（计算数学专业论文）高振荡微分方程的辛几何算法.pdf

北京交通大学硕十学位论文 中文摘要 中文摘要 摘要：高振荡微分方程是指其解具有高振荡性的一类微分方程，在分子动力学、 天体力学、量子化学以及原子物理等方面有着广泛的应用。因此，研究其数值解 法具有重要意义。 设计数值计算格式的一个基本想法是数值解法保持原问题的基本特征。根据 这种指导思想，构造h a m i l t o n 系统的算法，就应该在h a m i l t o n 系统的同一框架中 进行。辛几何就是h a m i l t o n 系统的数学框架，由此产生辛几何算法。 本文介绍了h a m i l t o n 方程、高振荡微分方程、辛几何算法、对称的数值解法。 主要讨论了形如戈+ q 2 工= g ( x 1 的一类高振荡h a m i l t o n 微分方程。详细地研究了一 些辛算法，同时给出了一个新的辛格式。f p u 问题的数值实验结果显示，与其他 辛算法相比较，这个解法具有较好的能量保守性。 关键字：高振荡微分方程；h a m i l t o n 方程；对称数值解法；辛几何算法 分类号：0 2 4 1 8 1 北京交通大学硕士学堡笙奎 些! ! 坠曼! _ _ - _ - _ _ - - 一一 。 a bs t r a c t a b s t r a c t ：h i g h l y - o s c i l l a t o r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa g e ak i n do fe q u a t i o n s w h o s es o l u t i o n sa r eh i g h l y - o s c i l l a t o r y , w h i c ha r ee x t e n s i v e l ya p p l i e di nm o l e c u l a r d y n a m i c s ，c e l e s t i a lm e c h a n i c s ，q u a n t u mc h e m i s t r y , a t o m i cp h y s i c sa n ds o o n t h e r e f o r e ，i ti ss i g n i f i c a n tt os t u d yi t sn u m e r i c a lm e t h o d s ab a s i ci d e ab e h i n dt h ed e s i g no ft h en u m e r i c a ls c h e m e si st h a tt h e yc a n p r e s e r v et h ep r o p e r t i e so ft h ep r o b l e m s 鹊m u c ha sp o s s i b l e a c c o r d i n gt o t h i s g u i d i n gi d e o l o g y , i no r d e r t oc o n s t r u c ta l g o r i t h m sf o rh a m i l t o n i a ns y s t e m ，i t s h o u l db ei nt h es a n l ef r a m e w o r ko ft h eh a m i l t o n i a ns y s t e m s s y m p l e c t i c g e o m e t r yi st h em a t h e m a t i c a lf r a m e w o r ko ft h eh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，r e s u l t i n g s y m p l e c t i cg e o m e t r i ca l g o r i t h m s i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c et h ep r o p e r t i e so fh a m i l t o ne q u a t i o n ，s y m m e t r i c n u m e r i c a lm e t h o d s ，h i g h l y - o s c i l l a t o r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s y m p l e c t i cg e o m e t r i c a l g o r i t h m sa n d w em a i n l yd i s c u s sa k i n do fh i g h o s c i l l a t