一 b i t =( q . + 1 + 一 ， 一2 g n ) l h 一 h g n g n ( q n + 1 +q 。 一 ， ) +2 h w g n , c 2 1 = a 2 1 一 b 2 1 =( q . 十 、 十 q n - ; 一 2 q n ) / h 一 h g n q n ( q n 十 : 十 4 n - 1 ) + 2 h w g n , c 2 2 “a 2 2 一b 2 2 =0 . 然而 l n= 因此 (。 . ah ljn 、 戈一 h q n 。 / b n + 1 l 。 一l n b n x 1 2 =a 1 2 一b 1 2 处 1 =a 2 1 一b 2 1 ( q n + l +q n - ; 一2 q n ) / h 一h g n q n ( q n + l +q . - j ) +2 h w g n ( 乳 + ; +乳 一 1 一2 乳 ) / h 一h 乳 q . ( q n + ， 十爪一 ， ) 十2 h w g n 整理上面两个式子， 可得方程 ( 1 .3 ) 及其共扼形式， 而这正是我们想要证明的. 定理 3 . 2 : 设0 。 为( 3 . 1 ) 在( q . , z + ) 处的一 个解， 定义 r。 一 ( + anzcn* bn+ zdn ) s 硕士学位论文 m a s t e r s t l 正 s s 其中 。 。 一 六(10 . 11， 一 i: 十 i2 1m n 1i1), 。 一 i 4 _ 1 w ,/,。 1 ,_z i n n t w nz, 乙 平。n d o 二瓦 。 cn二b n , 一 会 (，一 ， 一 ，二 ，214-212) 再定义 ql n =r. y n , q 。 一大 b n + l + a n + 1 9 n 那么， 若砂 。 为式( 3 . 1 ) 在( 4 n , z + ) 处的 一个解， 则q/ 。 就是 式( 3 . 1 ) 在( q n , z + ) 处的一个解， 从而，q n ， q 。 均为( 1 . 3 ) 式的解. 证明: 要证41 。 就是式( 3 . 1 ) 在( q . , z + ) 处的一个解， 需证 if n + ， 一l . ( q . ) t n = r n + 1 l n ( 9 n ) 一l . ( q . ) r n l o 。 二o , lp 。 一b n ( q n ) p . =( r 。 一 b . ( q . ) r 。 一f . b n ( 4 n ) 1 ) 4 。 二0 . 因此，如果有 r n + , l n ( 4 n ) 一l n ( q n ) r . =0 . r 。 一【b n ( q . ) r 。 一r . b n ( 9 n ) i =o , 则定理得证. 而上两式又等价于( 见附录1 ，2 ) a n + 1 一 a n h 二i q n c n +i g n b n + l , d o + 1 一d o h =- i q n b 。 一i g n c n + 1 , b . + 1 一纵 h 以+1一 嘶 h =i q n ( d n +1 ) 一i g n ( a n + l +1 ) , =- i q n ( a n +1 ) +i 4 n ( d n + l +1 ) , 一 鑫 la . h 2 ( q . q 。 一 ， 一 。 n o n - 1 ) + i h q n - l c n + i h g j n , i t - ( 3 . 3 a ) ( 3 . 3 b ) ( 3 .4 a ) ( 3 .4 b ) ( 3 . 5 a ) 硕士学位论文 ma s t e r s r i ies i s ld n 二 z o id n h 2 ( 4 n 。 一 ， 一 q . q 。 一 ， ) + i h q n - 1 b . + i h g n c n , ( 3 .5 6 ) / l 1lla 一七 吼件 h d + 乳 h a + h - 吼 h 一 qn- -如 + -吼 吼 h 十 h 山 一 和 一一 6 n = 众 一 ， 二 (1 - w h 2 ) 一 。 h 2 (q . 。 一 + 。 。 一 ) 一 h 。 一 ，h 。 一 + d o ih g n + a n ih q n - 1j ( 3 . 6 6 ) 由心= ) 一 (q., z+) ( :; ) 叻 。 ， 一 z 草 功 。 : + 2 i a h o n , + h q n 乳 - 1 叻 。 ， 一 。 h 2 叻 。 ， 一 z 十 h g n o - , + i h q 。 