（应用数学专业论文）某些带hardysobolev临界指标的半线性椭圆方程解的存在性问题.pdf

福建师范大学学位论文使用授权声明 本人( 姓名)林芳 应用数学所呈交的论文( 论文题目： 某些带临界s o b o l e v 指标的半线性椭圆方程解的存在性问题) 是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果本人了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交的学位论文，f 允诩：论文被查阅和借阅；学校可以公斫， 论文的全部或部分内容；学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) r 学位论文作者签名 私歹 签名日期塑塑二生习 指导教师签名 福建师范大学林芳硕士学位论文 摘要 本文主要考虑了一类半线性椭圆型特征值问题 慨p 奔i ，? 州毗 z q ， ( 尸1 ) z a q 其中qcr 是包含原点，有光滑边界的有界区域入 0 ，2 ( s ) = 必n - 2 ，0 s 2 ，0 p 0 ，当0 0 ； ( h 2 ) 1 i r a ， 2 ( 。) - 2 ) = ，对z q 一致成立_ ( x t ) l ( i t l 0v i t i 以及一类带临界s o b o l e v 指数的椭圆系统 i nq i 1 1q ， ( 恳) 其中qcr 是一个有光滑边界的有界区域，f ：q r r 叶r ，( z ，s ，t ) h f ( z ，s ，) ，只= 筹，e = 筹，2 = 箍为临界s o b o l e v 指数， f 满足一定的条 件 还考虑了一类带权重临界s o b o l e v 指数的非线性椭圆方程： r 旷p 南刮舭) + 带兰 ( b ) 其中qcr 是包含原点的有界光滑区域，0 p ( 瓶一口) 2 ，卢：= ( 学) 2 ，0 口 行，口b 0 ，2 ( s ) = 型n 必- 2 ，0 s 2 ，0 p 0 ，i f0 t o ； ( h 2 ) 脚，( z ，t ) ( i t l 2 。( 。) - 2 t ) = 0 ，f o re v e r yz q i i - a n dac l a s so fe l l i p t i cs y s t e mw i t hc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t s i nq i nq ( 岛) w h e r eqcr i sa nb o u n dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r y f ：q r r _ r ，( 。，s ，t ) hf ( x ，s ，) ，只= 丽8 f ，f t = 蔷，a n d2 。= 鹩i st h ec r i t i c a ls o b o l e v e x p o n e n t fs a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n s m o r e o v e r ，w ea l s oc o n s i d e rac l a s so fw e i g h t e dn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t hc r i t i c a l s o b o l e ve x p o n e n t ( b ) ：兰苫l z l 一2 口v t ) 一p z 1 2 ( 1 + 口) i i i g ( z ，t 正) +桨，i nq ， 川印 一 o n0 q 一 邓知 毗幔观 “ 萨 州嘞帅斗吲地 u 八一 粥m 也 w h e r eqcr ni sa no p e nb o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r ya n dc o n t a i n i n g t h eo r i g i n0 ，0 p ( 万一n ) 2 ，皿：= ( 丛产) 2 ，0 o 何，口b 口+ 1 ，p2 p ( n ，6 ) ：= j 孙w h e n 口= b = 0 ，v ( o ，o ) = 2 ：= 斋生i s t h ec r i t i c a l ls 。b 。