o r yh a m i l t o nd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw h i c h t a k ef o r m j “奴= 反习w es t u d ys o m es y m p l e c t i cm e t h o d si nf u l l l e n g t h ，a n dg i v ea n e ws y m p l e c t i cs c h e m e c o m p a r e dt oo t h e rs y m p l e c t i cm e t h o d s ， t h en u m e r i c a le x p e r i m e n tr e s u l t so ff p up r o b l e m ss h o wt h a ts y m p l e c t i cm e t h o d s h a v eb e t t e rb e h a v i o ro fe n e r g yc o n s e r v a t i o n k e y w o r d s ：h i g h l y - o s c i l l a t o r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；h a m i l t o n i a ne q u a t i o n s ； s y m m e t r i cn u m e r i c a lm e t h o d ；s y m p l e c t i cg e o m e t r i ca l g o r i t h m s c l a s s n o ：0 2 4 1 8 1 北京交通大学硕十学位论文独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 却硐 廛 m ， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论义的复印件和磁盛。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名絮矾良 签字日期：p 脚罗年7 月譬e t 导师签名： 越平睿甬 签字日期：渤夕年7 月r e t 致谢 本论文工作的顺利完成，首先要感谢我的导师赵平福老师对我的悉心指导和 亲切关怀，也离不开赵老师对我的严格要求和敦敦教诲。无论是在基础课学习阶 段，还是在论文的选题、研究及写作阶段，赵老师始终都给予我许多的支持和帮 助，在此特向赵老师表示深深的敬意和感激。 两年来，赵老师严谨的治学态度和科学的工作方法使我从中学到了很多东西， 这将是我今后学习生活和工作中宝贵的财富，在此再次向赵老师表示由衷的感谢! 感谢研究生期间给予我传道授业解惑和生活学习上关心帮助我的所有老师， 同时感谢所有一路走来、互相勉励的同学和朋友们，正是你们增添了我动力和不 断前进的信念。 感谢我学习生活了2 年的交大母校，在这里我度过了人生最宝贵的一段岁月， 是知行校训让我不断成长。今后，我将用自己的表现来报答母校的养育之恩! 最后感谢我的父母，是你们的鼓励和支持，给了我一个舒适安定的学习环境， 使我能够专心地在学校完成学业，衷心地感谢他们! 北京交通人学硕士学位论文 1 引言 1引言 高振荡微分方程是其解具有高振荡性的一类微分方程，在分子动力系统、天 体力学、电路仿真系统，柔性体系统以及原子物理等方面有着广泛的应用。因此， 系统地研究其数值解法具有重要意义。 对于高振荡微分方程而言，数值求解历来是数值计算问题中的难题之一。近 年来，l s e r l e s 研究了利用m a g n u s 展丌构造线性高振荡微分方程的数值解法【i - 5 】； s a n z s e r n a 等从计算精度及稳定性方面出发研究了高振荡微分方程组数值解法构 造问题【6 1 ；e h a i r e r 等研究了高振荡微分方程组对称的数值解法【7 8 】。 当代计算方法研究的一条不成文的基本法则是，问题的基本特征在离散后应 该尽可能地保持，即对于具有一定结构的系统，计算方法也应保持相应的结构。因 为h a m i l t o n 系统具有相流保持面积性质，数值解法也应有类似的性质。冯康教授 于1 9 8 4 年提出了h a m i l t o n 算法( 即辛几何算法) ，并从理论及计算实验方面论证 了辛格式具有独特的计算稳定性和长时间跟踪能力3 1 。类似地，基于系统结构保 守性的数值解法还包括多辛方法【1 4 】、李群方法【4 , 7 , 1 5 等等。 ，盎rr 、 在本文中，我们主要研究了形如x + f 2 2 x = g ( x ) ig ( x ) = 一半l 的一类非线性 o x , 高振荡微分方程。这类方程能够写成h a m i l t o n 方程的形式。