一 i o n , / z + z + i h g4 n - i w n ， 一 i h g . o n , / z + + 0 , / z 草 一 o n , + 2 i a h o n : 一 h 2 g n 。 二 一 ， o n , + w h 2 o n , 舀 。 ， 一 z + 8 硕士学位论文 m a s t e r s t i i e s i s 则 、1/ .盆q扮 勺.， 八n 劝叻 /1、 =k n + 1 v n + l b n + 1 =k n + 1 l n k n + ， 二了 佩， 、 = 力， i八 i “ 4 n ,2 ) 、川刀一 、! 、工2 七. ，人，1 十十 刀n (劝入劝 护了1、 又k . + 1 _ / c n n + 1 ,1 y n ,l w n ,l 叻 n + l ,l了 p n 所以 4 n+ 1 一l n o n =l n 么 3 ) 最 后 证明b 。 满 足武=b n +g n 、.11了护、!./ ( k n v) . , l ) ( k n b n ,2 ) .土门 .， nn .叻.劝 /了.、 n 甘人 + -、1./ 、卫，了了时昭 津夕砂劝 (么么( /r牛1、.株 一-一 n 劝 = k叻 。 +k b n 劝 。 一(k e 十 k n b n ) 去 幼 一( 熟 e + b . ) n , 而 k o =-y ( t ) , k n =k n - 1 了 p n - 1 7 ( t ) 一 j n 一一- 1i- 0 p - 所以 立 一 n - 1r p= 7 m -0 l p m -一 -概-株 又由 方程( 1 . 3 ) 及p m=1 一 h 2 9 m g m有 ( 9 m + l l m一9 m + 1 q m ) 一( 4 m g m - 1 一q m 4 。 一 ， ) ， 乞-勺 - 。寿一p p-卜峥 户一q山 所以 蚤 (。 、 一。 。 一 ) 一 (4 o 4 - l 一 4 0 “ 一 )i 9 。7一7 一- .称-概 硕士学位论文 m a s t e r s r n n ( s 9 o 4 - 1 一9 o 9 - 1 ) =0 , 2一，一 十 守-甲 确定实值函数城t )， 故有 注: 一b n + 台 (。 。 一 。 、 一 ) e il - 1 = r , 诊 。= 几-1 y ( t ) i i 们 , =o y ( t ) i i 六0 . , a , ” 。 功瓜i n, a s n 。 f n = ( ， 。ii侧 p m ,(q ) ) (7 a ii p m ,(9 ) ) 一 r . , a s ， 二 认 i n = f n n = 7 qn p - ,(q ) r . ,p . = 7 qn仍 瓦 而 面 9 n , a s , n 0 ,y e r. 易 验 证。 = c e 2 i1( ， 一 ) + ” 满 足n l s 方 程( 1 .2 ) 及 系 统( 1 .3 ) ， 此 时 有 - i h q 1 一z 2 + 2 i a h 十h 2 c 2 一 、 h 2 - z i h q +认 好: z i h q 一 i h q / z 1 / z 2 一1 + 2 i a h 一h 2 c 2 + w h 2 j了矛.厄、 坛一解 -一 b 下面我们就利用贝克朗变换讨论系统的结构. 要构造v : n ， 必须先找到拉克 斯对方程( 3 . 1 ) 的一个解0 r ， 为此我们 先看看下面几个引 理: 引理4 . 1 : l( 与n 无 关 ) 的 特 征 值 与t 无 关. 证明: 由l 。 一p e i 二 拜 一 z i h q - i h q a l 一1 / z 二0，得 z + 鲁 士 丫 ( : + 妥 ) 2 一 4 ( 卜、 ， 。 ， ) 2 因为z , h , c 均与七 无关，所以l 。 的特征值u与t 无关. 引理 4 . 2 : 设 l n 在点z 处的特征值及相应的特征向 量为 伽， w o w o =( ,p o w o ) t ， 则w 。 与( 3 . 1 b ) 式相容， 即w 。 可成为( 3 . 1 b ) 式的 解. 证明: 由a w o =lw 。 有 i h q 其中 0 0 , =了 一丫p o , , z一 户 ( 1 ) lp 。 为( 3 . 1 b ) 式的解， 必须有v 。 满足 ( 1 一 : 2 + 2 i a h + h 2 c 2 一 。 、 ， ) ， 。 : + ， 、 。 ( 晋 一 : ) w 0 , 一 h q ( z 一 z )w o3 + (多 一 + 2 ia h 一 h 2c 2 + w h 2 ) v o, ( 2 ) zf健.1.、， .