（应用数学专业论文）二维可压流体euler方程的几类流动结构.pdf

原创性声明 4 i r l f liifi r li l l l i ij rll ll l l lllll y 17 4 15 7 0 本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表和撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢 啻 j 签名： 越咻 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留沦 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名；逸五塑导师签名：她日期：竺( 。订 上海大学理学博士学位论文 二维可压流体e u l e r 方程的 几类流动结构 作老：赖耕 导师：盛万成 专业：应用数学 上海大学理学院 二零一零年五月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e d t os h a n g h a iu n i v e r s i t y 南rt h ed e g r e e ，1 _ 、 一 o tu o c t o ri nb c l e n c e s o m e t y p e so ff l o wp a t t e r n so f e u l e re q u a ti o n sf o r 11，1 c o r n p r e s s lb l en o wi nt w od i m e n s i o n s p h d c a n d i d a t e ：l a ig e n g s u p e r v i s o r ：s h e n gw a n c h e n g m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s s c h o o lo fs c i e n c e s ，s h a n g h a iu n i v e r s i t y m a y ，2 0 1 0 2 0 1 0 上海大学博士学位论文 摘要 本文主要研究二维可压流体e u l e r 方程的几类流动结构，它包括：简单波，v o r l n e u m a n n 反射结构，压力d e l t a 波和临界跨声冲击波 本文的第二章研究了二维等熵无旋定常简单波二维等熵无旋定常简单波是这 样一种类型的流动，它的流动区域是被一族直特征所覆盖，沿着每条直特征线u ，t ， 从而p ，p ，c 均为常数一个重要的性质是：与常状态相临区域内的非常状态流动总 是简单波根据波的传播方向我们得到了二维等熵无旋定常e u l e r 方程几类g o u r s a t 问题解的一阶导数先验估计利用这些先验估计我们构造了疏散简单波和疏散简单 波相互作用、疏散简单波在声速线上的反射、压缩简单波和压缩简单波相互作用逆 问题的全局解 本文第三章研究了二维等熵无旋拟定常简单波类似于二维等熵无旋定常简单 波，二维等熵无旋拟定常简单波的流动区域也是被一族直特征所覆盖，沿着每条直 特征乱，v ，c 从而p ，p 均为常数并且，与常状态相临区域内的非常状态流动总是 简单波；几何上，如果把简单波及其像表示在同一坐标平面下，那么它的像可以由 一单参数速度图曲线：= u ( s ) ，7 1 = v ( s ) 和一族以该曲线上的点为圆心c ( s ) 为半径 的声速圆来表示，其中c ( s ) 满足方程c ，( s ) 2 = ( 2 ) 2 ( ( s ) 2 + v t ( s ) 2 ) 每一条直特征 线均和相应状态的声速圆相切，并且它的方向和速度图曲线在相应点的切线方向垂 直我们还构造了绕一弯曲部拟流线的简单波结构以及两个疏散简单波相互作用的 全局解 为了解决y o nn e u m a n n 三波点悖论，c o l e l l a 和h e n d e r s o n ( j f l u i dm e c h ，2 1 3 ， 1 9 9 0 ，7 1 9 4 ) 在数值模拟弱冲击波反射问题时提出了一种新的反射结构，他们称之为 v o l ln e u m a n n 反射( v n r ) 他们所提出的这种反射结构中入射冲击波和m a c h 杆在三 波点处是光滑连接的，三波点实际上不存在而是退化为一个很小的弯曲的区域，流 动在该区域是压缩的理论上的一个问题是：这种反射结构是否是数学上可能的流 动结构我们在第四章证明对于e u l e r 方程该流动结构是不存在的 本文第五章在研究c h a p l y g i n 气体e u l e r 方程的二维r i e m a n n 问题的时候提出 了一类新的基本波：压力d