（理论物理专业论文）耦合量子线量子点体系中fano效应的研究.pdf

摘要 f a n o 效应是物理学领域中一种熟为人知的效应，主要出现在光学和凝聚态物 理中，来源于共振过程和非共振过程之间的量子干涉。量子点，尤其是耦合量子点 结构为电子的相干输运提供多条路径，我们可预期在量子点结构的电子输运谱中 会出现f a n o 效应。研究耦合量子线一量子点体系的电子输运过程中的f a n o 效应， 这是贯穿于本论文工作始终的一条主线。本文采用非平衡态格林函数方法，对两 种典型的耦合量子线一量子点结构中的f a n o 效应进行了较系统的理论研究，并得 到了一些有意义的结果。采用同一模型，我们探究了旁接两能级量子点的量子线 及耦合两能级量子点一单能级量子点输运中的f a n o 效应。我们发现，对于旁耦合 一个两能级量子点的量子线的线性电导呈现有趣的电导降中带电导峰的现象，这 种电导现象与f a n o 干涉效应有关。而对于耦合两量子点体系，线性电导表现为 有趣的多共振现象。其中f a n o 相消干涉导致了两个降的发生，而三个共振电导 峰则是共振隧穿的结果。f a n o 干涉导致电导峰的线型是典型的非洛仑兹型的。 关键词：f a n o 效应，量子点，量子线，电子输运 a b s t r a c t f a n oe f f e c ti sw e l lk n o w ni no p t i c sa n dc o n d e n s e dm a t t e rc o m m u n i t i e s i ta r i s e s f r o mq u a n t u mi n t e r f e r e n c eb e t w e e nr e s o n a n ta n dn o n - r e s o n a n tp a t h s q u a n t u md o t , e s p e c i a l l yc o u p l e dq u a n t u md o ts t r u c t u r e ，p r o v i d e sm o r et h a no n ep a t hf o re l e c t r o n s c o h e r e n tt u n n e l i n g , t h e r e f o r eo n ee x p e c t sf a n oe f f e c t si nt r a n s p o r tp r o p e r t i e so f q u a n t u md o ts y s t e m s t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oi n v e s t i g a t ef a n oe f f e c ti nt r a n s p o r t t h r o u g hc o u p l e dq u a n t u mw i r e d o ts y s t e m s u s i n gn o n e q u i l i b r i u mg r e e n sf u n c t i o n f o r m a l i s m ，w ec o n d u c tas y s t e m a t i ci n v e s t i g a t i o no nf a n oe f f e c t si nt w ot y p e so f c o u p l e dq u a n t u mw i r e - d o ts t r u c t u r e s b a s e do nt h es a m eh a m i l t o n i a nm o d e l ，w e e x p l o r ef a n oe f f e c t si nt r a n s p o r tt h r o u g haq u a n t u mw i r es i d e - a t t a c h e dat w o - l e v e l q u a n t u md o ta n dc o u p l e dq u a n t u md o t sw i t ht w ol e v e l sa n do n el e v e l o u rr e s u l t s d e m o n s t r a t ei n t e r e s t i n gr e s o n a n tp e a ks t r u c t u r e si nl i n e a rc o n d u c t a n c ed i pf o ra q u a n t u mw i r es i d e a t t a c h e daq u a n t u md o t s u c hap h e n o m e n o ni