一解 一一 硕士学位论文 ma s t e r s t i i e s i s 下面只需验证( 1 ) , ( 2 ) 两式相容即可. 由引理 4 . 1 及 ( 1 ) 式， 有 ， 肪.i h q . i h q。 i _ 2 w o z 二不 一 一(p o : 十飞 一，(p o , =丁 一 一 下 一 “ 、 一w ) w o , 宁v o l l z一拜z一f u万一p 而由( 2 ) 式又有 ,p o2 一 th 2 - ih q (丢 一 z )w o, + ( 号一 1+2 i a h h 2 c 2 +w h 2 ) p o z 要想相容， 首先需有上两式相等，从而可推得 ， 。 : 一 兴 h 2 c 2 + 2 i a ， 一 、 。 ， 、 ( 1- 一 : )。 、 。 ， .( 3 ) 再由( 2 ) 式，又有 沪o , = h 2 f 一 + h 2 ( 一 + 2 i a h+ 2 i a h+ h 2c2 - w h 2),po, + ih q ( 1z 一 )(10021 h 2c2 一 、 h 2) - h 2一一z ( 1z 二 、 。，. 一 拼 所以只要 1、_ _ 。 _ 。 。 h 2 c 2 ( 1 一 z ) h c + 一- z ) a+w h一w h =1 一z +h c 一一+1 t a h一w h 合一h 就有( 1 ) , ( 2 ) 两式相容， 而上式是恒成立的. 定理4 .3 : 设伽 1 , w o ) ,( h z , 咖 ) 为l 。 的 两 特 征 值 及 相 应的 特 征向 量 函 数 ， 且 w o , ) 。 均为( 3 . 1 b) 式的 解， 令t n =l e i p o ，o n = 烤in，o n =k j w n + k 2 0 n ， 则0 。 为方程( 3 . 1 ) 的 解. 证明: ( 1 ) 验证 y n + 1 =l 禅。 . 硕士学位论文 h 叭s r e r s r i 止s i s w n + i= k i l l i + 1 w o + k 2 l i瑟 + 1 v o = k e p i p i cp o +k 2 h z u 2 v) o = k e p i l n v o +k 2 p 2 l n v) o = l . ( k i p i v o + k 2 u z0 0 o ) = l n o _ ( 2 ) 验证 0 n =b n o n . 人 = k , 衅功 。 +杨嘴咖 二 k l l i n, b , o , +k 2 p 瑟 b n y 0 = b . ( k l p i v o + k 2 13 登 im 二 b n y i n 所以0 。 为方程( 3 . 1 ) 的解. 下面就具体求出( 3 . 1 ) 的 解，并讨论该解的 性态: 求解方法就是通过引 理4 . 2 中的( 1 ) , ( 3 ) 两式. 由 l 。 一“ e 卜 0 ， 得 z+ 户 = 蚤 土 丫 (: + 蚤 ) ， 一 4 ( 一 h 2 c 2 ) ? 设: + 鲁 一 : l e io(: + 鲁 ) ， 一 4 ( 1 一 、 2 e 2 ) 一 r z e io 2 ， 则 r l e i h+r 2 e i6 2 p i =一 一 一2 一 一 r l e e 一7-2 e i6 2 a 2 =一 一 一 2 一 一 再设 =r 3 e b 3 艺 一 11-之 有 ( 1z 一 : ) 。 ; 1 3 硕士学位论文 h 认s 1 e r s 1 i i e s i s t 1 r 3 c o s 沪 1 +o 3 ) +t 2 r 3 c o s 恤+0 3 ) 卜 i r l r 3 s i n ( o l +0 ) + r 2 r 3 s 2 n ( 0 2 +0 3 ) 2 1z 一 : ) 。 2 (r l r 3 c o s ( 0 1 +0 3 ) 一 t 2 r 3 c o s ( 0 2 + 0 3 ) +i r l r 3 s i n ( o 1 + 0 3 ) 一 r 2 r 3 s i n ( 0 2 +0 3 ) 2 二令 a二 二 6 = c2 + r e 1 z - z u 1h 一田一 f =c 2 十 ， t 3 c o s (0 1 + 0 3 _ 1 - ( ( / z ,- z ) 0 2 )+ r 2t3c o s b 2 +2 h 2 r e ( a ) h 0 3 ) 一 w一 2 1 m( a ) h t lt 3s in (o 1 + 0 3) - r2r 3sin (0 2 + 0 3)2 h - . r e ( ( 1 / : 一: ) w 2 ) 2 1 -( a ) d二 = c 2 十t 1 r 3co s (0 1 + 0 3) - r 2r3c o s (0 2 + 03)2 h - 2 i m( a 一w一 取z 为非纯虚数的虚数( 保证a o f ) ，z v r， : 561 。 