（应用数学专业论文）抽象空间中的不动点问题.pdf

摘要 本文主要研究b a n a c h 空间和超凸度量空间中的不动点问题。在b a n a c h 空间中，研究了渐近伪压缩映象的迭代收敛问题；在超凸度量空间中，研 究了具有有限凸性的子集上的不动点定理。这些定理推广了文献中的相 关结果 关键词：渐近伪压缩映象；渐近非扩张映象；修改的i s h i k a w a 迭代序 列；超凸度量空间；具有有限凸性；不动点 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mi nb a n a c hs p a c e sa n dh y p e r c o n v e xs p a c e s i nt h eb a n a c hs p a c e ，t h ei t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o np r o b l e m so ff i x e d p o i n t sa r es t u d i e d f o ra s y m p t o t i c a l l yp s e u d o - c o n t r a c t i v em a p p i n g s ；i nt h eh y p e r c o n - v e xs p a c e ，w ee s t a b l i s hs o m er e s u l t si nt h es u b s e t sh a v i n gf i n i t ec o n v e x i t yp r o p e r t y t h e s er e s u l t se x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si nt h er e c e n tf i t e r a t u r e k e y w o r d s ：a s y m p t o t i c a l l yp s e u d o - c o n t r a c t i v em a p p i n g ；a s y m p t o t i c a l l yn o n - e x p a n s i v em a p p i n g ；m o d i f i e di s h i k a w ai t e r a t i v es e q u e n c e ；h y p e r c o n v e xs p a c e ；f i n i t e c o n v e x i t yp r o p e r t y ；f i x e dp o i n t s 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均己在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：里笙墨 硼年f 月哆日 第一章序言 不动点问题的研究具有重要意义和价值，许多物理现象的研究都转化 为对各种方程的研究，而许多方程解的存在性和唯一性都可以转化为对 抽象空间中的映象的不动点的研究。 不同的物理背景产生的方程既有联系又有区别，所得到的映象的性质 也有不同，在具体的物理背景下去探讨相应的映象的性质，运用泛函分析 的方法和算子半群理论来解决这些物理问题有着重要的实际意义不动 点定理的研究有许多经典的方法，如b a n a c h 压缩映象原理；紧映照的不 动点定理；保序算子的不动点定理等等。 这些经典的不动点方法解决了许多物理模型的解的存在性和唯一性， 促进了物理问题的解决，也发展了不动点问题的理论。 在抽象空间中探讨不动点问题，可以促进不动点问题的研究和发展， 丰富不动点问题的理论。 在h i l b e r t 和一致凸b a n a c h 空间中，b r o w d e r 2 】，g o e b e l 和k i r k 9 】，r h o a d e s 2 1 ，s c h u 2 3 ，x u 和r o a c h 3 0 等一些学者广泛的研究了非扩张映象，渐 近非扩张映象和渐近伪压缩映象等一些映象的迭代收敛问题。 在2 0 0 6 年，王和刘 2 8 】在一般的实b a n a c h 空间中研究了t 的修改的 i s h i k a w a 迭代序列，并得到了i s h i k a w a 迭代序列强收敛的充要条件。在本 文中，我们进一步在一般的实b a n a c h 空间中研究渐近伪压缩映象的收敛 问题，并给出了一些一般的结果。在我们的定理中，我们去掉了【2 8 的 t h e o r e m1 中的假设：( 1 ) 风q n ；( 2 ) ( 亡) t ，本文中的定理推进了 2 8 】中 的结果，并且我们的方法和 2 8 】中的也不相同。 在1 9 5 6 年，a r o n s z a j n 和p a n i t c h p a k d i 【1 】引入了超凸度量空间的概念 在1 9 7 9 年，s i n e 2 4 】和s o a r d i 2 6 】各自独立证明了超凸度量空间中的非扩 张映象的不动点性质，之后许多学者开始关注和研究超凸度量空间，并得 到了许多重要结果，读者可参考文后的文献。 