除了相流保持面积， h a m i l t o n 方程的另一个重要性质是h a m i l t o n 函数为守恒量。考虑数值解法时，我 们也希望数值解法具有较好的能量保守性质。在文 8 】中，e h a i r e r 等从保持能量守 恒性入手研究了一些具有对称性质的数值解法。在文 6 】中，s a n z s e m a 等人研究 了一些具有辛几何结构的数值解法。本文介绍了该类方程的对称解法，详细地研 究了辛方法，同时给出一个新的辛格式。与其他辛方法相比较，f p u 问题的数值 实验结果显示，新的辛格式具有较好的能量保守性。 在沦文的第二部分，我们辛要介绍了h a m i l t o n 方程及其具有的一些性质。然 ，a rr 、 后简单地介绍了线性高振荡微分方程和形如戈+ q 2 石= g ( x ) ig ( 2 ) = 一半l 的一类 班， 非线性高振荡微分方程。最后介绍了f p u 问题，并给出其h a m i l t o n 形式。 第三部分介绍了辛几何算法的概念，然后给出了线性的与非线性的h a m i l t o n 系统的一些辛算法。 第四部分，先介绍了对称方法的基本概念，之后给出了高振荡微分方程几种 北京交通大学硕十学位论文 1 引言 对称的数值解法。同时，给出了这几种对称数值解法的数值实验结果。 最后一部分，我们详细研究了一些辛方法，同时给出了一个新的辛格式，并 且给出了这个解法关于f p u 问题的数值实验结果。 北京交通人学硕士学位论文2 h a m i l t o n 系统与高振荡微分方程 2h a milt o n 系统与高振荡微分方程 2 1 h a m i l t o n 系统 我们以单摆方程为例介绍h a m i l t o n 系统。设质点的质量为m ， 杆与铅垂线的央角为g ，可确定g 满足的n e w t o n 方程为： 虿一g ，s i n g 此时，单摆的动能、势能分别是： r ：丢研，z ( 口) 2 ，矿：，曙( 1 - e o s q )， 、1 ， o 、 其拉格朗日量是： = t v = 三m ，：( 0 ) 2 - m g ( 1 一c o s q ) 令p ：i 0 l ：研，2 口，可算出： o q 俨斋 其中h a m i l t o n 函数是： h = p q 屯= 嘉，i - m g l ( 1 - c o s q ) 则有h a m i l t o n 方程： o h o h p p 一百一m g l s i n q ，q2 虿2 可m l 。 叼印 杆的长度为， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 我们给出一般的h 锄i l t 。n 系统，设p ：( 岛，以) r ，g ：( g l ，吼) r ，取z ：- p ， 则h a m i l t o n 方程可以写成： 塑d t = z 0 榭l h 玎一a z ， 眨， l lj 。- j 。 “ 钏 其中 州。= 匕计 h a m i l t o n 系统存在于一些我们所熟悉的经典物理模型中，同时也广泛应用于 结构生物学、药理学、半导体、等离子体、材料和偏微分方程等问题。例如。天 北京交通大学硕士学位论文2 h a m i l t o n 系统与高振荡微分方程 体物理中双体运动模型具有以下运动方程形式： 驴一希务 铲一藩务。 该方程等价于具有以下h a m i l t o n 函数形式的h a m i l t o n 系统： h ( p , , p 2 , q l , q z ) 2 如1 吲一丽1 ( 只2 口f ) ， 其中p = ( p 。，p ：) 7 ，g = ( g 。，g ：) 1 。 h a m i l t o n 形式具有一些优点。首先，h a m i l t o n 形式可以明显地体现运动的规 律性。其次，它覆盖了经典的、相对论的、量子性的、有限或无限自由度的一切 真实的、耗散效应可忽略的物理过程。因此，研究h a m i l t o n 系统具有极为重要的 现实意义和广阔的发展前景。 下面，我们介绍h a m i l t o n 系统的一些性质。首先，h a m i l t o n 系统具有相流保 持面积性质。对于相空间上的任意点气，方程组( 2 1 4 ) 的解z ( f ) 满足初值条件 z ( o ) = z o ，存在映射仍，使得 够【气) = z ( f ) ， 称映射仍为h a m i l t o n 相流。 给定初值( p ，g ) r ，方程组( 2 1 4 ) 的相流仍的导数具有如下形式： c p f ( p , q ) = 笺铲 h a m i l t o n 系统具有相流保持面积的性质，即有 ( ( p ，g ) ) rj ( 科( p ，g ) ) = ， ( 2 1 5 ) 我们对此性质作一简单证明。