l e v e x p o n e n t t h et h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w er e v i e ws o m eb a c k g r o u n da n dr e s u l t so na b o v em e n t i o n e d e l l i p t i ce q u a t i o n s i nc h a p t e rt w o w er e c a l ls o m eb a s i ck n o w l e d g eo fs o b o l e vs p a c 髂，s o m eb a s i c l e m m a sa n dg i v es o m en o t a t i o n s 。 i nc h a p t e rt h r e e w eu s et h ec o n c e n t r a t i o nc o m p a c t n e s sp r i n c i p l ea n dt h e m i n i m a xp r i n c i p l et os t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o no f ( 只) i nc h a p t e rf o u r 。w eu s et h el i m i ti n d e xt h e o r yt od e a lw i t h ( b ) ，w eo b t a i n t h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n sf o rt h ee q u a t i o n s i nc h a p t e rf i v e ，w eu s et h em o u n t a i np a s st h e o r e ma n dt h el i n k i n gt h e o r e m t og e tt h ee x i s t e n c e so ft h ep o s i t i v ea n dn o n t f i v i a ls o l u t i o n so f ( p 3 ) k e yw o r d s ：h a r d y s o b o l e vi n e q u a l i t y ；c r i t i c a lh a r d y - s o b o l e ve x p o n e n t s ；e i g e n - v a l u ep r o b l e m ；c o n c e n t r a t i o nc o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ；m i n i m a xp r i n c i p l e ；l i m i ti n - d e x ；m u l t i p l es o l u t i o n s ；s t r o n g l yi n d e f i n i t ef u n c t i o n a l ；c a 赶a x e l l i - k o h n - n k e n b e r g i n e q u a l i t y ；p o s i t i v es o l u t i o n ；n o n t r i v i a ls o l u t i o n i v 福建师范大学林芳硕士学位论文 中文文摘 许多实际的物理问题的求解都要归结为求微分方程的解，解的存在性问题有许 多种研究方法，如：不动点方法、拓扑度方法等，而变分法已经得到了越来越多学 者的关注与应用1 7 世纪后期，数学家们( 他们也是物理学家) 在探讨用微积分 解决更多物理问题中发现了一些新的数学问题，如微分方程问题，变分问题等( 见 【3 7 】) 历史上第一个变分问题是由牛顿提出并解决的，他在巨著自然哲学的数学 原理研究了在轴向以常速度运动而使运动阻力最小的旋转曲面必须具有的形状 1 6 9 6 年j o h a n nb e r n o u l l i 在教师学报上提出了著名的最速降线问题，引起了许 多数学家的兴趣；后来，n e w t o n ，l e i b n i z ，j o h a n nb e r n o u l l i 以及他的哥哥j a m e s b e r n o u l l i 得到了正确的解答因此，j o h a n nb e r n o u l l i 常被认为是变分法的发明 者到了1 8 世纪，e u l e r ，l a g r a n g e 等人的工作，逐渐形成了一个解决数学物理问 题的数学分支一一变分法 所谓变分法就是把求方程的解归结为求对应泛函在一定条件下的极值问题或临 界点问题极小极大方法是变分学中的一个重要的方法应用极小极大方法研究椭 