e l t a 波这类d e l t a 波在一维流动中不会出现，但在二维 r i e m a n n 问题的解中会出现压力d e l t a 波是关于压强p 的d i r a c d e l t a 函数，这种 间断和零压流模型的d e l t a 波不同之处在于：零压流模型的d e l t a 波是由于输运现 象而造成的质量集中通过将二维拟定常c h a p l y g i n 气体e u l e r 方程的形式做一些 改变，我们能够在分布的意义定义这类d e l t a 波解根据弱解的定义，我们导出了 三垄更堡亟签些垄墨堕丛耋亟一丝塑 压力d e l t a 波的广义r a n k i n e - h u g o n i o t 关系 在用数 刚好为 2 0 1 0 上海大学博士学位论文 a b s t r a c t i l l i nt h i s p a p e r ，w ea r em a i n l yc o n c e r n e dw i t hs o m et y p e so ff l o wp a t t e r n so fe u l e r e q u a t i o n sf o rc o m p r e s s i b l ef l o wi nt w o - d i m e n s i o n s t h e s ef l o wp a t t e r n sa r es i m p l ew a v e s ， v o nn e u m a n nr e f l e c t i o nc o n f i g u r a t i o n ，p r e s s u r ed e l t a w a v e sa n dc r i t i c a lt r a n s o n i cs h o c k t h es e c o n dc h a p t e rc o n s i d e rt w o - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i ci r - r o t a t i o n a ls t e a d ys i m p l e w a v e s t h et w o - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i ci r - r o t a t i o n a ls t e a d ys i m p l ew a v ei sat y p eo ff l o w w h o s ef l o wr e g i o ni sc o v e r e db yao n ep a r a m e t r i cf a m i l yo fs t r a i g h tc h a r a c t e r i s t i c s ，a l o n g e a c ho fw h i c h ，ua n dc o n s e q u e n t l yp ，p ，cr e m a i nc o n s t a n t as i g n i f i c a n tp r o p e r t yi s ： an o n c o n s t a n ts t a t eo ff l o wa d j a c e n tt oac o n s t a n ts t a t ei sa l w a y sas i m p l ew a v e o n t h eb a s i so ft h ed i r e c t i o no fw a v ep r o p a g a t i o n ，w eo b t a i nt h ep r i o rf i r s t o r d e rd e r i v a t i v e e s t i m a t e so ft h es o l u t i o n st os o m et y p e so fg o u r s a tp r o b l e m s b yu s i n gt h e s ee s t i m a t e st h e g l o b a ls o l u t i o n st ot h ep r o b l e m so ft w or a r e f a c t i o ns i m p l ew a v e si n t e r a c t i o n ，r a r e f a c t i o n s i m p l ew a v er e f l e c t i o no ns o n i cc u r v e ，a n dt h ei n v e r s ep r o b l e mo ft w oc o r n p r e s s i o ns i m p l e w a v e si n