且使得a o0 , f 0 0 ， 则由( 3 ) 式可求出w : 所对应的特征函数为 e a t + i b t a t 十i b t 同理可求出u : 所对应的特征函数 e f t + i d t e f t + i d t 且w o , 劝 。 均为( 3 .1 b) 式的解. 令o n =n 1 w 0 ，o n =n 2 0 0 ，w n =k l ,p n + k 2 o n ， 由 定理4 .3 知0 。 为 方程( 3 . 1 ) 1 4 硕士学位论文 v 1a s i e r s t h e s i s 的解. 0 . 1 =了 z 0 . 1 =一1 i h q 一 al i h q y n l : 无 1 w . , k 1 o n , +k 2 砂 。 : 二k 1 f t 梦 lp o , +k 2 f t z 叻 。 : ， i h q认qi h q k 1 1f n , 1z 一 。 2 i h q 1 k 2 v g n 奋 一 “ 1 i h q 1 k 1 / 2 1 ag o , +合 一 / t 2k 2 / 1 2 劝 。 ; ， k 2 o n 牙 一 p i ion, 12 = k 2 1a l l2 n e 2 a t z 一a 1 i h q -k 2 拜2 明0 , , 一 井2 + k 2 in 2 12 n e 2 f t + k l k 2 e (a + f ) t ( n ,i f t 2 e i (b - d )t + nn, e i( d - b ) t )1 2 e i w n z l2 = ( z 一 h 1 ) ( =z 一 it,) + k l k 2 h 2 e 2 e (a + f )t r ( z 一 “ 2 ) ( z 一 h 2 ) p i x e i ( b - d ) t + 气 a j -t2 e (d - n )t ( z 一 u l ) ( z 一 a z ) ( z 一 il z ) ( z 一 ftl) 、:一 i, _ r k i i l i2 n e 2 a t 1 k 2 ip 2 i2 n e 2 f t . ， w n 1 w n 2 一一 “ w ( 一 节 厂 一一 一-t- 一了 一 一 一一 一 凡“ 一 ( a + f ) t i h 1 2 e i ( b - d ) t1 ti 2 、 一丁一 . h 1 f t 2 e i ( d - a )t 十一了一- 月 牙 一 a i牙 一 9 2牙 一 /-t2 -z 一 a l 。_ z ( i w n 1 i2 一z i iw n n 12 ) 呵n- tl n - 下 了 一 下 万 一 一 丁 一 不 石 一 下一十 截i 9 n 2 1 一i 引州0 . 1 1 勺 i z 2 ( iz ia 一 1 ) w . a2 h lz l2 z ( i w n 2 i2 一卜 12 1叻 。 ， 12 ) 因 为a + f 在2 a 与2 f 之间 ， 所 以 当t -4士 0 0 时，e ( a + f )t 项 均略 去 ， 只留 下。 s a t 或。 2 f 项. 从而当t - 3 1 0 0 时， 有 命 + 一闻 - 1上一一2 巧 一 ，.人1名 z 1 一z i2 h 2 c 2 i 一 1 ) 早 一 q n - 4 h 2 c 2 一 卜 2 z ( - ,a i + 武+ z (1 - t i)(1 - p i) , 2 2、z- 乙 i - 巧 ) z l z 马) 二q e 2 e i 它是环4 的一个旋转， 而且该旋转与七 ， n 无关， 故q 。 收敛于4 . 附注: 1 (香 一 。 1)(叠 一 、 ) 一 h 2c2 ， 其 中 ， 一 1 ,2 ; 2 ， 证明:当n 充分大时，a f当且仅当z 为非纯虚数的 虚数; ( 反证) 若a =f ， 则0 2 + 0 3 = k 7 r ; ( : + 与2 一 4 ( 1 一 h 2 c 2 ) = r 2 e i e ， 可推出 r 2 e 2 0 2 12=， 若 e 2 e , i + 4 h 2 c 2 , r 2 e 2 e 3 一 r 2 e 2 0 , i2=- 4 h 2 , 1 ( r 3 一 r 22 ) c a s ( 2 b 3 ) + i ( r 3 + r 若 ) s i n ( 2 b 3 ) = - 4 h 2 c 2 s i n ( 2 b 3