当t = 0 时，上式龆然成立，我们只需证明 鱼d t ( ( ( m ) ) 7 ，( ( 川) ) ) _ o ( 2 1 6 ) 注意到 丢撕) _ 兹- h q q p l , , n 北京交通大学硕士学位论文 2 h a m i l t o n 系统与高振荡微分方程 易证( 2 1 5 ) 成立。 性质( 2 1 5 ) 表示面积的保守性。我们以二维为例来看，设善= ( 氧，受) 7 ， 7 7 = ( 7 7 l ，砚) r ，由( 2 1 5 ) 可知：孝r ( ( 气) ) 2 ( 科( z 。) ) 7 7 = 孝r j q ，而 善r j q = c 氧，磊，( 三三 ( 菱 = 一仇受+ 夤砚= 翥毳i ， 而二阶行列式表示的是面积( 有向) ，可知乒和7 7 所成面积与( z o ) 善和( z o ) 7 7 所 成的面积相等 其次，h a m i l t o n 系统具有h 为守恒量的性质，注意到： 掣：( v h ) r j - i 阳_ o ( 2 1 7 ) 因此可知h ( z ( f ) ) 是守恒量，日( z ( f ) ) = h ( z ( o ) ) 。 在这一节中，我们简要地介绍了h a m i l t o n 系统的一些性质，在文 1 6 ，【1 7 】 中，有关于这部分内容的详细讨论。 2 2 高振荡微分方程 我们首先介绍线性高振荡微分方程【1 】 y ”+ g ( f ) y = 0 ，t 0 ，y ( o ) = y o ，y ( o ) = 蜣，( 2 2 1 ) 其中g ( f ) o ，f 0 ，1 i m 伸g ( f ) = 佃，o l g ( ，) o ) l g z ”1 的j a c o b i 矩阵。整理得： 北京交通大学硕十学位论文3 辛儿何算法 等= 一。1 也( 华矾哆1 也( 竿) 易验证安；是辛矩阵，故隐式e u l e r 中点格式是辛的。 陇 梯形格式 当z n + l - - z nt = 一三( h ( 1 ) + 爿( z ”) ) 一般是非辛的。但是，对方程譬：厂( z ) ，梯形格式可通过非线性变换： 口f 孝= p ( z ) = z t + 兰厂( z ) ，孝+ i = p ( z k + 1 ) = z i + l + 兰( z k + 1 ) ， 转化为e u l e r 中点格式。由( 3 1 4 ) n - i 有 孝+ f + i = z + z t + i + 宝( 厂( z ) + 厂( z t + 1 ) ) 对上式应用梯形格式，则有 孝。+ 孝州一2 z + 1 将其代a ( 3 1 4 ) 式中的第二式，可得以下形式： 户1 影+ 矽( 竿 这样，可将非辛的梯形格式转化为具有辛性质的隐式e u l e r 中点格式。 3 2 辛r k 方法 ( 3 1 4 ) 这一节我们简单地介绍r u n g e k u t t a 方法( 洋见 2 0 1 2 2 1 ) ，刘_ - j ：力程组 夕= f ( y ) ，r u n g e - k u t t a 方法的一般形式是 y 川= 儿+ 五伊( ，y 。，h ) ， ( 3 2 1 ) 其中矽有如f 形式： 缈( 吒，只，h ) = 岛k ，( 3 2 2 ) k 。= ( ，虼) ，墨= 厂l 矗+ c f ，儿+ 五嘞巧i ，f = 2 ，s ， 北京交通大学硕十学位论文3 辛几何算法 其中q ，包，口 ，均为常数，整数j 1 ，称( 3 2 1 ) n ( 3 2 2 ) j 0s - 级显式r u n g e k u t t a 方法 ( 简称r k 方法) 。选取适当的q ，岛，r k 方法可给出解的高阶逼近。 我们将方程( 2 1 4 ) 写成： d 破z j _ i h - = 化) ( 3 2 3 ) 此时，一个一般的单步s 一级r k 方法为： z “1 - z 。+ 矗包厂( v ) ， r = z + 厂( 巧) ，l f j ， ( 3 2 4 ) 其中h = 气+ ，一气( 后o ) ，包，( f ，歹= 1 ，2 ，s ) 是实的参数。选取不同的参数，可 以得到不同形式、不同性质的r k 格式。例如当f ( 1 i s ) 时，= 0 ，则格 式( 3 2 4 ) 为显式r k 格式；当j i ( 1 f j ) 时，a j = 0 ，且在对角线上存在一些 a 甜0 0 f s ) ，则称格式( 3 2 4 ) 为对角隐式r - k 格式。 b u t c h e r 1 8 ir 甸7 i t 法是一种表达格式( 3 2 4 ) 的简便方法，其形式如下： c以 6 7 c l口儿 a 1 5 c 2a 2 1 a 2 a ： c 5 a 5 1 a 5 5 i j lb 5 ( 3 2 5 ) 其中q = ( f = 1 ，2 ，s ) 。这样，一个r k 差分格式完全由( 3 2 5 ) 中的数来确定， ，= l 这种表示称为b u t c h e r 格式( 或表式) 。 