最近，k h a m s i 【1 2 】在超凸度量空间中建立了k n a s t e r k u r a t o w s k i - m a z u r k - i e w i c zt h e o r e m ( 简称k k mt h e o r e m ) p a r k i s 一 1 9 】应用k h a m s i 定理，推广了 k h a m s i 建立的超凸度量空间的紧容许集上的单值连续映象的结果。在2 0 0 7 年，d u n ga n dt a n 【6 把上述结果推广到超凸度量空间的紧容许集上的多值 1 第一章序言 中国科学技术大学硕士学位论文 连续映象。 在本文中，我们应用 1 8 】中的重合定理，建立了两个超凸度量空间中 的一些结果，并给出了超凸度量空间中的一般的集合上的多值连续映象 的不动点定理。本文的定理了推广了文献 6 ，f 1 2 】和 19 中的结果。 2 第二章b a n a c h 空间中的i s h i k a w a 迭代序列 2 1引言 在本文中，我们假定e 是实b a n a c h 空间，口是e 的对偶空间，( ，) 是e 与驴间的配对，j 是正规对偶映象： j ( x ) = ，e + ：( z ，f ) = j i x lj j i f l l ，j i x l l = j i f l l ，z e 定义1 设d 是e 的非空子集，t ：d ( t ) ce _ e ， ( i ) t 称作是渐近非扩张的，如果存在一实数列_ ) c 1 ，) ，恕k = 1 ， 使得 l i p z p i | k i i x 一i i ，( 2 1 1 ) v z ，y d ( 丁) ，佗= 1 ，2 ， ( i i ) t 称作是渐近伪压缩的，如果存在一实数列 ) c 1 ，。o ) 一l i m 。k n = 1 ， 且vz ，yf t d ( t ) ，jj ( x y ) j ( x 一可) ，使得 ( t x p 秒，j ( x 一! ，) ) k n l l x 一可f f 2 ，( 2 1 2 ) n = 1 ，2 ， ( i i i ) t 称作是一致l - l i p s c h i t z i a n 的，如果存在常数l 1 ，使得 i i t n x p 可l i l l l x 一i i ，( 2 1 3 ) v 2 ，y d ( t ) ，恐= 1 ，2 ， ( i v ) t 称作是渐近半压缩的，如果存在一实数列_ k ) c 1 ，) ，恕k = 1 ， 及存在严格增加函数：【o ，o o ) _ 0 , o o ) ，矽( o ) = 0 ，使得v n21 ，v z d ( t ) ， v q f ( t ) ( 其中f ( t ) 为t 的不动点集) ，刍j ( x y ) j ( x 一爹) ，满足 ( p z 一口，j ( x g ) ) k n l l x 一口j j 2 一咖( 1 l x q 1 1 ) ( 2 1 4 ) 3 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章b a n a c h 空间中的i s h i k a w a 迭代序列 2 1 引言 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = 注记1 如果t 是具实数列 惫n ) c 【1 ，) ，l i mk n = 1 的渐近非扩张映象，则 t 是一致l - l i p s c h i t z i a n 的，其中l = s u p k n ) o 。，且t 也是渐近伪压缩映 n 之l 象。 定义2 设d 是e 的非空凸子集，丁：d _ d ，z o d ， q n ) ， 风) 是 0 ，1 】中 的两个数列。则由下式定义的序列 z n ) ： 1 2 ( 1 一q n ) z n + q n p ( 佗o ) ， ( 2 1 5 ) iy n = ( 1 一风) z n + 风p z n 称作t 的修改的i s h i k a w a 迭代序列。 引理2 1 1 例设e 是实b a n a c h 空间，歹：e _ 2 e + 是正规对偶映象。则对 任意x ，y e ， l | z + 1 1 2 i i z i l 2 + 2 ( ，j ( x + 可) ) ， v j ( x + y ) z ( x + 芗) 引理2 1 2 胆刀设_ q n ，_ 尻) 是两个非负数列满足：q 1 q n + 风，风 则l i mq n 存在 引理2 1 3 设西： 0 ，0 0 ) _ 【0 ，) 是严格增加函数，西( o ) = 0 【o l n ， 风) ， ) 是三个非负数列满足： q n 2 + 1 2 一风垂( q 叶1 ) + q 三，风= o o ， 。o ( 2 1 6 ) 则l i mq n = 0 证明由( 2 1 6 ) 我们有，q n 2 + 1 ( 1 + ) 三由此得， o 。 