sad i r e c tr e s u l to f f a n oi n t e r f e r e n c e f o rt h ec o u p l e dq u a n t u md o ts t r u c t u r e ，t h el i n e a rc o n d u c t a n c e e x h i b i t si n t e r e s t i n gm u l t i p l er e s o n a n tp e a k s d e s t r u c t i v ef a n oi n t e r f e r e n c el e a d st ot h e a p p e a r a n c eo ft w oc o n d u c t a n c ed i p s ，w h i l et h r e er e s o n a n tp e a k si sd u et or e s o n a n t t u n n e l i n gt h r o u g ht h er e c o m b i n e dt h r e el e v e l so ft h ec o u p l e dq u a n t u md o ts t r u c t u r e 1 1 1 el i n e s h a p eo fc o n d u c t a n c ep e a ki sn o tl o r e n z i a nd u et of a n oi n t e r f e r e n c e k e y w o r d s ：f a n oe f f e c t ；q u a n t u md o t ；q u a n t u mw i r e ，q u a n t u mt r a n s p o r t i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签名：穆做 签字日期：沙刁年月莎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使 用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研 究生院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：锡拟 签字日期：。口7 年，月9 日 导师签名： 军甸抑 签字日期：1 月g 日 耦合量子线量子点体系中f a n o 效应的研究 第一章导论弟一早哥下匕 1 1 研究工作的概况 量子点的制各、性质及应用 微观粒子在块体材料里，在三个维度的方向上都可以自由运动。但当材料的 特征尺寸在一个维度上与光波波长、德布罗意波长以及超导态的相干长度等物理 特征尺寸相当或更小时候，微观粒子( 例如电子) 在这一维度上的运动会受到限 制，电子的能量不再是连续的，而显示出明显的量子效益。2 0 世纪7 0 年代，人们 提出应用两种性质不同的材料以薄膜的形式交替生长，宽能带的材料形成势垒， 窄能带的材料形成势阱，电子的运动被限制在阱中，通常将这种具有结构周期性 的材料称为超晶格或量子阱( q u a n t u mw e l l ) 。当微观粒子的运动在两个维度上受 到限制，仅在一个维度上运动未受到限制，我们称之为量子线( q u a n t u mw i r e ) 。 三个维度上均受到限制，其能极变为孤立的，同时由于电容的减小而出现库 仑阻塞效应，电荷的输运也发生量子化，能量在三个方向上都是量子化的，我们 称之为量子点( q u a n t u md o t ) 。量子点是三维空间的受限，因而量子效应比超晶 格、量子阱、量子线( 环) 更明显。所谓的量子点其实不是一个几何意义上的点， 而是具有一定大小的一个区域。目前，半导体微加工技术可以将多个量子点耦合 在一起。由于量子点排列的周期性，这种结构又称为量子点列阵( q u a n t u ma r r a y ) 或量子点晶体。无论是格子的空间对称性，还是量子点的尺寸、相互问耦合强度 都是可人为调控的，从而实现了操纵固体材料的梦想。a n d e r s o n 在1 9 6 1 年提出的 s - d 耦合模型中把量子点看成一磁性杂质原子( 局域磁矩) 。由于上述的原因，量 子点材料的态密度函数就像是单个的分子、原子那样，完全是孤立的函数分布， 基于这个特点，可制造功能强大的量子器件。因此，人类选择材料和器件模型时 的自由度大为提高，从这种意义上讲，量子点列阵的相关研究具有革命性的意义。 目前，己可制备各种不同形状( 盘状、球状，椭球状等) 、不同尺寸( 几纳米到几 一百纳米) 的各类量子点，其中的载流子数目可以人为控制。量子点材料的研究 是个十分活跃、前景广阔的研究领域，涉及物理、化学和材料等多学科。 