圆偏微分方程的解的存在性时，可以用山路引理讨论非平凡解的存在性，它是1 9 7 3 年由a m b r o s e t t ia 与r a b i n o w i t zp h 得出的( 见 3 】) ，它形象地说明，从盆地中 心出发到盆地外部，必有一条道路从周围山脉的最低点越过，这个最低点就是泛函 的一个临界点山路引理以及各种山路定理的建立，特别是它们在非线性微分方程 各种问题的应用中取得了许多很有意义的新结果，吸引了不少的数学家从事临界点 理论的研究，从而使临界点理论及其应用的成果在近2 0 多年取得了重大的进展 山路引理在解的存在性方面起了重要的作用，是一个很有用的定理除了山路引理 外还有环绕定理等都是研究解的存在性的重要定理在研究方程多解性的时候，常 常用到对称山路引理、喷泉定理、还有指标理论等但是在研究微分方程解的时候 需要一个很重要的条件，那就是( ，s ) 。条件，这个紧性条件足应用上述的定理所不 可缺少的基本条件 根据s o b o l e v 嵌入定理，当q 是r n 中的有界区域时，嵌入映射懈一( q ) q 伊( q ) 在1 q 0 ，2 ( 5 ) = 必n - 2 ，0 s 2 ，0 p 0 ，当0 o ( f 2 ) 存在仍 0 ，2 7 2 使得 1 只( z ，s ，) i + l r ( 2 ，s ，) l c , ( i s l 一1 + l t l r - 1 ) ( f 3 ) 存在2 p 7 使得对任意 ，s ，) 西r 2 。有 0 1 ，0 e 专s 2 i q l - 1 使得对任意( z ，s ，) 西r 2 ，有 f ( x , s , t ) 2m ，叭) 等t 2 - - ( 一去 其中a 幻是硪( q ) 上特征值问题一u = a u 的第个特征值。s 是s o b o l e v 不 等式中的最佳常数，i q l = 厶i d x ( f 5 ) f ( x ，s ，t ) = f ( x ，一s ，- t ) 另外本文还考虑了一类带权重临界s o b o l e v 指数的椭圆方程 f _ d i v ( h 锄v u h 南砒u ) + 常i n q ( 岛) l 缸= 0 ， o na q 其中qcr 包含原点的有界光滑区域，0 i f 工 ( 循一口) 2 ，乒：= ( 学) 2 ，0s n 何，o b 0 ，对va ( 0 ，a ) ，问题( p 1 ) 有 一个非平凡弱解u a 圳( q ) ，且满足1 i 罂0 坝0 = 0 第四章，用极限指标理论讨论了( 尸2 ) ，我们得到的结论是， 若f 满足( f 1 ) 一( f 5 ) ，则问题( 恳) 所对应的能量泛函，有七o - 1 个临界值满足 0 c - k o + l c 一1 专s 2 ，即， ( b ) 有至少岛1 对非平凡弱解 第五章，用山路引理以及环绕定理讨论了( 忍) ，对于不同的p ，我们得到了相 应的解的存在性 i 第1 章前言 第1 章前言 1 1 研究背景及已有结果 首先看如下的带有临界h a r d y - s o b o l e v 指数的半线性椭圆方程。 - 舭叫许2 。1 i n 哦 ( 1 1 1 ) l i 仳= 0 ， o na q ， 这里q 是r 中包含原点的有界光滑区域，0 p 0 近几年来，形如( 1 1 1 ) 的方程引起了人们的广泛关注，如a 。f e r r e r o ，f g a z z o l a 【2 5 】得到了方程( 1 1 1 ) 当a 在较大范围时解的存在性；c a o ，p e n g 【8 】8 又考虑了该问 题的变号解的存在性；随后，c a o ，h a n 【7 】对该问题作了完整的回答；n g h o u s s o u b a n dc y u a n 【2 7 】对方程 卜舢= p 肾州m u ， i - 位= 0 ， z a q 中不同的q 与7 分别讨论了方程的解；杨。沈【5 1 】研究了方程 b p 许2 警仙 z q ， z a q 得到了该问题的多解存在性；对于含一般函数，( z ，u ) ，沈，李在【3 9 】中研究了p l a p l a c i a n 方程 0 ，对va ( 0 ，a ) ，问题( r ) 有 一个非平凡弱解u 6 硪( q ) ，且满足1 i r a 0 u a 0 = 0 ，。 u 1 _ 第四章，用极限指标理论讨论了( b ) ，我们得到的结论是t 若f 满足( f 1 ) 一( f 5 ) ，则问题( b ) 所对应的能量泛函厂有- 1 个临界值满足 0 c k o + l c 一1 斋s 2 ，即，( 岛) 有至少盎o - 1 对非平凡弱解 第五章，用山路引理以及环绕定理讨论了( 尼) 。