定义3 5 将单步的差分格式看成足从气到气+ 。的变换，称为格式推进映射。 如果格式( 3 2 4 ) 的推进映射是辛的，即j a c 。b i 矩阵警是辛的，则称此格式是辛 r k 方法。 定理3 6 设矩阵b = d i a g ( b 。，6 2 ，玩) ，m = b a + 彳r b b b 7 ，如果m = 0 ，则 格式( 3 2 4 ) 是辛的。 证明：为了证明上述命题成立，只要验证j a c o b i 矩阵是辛的即可。由格式( 3 2 4 ) 北京交通大学硕士学位论文3 辛几何算法 可得： 等讲喀例巧) 等 等讥办喜勺吡) 等，l aias , 2 q 其中d f 是函数的导数。 记4 = 巧( z ) ，等= 置( f = l ，2 ，s ) 。并取= 一1 且，则有： 且有： j d t 七d 1 j = 0 ， ( 警) r - ，等一 ( 和置) r ( 跏叫 由等式( 3 2 6 ) 可以得到： 由( 3 2 7 ) + ( 喀岛口_ ) t ，( 喀包口五) = ，+ 五喜岛 ( d f 五) r + 皿置 + 矗2 ( 窆i = 1 岛口五) r ，( 喜包口置) + 矗2l 岛口五l ，l 包口置i f = l ( _ ) 7 j d , x , ：a d x , + 矗窆( q 一) r ，口置 1 3 ( 3 2 7 ) ， d， v j p ，川 l “+， v ， 2 = p ，2 北京交通大学硕+ 学位论文 3 辛几何算法 警 r 等一 ( 枷x i f j * j ( 五 b i d i x i + 办勿 工r 口7 + 五r j d , x , i = l 一五岛l 矗( 口 i = l lj = l + h 2 a u ( d j x j ) r j = l ，+ h 2 从上式可以看出，当m = 0 时，有： 即推进映射的j a c o b i 矩阵 ss f = i ，= l 、i 1 ) dj x i j d , x , i j 心b j - b i a o _ b j a j t x 、ij d j xj ( 爿文等 = ， 瑟+ 岔。 是辛矩阵。 1 4 一 瑚 北京交通大学硕士学位论文4 对称的数值解法 4 对称的数值解法 4 1对称方法 对于自治的微分方程 夕= s ( y ) ，y ( t o ) = y o ， ( 4 1 1 ) 其相流仍满足等式缈j = 仍成立。在进行数值计算时，我们也希望数值解法能够保 持这种性质。具有类似性质的数值解法称为对称数值方法。 定义4 1 1 设方程( 4 1 1 ) 的一个数值方法为 1 = 。( z ”) ， ( 4 1 2 ) 令：= ：，称数值方法z 肘1 = ：( z ”) 为式( 4 1 2 ) 的伴随方法( 如下图所示) 。此时 若满足：= 哦，则称方法( 4 1 2 ) 是对称的。 图4 1 ：伴随方法 对于e u l e r 方法： y n + i = y n - i - h f ( y )( 4 1 3 ) 将上式的h 换成h ，zd - l 与刀互换，得到e u l e r 方法的伴随方法，即后退的e u l e r 方法： y 。+ l = y 。- t - h f ( y 。+ 。) 易证梯形格式： 只+ 。一只= 兰 ( 只) + ( 只+ 。) 是对称方法。 ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 北京交通大学硕士学位论文 4 对称的数值解法 4 2 高振荡微分方程的一些对称解法 e h a i r e r 等研究了( 2 2 3 ) 如下的数值解法： 垃c o 虹s h 警料 q| | 工1 宝( 甲。邑+ 甲。g 川) 安 2 。4 ( 4 2 1 ) 这里邑= g ( 呱) ，= 矽( 侧，甲= 以删，k = ( 删，一= ( ，其中g 、矽、 y 、为光滑函数。选取不同的，甲，甲。，甲。，相应地可构造出不同的数值解 法。 我们考虑选取8 1 以下三组，y ，： ( 善) = 1 ，y ( 孝) = s i n c ( ，( 孝) = c o s 孝，。( 孝) = 1( 4 2 2 ) 矽( 孝) = s i n c ( ，( f ) = s i n ，( 孝) = c o s ( ，( f ) = 1( 4 2 3 ) ( 孝) = 1 ，( 孝) = s i n c 2 f ，( 孝) = c o s 孝s i nc 孝，i ( 孝) = s i nc 孝 ( 4 2 4 ) 可得到三个二阶数值解法。 注意到( 4 2 2 ) 、( 4 2 3 ) 及( 4 2 4 ) ，将式( 4 2 1 ) 中的h 改为一h ，可有 佻c o i s 捌h qj izj 一兰( 甲。邑+ 川) 安 2 。1 ( 4 2 5 ) 将( 4 2 5 ) 中n + l 和n 互换，可知与( 4 2 2 ) 、( 4 2 3 ) 及( 4 2 4 ) 对应的格式是对称的 数值解法。 