t e r a c t i o na r ec o n s t r u c t e d t i l et h i r dc h a p t e rs t u d yt w o - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i ci r r o t a t i o n a lp s e u d o - s t e a d ys i r e p i ew a v e s s i m i l a rt ot h et w o - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i ci r r o t a t i o n a l s t e a d ys i m p l ew a v e ， at w o - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i ci r - r o t a ti o n a l p s e u d o - s t e a d ys i m p l ew a v ef l o wr e g i o ni sa s o c o v e r e db yao n e p a r a m e t r i cf a m i l yo fs t r a i g h t c h a r a c t e r i s t i c s ，a l o n ge a c ho fw h i c h 乱，影， ca n dc o n s e q u e n t l yp ，pr e m a i nc o n s t a n t ；a n dan o n - c o n s t a n ts t a t eo ff l o wa d j a c e n tt oa c o n s t a n ts t a t ei sa l w a y sa s i m p l ew a v e g e o m e t r i c a l l y , i fas i m p l ew a v ea n di t si m a g e sa r e r e p r e s e n t e di nt h es a m ec o o r d i n a t e ，t h ei m a g e so ft h es i m p l ew a v ec a nb er e p r e s e n t e db y ah o d o g r a p hc u r v e = 让( s ) ，叩= y ( s ) e q u i p p e dw i t hs o n i cc i r c l e sc e n t e r e da t ( 乱( 8 ) ，钉( s ) ) w i t hr a d i u sc ( s ) ，c ( s ) s a t i s f yc ，( s ) 2 = ( 孚) 2 ( 让7 ( s ) 2 + ( s ) 2 ) e a c hs t r a i g h tc h a r a c t e r i s t i c i st a n g e n tt ot h ec o r r e s p o n d i n gs o n i cc i r c l ea n di t sd i r e c t i o ni sp e r p e n d i c u l a rt ot h ed i r e c - t i o no ft h eh o d o g r a p hc u r v ea tt h ec o r r e s p o n d i n gp o i n t w ea l s oc o n s t r u c ts i m p l ew a v e f l o wc o n s t r u c t i o na l o n gap s e u d o - s t r e a ml i n ew i t hab e n dp a r ta n dt h eg l o b a ls o l u t i o n st o t w or a r e f a c t i o ns i m p l ew a v e si n t e r a c t i o n i no r d e rt or e s o l v ev o nn e u m a n nt r i p l ep o i n tp a r a d o x ，an e wr e f l e c t i o n ，c a l l e dy o n n e u m a n nr e f l e c t i o n ( v n r ) ，w a sp r o p o s e db yc o l e l l aa n dh e n d e r s o n ( j f l u i dm e c h ，2 1 3 ， 1 9 9 0 ，7 1 9 4 ) i ni n v e s t i g a t i n gn u m e r i c a l l yt h ew e a ks h o c kr e f l e c t i o n i nt h i ss h o c kr e f l e c t i o n f l o wp a t t e r n ，t h e r ei so nd i s c o n t i n u i t yi nt h e s l o pb e t w e e nt h ei n c i d e n ts h o c ka n dt h em a c h i v 二维可压流体e u l e r 方程的几类流动结构 -一一一 s t e m a n dt h et r i p l ep o i n ti sn o te x i s tb u td e g e n e r a t et oac u r v e db a n do fr e g i o n ，t h ef l o w i n t h i sr e g i o ni sc o m p r e s s e d at h e o r e t i t a lp r o b l e ma b o u tt h ev o nn e u m a n nr e f l e c t i o n i s i ft h er e f l e c t i o nc o n f i g u r a t i o ni sam a t h e m a t i c a l l yp o s s i b l ef l o wp a t t e r n i nt h ef o u r t h c h a p t e rw ep r o v et h a tt h i sf l o wp a t t e r ni si m p o s s i b l ef o re u l e re q u a t i o n s i nt h ef i f t hc h a p t e rw ep r e s e n ti ni n v e s t i g a ti n gt w o - d i m e n s i o n a lr i e m a n np r o b l e m s f o re u l e re q u a t i o n sf o rac h a p l y g i ng a san e wt y p eo fw a v e ：p r e s s u r ed e l t aw a v e s ，w h i c h i sa b s e n ti no n es p a c ed i m e n s i o n ，b u ta p p e a ri nt h es o l u t i o n st ot w o - d i m e n s i o n a lr i e m a n n p r o b l e m s t h i st y p eo fd e l t aw a v ei sad i r a ct y p ec o n c e n t r a t i o ni nt h ep r e s s u r ev a r i a b l e 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 第一章绪论3 1 1气体运动的e u l e r 方程 3 1 2 弱解和r a n k i n e - h u g o n i o t 关系 4 1 3二维r i e m a n n 问题5 1 4 几个典型的r i e m a n n 问题1 2 1 4 1 4 rr i e m a n n 问题1 2 1 4 2 冲击波反射问题1 3 1 5c h a p l y g i n 气体模型1 8 第二章二维等熵无旋定常简单波2 1 2 1r i e m a n n 不变量2 1 2 2 特征分解2 3 2 3 简单波的相互作用2 4 第三章二维等熵无旋拟定常简单波 2 9 3 1 广义特征分析2 9 3 垒简单波解3 1 3 3 简单波的几何结构。3 3 3 4c h a p l y g i n 气体e u l e r 方程二维r i e m a n n 问题中的简单波结构3 7 3 4 1 特征分解3 7 3 4 2简单波中的贯穿特征线3 8 3 4 3 4 jr i e m a n n 问题中的简单波结构4 0 3 4 4 简单波的相互作用4 3 第四章冲击波反射现象中的y o nn e u m a n n 反射结构4 6 4 1 位势流模型的一类不可能的v o i ln e u m a n n 反射结构4 6 4 2e u l e r 方程组的一类不可能的v o nn e u m a n n 反射结构5 0 】 2三垄! 