对于不同的p ，我们得到了相 应的解的存在性 3 福建师范大学林芳硕士学位论文 第2 章预备知识 首先，我们先给出一些记号 除特别说明外，f 表示在q 上的积分厶c 或者q 都表示正常数 在第三章中，取础( q ) 的范数为l l t i i = 【f ( i v u l 2 一班2 - 2 ) 如 5 ，盯1 ( q ) 表 示础( q ) 的对偶空间 第四章中，取硪( q ) 的范数为0 u 0 = ( fi v 仳1 2 如) 1 2 x = 明( q ) 硪( q ) ，x 中的范数为l | ( t ，v ) l l x = ( 1 1 t 1 1 1 2 + t v l t 2 ) 专，0 a l 沁sk 是矾( q ) 上特征值问题一让= a t 的特征值序列， 【勺) 器l 是相应的正交特征函数，王k s p e m e l ，e 2 ，e n ) ，= 础( q ) 巩i t l l p = ( fl u l p d x ) 1 p 表示上尸( q ) 上的常用范 数，在述( q ) = 汐( q ) 汐( q ) 中我们取范数i ( 让，v ) l p = ( i 让瞎+ m ；) m 一表示弱收敛，一表示强收敛 在第五章中，对于p 【o ，( 镛一8 ) 2 ) ，。p 表示铝。( q ) 在范数i l u l l 。p ：= ( f ( i z r - 缸j v u i z p 南) 如) v 2 下的闭包由权重h a r d y 不等式( 参见【9 】) 上两篆商如而研1上( 嘲l v u l 2 ) 出， v t ( r ) ， 范数l i u l l 口 p 与通常范数( f 一2 口i w l 2 如) 1 2 是等价的其中，乒= ( n - 2 ) 2 。 在这里，我们也想提一下著名的c a f f a r e l l i k o h n - n i r e n b e r g 不等式( 参见【6 】) ： i z l - 6 p u l d x c 么6 l z l - 知1 w 1 2 d x ，v 心c 铲( r ) ， 对于c a f f m c l l i k o h n - n i r e n b e r g 不等式。我们可以定义最佳常数 5乙，a，p：=丑i二n，pf、t。，i)=-i：街， 从【3 0 】中的引理2 1 我们可以知道，对于0 p ( v 伍- a ) 2 ，特征值同题- d i v ( t x l 一2 4 v u ) - p 南= a u 有一个特征值序列满足0 a i 都有一收敛子列这里是e 的维子空间 定义2 o 6 僻作用的定义，西廖9 ，定义j 2 例赋范线性空间z 上的拓扑群g 作用是一个连续的映射 g z z ：【夕，叫g t 满足 1 牡= u ，( g h ) u = g ( h u ) ， 对vg ，h g ，2 h 夕u 是线性的 5 第2 章预备知识 定义2 0 8 巧膨，定义2 掣i 是一个指标。如果存在正整数d ，对于所有满足y 出n f xg = o ) 的d k 维子空间v 出e ，都有 i ( y 积ns 1 ) = k ， 这里两是z 中的单位球面，则称指标i 满足d 维性质， 设阢y 是z 的g - 不变闭子空间满足 这里y 是z 的无限维子空间，且 z=uok v = u t = l y j ， 其中y j 是y 的饥维g - 不变子空间，且满足ckc kc u = 1 ，2 ，) 令 乃= uok ， 对v a ，再令 a j = af 、z 定义2 o 9 阪限指标的定义， c s s , 定义2 刎令i 是满足d 维性质的指标 由i 可以诱导出极限指标： i ：e zu 【一，+ o 。) ： 满足 产( 月) = l i m s u p ( i ( a j ) 一码) j o o 定理2 0 1 西巩推论彳假设 f b 砂，c 1 ( x ，r ) 是g 不变的 俾砂存在x 的两个g 一不变的闭子空间，y ，其中疵m y = + o o ，x = oy 佃砂存在一列g 一不变有限维子空间mckc 巧，d i m = d 码，使 得v = 嘶 似，存在x 上的某个指标i 满足d 维性质 俾纠存在v 的g 不变子空间玢，露，m ，使得v = y oo 磊，且对于某 个如，k ，y oc ，d i m 一d m d k = d i m m 7 福建师范大学林芳硕士学位论文 俾砂| o t ，p ，o t 0 ，使得vu n 昂，( u ) 之口， i ( c ) v u o m ，( t ，) 卢 若i 是由i 诱导的极限指标则 勺2 i 。