（理论物理专业论文）演化中的标度行为和雪崩动力学.pdf

博士学位论文 d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n 二 巴票 忠二 二巴 州 二 巴 巴巴 竺口 ， 勺二 巴 二巴 巴 巴 巴艘 二 竺 巴留 留巴于曰 口曰 . 巴自 .留 巴巴 匕三密 口巴 曰巴， 二三 毕. .吕 互作用的b a k - s n e p p e n 演 化棋型; 0 a , 1 时应着系 统中 存在部分 相互 作用的 p i b棋型. p i b模型均能够自 组织到临界态. 且展示德固的不次律， 表明临界性 的出 现与 。 t 位的大 小 无关 .自 组织 临 界阅 位ma r ) 随 。 f 的 增大 而 减小 . 描述p i b模型雪崩过程的临界指数均依赖于 a l 的大小， 但它 们之间的标 度关系 与a 的大小无关. 复杂系统的自 组织实际上是信息愉运的过程，在这个过租当中个体与 个体、个体与环境进行了充分的信息交流.本文提出用信.忽 摘来描述自 组织临界系 统中 不次分 布所包 含的 信息. 给出了 雷 崩摘 几 ( g ) 的 定义， 对 b a k - s n e p p e n 演 化 模 型中 雪 崩大 小 分 布 的 信息 进 行了 浏 全 . i r ( g ) 随 g 的 增加而 增大， 并在临 界态 取得最大 值， 表明 在临 界态时 预浏 雷 崩的大 小 具 有 录大 的 不 确定 性. 1 , ( g ) 与 f =( h一 g ) 的 特 确关 系 从另 一 个 角 度 给出ti协 界态迢近的方式.几( 必 在临 界态附 近的突 化趁势给出了 一个新 的临 界指数，即 滴指数e的精确位: e=( 二 一1 ) 1 0 . 刀 二 ( g ) 的引 入不 仅 可以消除系统有限大小 给摘带来的影响， 还能用来表示系 统所处的 状态与 临 界 态 的 。 杯 本文蛛述了国际和国内 有关复杂性研究的前沿进展，特别介绍了 有关 自 组织临界性的 模型工 作. 关 健词:雪崩动力学、自 组织临界性、 演 化摸 型、临 界指数、 标 度关系、 标度函 数、雪崩矩、相互作用强度、雪崩摘. 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s l r i a 1 i 朋 a v a l a n c h e d y n a mi c s a n d s c a l i n g b e h a v i o r s i n t h e pr o c e s s o f ev o l u t i o n li w e i abs t r a c t 声月， t h i s d i s s e r t a t i o n i s c o n c e r n e d w i t h s c a li n g b e h a v i o r s a n d a v a l a n c h e d y n a m i c s i n t h e c r i t i c a l s t a t e o f t h e e v o l u t i o n m o d e l . a n e w q u a n t i t y , a v e r a g e fi t n e s s f ( s ) , i s p r o p o s e d t o p r e s c r i b e t h e g e n - e r al f e a t u r e o f t h e e c o s y s t e m c o n s is t in g o f i n t e r a c t i n g s p e c ie s . f ( s ) i s r e l a t e d t o t h e s p e c i e s o f t h e i n d i v i d u al s p e c i e s o f t h e w h o l e s y s t e m. t h e s t a i r c a s e - l i k e i n c r e a s i n g o f f ( s ) o b e y s a n e x a c t d i ff e r e n t i al g a p e q u a t i o n , w h i c h c a n b e s o l v e d a n al y t i c a ll y . f e a t u r e s o f f ( s ) a n d i t s s t a b i li t y i n t h e c r i t i c al s t a t e s u g g e s t t h a t f ( s ) m a y p r o v i d e a g o o d