堡亟堡里坐生燮丛耋亟堑丝煎 第五章二维c h a p l y g i n 气体的压力d e l t a 波 5 9 5 1 q 7 r 的情形5 9 5 2 q ：7 r 的情形6 2 5 3 压力d e l t a 波6 6 5 4 区域a c 内的流动6 8 第六章临界跨声冲击波 7 4 参考文献 7 7 博士期间的主要工作8 3 致谢8 4 第一章绪论 非线性双曲守恒律方程组是一个具有广泛实际和理论意义的领域，近几十年吸 引了众多的研究者1 9 8 6 年，美围国家科学基金委员会组织了许多著名数学家讨 论当前数学发展趋势，出版了一本小册子m a t h e m a t i c a l , i e n c e s - au n i f y i n ga n d d y n a m i cr e s o u c e ，其中提出了六个具有代表性的研究方向，非线性双l 拄 守恒律 方程组则是其中的第三个本文主要研究气体动力学的e u l e r 方程组 1 1气体运动的e u l e r 方程 气体的运动可以由如下e u l e r 方程来描述 风+ v ( p u ) = 0 ， ( p u ) t + v ( p uou ) 十v p = o ， ( p e ) t + v ( p u e + u p ) = 0 ， p = p ( p ，8 ) ，e = e ( p ，s ) ， ( 质量守恒) ( 动量守1 亘) ( 能量守恒) ( 1 l 1 ) ( 状态方程) 其中p ，u = ( i t i ，钆2 ，u 3 ) ，p ，s ，e 和e = 毕+ e 分别代表密度，速度，压强，比( 单位 质量气体的) 熵，比内能和比总能对于多方气体，气体的状态方程具有如下形式 p ( p ，s ) = ( 7 1 ) e x p c v l ( s 一8 0 ) ，e = ：笠 ，( 1 1 2 ) 、。- 、，- 。- ，一1 a ( s ) 其中丁= l i p 代表比容，绝热常数1 是介于1 到5 1 3 之问的常数，中等温度下空气 可以看成是, - = 1 4 的多方气体 e u l e r 方程组的最大特点在于解会产生间断( 即使初始数据非常光滑解都可能 在有限的时间内发生间断) ，冲击波就是一种压缩性的间断冲击波在很多地方都会 出现，如：超声速飞行的飞行物前面，炸弹的爆炸等1 8 5 8 年，r i e m a n n 抓住了 间断这一特点研究了一维e u l e r 方程在给定的初值为两段常数的c a u c h y 问题，此 后人们称此类问题为r i e m a n n 问题r i e m a n n 利用”r i e m a n n 不变量”独立发展了 简单波理论，并详细建立了冲击波理论尽管r i e m a n n 做出了错误的假设，认为穿 过冲击波的跃变是绝热的，但他开创了广义解的先河，他的思想为非线性双曲守恒 律的发展奠定了基石之后，r a n k i n e 于1 8 6 9 年指出穿过冲击波的跃变是非绝热 的h u g o n i o t 于1 8 7 8 年首先指出冲击波上的绝热过渡将违背能量守恒原理，事实上 3 4 三丝要墨亟整曼坚! 望查堡塑丛耋鎏望笪煎 h u 舯n l o ti i f u y lt 能量守恒意味着穿过冲击波时熵要发生变化r a n k i n e 和t t u g o n i o t 在那段时间独立的导出了穿过冲击波阵面时两边的气体所满足的三个关系式，即： 融n k i n e h u g o n i o t 关系1 9 1 0 年，r a y l e i g h 指出穿过冲击波阵面熵要增加由此， 一维r i e m a n ni = - i 题得到了彻底的解决，它的解由冲击波( s ) ，中心疏散波( r ) 和接 触问断( j ) 三类基本波构成，如图1 4 所示从上世纪四五十年代开始一维非线性 双曲守恒律的数学理论得到了飞速的发展，关于一维的内容读者可以参考著作( m f 8 1 ，【l s l ，【2 0 l ，1 6 7 i ) s j 一一 0 图1 1 一维r i e m a n n 问题的一个解 1 2弱解和r a n k i n e - h u g o n i o t 关系 物理上常见的非线性双曲守恒律方程组通常可以写成如下形式 u t 十d i v t l ( u ) = 0 ， ( 1 2 1 ) 其中t r + ，z r d ，d 1 ，u = u ( t ，z ) 舻，n 1 ，( u ) = ( 力( u ) ) n d 是佗d 的矩 阵 定义1 1 如果可测向量函数钍= ( 缸1 ，矿) ：qcr 十r d _ 舻满足 1 让l 2 d c ( q ) ， 2 f ( u ) l k ( q ) ， 3 对所有的咖钾( q ) 都成立 以也+ ，j ( t ) 。