我们给出f p u 问题的初始值： u = ( 1 ，0 ，o ) ，西= ( 1 ，0 ，o ) ，v = ( 0 ) - 10 ，o ) ，口= ( 1 ，0 ，o ) 对n = 3 的f p u 问题，应用方法( 4 2 2 ) ，有如下数值实验结果： 盟a：= c ：q 曲 出一 o o c xr ，一， = l、，一 + + ，。_ 北京变通大学硕士学位论文 4 对称的数值解法 4 画哥矿j i ；高扩i i i h 0 ) h = o o l ，m = 1 0 0 0 0 0 0 1 r c h i i m ( 吣h = q 0 2 5 ，出= 1 0 0 0 0 0 0 i n - h ( c ) h = o o l ，o = 2 0 0 0 0 0 0 b ，( d jh - - - - 锄5 ，c o = 2 0 0 0 0 0 0 b r h ( e ) h = q o | t o = z s r c hmh = n 0 2 5 ，c o = 2 5 ，z h 幽4 2 方法h 22 ) 的能量误差闰 应用方法( 4 2 3 ) ，有如下数值实验结果： 北京交通大学硕+ 学位论文 4 对称的数值解法 m n o 也们 - 00 2 m l 。一一一j ( a ) h = 0 0 1 ，缈= 1 0 i ) c i o 0 0 1 万五 n 璐 n 0 4 n n n 们 o 0 0 1 0 m m 0 4 ( c ) h = 0 0 1 ，c o = 2 0 0 0 0 0 0 1 r c h 0 0 5 0 高如期枷姗鲫7 0 0 蛳蛳1 咖 ( e ) h = 0 0 1 ，c o = 2 5 r c h o 0 1 1 4 仉 n 位 n 0 1 0 o 们 _ o 0 2 - 0 0 3 - o o - 0 0 5 i 。l 1 j 一lo5 0 01 0 1 1 0 1 5 0 02 0 0 0 o 1 0 o b n 0 o 0 2 0 4 1 皿 也o o 也 0 1 ( b ) h = 0 ( 1 2 5 ，c o = 1 0 0 0 0 0 0 1 万办 ( d ) h = 0 ( 1 2 5 ，0 9 = 2 0 0 0 0 0 0 1 万h o5 ( f ) h = 0 0 2 5 ，0 = 2 5 7 r h 图4 3 方法( 4 2 3 ) 的能量误差图 应用方法( 4 2 4 ) ，有如下数值实验结果： 1 8 北京交通大学硕十学位论文4 对称的数值解法 - 0 0 6 m 丑1 l j 一j o1 锄3 0 0 0 t n o n 0 4 n 位 o - o 0 2 0 0 4 ： 南南亩1 访1 手百万蔼o n 1 ( a ) h = 0 0 1 ，彩= 1 c x ) o ( o o l 万h n 位 0 o 5 n 们 n 0 0 5 0 0 0 0 5 o 们 0 0 1 5 也位 o1 0 0 撕躺4 0 0 鼬啪瑚哪9 0 01 0 0 0 o 们 n b n o 0 o0 0 2 o 00 佗 0 0 oo o 8 0 们 ( c ) h = 0 0 1 ，c o = 2 0 0 0 0 0 0 1 9 h o1 0 0瑚如4 0 05 o 7 0 0 o9 1 0 0 0 ( e ) h = o 0 1 ，c o = z 5 万h o 如菡r 1 茹一赢 ( b ) h - - - = q ( 1 2 5 ，c o = 1 0 0 0 0 0 0 1 万h ( d ) h = 0 ( 1 2 5 ，c o = 2 0 0 0 0 0 0 1 r c h a 0 1 n 0 0 8 0 瞄 0 , 0 0 4 o o 陀 0 o o 位 - 0 0 0 4 o0 0 8 i 鼍蠢一靠广，如 ( 0 办= q 必，t o = 2 5 刀 h 图4 4 方法( 4 2 4 ) 的能量误差图 做出方法( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 及( 4 2 4 ) 的最大能量误差图，实验结果 1 9 如下： 北京交通人学硕士学位论文 4 对称的数值解法 图4 5 方法( 4 2 2 ) 的最大能量误差图 o 2 5 o 2 o 1 5 o 1 o 0 5 o 图4 6 方法( 4 2 3 ) 的最大能量误差图 | | | | 、心。沁。一n 飞h ，、 o2468 1 0 图4 7 方法( 4 2 4 ) 的最人能量误差图 图4 5 、4 6 、4 7 是h = o 1 时的最大能量误差图，横坐标表示h c o 的取值，纵坐 标表示最大能量误差。 2 0 。曲 2 0 1 n t 北京交通大学硕十学位论文4 对称的数值解法 由图4 2 可见，当办缈接近万和2 万时，方法( 4 2 2 ) 能量误差很大。