c r i t e r i o n f o r j u d g i n g t h e e m e r g e n c e o f c r i t i c al i t y . t h e c r i t i c a l v a l u e o f f ( s ) i s r e l a t e d t o t h e s e l f - o r g a n iz e d t h r e s h o l d f , t h r o u g h a n e x a c t e q u a t i o n : f , =( 1 十f c ) / 2 . a n e w h i e r a r c h y o f a v a l a n c h e s , l c a v a l a n c h e , i s o b s e r v e d t h r o u g h t h e a v e r a g e fi t n e s s . b a s e d o n t h e g l o b a l l e v e l , l c a v al a n c h e e m b o d i e s t h e n a t - u r al f e a t u r e o f 比e s y s t e m. t w o f u n d a m e n t a l c r i t i c al e x p o n e n t s , a v al a n c h e d i s t r i b u t i o n r a n d a v a l a n c h e d i m e n s i o n d a r e v a s t l y d i ff e r e n t f r o m t h e c o u n t e r p a r t s f o r o t h e r a v a l a n c h e s . t h i s m a n i f e s t s t h a t l c a v a l a n c h e i s a d i ff e r e n t t y p e o f a v a l a n c h e . t h e h i e r a r c h i c a l s t r u c t u r e o f l c a v a l a n c h e i s d e s c r i b e d b y a n e x a c t m a s t e r e q u a t i o n . a n i n fi n i t e s e r i e s o f e x a c t e q u a t i o n s , r e l a t i n g d i ff e r e n t o r d e r s o f ( 5 k ) , c a n b e d e r i v e d f r o m t h e m a s t e r e q u a t io n . t h e m a s t e r e q u a t i o n a n d t h e g a p e q u a t i o n r e s p e c t i v e l y g i v e u n i v e r s a l , e x a c t v a l u e s o f t w o c r i t i c al e x p o n e n t s , 7=l a n d p=1 . e x a c t s c a l i n g r e l a t i o n s a r e e s t a b l i s h e d a m o n g t h e c r i t i c a l e x p o n e n t s o f l c a v a l a n c h e s : r , d, y , p , 。a n d v . t w o e x a c t e q u a t i o n s , d e p i c t i n g t h e u n d e r - a n d o v e r - c r i t i c a l l c ld月 u 一一 一一一一一-均-.，.，.，.，.一_ 博士学位论文 d o c t o r a l di s s l r i a t i o n .r飞1 a v a l a n c h e r e s p e c t i v e l y , y i e l d t w o i n fi n i t e s e r i e s o f e x a c t e q u a t i o n s . 