1 9 8 6 年r e e d 等人首先报道了半导体量子点的制备，他们的量子点的宽度大约 是2 5 0 n m 1 。目前制备的量子点的线尺度可以4 , n 1 0 赃右，与材料中载流子 的德布洛意波长相当，一般情况下其中含有l 到1 0 0 0 个量子受限的电子。 现在制备半导体量子点比较成熟的方法有三种：一种方法是利用刻蚀量子阱 结构的方法生成量子点 2 3 ，如图l 所示。用这种方法制备量子点时，电子的运 动最初被限制在如图所示的i n g a a s 量子阱内。在m g a a s 表面沉积单个或多个半 硬学位论文 径大约为1 0 0 至2 5 0 n , n 的a u g e n i a u 金属电极，圆柱体最上层的黑色部分既可 以做为点接触电极，又可以作为抵挡b c l 3 气体的掩膜板。没有被掩膜板覆盖的 部分被b c l 3 气体腐蚀掉以后就形成了量子点结构。另一种是在二维电子气上加 负压。使电子在三维受限，形成量子点 3 ，如图z 所示。在g a a s a i g a _ s 形成的 半导体异质结构中，加负电压，耗尽栅极下面的电子，使得被栅极包围的区域和 二维电子气隔开，形成量子点。此方法的优点在于，形成量子点的大小、形状都 是可调的。缺点是受到超微细加工仪器的限制，会在加工的过程中导致量子点表 面产生许多的位错缺陷，而使得器件的性能远远达不到理论预期的水平。 图1 ：用刻蚀方法生成的量子点 图2 ：劈裂栅极方法制各量子点示意图 还有一种方法是分子束外延自组织生长形成量子点的方法 4 6 如图3 所示。 这种方法不需要精确的沉积电极或刻蚀，从而避免了腐蚀和再生长会引入大量缺 陷的问题，提高了量子点的均匀性和材料性能。由于它的生长工艺非常简单，所 以这种自组织生长方法是目前制各量子点中最有优势的方法。但这种方法的缺点 是量子点的几何形状、尺寸分布和密度较难控制。 i 岍 m b e w m q m m m d o l 自, m a t l o e 耦合量子线一量子点体系中f a n o 效应的研究 图3 ：分子束外延自组织制备量子点示意图 我们知道，量子点最本质的特性就是它的量子尺寸效应，对于宏观尺度的大块金 属，其电子能谱是准连续的。这主要是因为体系中电子数很多，一1 0 2 4 ，导致 费米波矢远大于电子许可态在k 空间中的间隔。在微粒的尺寸在几个n m 至1 十几个 n m 时，就导致了电子能级的明显分立。我们知道，量子点的尺寸就在这个范围之 内。由于它在空间的三个方向的运动都受限，自然它具有离散的能级，几各甚至 上千个电子电子被限制在极小范围的势中心，这与原子非常相似。所以量子点又 被成为“人造原子”、“超原予” 7 - 9 1 。若干量子点相互耦合又可以成为“人 造分子 。 量子点的另一个重要特征是库伦阻塞效应。由于纳米数量级的量子点的电容 c 仅为1 0 - 1 8 ，量级，但是要想增加或减少一个电子的电量e 时，点势能的变化可达 到几十m e v ，这个能量常大于热运动的能量k 。丁和电子的量子化能量。这意味着 当一个电子遂穿进入量子点后，它会阻止下一个电子进入量子点。这就是所谓的 库仑阻塞效应。此外，量子点还具有量子干涉效应、量子隧穿效应、多体关联效 应和非线性光学效应等。量子点的自身性质就决定了它广阔的应用前景。 量子点在光电子学、纳米电子学、生物医学、生命科学和量子计算等领域有 着非常广阔的应用前景 1 0 - 1 7 。量子点在电子器件上得到了广泛应用。基于库 仑阻塞效应可以制造单电子器件( 如量子点单电子晶体管、量子点单光子光源) 和量子点旋转门等多种量子器件。量子点光放器、量子点异质结场效应晶体管、 量子点红外控测器、量子点微腔光控测器、量子点网络自动机等都是量子点的具 体应用。其中，量子点红外探测器具有可以探测垂直x 射线的光、有利于制造温 度高的器件、降低热发射和暗电流以及不需要冷却等优点，已经成为光探测器研 究的前沿，将在夜视、跟踪、医学诊断、环境监测、空间科学等方面发挥着巨大 的作用。量子点在量子计算机方面有着潜在应用价值。量子计算机是应用量子力 学原理进行计算的装置。实现量子计算的关键是量子比特一基本信息单元。具有 两种状态的系统可以看作是一个“二进制的量子比特，而量子点的能级具有基 3 硕士学位论文 态和激发态，量子点系统又具有量子叠加性、相干性、纠缠性。故量子点的能级 可以当作量子计算的量子比特。 f a n o 效应也称为f a n o 共振 1 8 ，最初是在4 0 多年前，在原子物理中作为b r e i t - w i g n e r 共振散射的延伸提出来的。f a n o 效应是由一对竞争的光通道之间的量子 力学共振或干涉所产生的一种光谱失真。该效应在原子、大体积固体和半导体异 构体系的光谱中普遍存在。它反映了离散的能量状态( 如一个原子的能量) 是怎 样与其环境中的连续状态耦合在一起的。