s u u a p f ( “) ，一七+ 1s j 一m 是f 的临界值， o t c 一1 c m p ，而且，若c = c l = c l + , r ，0 ，则 i ( 耽) r + 1 这里阪= t l x ；d f ( t | ) = 0 ，( u ) = c ) 引理2 0 2 ( s o b o l e v 嵌入定理，巧廖9 ，定理j 。驯下面的嵌入映射都是连续的t 日1 ( r ) cl p ( r ) ，2 p o o ，n = 1 ，2 ， 日1 ( r ) cl p ( r ) ，2 p 2 ，n 3 ， d 1 t 2 ( r n ) cl 2 ( r n ) ，n 3 引理2 0 3 ( r e l l i c h 嵌入定理， 西膨9 ，定理f 驯若iqi o o ，则下面的嵌入映 射是紧的： 础( q ) cz e ( n ) ，1 p 0 ，使得，( u ) o t ，i i = 1 l = p i ( i i ) 存在e 趴毋( o ) ，使得j ( e ) 0 令r 是e 中连接0 和e 的道路的集合，即 r = 7 c ( o ，1 】，e ) ：，y ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = e ) 8 第2 章预备知识 再记 c2 1 i n r ft m 【o a x l 】，( 7 ( 。) ) ， 则c d ，且若，满足( v s ) 。条件，那么c 是，的临界值 定理2 o 6 佛绕定理吐p 8 ，定理5 剐令e 是实b a n a c h 空间，e = vox ， 其中v 是有限维子空间设，c 1 ( e ，r ) ，满足( p s ) 条件，且 ( 1 ) 存在常数p ，口 0 使得f l o e n x q ， ( 2 ) 存在e o b lnx 以及r p 使得如果q 暑( 秀rnv ) o 7 el0 1 ，且；1 + i 1 = 1 若f 驴( q ) ，9 l 9 ( q ) ，贝0f ，g l 1 ( q ) ，且 l if ( z ) 夕( z ) l d x ( l if ( z ) i pd z ) 珈( 上i 夕( z ) f a 如) 1 。 h a r d y - s o b o l e v 不等式，( 见 2 7 】) 当0 0 ，使得对vt 础( q ) ，有 以, 厶f 阡l u l q z ，, a 。冬zl v u l 2 妇 c a t f a r e l l i k o h n - n i r e n b e r g 不等式t ( 见【6 】) ( 一b p i u l p 如) 2 p g ，6 h 吨。i v u l 2d x 其中n 3 ，一o o 0 ，2 ( s ) = 必n - 2 ，0 s 2 ，0 p 0 ，当0 0 ，| 尥 0 ，当 尥时，有 一主m t 0 ，使得f ( x ，) 一 j ， ，t ) t 口g ) ，故对v ，j 口0 ) 0 ，有f ( x ，) 一 ，( z ，t ) t 口( e ) + e l t l 2 。( 引 同理， | p 仁) 0 ，对v ，l f ( z ，) l p ) 4 - 2 ( “ 而且著e l 0 ，v 入( 0 ，”) ，问题( r ) 有一个 非平凡弱解t t a 明( q ) ，且满足 1 i m 。+ 0 u 1 1 = 0 3 2 一些引理 引理3 2 1 ( 集中紧性原理)若 u n ) c 硪( q ) 满足 u nju 讯h 1 ( q ) ， 一ua e o nf l ， i v u n l 2 一p ：j z j 2jf i nm + ( q ) ， l f t n l 2 ( 5 i z l - 4 耖i n 。m + ( q ) ， 1 1 t ，z z广凡广凡 也 版 旃 肌 z z z z 福建师范大学林芳硬士学位论文 则存在可数的指标集j 以及一系列的点( 巧) cr ，且存在一列 吩) ， 白) c 【0 ，+ o 。) ，歹z 满足 1 ) i ，= m 2 ( 。) 1 + 吩屯， 2 ) l w l 2 一p t 2 l z i - 2 + 岛疋， 3 ) 白地芎7 2 m 其中一i n f 川v 训2 一p u 2 2 ) 如( ，酽 。出) 2 1 2 - ( , ) ；心嘲( q ) 埘) ， 朋+ ( q ) 为有限正测度所组成的空间，瓦。为6 函数，且满足，如。