、 a n d 0 , t w o n o n - c r i t i c al e x p o n e n t s , a re d e t e r m i n e d 勿 t h e c o n fi g u r a t i o n s o f t h e s y s t e m. t h e e x a c t e x p l i c i t f o r m o f s c al i n g f u n c t i o n f o r l c a v al a n c h e s i z e d i s t r i - b u t io n i s o b t a i n e d f r o m t h e m a s t e r e q u a t io n . a v a la n c h e m o m e n t s ( s k ) i s d e f in e d a n d c a l c u l a t e d a n a l y t i c a l l y . l c a v a l a n c h e m o m e n t s y i e l d u n i v e r s a l , e x a c t v a l u e s o f c r i t i c a l e x p o n e n t s , y k =k ( k 二0 , 1 , 2 . ) ， c o n fi r m e d勿 s i m - u l a t i o n s . t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f s c a l i n g f u n c t i o n a r o u n d t h e c r i t i c a l s t a t e y i e l d s t h e u n i v e r s a l , e x a c t v al u e o f t h e s c a l i n g e x p o n e n t : 几 ”1 . i n t e r a c t i o n s t r e n 郎 h , d e n o t e d 妙e e l , i s p r o p o s e d t o p r e s c r i b e t h e d e g r e e o f i n t e r a c t i o n a m o n g s p e c ie s i n a n e c o s y s t e m . a r is r e l a t e d t o t h e i n t e r - a c t i o n f a c t o r , a , i n t r o d u c e d i n t h e g e n e r a li z e d e v o l u t i o n m o d e l . a t =0 a n d a l =1 c o r r e s p o n d s t o n i b m o d e l a n d b a k - s n e p p e n e v o l u t i o n m o d e l , r e s p e c t i v e l y . 0 几=1 是精确、 普适的。 我们全面考察了 l c雪崩的临界和非临界性质.得到了许多精确、普适的结果. 这些结果表明了 b s 模型中 l c雪崩的重要性和独特性， 对于进一步理解b s 模型的 性 质具有不可替代的作用。 _一一一一-一-臼口.曰 相互作用在演化模型中具有重要的作用，是临界性出 现的直接动力。由我们首次 提出的相互作用强度o f 的概念，描述了生态系统中物种间相互作用的强弱程度。a l 表征了最小适应性物种的变异对其最近邻造成的影响， 其值越大表明这种影响越强， 反之则越弱。 运用相互作用强度的概念， 我们还首次推广了 演化模型: a l = 0 对应 着系统中不存在相互作用的 n i b 模型; 0 a z , ) ， 那么 该 方 格中 的 一 些 1 ? ) 士学了 立论文 d o c t o r a l di s s l r t a i i o n 沙就会离开 这个 系统，相当于 从桌面的边缘掉下去了， 对于掉下去的沙粒我们不需要 再去关心. 上面已经完全定义了沙堆模型。所需要的数学不过是1 到4 之间的加减运算。但是 这个模型所导致的结果却相当复杂， 而且显然无法直接从上述简单的方程和局域规则 中导出。 图1 . 1 给出了关于一个二维的 ( 1 0 0 x 1 0 0 )的沙堆模型在某个时刻的空间结构的 计算机模拟结果。图中黑色的区域表明由 某个不稳定的方格所引发的、类似多米诺效 应的 “ 集团”。这个 “ 集团”可以定义为由 一个局域的小扰动所涉及的动力学区域。 我们可以从图中看到各种尺度的 “ 集团”， 类似自 相似 s e l f - s i m il a r ) 分形结构，表 明系统此时已自 组织到稳定临界状态。 旦 吕 ps _ lp 门 0 2 0 1 0 6 0 8 0 1 0 0 图 1 . 