由 0 ，使得q n 量，vn n o 我们可假 设佗o = 0 ，则 圣( a n + 1 ) 圣( 芸) 0 ， v 仇0 由( 2 1 6 ) 式， a 3 一风西( 号) + c n = o 。 n = o 对vk 成立，令k o 。，得曼反 o o , 这与曼风= o 。因此 n = 0 n = o l i mq n = 0 口 2 2 主要结果 定理2 2 1 设e 是实b a n a c h 空间，d 是e 的非空闭凸子集假设以下条 件成立： ( h 1 ) 设t ：d _ d 是具实数列 k ) c 1 ，) ，l i mk n = 1 的一致l l i p s c h i t z i a n n + o 。 渐近伪压缩映象，且f ( t ) 0 ，q f ( t ) ( h 2 ) 设 q n ) ，【风) 是 0 ，1 中的两个数列满足 ( i ) a n = o o ； n - - o ( i i ) q 竹2 ，q 竹风 0 且存在n o ，使得x n 。= q 由( 2 1 5 ) 式并归纳得， z t l = q ， v 佗n o 所以( 2 2 2 ) 式成立。 情形3 若k 0 且vn n ( 非负整数集) ，z n q 定义 g t = 礼n ；i i x n + 1 一q l i 舌) ，t ( 0 ，k ) ， g k = 他n ；l l z n 十1 一q l i = k ) 注意到当n _ o o 时，x 竹_ q f ( t ) ，得对任意t ( 0 ，网，存在? 2 0 n ， 使得当n n o 时， i i z n q l i 0 盟k + 1 ( o ，k ) 在这种情形下，r t g t 州，则 妒( 1 l x n + 一q 1 1 ) = g ( t 饥+ 1 ) = 一m i n + ，k m l l x m + x - q 卜璺气警铲型 k n l l z n + 1 - q l l 一坚气笋 迦亡1 = k 由佗g k = n 蚝( o ，k ) g t ，我i f 3 有 ( i | z n + 1 一g i i ) = 矽( n + 1 ) = 一l i m k 一9 ( s ) = 。l i mm i n k m l l z m + 。- q l l 一坐挈等型) k n l l x 。, + x - q i i 坠气掣 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章b a n a c h 空间中的i s h i k a w a 迭代序列2 2 主要结果 因此( 2 2 2 ) 式成立，( 2 ) 得证。 口 定理2 2 2 设e 是实b a n a c h 空间，d 是e 的非空闭凸子集。假设以下条 件成立： ( h 1 ) 设丁：d d 是具实数列 ) c 1 ，。o ) ，l i m k n = 1 的渐近非扩张映象， 且f ( t ) 谚，q f ( 丁) 设定理2 2 1 中的条件( h 2 ) 和条件( h 3 ) 成立则定理2 2 1 中的结论成立 证明由t 是具实数列 k ) c 【1 ，) ，1 i mk n = 1 的渐近非扩张映象，知 7 l _ o 。 t ：d _ d 是一致l - l i p s c h i t z i a n 渐近伪压缩映象，其中l = s u p k n ) 于是 n 1 定理2 2 2 的结论可由定理2 2 1 推出 口 1 0 3 1引言 第三章超凸度量空间中的不动点定理 度量空间( z ，d ) 称作是超凸度量空间，如果对z 中任意 z a ：o t j ) 和 任意非负实数 ：q j ) ，当满足d ( x n ，即) + 印，vq ，卢，时，有 n b ( x 口，) d ， 其中b ( x ，r ) 是z 中以z 为心，r 为半径的闭球。 设a 是z 中的任意非空有界集，定义a 的凸壳c o a 为： c o a = n 0 ， 口 a f t ( a ) = f l b ( x a ，r a + ) o t 由引理3 1 1 知，如果a 是超凸度量空间中的容许子集，则肛) 也是 容许集。 我们需要下面的重合定理 引理3 1 2 口彰设日是超凸度量空间，xch ，z 是拓扑空间，且t c ( h ，z ) ，q ：x 哪z 是多值映射，及k 是z 中的非空紧子集假设以下条 件成立： ( i ) 对任意zex ，q ( z ) 是开集； ( i i ) t ( h ) nk cq ( x ) ； ( i i i ) 对任意n 歹( x ) ，存在紧超凸子集l ch ，ncl n ，使得t ( l n ) kc q ( l nnx ) 则存在m 厂( x ) 和x 0 c o m ，使得t ( x o ) n mq ( z ) ，即t ( c o m ) n n 茁m q ( x ) d 若h = z ，t = 1 日，则我们有下面的引理。 