( z ) 0 ) 如= 妒( z o ) ，v 妒c 铲( q ) ， 注3 2 2 该引理的证明类似于p z 定理9 2 町，这里省略 定义能量泛函 孙，= 狮v 砰一p 荠肛南臀如一a 脚慨2 1 ) 则对于vq o 础( q ) ，有 ( 拟加w pp 静肛哗产如一a m 啦( 3 1 2 2 ) 显然，由定义2 0 1 和定义2 0 2 可知，能量泛函( 3 2 1 ) 的非零临界点是问题( 尸1 ) 的一个非平凡弱解 类似于【2 7 ，引理4 3 】可证明下面的引理t 引理3 2 3 若 札n ) 在础( q ) 中有界，则j 仳硪( c o ，对v 硪( q ) ，当n _ 时。有 。 | # 一j 警池 接下来。还要引进两个有用的引理。 引理3 2 4 p z 推论7 3 纠设，c 1 ( x ，r ) 满足( p s ) c 条件，则c = ! n fi ( z ) 是，的一个临界值 引理3 2 5 卢，引理2 掣设f 满足( h 2 ) 且 牡n ) 在爿3 ( q ) 中有界，则刍t l 硎( q ) 以及【牡n ) 的子列，不妨仍设为 札n ) ，使得当n _ 0 0 时， | ，( z ，u n ) u n 一，( z ，t ) 让i 如一0 ， 第3 章一类带h a r d y - s o b o l e v 临界指标的半线性椭圆方程特征值问题 j i f ( z ，) u m ，咖i d x 一0 ，vu 硪( q ) 下面我们证明，满足局部( p s ) 。条件 引理3 2 6 设( h 2 ) 成立，a 0 ，则泛函厶( 让) 满足( e s ) c 条件，其中 c ( 一c 三一南糌入， = q 11 1 i 一高，) 吲= q ( 揣) i q l 这里口= 2 ( 暑) ( 2 ( 5 ) 一2 ) ，r = i n f riq cj b r ( o ) ，l q i 是q 的测度 证明。设( u n ) c 础( q ) 满足 厶( ) _ c ( 一o o ，( 互1 一雨1 ) 心一入 ) ， ( t ，1 ) _ 0i n 盯1 ( q ) 首先证明 u n ) 在嘲( q ) 中有界。 c + d ( 1 ) = 厶( 让n ) 一三( ( ) ，t ，1 ) = c 三一南，譬如一a ( 脚川一沁咖) 如， 由于 f ( 掣。) 一三他，) u n 口( e ) + i 牡。| 2 ， 所以 c + d ( 1 ) ( 互1 一高) 譬如粕i q i 一旭”如， 由r 。的定义知 - 紫蛇恧1 卜n 1 2 嗨慨 所以 c + d ( 1 ) ( 荟1 一雨1 地尼) 臀如也删 1 3 福建师范大学林芳硕士学位论文 因此只要充分小，就可得i 1 2 。) i z l - i d 埔界再由 ( 1 ) 圳= 扣1 1 2 一赤臀如一a m 如 得 = c + d ( 1 ) + 雨1 紫出+ a 脚抽 c + d ( 1 ) + 雨1 譬如圳+ 沁卜1 2 如 c + o ( 1 ) + c 2 + ( s ) + a 卢( e ) i q i + a e 冠c , 所以i i i i 是有界的 于是设u n 。t 在嘲( q ) 中，且满足引理3 2 1 的l ， 巧) ，( 白) ，【吩) 都存在 令卵( r ) 满足 l 慧 由( ( u n ) ，妒) = o ( 1 ) 得 z 展( 巧) ， z r b 知( 巧) ， z r ：i m f ( j v 训2 帅韶胁咖删出一学如 一a m ，u n ) 训妇 = 0 ， ，l i r a ( f , v 叫2 帅等肛学如一入m 隔) u n c d x ) = 一，l i mf u n v u 。v c d x 由h s l d e r 不等式以及0 u n 0 的有界性得，当_ 0 时。 。，t i m u 。v u 红v 西如i 第3 章一类带h a r d y s o b o l e v 临界指标的半线性椭圆方程特征值同题 熙( 卜训2 如) v 2 ( 硼v 卯如) v 2 一，l i m ( f 硼v 卯如) v 2 = c ( 纠v 卯出) 1 胆 g ，2 如) 六，m 如) 专 = c 三( 厶。勺，i 钍1 2 d z ) 专( 厶。q ，出) 斋 = c k 锱门厶川2 出) 由 = c ，m r 如) 专 由引理3 2 5 得 f l y ( z ，) 一，( z ，世) 让i 如- - , o ， 所以当礼_ 0 0 时 叭刚) 妒一m ，咖纠如c i ，( 刚。) t t n m ，小id a - - o ， 且由 小v 叫2 帅酗扣溅譬如一地 得 r j 仁一f ，d , ：- , x f f ( z ，h ) t 。妒t z z = 一n 1 i n t ，f t t n v 乱n v c l z ，( 3 2 3 ) 在( 3 2 3 ) 中令一0 得岛= 吩结合引理3 ：2 1 中的3 ) 得 吩= o ，或吩p ；( 。) ( 2 ( | ) 一2 ) 福建师范大学林芳硕士学位论文 若冶2 ( 。) ( 2 。