该效应已被广泛研究，通常研究工作都 是在低激发功率下的线性体系中进行的，利用耦合量子线一量子点体系进行的研 究对线性f a n o 体系的物理学问题进行探讨。虽然f a n o 效应的特性已经被理论研 究过 1 9 ，但是对于电子输运中的f a n o 效应的研究是最近才展开的 2 0 。 在实验上，表面原子的电镜扫描图和通过量子点的隧穿的f a n o 效应 2 1 2 2 都 已经被研究者观察到。 - 、 2 o c 山 m ln i t i a ls t a t e 图4 ：f a n o 共振的结构原理图 下面，我们简要的介绍一下f a n o 共振的原理，其原理图已在图4 中给出。我 们考虑分立的能级存在于连续态中的体系( 例如在a b 环中的一个臂上镶嵌量子点 的情况) ，体系的哈密顿量可以表示为： 日= 弓l ) ( 外+ e i ) ( i i + ( t | ) ( 外+ 一i ) ( f i ) e e 其中矽是能量为忍的局域态，是连续态中能量为e 的态。是连续态与局 域态的耦合强度。体系的本征态y e 可以表示为与沙f 的线型叠加的形式。我们 考虑最初有入射的f 态的电子，与系统的相互作用看作一个微扰t ，最终加入到系 统原来的线型叠加沙e 中。那么从i 态到沙e 态有两条路径：一个是通过连续态，一 个是通过共振态。通过共振态传输的可能性： l ( l r l 1 2p + g ) 2 l + s 2 4 耦合量子线量子点体系中f a n o 效应的研究 其中上式中有：g = 气亏笋，s 、r 分别是共振态的能级和共振态的宽度：q 被称 做f a n o 的不对称参数，其定义为： g = 兹 这样，我们就用参数q 来作为标志去衡量连续态与共振态的耦合强度。对于不同 的a ，f a n o 不同的线型可见图5 。 ? 8 + n 吖、一 ，i4 + _ 一 o 图5 ：不同结构参数的f a n o 线型图 量子点，尤其是耦合量子点结构，为电子的相干输运提供多条路径，在合适 的参数条件，一条或者几条路径为电子的隧穿提供共振通道，而其他的则起非共 振通道的作用。电子由于经过不同的隧穿路径而发生量子干涉，就可能在些结构 的电子输运谱中出现f a n o 效应。 1 2 本文工作的内容和意义 随着电子器件越做越小，具有原子、分子尺度的导体将会扮演一个不可替代 的重要角色，在这些导体中，量子效应和电荷量子化效应也越来越明显。由于电 子器件处于非平衡态导致其中的电子间库仑相互作用越显重要。非平衡格林函数 理论有效的处理纳电子器件中的非平衡电子输运。因此本文的研究主要包括下面 几个方面的内容：一是对是对旁耦合一个两能级量子点的量子线相干电子输运的 研究，通过研究我们发现，对于旁耦合一个两能级量子点的量子线的线性电导呈 现有趣的电导降中带电导峰的现象，这种电导现象与f a n o 干涉效应有关；二是对 耦合两能级量子点一单能级量子点结构相干电子输运的研究，我们发现线性电导 表现为有趣的多共振现象。其中f a n o 相消干涉导致了两个降的发生，而三个共振 电导峰则是共振隧穿的结果。由于f a n o 干涉导致上述两种情况的电导峰电子的线 型是典型的非洛仑兹型的。相信本文工作将会对耦合量子线一量子点体系的相干 电子输运的研究起到一定的促进作用，为人们进一步研究相干电子输运提供一定 5 硕士学位论文 的理论依据，尤其希望能为实验研究提供较好的理论参考。 6 耦合量子线量子点体系中f a n o 效应的研究 第二章基础理论及计算方法 2 1 非平衡格林函数法 自从上世纪五十年代后期将量子场论中的格林函数方法引入到统计物理中 以后，在研究多体系统的基态性质和热平衡态性质方面取得了很大进展。由于基 态是一个稳定状态，它的性质不随时间t 变化，渐近的入态和渐近的出态是一样 的，因此在基态上物理量的平均值和s 矩阵的矩阵元可以直接联系起来。这样就 有可能把量子场论中为计算s 矩阵而发展起来的一整套观念和工具移过来研究基 态的性质，发展了量子多体问题的格林函数方法。对温度不为零的热平衡态，物 理量的平均值不能简单的和s 矩阵的矩阵元相联系。但是在热平衡态上，密度矩 阵多具有一下形式：p = e x p f l ( f 一日) l 。其中= l 七f ，丁为绝对温度，为 系统的自由能，日为系统的有效哈密顿量。若将看作虚时间i t ，p 就和系统随 时间发展的算子e x p ( 一鼢1 成正比。利用这一性质，可以引进一个随虚时间轴发 展的s 矩阵和格林函数。这种格林函数被称作温度格林函数，它可以用来讨论系 统处于热平衡时的各种性质。为了解决处于非平衡态上物理量随时间的变化，在 六十年代初由s c h w i n g e r 、k e l d y s h 等人提出了一种新的格林函数，我们称之为闭 路格林函数或非平衡格林函数 2 3 2 5 。