引理3 1 3 设z 是超凸度量空间，xcz ，q ：x z 是多值映射，及k 是 z 中的非空紧子集假设以下条件成立： ( i ) 对任意x x ，q ( z ) 是开集； ( i i ) kcq ( x ) ； ( i i i ) 对任意n ，( x ) ，存在紧超凸子集l ncz ，ncl n ，使得l n kc q ( l nn x ) 则存在m 芦( x ) ，使得c o mnn x mq ( x ) 谚 12 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章超凸度量空间中的不动点定理 3 2 主要结果 3 2 主要结果 下面给出在超凸度量空间的一般的子集上取值为容许集的多值连续 映象的结果 定理3 2 1 设日和z 是两个超凸度量空间，x 4 ( 日) ，映射t ：x z 是 p r o p e r ，m a 映射，k 是t ( x ) 中的非空紧子集，且t ：x 却z 是取值为容许 集的连续映象 ( h 1 ) ：假设对任意n 厂( x ) ，存在紧超凸子集l ncx ，ncl n ，使得对任意 童t ( l n ) k ，有 d ( 玩r ( z ) ) 0 ，t ( b ( x o ，6 ) ) d b ( t ( x o ) ，j ) 则或者存在x o t - 1 ( k ) ，使得t ( x o ) t ( z o ) ；或者存在x o t - 1 ( k ) nb d ( x ) ， 使得 0 d ( t ( x o ) ，t ( z o ) ) ) d ( 可) ，r ( z o ) ) ，vy x 证明假设对任意z t - 1 ( k ) ，存在y x ，使得d ( 亡( 可) ，t ( z ) ) c 亡) q ( z ) ，及序列 z n c 13 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章超凸度量空间中的不动点定理3 2 主要结果 x ，使得蜘= 芒( z n ) _ y o ( n _ ) ，z n = t - 1 ( ) 。由y ：= ；礼= 1 ，2 ，) u 珈) 是紧集，得亡- 1 ( y ) 也是紧集，则存在子列，仍记为 z n ) ，使得 x 竹_ x 0 ( t t _ 。o ) 由此d ( 亡( z ) ，t ( x n ) ) d ( t ( x n ) ，t ( x 竹) ) ，v 礼1 ，由t 和t 的 连续性，得到d ( 亡( z ) ，t ( x o ) ) d ( t ( x o ) ，t ( x o ) ) 于是y o = t ( x o ) 丢( x ) q ( z ) ， 所以q ( z ) 是开集。 ( i i i ) 由条件( h 1 ) ，对任意n 厂( x ) ，存在紧超凸子集l ncx ，ncl n ，使 得( 3 2 1 ) 式成立，于是t ( l n ) kcq ( l ) 因此映射q 满足引理3 1 2 的所有条件，则存在m 厂( x ) ，使得 t ( c o m ) nn z mq ( x ) 仍。假设m = x l ，x 2 ，z n ) 任取雪t ( c o m ) nn 茁mq ( z ) ，则存在圣c o m ，使得雪= 亡( 奎) ，且 d ( ( z ) ，t ( 岔) ) 0 使得d ( 童) ，t ( 童) ) 一留 0 ，及d ( ( 承) ，t ( 童) ) d ( 亡( 岔) ，t ( 童) ) 一叼，i = 1 ，2 ，扎则亡( 甄) ：= 肌( t ( 孟) ，t ( 孟) ) 一叼( t ( 岔) ) ，i = 1 ，2 ，礼。于是( m ) c 注意到t ( 岔) 是容许集，由引理3 1 1 知也是容许集，又映射t 是m a 映射，所以雪= ( 面) t ( c o m ) c ，于是d ( 亡( 圣) ，t ( 圣) ) d ( 亡( 孟) ，t ( 面) ) 一叩，矛 盾。 所以，存在如t - x ( k ) ，使得 d ( t ( z o ) ，t ( z o ) ) d ( 亡( 可) ，t ( z o ) ) ，vy x ， 因此( 3 2 2 ) 式成立。 下面证明在条件( h 1 ) 和( h 2 ) 下，我们有： ( i ) 如果d ( t ( x o ) ，t ( 知) ) = 0 ，则由t ( z o ) 的闭性，知t ( x o ) t ( x o ) ( i i ) 如果d ( t ( x o ) ，t ( z o ) ) 0 ，贝00 d ( 亡( z o ) ，t ( z o ) ) d ( 亡( ) ，t ( z o ) ) ，vy x 在这种情形下，我们证明z o s d ( x ) 假设i n t x ，令d ( t ( x o ) ，t ( z o ) ) = 6 ，选取口，使得0 仃 6 ，及 b ( x o ，巧) cx 1 4 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章超凸度量空间中的不动点定理 3 2 主要结果 于是，对y b ( x o ，盯) ， 盯 5 = d ( t ( x o ) ，t ( x o ) ) d ( 亡( 可) ，t ( z o ) ) ( 3 2 4 ) 则存在z o t ( 铷) ，使得d ( t ( x o ) ，z o ) 6 + 号因为z 是超凸度量空间，知 b ( 亡( z o ) ，盯) nb ( z o ，6 一号) 0 选取y o b ( t ( x o ) ，盯) nb ( z o ，6 一号) ，贝! jy o b ( t ( x o ) ，仃) ，及d ( z o ，y o ) 6 一羞， 所以 d ( y o ，t ( x o ) ) d ( y o ，z o ) 6 一苦 6 = d ( t ( x o ) ，t ( z o ) ) ， ( 3 2 5 ) 注意到b ( t ( x o ) ，盯) ct ( b ( x o ，盯) ) ，得到( 3 2 4 ) 式和( 3 2 5 ) 式矛盾。