( 1 ) 一2 1 ，则 c = 。l i m ( i x ( 一三( ( 吼t | ，1 ) ) = ，熙( ( 三一丽1 ) 譬如一a 弘小扣讪壮) ( 三一高) 虮a 弘( ) + 水1 2 ( 1 ) ) 如 ( 互1 一高) 譬如+ ( 三一南) p 辩“川 一沁r l 缸1 2 ( | ) 如， 当( 一南) _ r 略r h kfl ，t p ) 如o 时， c ( 壹一雨i ) p 严一a a g ) l a l l 0 ， 1 2 故只须 ( c 三一南，壶砒) 卜1 2 孔 因此取 1 ；一赤 2 一s 归互甫2 蕊而， 二 j eq 儿：v s i 这与已知矛盾所以吩= 0 ，于是 归臀 即 j 警“j 譬如 再由( ( u n ) ，u n ) _ 0 ，l 0 0 得 。j i m ( f ( i v 叫2 一p 品肛紫如一a m 出) = o ， 即 舰 v 训2 一p 静2 肛譬如+ a m 也妞 1 6 笙! 章一类带h a r d y - s o b o l e v 临界指标的半线性椭圆方程特征值问题 。2 4 2 2 。自自j i = = _ 目= 目- q = = ；： ：；：= ；_ _ l - i 由( ( 札n ) ，u ) _ 0 ，以及引理3 2 3 中的 牛d x - 辛f 产如m 嘲q ， 与引理3 2 5 中的 m ，) “d z - , f f ( 叩) t t 如 得 。一。l i r a ( v 印u p 群肛学如一a m ) = 弘v 小2p 砰u 2 肛譬如一a 他仳妃 所以 。l i m ( v 让一嚼) 如= f ( i v 印一番 由硪( q ) 是一致凸空问得，在础( q ) 中t 一心 引理3 2 6 证毕 3 3 定理3 1 2 的证明 由h a r d y - s o b o l e v 不等式与( h 2 ) 知。 厶( 让) ：如让i i 上 抽i 昙1 1 让1 1 z ：抽i z 一高譬如一a 脚，如 一南2 ( 8 ) - a ( 雕) 叫f 2 ) 出 一南i i u i l 2 ( ) - a 徘) i q i a 嘲卅小) 一c i i 训1 2 ( 5 ) 一a p ( e ) i q i ， 若”满足1 1 , , 1 1 = a 七，其中0 七 i 1 ，则 厶( u ) 三a 弛一c a 2 洳n 郑( e ) l q i = a ( 三a 2 k l c a 2 ( s ) k - 1 _ ( e ) i q j ) ， 1 7 福建师范大学林芳硕士学位论文 因为2 k 一1 0 令b 舻= “h o ( q ) ：1 1 u 1 1 舻) ，则当入( 0 ，入；) 时，对vu 百妒，有 厶( 让) 一c a 2 ( 。) 七一入p 0 ) l q i 一c ( a o ) 2 ( d 七一入；p ( e ) l q i ， 即厶( u ) 在瓦- 上有下界 又由( 日1 ) 知，取t ，卵( q ) ，0 口 0 ， 令6 = 蒜，则了a ； a 5 ，使得当入( o ，砖) 时，6 z 5 细，( z ，f ) 必= f ( z ，互1 t 口) ， i a ( t v 旧2 ( 扣1 2 - a 器) 所以了，当0 t 时，有h ( t v ) o ，使得当a ( 0 ，m ) 时，有 理( 揣) 0 ，当a ( 0 ，砖) 时， c 三一赤，p 渺枷= c 三一南，p 毋地( 赢) ( 三一南) 弘缈一a q 。 第3 章一类带h a r d y s o b o l e v 临界指标的半线性椭圆方程特征值问题 由引理3 2 6 知： 厶心) 在c 0 处满足( p s ) 。条件 取a = 仇t n n ，遐，越) ，对v 入( 0 ，”) ，在百”上用引理3 2 4 得，存在非平凡弱 解让 b a k ，它是一个局部极小点且厶( 缸 ) 0 ，而且满足当入_ 0 时，0 牡a i l _ o 口 福建师范大学林芳硬士学位论文 第4 章一类带临界s o b o l e v 指数的非耦合椭 圆系统的多重解 4 1 引言 最近几年，很多学者研究了导致不定泛函的椭圆方程或者方程组例如，在【4 】 中，b e n c i 假设x 是h i l b e r t 空间，f ( u ) = ；( 厶牡，让) + 西( 让) 满足( 尸s ) 条件，其中l 是有界自共轭算子，西7 是紧的在 2 1 】中，c o s t a 假设f ( u ) = ；( 己t ，t ) 一( u ) ， 这里qcr 是有光滑边界的有界开邻域，u hcl 2 ( q ) ，l 是l 2 ( q ) 的闭子空 