我们都知道，物理量的平均值是在固定 时间t 的状态上求得的，而场论的s 矩阵是由，= 棚的入态到r = c o 的出态之间的 跃迁振幅。为了使二者联系起来，要引进一个由f = 嘲的状态出发，沿t 轴到 r _ 0 0 ，再沿t 轴退回到f = 咱状态的全时闭路s 矩阵。这种闭路s 矩阵和物理量的 平均值可以直接联系起来。基于密度泛函理论的非平衡格林函数方法现在已经成 为研究电子输运性质的最主要的方法。这一方法的强大之处在于，导体两端的电 压直接参与自洽计算，把电压对体系的电子结构的影响充分考虑了进来，从而比 散射矩阵法更切合实际。散射矩阵法不能将电压考虑进去，因而计算出来的电导 只是平衡态下的电导，尽管也能利用l a n d a u r - b u t t i k e r 公式计算电流，但只能计 算极小偏压的电流，这时候电压对体系的电子结构影响很小，电导可以认为基本 不变。但是当电压较大时，必须使电压参量进入电子结构的自洽过程。同时，前 面的凝胶模型只是考虑了中间分子或团簇的原子结构，而导线的原子结构则未能 考虑。基于密度泛函理论的非平衡格林函数方法很好地考虑了上述问题。下面介 绍与本论文有关的格林函数的基础知识和利用格林函数计算量子点导体中的电 流的公式 2 3 2 5 。 2 1 1 平衡格林函数的定义 7 硕士学位论文 对于哈密顿为目的体系，平衡格林函数即所谓的时间序( t i m e - o r d e r e d ) 格 林函数定义为： g 7 ( r ，f ；厂：f 三- i ( t 9 ( r ，f ) y ( ， f | ) ) ( 2 一1 ) 其中沙( 厂，) 是h e i s e n b e r g 表象中的场算符，绳时间排序( t i m e - o r d e r i n g ) 算符， r ( 2 3 ) g _ ( ，t ；r , t 9 = 画伊( f ? 一f ) ( 2 4 ) g ( 2 5 ) g ( ，f ；，f - ) = 一f ( y ( r ，f ) 少( ，t g ) ( 2 6 ) 分别称之为“推迟( r e t a r d e d ) 、“提前 ( a d v a n c e d ) 、“小于( 1 e s s e r ) 和“大 于( g r e a t e r ) 格林函数。其中和，b ) = 【口，6 】+ 是费米子的反对易算符，( 是对 哈密顿砌基态求平均。g 异( ，f ；，：f ) 只在t t4 的时候不为0 ，表示体系中一个较 早的时刻t 时的微扰在t 时刻的响应。g 4 ( ，f ；，f ) 则只在t t 时不为0 ，表示在 一个较晚的时刻f 的微扰在时刻t 的响应。小于格林函数g ( ，f ；，i f ) 中产生算符和湮灭算符被反置，称为空穴传播子。以上 定义的各格林函数彼此并不独立。它们存在一下关系： g 置一g = g 一g 一g 】 【g 】= - g 。 2 1 2 非平衡格林函数方法 对于一个不能精确求解s h r o d i n g e r 方程的系统，其哈密顿可以写成两部分的 和，日= h o + q ，其中风是可以精确求解的，县是不能精确求解的部分，它和 凰相比不必一定很小。不去求解哈密顿为卸拘系统的s h r o d i n g e r 方程，而是利用 格林函数方法考虑一个哈密顿为矾的系统在“微扰q 的作用下如何演化。由 格林函数的定义可知，我们需要知道零温下哈密顿翻拘基态波函数y ( ，( f ) ，它是 在相互作用表象中表示的。我们仅需要知道在t = o 时刻的波函数少7 ( o ) = ( 0 ) 就 可以了，因为y 7 ( f ) 可以由下式得到，杪7 ( f ) = u ( f ) 少( o ) = 【厂o ) ( o ) ，其中， u ( f ) = p 哪p 一撇，相互作用表象中t = 0 时刻哈密顿闭拘基态波函数也就是 h e i s e n b e r g 表象中的基态波函数。因此，要利用格林函数方法，我们首先必须知 道未知的y ( o ) ，而这可以通过一个演化算符s ( 乇，乞) 由哈密顿玩的基态丸得到， y ( 0 ) = s ( 0 ，) 丸 ( 2 1 2 ) 其中演化算符被定义为s ( t ，t 9 = u ( t ) u ( t 9 ，这就是说，我们假设在，_ - - 0 0 时系 统由风描述，然后打开微扰y ，系统绝热演化并在t = 0 时演化到日。由于风的 基态九是可以精确计算的，因此就可以通过( 2 1 2 ) 式得到吵( o ) 。脏r 一佃的 基态波函数为矿7 ( 佃) = s ( 栩，o ) 少( o ) ，在平衡系统中，y ( 7 ( 佃) 与y ( o ) 只相差 一个相位因子，即少，) ( 佃) = 谚0 e i 2 = s ( 佃，o ) y ( o ) = s ( 佃，哪) 死，( 2 1 ) 中定义的 格林函数可以通过展开演化算符s ( 佃，) 而得到。