因此x o b d ( x ) ，于是黝t - 1 ( k ) nb d ( x ) n 定理3 2 2 设z 是超凸度量空间，k 是z 中的非空紧子集，e 是z 中 的具有有限凸性的闭子集，且t ：e 呻z 是取值为容许值的连续映象。 假设对任意n 厂( e ) ，存在紧超凸子集l ncx ，ncl n ，使得对任意 x en ( l n k ) ，下式成立 d ( y ，7 ( z ) ) d ( x ，t ( z ) ) ，对某个y l n f i e ( 3 2 6 ) 则或者存在x o k ，使得z o t ( x o ) ，即z o 是t 的不动点；或者存在 x o knb d ( e ) ，使得 0 d ( x o ，t ( z o ) ) d ( y ，t ( z o ) ) ，vy e 证明假设对任意z k ，存在y e ，使得d ( y ，t ( z ) ) 0 ，及d ( x ，t ( 圣) ) d ( 矛，t ( 童) ) 一叼，i = 1 ，2 ，佗。贝i jx i ：= 人6 ，t ) ) 一7 ( t ( 矛) ) ，i = 1 ，2 ，佗。于是mc 注意到t ( 岔) 是容许集，由引理3 1 1 知，也是容许的，则岔c o mc = 舭( 童，t ( 童) ) 一叼( t ( 圣) ) ，矛盾。 所以，存在黝k ，使得 d ( x o ，t ( x o ) ) sd ( y ，t ( 黝) ) ，vy e 如果d ( x o ，t ( z o ) ) = 0 ，则由t ( 黝) 的闭性知如t ( x o ) 。 如果d ( z o ，t ( x o ) ) 0 ，贝00 d ( z o ，t ( z o ) ) d ( y ，t ( x o ) ) ，vy e 在这种情形下，我们证明z o s d ( e ) 。 假设x 0 i n t e ，令d ( z o ，t ( 黝) ) = 巧，选取盯，使得0 盯 j ，及b ( 黝，o r ) c 于是，对y b ( z o ，矿) ， o r 6 = d ( x o ，t ( z o ) ) d ( u ，t ( 黝) ) ( 3 2 9 ) 则存在y o t ( z o ) ，使得d ( x o ，y o ) 6 + 考。因为z 是超凸度量空间，知 b ( x o ，仃) nb ( y o ，6 一暑) d 1 6 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章超凸度量空间中的不动点定理3 2 主要结果 选取z o b ( x o ，仃) ob ( y o ，6 一号) ，则z o b ( x o ，盯) ，及d ( y o ，徇) 巧一薹，所 以 d ( z o ，丁( z o ) ) d ( z o ，y o ) 6 一昙 6 = d ( x o ，t ( z o ) ) ， ( 3 2 1 0 ) ( 3 2 9 ) 式和( 3 2 1 0 ) 式矛盾。因此x o b d ( e ) ，于是x 0 k nb d ( e ) n 注记2 如果z 是超凸度量空间，k a ( z ) 是紧的，令l = e = k ，假设 t ：e z 取值为容许集的连续映象，则l k = 0 ，注意到定理3 2 2 中 定义的映射q 仍然满足引理3 1 3 中的性质( i i i ) ，因此q 满足引理3 1 3 中 的所有条件，于是定理3 2 2 的结论成立。在这种情形下，定理3 2 2 即为 6 】中的t h e o r e m 2 ，因此定理3 2 2 推广了 1 9 】中的t h e o r e m 4 ， 1 2 中的一个 l e m m a ，及【6 中的t h e o r e m 2 由定理3 2 1 ，我们有下面的结果。 定理3 2 3 在定理3 2 j 的假设条件下，存在x o x ，满足t ( x o ) ? ( z o ) ，如 果对亡( z ) gt ( x ) 的所有x t - 1 ( k ) nb d ( x ) ，下面条件中的一个成立： ( i ) 存在y x ，使得 d ( ( 可) ，丁( z ) ) d ( z ) ，t ( z ) ) ； ( i i ) t ( x ) nt ( x ) 仍； ( i i i ) 存在a ( 0 ，1 ) ，使得 t ( x ) n 儿( ( 霉) ，t ( z ) ) ( t ( z ) ) 国； ( i v ) 存在a ( 0 ，1 ) ，使得 t ( x ) nb ( z ，o d ( 亡( z ) ，t ( z ) ) ) on 1 一口) d o o ) ，t ) ) ( t ( z ) ) 0 证明( i ) 如果对任意z t - a ( k ) ，t ( x ) gt ( z ) ，则由定理3 2 1 得，存在x o 亡- 1 ( k ) ns d ( z ) ，使得 0 d ( 亡( z o ) ，t ( z o ) ) d ( t ( 可) ，t ( x o ) ) vy x ， 这与条件( i ) 矛盾。 