问日上的一个无界自共轭算子，7 是紧算子以上两个作者都得到了无穷多个解 的存在性作为一个应用，c o s t a 在有界区域上考虑了以下的系统t 后来，李f 3 3 引进极限指标理论在b a n a c h 空间上考虑了强不定泛函( 所谓强不定 泛函指的是泛函在任意有有限余维数的子空间上都是上下无界的) ，他研究了以下 的椭圆系统： l p u = e ( z ，u ，口) ， i nq ， 一p = r ( z ，u ， ) ， i nq ， i t | i 触= 0 ，v o n = 0 在f 满足一定的条件下，他得到了一个无界的解序列在【2 8 】中，黄跟李应用对 称临界性原理跟极限指标理论研究了无界区域r 上的p - l a p l a c i a n 椭圆系统。 i nr ， i nr ， 其中1 0 ，2 r 2 使得 i e ( z ，s ，t ) i + i r ( z ，8 ，) i g ( 1 s l r - 1 + l t r - 1 ) ( f 3 ) 存在2 ，t 7 使得对任意( z ，s ，) 西r 2 ，有 0 1 ，0 ( 专s 州2 i n l 以使得对任意( z ，s ，t ) 豆r 2 ，有 f ( x , s , t ) 脚，叫) 等儿( 一万1 。2 其中a 硒是础( q ) 上特征值问题- a u = 入u 的第个特征值，s 是s o b o l e v 不 等式中的最佳常数，= 厶l d x 2 1 福建师范大学林芳硕士学位论文 ( f 5 ) f ，s ，) = f ( 正，一s ，一) 我们的主要结果如下， 定理4 1 1 设f 满足( f 1 ) 一( f 5 ) ，则问题( p 2 ) 所对应的能量泛函f 有岛j 个 临界值满足0 c b + l c l 专删2 ，即， ( b ) 有至少k o j 对非平凡弱 解 4 2 一些引理 首先容易得到( b ) 所对应的能量泛函为t ，( u ，t ，) = 一丢i v 让1 2d z + 去i v t ，1 2d z 一万1 l u l 2 d z 一万1 f u l 2 d z 一f ( z ，u ，t ，) d z 类似于 4 3 ，附录b 】，我们可以得到下面的引理t 引理4 2 1 假设f 满足( f 1 ) 一( f 2 ) ，则 ( 1 ) f c 1 ( x ，r ) ( 2 ) ( d f ( t t ，口) ，( 石，功) = 一v u v 石出+ v u v 石出一i 让2 - 2 u 石如 一坩。2 谛扣脚，u ，啦如 一r ( z ，u ， ) 石d z ( 3 ) ，的临界点与( b ) 的弱解一一对应 类似于【4 9 ，定理a 2 】，我们可以得到下面的引理， 引理4 2 2 假设1 0 ，盯 o o ，i c ( f i r 2 ，r ) ， ，( z ，l i 。1 j ) c 2 ( 1 + m r a + i i 跏) 则对任意的( t ，u ) l 2 ( q ) ，( ，牡， ) 护( q ) ，算子 孔：( u ，u ) hl ( x ，让，u ) 是鹋( q ) _ l ( f 1 ) 的连续映射 2 2 下面，我们验证( p s ) ：条件 引理4 2 3 设p 满足( f 1 ) 一( f 3 ) ，序列 【( 。，。) ) 满足( 心n 。，。) 。， 厶。( u 。，。) _ c ( 一o o ，丙1 一s n t 2 ，, i ，讥。( t | n 。，。) _ o ，当七一o o 时， 其中厶。= f i x 。若 ( u n 。，。) ) 在x 中有界，则 ( t t n 。，。) ) 有一子歹q 收敛于泛 函，的临界点 证明 九( u n - ，- ) = 一互1 j v 让。出+ 三j v 。1 2 如一去i 。1 2 如 一i 1 1 2 出一f ( - q 1 2 n k 出 c 对任意石，移h o ( q ) ， ( 4 2 1 ) ( 砺( “毗，a ( 瓦功) = 一v v 石如+ v ；v f d z 一i ，- 2 。石如一i 。1 2 - 2 。移如 一e ( z ，缸n 。，。) 矗如一e ( z ，u n 。，。) 一如 一0 ( 4 2 2 ) 由于( u 。，v n 。) 在x 中有界，我们可以假设 u n 。牡，- 一t ji n 础( q ) ； t 上n 七_ u a e o l ls z ， 七_ ，a e o ns 2 ， 则 f v u k v ed z - * f v u v 石如，v 。v yd z - - * f v t ，v 石如 由s o b o l e v 嵌入定理( 定理2 0 2 ) ，我们可以得到 t t i 。) ，( 。) 在