由于在平衡态下f 一佃时， 卸拘基态吵7 ( 佃) 与凰的基态( o ) 只相差一个相位因子，因此相关对时间的积 分定义在实时间轴上。而当系统处于非平衡态时，脚的基态y ( 7 ( 佃) 与矾的基态 九没有确定的关系。因此我们首先让系统从，= 嘞演化到气，当f 专佃时再令 它从气演化到- - 0 0 。由于在时没有微扰，系统的哈密顿风和基态波函数九均 为已知，因此系统的初始和末尾均为已知的九。为了区分t = - - 0 0 一t o 和 9 硕士学位论文 t = t o - - - - h - - - - o o 两个过程，我们分别将时问加上和减去一个无穷小的虚部，即由位于 实时间轴上下两支，格林函数定义在由这样两支构成的围线上。这样就可以像平 衡态格林函数方法中那样通过展开演化算符s ( 咱，娟) 来求得格林函数。 2 1 3 非平衡格林函数定义 首先在复时间平面内定义围线序( c o n t o u r o r d e r e d ) 格林函数 g 。( 1 ，1 1 量一必乏缈( 1 ) y ( 1 i ) ( 2 1 3 ) 其中( 1 ) 兰( r l , 毛) 和( 1 1 三( ，) 是空间和时间变量的缩写。围线c 起于棚，终于 m o o ，在岛时穿越实时间轴( 可以令f o 专佃，并只有一次通过和) 。把实时间 轴上面的路径标为g ，把下面的路径标为c 2 。就是围线上的时间排序算符。 当和都在g 上时，z 和平衡格林函数定义( 2 一1 ) 式中的r 是一样的；当和 都在c 2 上时，c 就是反时间排序( a n t i - t i m e - o r d e r i n g ) 算符，即时间越早的算 符放在左边；如果t ，和在不同的路径上，则把时间变量在g 上的算符放在右 边。由于( 2 - 1 3 ) 式中有两个时间变量，且可以分别位于两个路径上，因此可以定 义下面四个格林函数： g 。( 1 ，1 1 = g ( 1 ，1 1 g ( 1 ，l i ) g ( 1 ，1 1 g ( 1 ，1 | ) 其中编时格林函数g ( 1 ，1 1 = 一f 口( 一t r ) ( 弘( 1 ) 9 ( 1 ) ) + 刀( 一f 1 ) ( y ( 1 ) y ( 1 ) ；大于格 “ 林函数g ( 1 ，1 1 = 一f ；小于格林函数g ( 1 ，1 1 = f ；反编时格 一a 林函数g = 埘瓴一毛) ( 1 ，1 1 一g ( 1 ，1 ) ) g 一( 1 ，1 1 = i o ( t 。一f 1 ) = o ( t j 一f 1 ) ( g ( 1 ，1 ) - g ( 1 ，1 ) ) 因此这六个格林函数并不是彼此独立的，为了获得非平衡系统中的所有信息，只 需要其中四个( 例如g 矗，g _ ，g ，g ) 就够了，因为推迟和提前格林函数描述了体 系的能谱，态密度，粒子的寿命以及粒子的演化等等，另一方面大于和小于格林 函数则描述了系统中的粒子数信息。这和平衡系统是不一样的。在平衡系统中， 1 0 ，i o 厶 ( q q q 一一q q q 0 0 耦合量子线量子点体系中f a n o 效应的研究 只要两个格林函数( 如g 置，g ) 就可以了，因为平衡系统中的化学势和环境的化学 势是相同的并且是已知的，因此粒子数可以通过将态密度乘上费米分布函数后对 能量积分，并积到化学势就可以了，而态密度的信息就包含在推迟格林函数中。 非平衡格林函数的d y s o n 方程 平衡和非平衡格林函数的唯一区别是，平衡格林函数定义在实时间轴上，而 非平衡格林函数定义在围线上，其它基本公式都是一致的。因此围线序格林函数 和时间序格林函数具有相同的d y s o n 方程， g c ( 1 ，1 ) - g o ( 1 ，1 i ) + j r c 奴| 地d 乞d 乃g ：( 1 ，2 ) ( 2 ，3 ) g 。( 3 ，1 ( 2 1 5 ) 相互作用包含在自能c 中，联为无相互作用时体系的格林函数，此式说明有相 互作用时体系的格林函数可以由无相互作用时的格林函数求得。六个格林函数的 d y s o n 方程可以由定义式( 2 一1 4 ) 计算出来。例如，对于小于格林函数，可以写为 g ( ，) = 簖“，) + l d 吃l d 毛瞄( ，r o e 。( 乞，毛) g ( 乃，f 1 ) ，其中毛g ，c 2 。 为了计算这个积分，必须计算如下这样的积分： c ( ，) = l d r a ( t , ，r ) o ( r ， ) 由于对时间的积分走遍整个围线，因此 c ( f l ，t l 。) = l c t r a ( t , ，r ) b ( r ， 。) 