1 7 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章超凸度量空间中的不动点定理3 2 主要结果 ( i i ) 如果t ( x ) nt ( x ) 0 ，则存在y o t ( x ) nt ( z ) ，及存在x o x ，使得 y o = t ( x o ) ，且d ( t ( x o ) ，t ( z ) ) = 0 。由d ( 亡( z ) ，t ( z ) ) 0 ，知条件( i ) 成立 ( i i i ) 选取y o t ( x ) n 比( t ( z ) ，t ( z ) ) ( t ( z ) ) ，则存在x 0 x ，使得y o = ( 如) ，且 d ( t ( x o ) ，t ( z ) ) a d ( t ( x ) ，t ( z ) ) d ( 亡( z ) ，t ( z ) ) ， 于是，由( i i i ) 可以推出( i ) ( i v ) 易知条件( i v ) 可以推出条件( i i i ) 口 和定理3 2 3 的证明类似，我们可得下面的不动点定理。 定理3 2 4 在定理了2 2 的假设条件下，t 有不动点，如果对xgt ( x ) 的所 有z knb d ( e ) ，下面条件中的一个成立： ( i ) 存在y e ，使得 d ( y ，t ( z ) ) d ( x ，t ( z ) ) ； ( i i ) ent ( x ) 仍； ( i i i ) 存在a ( 0 ，1 ) ，使得 e n 虬d ( z ，t ( 霉) ) ( t ( z ) ) 0 ； ( i v ) 存在a ( 0 ，1 ) ，使得 enb ( z ，a d ( x ，t ( z ) ) ) nn 1 一n ) d ( z ，t ( 。) ) ( t ) ) 0 注记3 定理3 2 4 推广了f 1 9 】中的t h e o r e m 5 ， 1 2 中的t h e o r e m 6 ，及 6 】中 的c o r o l l a r y l 下面举一个例子说明我们的主要结果。 例3 2 5 设z = 酞1 ，k = 【一；，3 】u 【1 8 ，2 0 cz ，e = 【一1 ，o o ) cz ，t ：e 川z ，且 对任意z e ，t ( z ) = 壶，甭3 + 2 】 则z 是超凸度量空间，k 是z 中的非空紧子集，e 是z 中的具有有限凸 性的闭子集，且t ：e z 是取值为容许值的连续映象 1 8 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章超凸度量空间中的不动点定理 3 2 主要结果 我们断言t 满足对任意ne 厂( e ) ，存在紧超凸子集l cz ，ncl ，使 得对任意x en ( l n k ) ，下式成立 d ( y ，丁( z ) ) d ( x ，t ( z ) ) 对某个y l n ne ( 3 2 1 1 ) 事实上，对任意n 9 v ( e ) ，令l = 一1 ，6 】，其中2 0 b 莉3 + 2 ，任取y ( 3 ，x ) cl nne ，则 d ( y ，t ( z ) ) 2y 一( 壶+ 2 ) z 一( 焘+ 2 ) = d ( z ，t ( z ) ) - 因此，p 2 ，1 1 ) 式成立。 因为knb d ( e ) = 一1 ) ，一1gt ( 一1 ) ，且t ( 一1 ) ne 仍，由定理了2 2 和 定理3 2 4 中的一砂知，存在z o k ，使得x o 是t 的不动点，事实上 f ( t ) = 【1 ，、7 ck 注记彳在上面的例子中，z = r 1 ，kg4 ( z ) 如果k 4 ( z ) 是紧的，令 l = e = k ，假设t ：e 川z 是取值为容许值的连续映象，则对任意 n ，( e ) ，ncl ，且l k = 仍，于是有由定理3 2 2 后的注记2 知，存 在x oek ，使得 d ( x o ，t ( x o ) ) d ( y ，t ( z o ) ) ，vy e 参考文献 【1 】n a r o n s z a j n ，p p a n i t c h p a k d i ，e x t e n s i o no fu n i f o r m l yc o n t i n u o u st r a n s f o r m a - t i o n sa n dh y p e r c o n v e xm e t r i cs p a c e s ，p a c i f i cj m a t h 6 ( 19 5 6 ) 4 0 5 4 3 9 2 】f e b r o w d e r ，n