当h c o 接近2 万 时，图4 3 显示方法( 4 2 3 ) 能量误差很大。由图4 4 可知，方法( 4 2 4 ) 能量误差均很 小。由图4 5 可知，在 国接近万的整数倍时方法( 4 2 2 ) 最大能量误差都比较大。由 图4 6 可知，在五彩接近万的偶数倍时方法( 4 2 3 ) 最大能量误差较大。图4 7 显示， 方法( 4 2 4 ) 最大能量误差均较小。以上数值实验说明，方法( 4 2 4 ) 具有较好的能量 守恒性。 在文 1 9 】考虑选取以下一组，y ，。，。： 烈国= 鲕c ( 旬，以0 = s i l l 夕( 0 ，( 句= 如孑( 句弼( 旬，( 0 = 如，( a ， ( 4 2 6 ) 容易证明上式对应数值解法为对称方法。 对，l = 3 的f p u 问题，应用方法( 4 2 6 ) ，有如下数值实验结果： 0m搠4 0 0m枷蛳1 0 0 0 ommmm8 0 0m枷9 0 0 蛳 北京交通大学硕十学位论文 4 对称的数值解法 差。 o 2 0 0蛳枷埘8 0 07 鲫d 加 5 0 01 0 0 01 5 0 0 砌 ( e ) h = o 0 1 ，t o = 2 5 7 r h( d = q 呓5 ，t o = 2 5 n h 图4 8 方法( 4 2 6 ) 的能量误差图 同样对方法( 4 2 6 ) 做出它的最大能量误差图： 图4 9 方法( 4 2 6 ) 的最大能量误差图 由图4 8 、4 9 可见，对于不同的五国取值，方法( 4 2 6 ) 具有较小的最大能量误 北京交通大学硕十学位论文 5 高振荡微分方程的辛方法 5 高振荡微分方程的辛方法 我们在这部分研究辛方法。若( 4 2 1 ) 满足： ( 孝) = s i n c ( 沙。( 孝) ，( 孝) = c o s 孝( 孝) 及 y 。( 孝) = 矽( 孝)( 少。( 善) 是偶函数) 此时，该方法为辛方法。 s a n z s e m a 等人给出了以下不同的辛方法【6 1 。 烈。= 如c g 刁，以约= 咖如c g 刁，( 句= o o s 孝血司，嘶( 句= 鲕龟司( 5 1 ) 矽( 孝) = s i n c 孝，y ( 孝) = s i n c 2 f ，( 孝) = c o s 善s i n c 孝，( 善) = s i n c 孝 ( 5 2 ) 矽( 孝) = 如，g 刁，以句= 如学耐g 司，( 句= a c s 手耐g 司，( 旬= 血，g 司( 5 渤 对n = 3 的f p u 问题，应用方法( 5 1 ) ，有如下数值实验结果： 0 5 0 4 1 03 0 2 0 ， 0 训if 踟 o4 - 0 5 l o5 1 0 0 0 1 5 硼2 5 0 0 ( a ) h = 0 0 1 ，国= 1 0 i d ( 0 0 0 l 万 ( b ) 办= q a 匹，t o = 1 0 0 0 0 0 0 1 万 。枷种缔蜥。 三l 钠，竹* 帅赫愀泖9 ，函高r 咭 ( d ) h - - 0 ( 2 5 ，t o = 2 0 0 0 0 0 0 1 r c h 北京交通人学硕士学位论文 5 高振荡微分方程的辛方法 0 - 0 0 4 i - n l 1 拓 i 茹r 茄r 茹r 茹r 茹r 茹r 矗也：，一- 一南一i 矗- 丽高_ i 高一 ( e ) h = o 0 1 ，c 0 = 2 勋j i l( 0 h = 0 ( 1 2 5 ，c o = 2 5 ，r h 图5 1 方法( 5 1 ) 的能量误差图 应用方法( 5 2 ) ，有如下数值实验结果： 01 2 瑚枷锄鲫7 0 0啪枷1 咖 ( a ) h = 0 0 1 ，o = 1 0 0 0 0 0 0 1 ，r h 二厂 州 ，嘶州柑一帅懒叫 一i 舢1 5 - 0 n o _ 奋南南粕函谕1 0 ：a o- 0 0 5 0湖m 1o1 2 2 ( c ) h = 0 0 1 ，m = 2 0 0 0 0 0 0 1 7 r h( d ) h = 0 ( 1 2 5 ，m = 2 0 0 0 0 0 0 1 万h 2 4 嘶 叫 呲 洲 。 州 她 心 删 北京交通大学硕十学位论文 5 高振荡微分方程的辛方法 0 0 1 s i - 0 0 1 5 ， 矗位l _ j _ 上_ l 。一jn l 一 l _ 一 01 0 0 2 0 0 , 3 0 04 0 06 0 0 咖7 0 0 o9 0 0 1 0 0 005 0 01 0 0 01 5 0 02 0 0 0踟 ( e ) h = o 0 1 ，0 9 = 2 5 ；r h( f ) h = 0 0 2 5 ，c o = 2 5 n h 图5 2 方法( 5 2 ) 的能量误差图 应用方法( 5 3 ) ，有如下数值实验结果： ( a ) h = o 0 1 ，c o = 1 删l ；r h( b ) h = 0 ( 1 2 5 ，c o = 1 0 0 0 0 0 0 1 r r h 1 7 j 面面og ，咖5 0 0 1 0 0 01 , 5 0 02 0 0 02 5 0 0 ( c ) h = 0 0 1 ，c o = 2 0 0 0 0 0 0 b r h( d ) h = 0 ( 1 2 5 ，c o = 2 0 0 0 0 0 0 1 r c h 一2 5 眦 哪 洲 一 。 