2 丘d f 彳( ，f ) 曰( f ，) + ld f 彳瓴，f ) b p ，f l ) = e 出a ( ，f - ) 召 ( 一伊e 馥a ( o f 桫( t ) = e 班( 彳矗( ，f ) 曰 o ，) + 彳( t l ，f ) 召一( f ：f 1 ) ) 我们把上式简写为c b 曰一( 2 1 6 ) 利用上式可以由( 2 1 5 ) 得到全部六个格林函数的d y s o n 方程。所有的量如格林函 数g 和自能可以表示为一个2 x 2 矩阵的矩阵元 6 = 巴身主= ( ；二列 协 这些格林函数的d y s o n 方程就可以写为 g “，f l ) = o o ( t , ，f l ，) + 必如o o ( t , ，t o z ( h ，f 3 ) g ( 乞，) = g 0 + g o g ( 2 1 8 ) 硕士学位论文 k e ld y s h 方程 1 9 6 5 年，k e l y d y s h 推导了非平衡格林函数的运动方程， 程 2 5 。这组方程可以由( 2 - 1 6 ) 式和( 2 - 1 8 ) 式推得： g 詹= 饼+ g 月g 詹 g 一= 四+ 四g g = ( 1 + g 置胄) g ：( 1 + g 一一) + g 且g g = ( i + g 置露) g ( 1 + g 4 ) + g 且 g g = ( 1 + g 矗詹) q 0 + g 一) + g 足g g = ( i + g 詹胃) 瞵( 1 + g 一) + g 胄。g _ 被称为k e l d y s h 方 ( 2 - 1 9 ) 2 2 非平衡格林函数在电子输运问题中的应用 由于分子可以看成一个具体的量子点，所以量子点中的电流计算公式同样适 用于分子。下面简单推导量子点中的电流公式。设有一个量子点，和两个导线相 连，体系的哈密顿为 h = h l 。诅+ h 赫t + h t ( j 2 - 2 0 ) 其中第一项是导线的哈密顿， = 吃 ( 2 2 1 ) 这里c 是导线口中的电子产生算符。& 。= 蠢? + q v a ，璎是导线中的能级，屹是 外电压。第二项是孤立量子点的哈密顿= ( 毛+ 口乩) d 。，其中科是量子 点中的电子数产生算符，= 。圪。( 以d m ) 是量子点内部自洽库仑势，是库 仑势矩阵元。第三项为量子点和导线间的耦合哈密顿，珥= 芝k 嚷吃屹刃q ， 其中，气口。为导线与量子点中的耦合常数。 当体系处于非平衡状态时，其中一根导线口中的电流由其中电子数随时间的 变化决定，即电流算符为 ( f ) ：g 堡墼：一i q n 。，h i ：一幻【气鲫文( f ) 乏( f ) 】+ h 厶 (222)dti 电流由该算符对非平衡态求平均得到， l ( f ) = 一g t k 。吒k ( f ，f ) 】+ 日 这里定义了小于非平衡格林函数 1 2 耦合量子线量子点体系中f a n o 效应的研究 妇暑i 为了计算电流，必须将定义在围线上的格林函数。口用定义在实时间轴上量子 点的格林函数g 删 和导线中的格林函数口一 。表示出来。1 9 9 4 年，j a u h o 等人证明了当导线中的电子之间无相互作用时，定义在围线上的格林 函数哦。口可以用导线和量子点中的格林函数表示为汹1 如，f = 一f = 胁g 。口瓴，t 9 ( 2 2 3 ) 其中量子点和导线的格林函数为 瓯( f l ，f 2 ) = i ( 2 2 4 ) g 乞( f l ，t 2 ) = 一i ( t c c t a ( f 1 ) c 乞( 乞) 】 。 ( 2 2 5 ) 上式中 o 分别表示在量子点和导线之间不存在相互作用即二者没连接时对量 子点和导线的量子态求平均。由( 2 - 2 3 ) 和( 2 - 1 6 ) 式即可得到 i 口( f ，t g = i d t ， 嚷( f ，) 幺州g g ( t , ，f i ) + g 磊( f ，) 么。g t a 口( ，f 加 ( 2 2 6 ) 有关孤立导线的格林函数定义为 或( f ，t 9 = 一i o ( t - t g 。 既p ，t 9 = i o ( t l f ) ( ( f ) ，吃( f ) o g 乞( f ，t 9 = 一f o g g ( f ，t 9 = 珊c 乞o ) g 。( f ) ) 。 将( 2 2 6 ) 式代入( 2 2 2 ) 式，则可得到电流的表达式为 厶( f ) = - q i d t l t l g 胄( f ，f 1 ) ：( ，f ) + g ， 。上述电流表达式是计算电流的通式，对a c 和d c 输运都是有效 的。当是直流情形时，外加电压不随时间变化。这时，g ，( f l ，f 1 ) = g 7 “- t , ) ， ，( ，t l ，) = ，( t l - t i ，) ，将这些条件代入上述电流表达式并对时间作傅立叶变换就 得到电流为： 乞= 一e 鳄r r ( g 足( e ) 一g 一( e ) ) ：( e ) + g 的d y s o n 方程 g 足= 雠+ 碟矗g 足 以及k e l d y s h 方程 g = g 置g 一= g 置( ：+ ；) g 4 这是计算分子导体中输运性质的两个非常重要公式。 