g r 8 d z 出现= 。，歹= 1 ，佗， 2 0 1 0 上海大学博士学垡笙整一 ! _一_-_j一 一 一 一 一一 则称钍在分布的意义下满足双曲守恒律组( 1 2 1 ) ，或称u 是( 1 2 1 ) 的一个弱解 对于c a u c h y 问题 卜川沁t f ( u ) = n 0 2 2 ) i 乱( o ，z ) = u o ( x ) ， 它的弱解可以按如下方式定义 定义1 2 如果可测向量函数钆= ( 缸1 ，珏n ) ：f o ，t lx 一r n 是( 1 2 1 ) 的一个 弱解，且 1 u ( o ，z ) = u o ( x ) ， 2 映射hu ( t ，) 是l o ，t 】到l k ( ) 的连续映射， 则称u 是柯西问题( 1 2 2 ) 的一个弱解 定理1 3 ( r a n k i n e h u g o n i o t 关系) 假设s 是( t ，茁) 空问的一个d 维的超曲面， 双曲守恒律组r 1 2 1 j 的一个弱解i t 在s 的两边有直到s 的光滑性，但穿过s 发生 间断那么，在s 上u 满足如下间断关系 妒，f ( 铭) ) 吲s = 0 ， ( 1 2 3 ) 其中秒为s 的单位法向量，【1 代表物理量在s 两端的跳跃 1 3二维r i e m a n n 问题 e u l e r 方程的二维r i e m a n n 问题是指给定如下初始数据 当望= t a n 0 时，( ，秒，p ，j d ) ( o ，z ，y ) = ( u o ，v o ，如，p o ) ( o ) ( 1 3 1 ) z 的c a u c h y 问题我们通常关心初始值为四片常数的情况，即： ( u ，口，p ，p ) ( o ，z ，秒) = ( 乱t ，仇，鼽，店) ， ( z ，y ) 第i 象限 1 = 1 ，2 ，3 ，4 ，( 1 3 2 ) 二维r i e m a n n 问题允许考虑所谓的自相似流动，即流动仅依赖于自相似变量 ：x l t 和叩= x 2 t 因此，在自相似变换下二维e u l e r 方程变为如下形式 戌一叩砌+ ( j d 仳) f + ( j m ) 7 = 0 ， ( 肚) 毒一叩( 舢) 叩+ ( p u 2 + 力荨+ ( 肚钞) ，72o ， ( 1 3 3 ) ( 舢) e 一叩( ) ，+ ( 肚”) f 十( p v 2 十p ) 叩= 0 ， ( p e ) 专一叩( p e ) 叼+ ( p u b + 卸) f + ( p v e + 叩) 叩= 0 ， 6 一一三丝! 堡亟堡堡竺! 竺塑堡必塑! ! 塑 一 r i e m a n n 初值( 1 ：；1 ) 变为：当詈2 t a n 口且2 + 叼2 _ + 。时 ( u ，口，p ，p ) ( ，叼) 一( u o ，v o ，p o ，p o ) ( 口) 通过引入拟流速( 【，y ) ：( u 一，秒一叩) ，方程组( 1 3 3 ) 可以写成如下形式 ( 1 3 4 ) 2 0 1 0 上海大学博士学位论文 7 那么存在一个区域，使得流动在该区域为拟亚声的( m v 西1 2 时( 1 3 2 3 ) 为椭圆 型的；当e 2 lv 1 2 时( 1 3 2 3 ) 为双曲型的 二维流动的一个研究难点和热点是跨声流问题通常情况下分隔拟超声流动区 域和拟亚声流动区域的曲线有两类：一类为声速线，另外一类为跨声冲击波对于 图1 3 ( i ) ：k e l d y s h 型问题；( i i ) ：t r i c o m i 型问题 一些常见的问题声速线两边的流动为等熵无旋的，所以这些问题可以用位势流模型 来研究声速线附近的流动令f ( ，7 ) = u 2 + v 2 一c 2 ，那么，由拟b e r n o u l l i 定律知 f 一2 妒一岩c 2 + 常数0 s 2 5 ) 由( 1 3 2 5 ) 可得 v f = 一2 ( 仉y ) 一型手圭半v c ( l a 2 6 ) l o 三丝旦堡鎏一e u l e r 堡堕丛耋亟垫垄塑 于是，由前面特征分析的结果和( 1 3 2 6 ) 可知；l 扫( 尬) 时有两个可能：对应于( 2 ) 的具有较小压力值p 2 的弱反射和对 应于( 2 ，) 的具有较大压力值砖的强反射有意思的是，在试验中只观测到弱正规反 射正规反射整体解的唯一性很早就引起了r o l ln e u m a n n 等人的注意( 6 0 1 ) ，这一问 题的数学理论仍是一个公开性的难题在文章( 1 6 3 ) 中，作者得到了一个o ( m i ) 的 一个显示表达式，使得当o w 万( 肼1 ) 时，强反射的反射冲击波波后的状态( 2 ，) 在反 射点r 处为拟亚声的，弱反射的反射冲击波波后的状态( 2 ) 在反射点r 处为拟超声 的当西( 尬) 护 - 6 ( m , ) 时，两种反射的反射冲击波波后的状态在反射点处均为 拟亚声的关于临界值口( 坛) 的选取，即正规反射到非正规反射的过渡r r 笃朋 一直是一个悬而未决的问题 2 0 1 0 上海大学博士学位论文 图1 9 其中实线为曲线p = 号一百( 尬) ，虚线为曲线口= 吾一万( 尬) 此处，入射冲击波强度坛用器来表 征图中显示了两条曲线之间有一段非常窄区域该数值算例出自【6 3 l 入射7 申击波强度不变且坡角变小时情况下就可能会出现m a c h 反射m a c h 反 射可以描述如下：一部分气体流过入射冲击波( i ) 和反射冲击波( r ) 两个波阵面，另 一部分气体流过一个冲击波阵面m a c h 波阵面( m ) ；这两部分气体穿过冲击波阵面 后，被一接触间断线( j ) 隔开，如图1 1 0 a 所示图1 1 0 b 给出了用( 口，p ) 极线来构 造三波点丁附近的m a t h 反射结构，通过状态( o ) ：( e o r ，p o ) 作冲击波极线a o ，同样过 a o 上的状态( 1 ) ：( 鳄，p 1 ) 作另一冲击波极线a 1 因为状态( 3 ) 是通过m a c h 冲击波与 状态( 0 ) 相连接的，所以点( 3 ) 落在a o 上另一方面，状态( 2 ) 是从状态( 1 ) 通过 一冲击波达到的，因此点( 2 ) 必须在a l 上又因为状态( 2 ) 和( 3 ) 具有相同的压力 和拟流速方向，所以a o 和a l 的交点就得到( 2 ，3 ) ( o ) ，。 厂 t 么 m f i 芝 ( 2 3 ) 回 i l ) i ( 0 ) 图1 1 0 ( a ) ：拟定常简单m a c h 反射t ：三波点；x ：三波点的轨迹与斜边的夹角 ( b ) ：利用( p ，p ) 冲击 波极线所表示的m a c h 反射 上面所描述的m a c h 反射结构是一个简单的数学模型，有许多现象与它极其符 1 6 三垄旦：焦鎏签些杰堡堕凸耋鎏梦笪塑 合但也存在着许多实验现象与三冲击波理论不一致的情况，例如：当入射冲击波 的强度非常弱的情况下在实验中观测到一些反射现象非常像m a c h 反射，如图1 1 1 所示，但是y o nn e u m a n n 三冲击波理论在三波点( 假没反射为m a e h 反射情况下) 附 近没有解，如图1 1 2 所示这种明显的理论和实验现象不一致最早由v o i in e u m a n n ， s e e g e r ，s m i t h 等人在广泛的计算比较中发现，后来称之为y o nn e u m a n n 三波点悖 论 图1 1 1 一个长的非常像m a c h 反射的反射结构 n 佩1sp o s i b l c 、! ? 、 、一二 - _ j 纛 。鼍淼 m i - j 、 a ij a 。 黜 ( 1 ) ( o ) e 图1 1 2c l a d 当( 磊，p 彬+ x ) 落在左图的曲线1 和2 之同时，过( o ) ：( 莳，v o ) 的i i p 击波极线a o 和过a o 上 的状态( 1 ) ：( 卯，p 1 ) 的冲击波极线a l 没有交点 为了试图解决这个悖论，g u d e r l e y 在1 9 4 7 年提出了一种修正的m a c h 反射结 构他是在三波点处添加个中心简单波( r ) 来对m a c h 反射结构加以修正的，如图 1 1 3 所示通过状态( o ) ：( 鳄，p o ) 作冲击波极线a o ，同样过a o 上的状态( 1 ) ：( 以，p 1 ) 作另一冲击波极线a 1 过a 1 上的状态( 3 ) 作简单波线( 注意：反射冲击波在t 点 的波后的状态( 3 ) 必须为拟声速的，这是由于如果( 3 ) 的状态为拟超声的那么与超声 冲击波的同类特征沿着特征方向是指向冲击波相矛盾) 由于状态( 4 ) 是从状态( 3 ) 2 0 1 0 上海大学撙士学位论文 1 7 通过一个中心简单波达到的，所以状态( 4 ) 落在过状态( 3 ) 作简单波线上 另一方 n 南 。p a 0 ( m 1 ) 时的位势流模型正规反射问题整体解的存在性；( 【6 】， 7 1 ) 研究了 非定常跨声小扰动方程( u t s d ) 的正规反射问题；【5 9 1 研究了c h a p l y g i n 气体模型 的正规反射问题；( 1 1 2 ，1 1 3 ) 研究了m a c h 反射结构的稳定性；【4 0 】证明了对于e u l e r 方程v o i in e u m a n n 反射结构是不存在的 1 5c h a p l y g i n 气体模型 c h a p l y g i n 气体是最早是由c h a p l y g i n ( 1 9 1 ) 引入的，随后钱学森( 1 7 2 ) ，v o nk a r m a n ( 7 3 1