一 删 一 蛳 一 一 一 呻 北京交通大学硕士学位论文 5 高振荡微分方程的辛方法 ：l 。 也吃卜亩南南高南高高南茹i 击 n 0 1 5 f n 位l l l l j 0 5 0 0 1 0 0 01 5 0 0抛掷 ( e ) h = 0 0 1 ，c o = 2 5 z c h( 0 h = 0 0 2 5 ，c o = 2 5 n h 图5 3 方法( 5 3 ) 能量误差图 我们做出这三种方法的最大能量误差图： 图5 4 方法( 5 1 ) 的最大能量误差图 拟k， 剐| 1 o 1 伊 0 0 5 。 o24 ，i - 二j 叫 图5 5 方法( 5 2 ) 最大能量误差图 2 6 、 、 一 北京交通人学硕士学何论文 5 高振荡微分方程的辛方法 图56 方法( 53 1 的最大能量误差图 由图5 4 可知， 。接近及口的偶数倍时，方法( 51 ) 最大能量误差比较大。 由图55 可知 在接近口的偶数倍时，方法( 52 ) 昂大能量误差比较大。由图5 6 可知，在 接近z 时，方法( 53 ) 最大自e 量误差较大。 我们给出以下的辛格式： ( f ) = s i n c 2 f - p ( f ) = s l n c5 f ( ) = c o s fs i n c 2 f ，( # ) = s i n c 2 f ，( 54 ) 方法( 54 ) 的能量误差图是 黔型 _ 甘妒】牡k 诎渺一l i t 、r 制i 删帅惝忡州4 ( 埘 n n w n h = q 5 ，c o = l0 0 0 0 1 7 0 b r h 一氇。蛳州柳忉蜘 d ) h - - q 0 2 5 ，m = 2o o n ) o o l t c l h 一二一。o 北京交通大学硕+ 学位论文 5 高振荡微分方程的辛方法 电佗卜1 占1 茅菇一知凶南。凶，孟 i 一百f 一1 面_ 高r 面酊一一茹o ( e ) h = 0 0 1 ，c o = z 5 n h( f ) h = 0 0 2 5 ，彩= 2 5 z c l h 图5 7 法( 5 4 ) 的能量误差图 方法( 5 4 ) 的最大能量误差图是： 图5 8 方法( 5 4 ) 的最大能量误差图 由图5 7 、5 8 可见，与方法( 5 1 ) 、( 5 2 ) 、( 5 3 ) 相比，在 缈接近万的整数倍时， 方法( 5 4 ) 能量误差均较小。 2 8 慵 一 嘣 一 。 一 删 一 5 2 5 1 5 o 一 一 一 一 。 o o o 北京交通大学硕+ 学位论文 参考文献 参考文献 【1 】a i s e r l e s o nt h eg l o b a le r r o ro fd i s c r e t i z a t i o nm e t h o d sf o rh i g h l y - o s c i l l a t o r yo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b i t 4 2 2 0 0 2 ，5 61 - 5 9 9 【8 】 【9 】 1 0 】 【1 2 】 【1 3 】 【1 4 】 【1 5 】 1 6 】 【1 7 】 a i s e r l e s o nt h en u m e r i c a lq u a d r a t u r eo fh i g h l y o s c i l l a t i n gi n t e g r a l si ：f o u r i e rt r a n s f o r m s s i m aj n u m a n a l 2 4 ，2 0 0 4 ，3 6 5 3 91 a i s e r l e s t h i n kg l o b a l l y , a c tl o c a l l y ：s o l v i n gh i g h l y o s c i l l a t o r yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a p p l i e dn u m a n a l 4 3 ，2 0 0 2 ，1 4 5 - 1 6 0 a i s e r l e s ，h m u n t h e - k a a s ，a z a n n a l i e g r o u pm e t h o d s a c t an u m e r i c a l ，2 0 0 0 9 ，21 5 3 6 5 a i s e r l