1 : 沙堆模型某个时刻的空间结构图。 为了考察 “ 集团”的尺度，也即雪崩的大小 ( 空间和时间)的分布，可以用 图1 . 2 来表示如何在沙堆模型中定义雪崩。 图 1 . 2 : 沙堆模型的一个雪崩过程. 1 0 5 0 x 5 0 1 0 _ 7 受 10 7 ， 0 一 母、 、 1 0 1 1 沪7 0 11 071 0 7 图1 .3 : 沙堆模型中 雪崩的空间大小分布。 1 4 t ph 士学位论文 d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n 一一一一 一一-一 .州 一一一介-一. 山. . ，一 一一-一 -一 - 一 口 代 . ，竺 ， 甲 竺二丁丁 二于 ，十 户， 吮 图1 . 3 显示了一个二维沙堆模型的雪崩的空间大小的分布。在双对数图上这个分布 是一条直线，表明这个分布是幕次的，直线的斜率即为幂次分布的幂次。对于三维模 型，同样可以得到一条类似的直线，只是分布的幂次略微不同。相应地，图1 .4 显示 了该二维模型的雪崩的时间大小的分布，这个分布也是幕次的，由这个分布可以得 到1 / f 噪声 谱。 因 而可以 看出， 沙 堆 模型 能 够产生 1 / f 谱， 从 而 提出了 一 种 解 释1 i f 谱起源的方案。 对沙堆模型的数值模拟表明开放的、有多个自由度的、远离平衡态的动力学系统 能够演化到一个稳定的自 组织临界态。空间的标度律导致自 相似的 “ 分形”结构，时 间谱 则a l l f pa 声 谱。 沙堆模型是自 组织临界性思想的典型代表。巴克其及合作者试图把他们建立的 沙 堆动力学应用于自 然界和人类社会更广泛的现象中。 崖 ; 舀 它 诊 ” 10 ” ! .丫 乞一乞一毖州 图 1 .4 : 沙堆模型中雪崩的时间大小分布。 ( t q士学位论文 d o c t o r a l di s s e r t at i o n 1 . 3 . 2 生物演化模型 ( b a k - s n e p p e n e v o l u t i o n m o d e l ) 古生物学家古尔德 ( s .j . c o u l d ) 2 0 早就猜想生物演化并非像达尔文 ( c . d a r w i n )所说的那样，只是以一种平缓、渐变的方式进行，而可能是相对长时间的 郁滞 被间 歇的 活动 所打断。 诺 伯2 1 也注 意到 灭 绝事 件具 有 各种 各样的 大小， 既 有 像 寒五纪大爆炸和恐龙灭绝这样的大事件，也有很多小的变异事件。这些行为暗示由 相 互 作用的 物种 组 成的 生 态系 统可能已 经自 组织 到一 个临 界 态 2 2 , 2 3 1 ， 但在巴 克 和 斯 涅盘 ( k . s n e p p e n ) 的 b s 演化 模型 提出以 前并没 有理 论上的 研究。 在谈到b s 模型以前，不妨对b s 模型以前的一些尝试作一个十分简短的回 顾。 1 9 9 0 年，巴 克、 陈 侃 ( k . c h e n ) 和克 鲁兹( m . c r u e t z ) 2 2 1 提出了 一个生 命 游 戏 模型 ( g a m e o f l i f e ， 关于 这个 模型我们 将在下 一章中 作详 细讨论)。 生 命游戏是 一 个模拟有生命的机体的元胞自 动机 ( c e l l u l a r a u t o m a t o n )，这些有机体作用于或者 十分靠近由随机变异所导致的临界态。然而，这种临界性十分敏感，系统规则的一个 微小变动可能会使系统远离临界态，因而这种临界性不是自 组织临界性。 考夫曼 ( s .a . k a u ff m a n ) 和约翰森 u. s . j o h n s e n ) 采纳了 生命游戏模型的一些 观点， 提出了 n k c 模型2 3 。 当 物 种间 的 相 互 作 用的 数 量 增 加的时 候， n k c 模型 能 够 发 生 从有 序到 无 序的 相 变， 这 种相 变的 存在已 被严 格 证明 ! 2 4 . 但n k c 模型也 非自 组 织的，因为要达到临界性，需要调节一些参数。 b s 模型吸取了n k c 模型的一些长处，但和n k c 模型有一个根本的不同。 在n k c 模型中，选择发生在个体层次上;而b s 模型考虑的是一种粗粒化的演 化，即整个物种用一种适应性 fi t n e s s ) 来表示。 每个物种的 适应性都要受到同一生 态系统中的其它物种的适应性的 影响，同时 每个物种的 变异都会影响 整个系统的 适应 性位形。这个模型的基本运作机制就是物种和物种间由于某种原因而相互作用。比 如， 这种相互作用可以 通过食物链的形式发生。当 某个物种发生变异时， 它会影响它 周围的物种的适应性。一个适应性很高的物种本来不容易发生变异，但如果它的邻居 的适应性较差，那么它也可能会受到影响而发生变异。 