1 4 耦含量子线量子点体系中f a n o 效应的研究 第三章耦合量子线一量子点体系中的f a n o 效应 量子线与量子点中的相干电子输运是当今凝聚态物理研究中的一个热门课 题。由于量子限制效应，量子线与量子点在两个方向或三个方向上能量是量子化 的，从而导致许多有趣的电子输运性质 2 6 。f a n o 效应是物理学领域中一种熟 为人知的效应，主要出现在光学和凝聚态物理中，来源于分立能级和连续态之间 的量子干涉 1 8 。近年来随着纳米技术的发展，使得观测通过控制量子点所产生 的f a n o 效应成为现实。有关量子点与量子线的电子输运的研究很多 2 7 - 3 2 ，正 如上一章内容研究到的一样。但是，耦合量子线与量子点结构的量子输运却不是 很多。特别是耦合量子线与多能级量子点结构中的f a n o 效应的研究相对较少 3 2 1 。因此，在本章节中，我们基于同样的模型，研究耦合量子线一量子点体系， 耦合量子点一量子点体系中的f a n o 效应对线型电导的影响。我们采用平衡格林 函数方法，首先计算通过上述体系的电流，然后分析相应的线型电导的性质。发 现了一些比较有趣的由f a n o 效应引起的相干输运现象。 3 1 两能级量子点一单能级量子点耦合结构中线性电导的计算 3 1 1 模型与计算 e 二) 6 ； 于是电流表达式可以写成以下形式 = 2 南e 一v t r e 吒铅( ，) ( 3 3 ) 其中r e 和i m 表示取实部和虚部。 根据推迟格林函数的运动方程方法，我们可以得到下面如下运动方程 - i h 缸( t ， ) = 勃g o o ，f + 气6 毛( f ，i ) ，其积分形式为g o o ，f ) = tj g o ，f | ) 或o t ，f ) ， 其中推迟格林函数为啄( f ，f ) = 蛾_ 彳埘岛蛾国p 咖，反：，) = 硝即一f ) ( 嘞( ，) ，露p 呤 其中根据格林函数的解析延拓方法，我们可以得到相应的小于格林函数 吒。( f ，f - ) = f lp 吒勺( f ，f ) 或( f f ，f ) + 吒勺( ) g 拶，f ) ( 3 4 ) 于是 = 警；t l r e t lf d t 吒( f g 砸力+ 吒龟( u ) g 。4 t 、t ，t ) ( 3 - 5 ) 在h a m i1 t o n 不含时的情况下上式可改写为 = 百4 e 畦；r e 璧 吒白( 彩) g ：( ) + 吒唧( 国) 醴( 缈) ( 3 6 ) 在上式中，g ：细) = 南， g ：( 国) = 2 万吮( & ) 6 ( 国一& ) ，吒白( 缈) 和6 乏龟( 国) 表不中心重子点的推迟和小于格林函数。 对推迟格林函数的运动方程作傅立叶变换，我们得到： g “咖1 0 7 - - e o + 扣+ 扣一荟：毒j 其中 r ，= 2 万，孑万( 缈一占。，) 。这样左界结电流可写成 ( i o = 百2 ep 缈i f 吒龟( ) + 无r ( 吒龟( 彩) 一嚷龟( 彩) ) ( 3 - 7 ) 1 6 耦合量子线量子点体系中f a n o 效应的研究 上式中，l 为费米分布函数a 同样，右结的电流可写成 = 警p 缈 r 矗吒( 缈) + 厶l ( 吒( 缈) 一吒( 硼 ( 3 _ 8 ) 如果中心量子点与左右结的耦合成比例，则电流 = ( ( i l 一 ) 2 可写成： 卿= 2 i i pj f a 毗堋器嘲小吃( 训 ( 3 9 ) 对于两能级量子点一单能级量子点耦合结构由上式容易求得线性电导为 g ：丝 ! ! 墨 一，廓为结的平衡费米能。 疗( 砟一氏一亡) 2 + 三( r 。+ f k ) 2 g t = l ，2o fo 口 。 3 1 2 数值结果与分析 下面我们详细研究上述结构中的线性电导性质。从线性电导的公式可以看出， 对于耦合两能级量子点一单能级量子点结构，当平衡费米能级远离量子点能级( 包 括单能级量子点) ，其线形电导为零，这是因为电子没有路径通过量子点。当费 米能级靠近量子点能级时，线形电导将呈现有趣的共振现象。从该结构的线形电 导的公式可以看出，我们能够在线形电导与费米能的关系图中观察到三个峰，两 个降的现象。两个降的出现是因为f a n o 相消干涉。共振峰的存在则是共振隧穿 的结果。因为在耦合两能级一单能级量子点结构中，由于量子点间的电子隧穿， 该结构中重组的三能级将是扩展的( 同时属于两量子点) ，因此当费米能与其中 一重组的扩展能级对齐时，发生共振隧穿，因此可观察到三共振电导峰。共振峰 的线型是典型的非洛仑兹型。我们在图7 给出了该结构的线性电导与平衡费米能 的关系图，图7 的参数选择如下：以线宽r 为单位，v = l ，毛=