o n e x p a n s i v en o n l i n e a ro p e r a t o r si nb a n a c hs p a c e s ，p r o c n a t l a c a d s c i u s a ，5 4 ( 1 9 6 5 ) ，1 0 4 1 1 0 4 4 3 】s h i h - s e nc h a n g ，o nc h i d u m e so p e nq u e s t i o n sa n da p p r o x i m a t es o l u t i o no f m u l t i v a l u e ds t r o n g l ya c c r e t i v em a p p i n ge q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e s ，j m a t h a n a l a p p l 2 1 6 ( 1 9 9 7 ) ，9 4 1 1 1 【4 】r u t hf c u r t a i n ，h a n sz w a r t ，a ni n t r o d u c t i o nt oi n f i n i t e d i m e n s i o n a ll i n e a r s y s t e m st h e o r y , s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 1 【5 】k l a u sd e i m l i n g ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ，s p r i n g e r v e r l a g ，c 1 9 8 5 6 】l a d u n g ，d h t a n ，s o m ea p p l i c a t i o n so ft h ek k m m a p p i n gp r i n c i p l ei n h y p e r c o n v e xm e t r i cs p a c e s ，n o n l i n e a ra n a l 6 6 ( 2 0 0 7 ) 1 7 0 1 7 8 7 】k l a u s - j o c h e ne n g e l ，r a i n e rn a g e l ，o n e - p a r a m e t e rs e m i g r o u p sf o rl i n e a re v o - l u t i o ne q u a t i o n s ，s p r i n g e r ，c 2 0 0 0 【8 】l e e v a n s ，p a r t i a ld i f f e r e r n t i a le q u a t i o n s ，a m sp u b l i s h i n g ，p r o v i d e n c e ，1 9 9 8 【9 】k g o e b e la n dw a k i r k ，af i x e dp o i n tt h e o r e mf o ra s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n - s i v em a p p i n g s ，p r o c a m e r m a t h s o c 3 5 ( 1 ) ( 1 9 7 2 ) ，1 7 1 1 7 4 【1 0 郭大钧，非线性泛函分析，山东科学技术出版社，2 0 0 1 1 1 】e i n a rh i l l e ，r a l p hs p h i l l i p s ，f u n c t i o n a la n a l y s i sa n ds e m i - g r o u p s ，n e wy o r k ， a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 1 9 4 8 1 2 m a k h a m s i ，k k ma n dk yf a nt h e o r e m si nh y p e r c o n v e xm e t r i cs p a c e s ，j m a t h a n a l a p p l 2 0 4 ( 1 9 9 6 ) 2 9 8 3 0 6 1 3 】m a k h a m s i ，w a k i r k ，c a r l o sm a r t i n e zy a f i e z ，f i x e dp o i n ta n ds e l e c t i o n t h e o r e m si nh y p e r c o n v e xs p a c e s ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 8 ( 2 0 0 0 ) ，3 2 7 5 3 2 8 3 2 0 参考文献 中国科学技术大学硕士学位论文 参考文献 1 4 】j h k i m ，s p a