b s 模 型份 司 的 基 本定 义 如下: ( 1 ) l d 个物种被排在具有周期性边界条件的一维链上; ( 2 ) 从在( 0 , 1 ) 间 的 均匀 分 布 p ( f ) 中 取 l d 个 随 机数， 分 别 赋 给 l d 个 物种， 作 为 它 们的 “ 适应性”; 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n ( 3 )在每个时间段，适应性最小的物种及它的两个最近邻物种都要被变异，方 法就是从尸 汀) 中取三个新的随机数分别赋给它们。 ( 4 )不断地重复步骤 ( 3 )。 这个模型的 规则 十分简单， 只需 要不断 地产生 ( 0 , 1 ) 之间 均 匀分 布的随 机数， 并 且 进行随机数的替换。 但这个简单的数学模型却能产生一些很有意义的复杂行为。 首先，这个模型能够展示一种被称为 “ 断续平衡” ( p u n c t u a t e d e q u i li b - r iu m) 9 , 2 5 的现象。 “ 断续平衡”首先是在生物学上被观察到的，其基本思想 是大多数生物在其一生的大多数时期里处于没有什么生死彼关的郁滞期，但这种相对 平静的时期会不时地被一些持续时间相对较短且长短不一的突发事件所打断，这些突 发事件具有间歇的特性。比 如某个物种平稳地生存繁衍，突然由于某个事件该物种大 部分的个体灭亡了，剩下的个体继续生存下去;又过了一段时间，这个物种一半的个 体灭亡了，这样反反复复，生物系统不断地演化。 通过对一维b s 模型的模拟，很容易观察到 “ 断续平衡” 含3 0 0 个物种的一维b s 模型的断续平衡现象。 几 t ， 孚 卜 行为。图1 . 5 显示了包 _杯 门 一 ; r w 一 助、 者拐谬1斗居习是 _洲 诸 ， 一 粼 比 t r 帕 f 图l s : 一维b s 演化模型中的断续平衡。 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n - 一 一 一 一 一 之 二 二 二 一- 一 ，一 一 一 - 一 一- 一一 一 一一一 一 忙叶 au 。 4 图1 . 6 : 一 维 b s 演化 模型 中 隙 距 g ( s ) 随 时间 ， 的 演 化。 其次。如果我们跟踪观察系统中最小适应性 f m in ( s ) 随时间 。 的变化，我们会发 现一种非常有趣的现象，这种现象与系统的自组织紧密联系在一起。很显然， 由于我们在模型中采用的是均匀分布的随机数，因此f m in ( s ) 与系统中的随机数 分布是相联系的。 f n v n ( () ) ，即 f m in ( s ) 的初始值是一个小量，与 l d( 系统的大 小， 很 容易 把 1 维 b s 模型 推广 到 d 维) 有 关， f m i n ( ) - q ( l勺 。 根 据 模 型 的 定 义， 此时系统中没有任何适应性的 值比 f m in ( () ) 小， 因此把 f m in ( () ) 作为隙距 g ( s ) 的初 始值，即 g ( 0 ) 二f m in ( () ) 。经过 。 个时间段之后， f m in ( s ) 第一次比 f m in ( () ) 大， 此 时的 g ( s ) = f m in ( s ) 。换句话说， g ( s ) 是所有 f m in ( s ) ( 0 s s , - 0 0 时 ， 此 时 系 统 趋 于 稳 定 和临 界 当 g ( s ) =1 时 ， d g ( s ) l d s =0 ， 也 对应着稳定态，但这种稳定态无法在b s 模型中实现，因为相互作用的存在必然导 致 f _ f t h . 那 么 就 将 按 照 下 面 的 规 则 重 新 分 配 f =a 给它的四个最近邻: f t t l ,j +a 凡， 尺j 士 1 十a 尺. 7 汁t 旬相 2( f i t l d f i ,j f l f i ,j 升0 . 因此一个地震开始演化。 ( 3 ) 一 重复 步 骤( 2 ) 直 到 地 震 结 束 ( 充分 演化) 。 ( 4 ) 找到最大受力f m 。的块体。 把每个块体上的作用力都增加f t h 一f m - 当于对整个系统的一个扰动)并重新从 ( 2 )开始。 从弹赞一 块体模型的角度来说， o f c模型显然是不守恒的，因为 k l 0 ，如 果k l =0 就不会有任何驱动力。 地震的大小 ( 即驰豫的总数)正比于地震中所释放的总能量，因此地震大小的分 布即为弛豫数目 的分布。考察地震大小的分布会发现该模型能在a值的较大范围内展 - - ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，一一 十 尊 土学位论文 d o c