（运筹学与控制论专业论文）区组长为4的自反有向平衡不完全区组设计.pdf

摘 要 设。 ， k , a 为 正整 数， 用( a , , a 2 , ， a k ) 表示一个可迁有序的k 元集( 称为可 迁k 元组 ) ， 它 包含侧 k 一1 ) / 2 个有序对( a ti , a i ) ， 其中 1 i 4 , v 547 . 第四章， 通过引用上面证明的结论以及直接构造一些小阶数的 设计， 完全解决了s c d b ( 4 , 3 ; v ) 的存在性. 第五章， 给出本文证明的主要结论， 即s c d b ( 4 , a ; 司的存在 谱 关链词自 反的; 可分组设计; 可迁k 元组;自 反有向平衡不 完全区组设计 ab s t r a c t l e t 。 ， k , a b e p o s i t i v e i n t e g e r s . a t r a n s i t i v e o r d e r e d k - t u p l e ( a 1 , a 2 ， 二 、 a k ) i s d e fi n e d t o b e t h e s e t ( a ; , a j ) : 1 4 . i t c o n t a i n s fi v e c h a p t e r s : t h e fi r s t c h a p t e r i n t r o d u c e s s o m e b a s i c c o n c e p t s a n d r e l a t e d r e - s u l t s . i n t h e s e c o n d c h a p t e r s o m e t h e o r e m s a b o u t a u x i l i a r y d e s i g n s a r e o b t a i n e d a n d w e g i v e t h e ma i n l y r e c u r s i v e c o n s t r u c t i o n . i n t h e t h i r d c h a p t e r , v i a d i r e c t c o n s t r u c t i o n s a n d r e c u r s i v e c o n - s t r u c t i o n s w e p r o v e t h a t a n s c d b ( 4 , 1 ; 。 ) e x i s t s i f a n d o n ly i f v三 1 ( m o d 3 ) a n d 。 4 a n d v 笋7 . i n t h e f o r t h c h a p t e r , t h e e x i s t e n c e o f a n s c d b ( 4 , 3 ; v ) i s s o l v e d c o m p l e t e l y , w h i c h i s v _ 4 . t h e fi f t h c h a p t e r g i v e s t h e m a i n r e s u l t s o f t h i s t h e s i s , t h a t i s , t h e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s o f a n s c d b ( 4 , a ; v ) a r e v 4 i f a - 0 ( m o d 3 ) ; v - 1 ( m o d 3 ) if a = 1 , 2 ( m o d 3 ) a n d 林 ， 。 ) 54 ( 1 , 7 ) 硕士研究生毕业论文 ke y w o r d s s e l f - c o n v e r s e ; g r o u p d i v i s i b l e d e s i g n ; t r a n s i t i v e o r d e r e d k t u p l e ; s e l f - c o n v e r s e d i r e c t e d b i b d 第一章 引言与综述 这一章里给出本文涉及到的一些基本名词与基本事实.首先设 。 ， k , 入 为给定的正整数 定义1 . 1 x为一个。 元集合，b为x的一些子集( 称为区组) 组成的集合， 如果序偶，=( x , 句满足下列条件: ( 1 ) 对任 意的b 13 ， 都有 bi =k ; ( 2 ) 对任意的p , g e x ， 且p 54q ， 都有b中同时包含aq 的区组 个 数a .q ) =入 ; 则称d是一个平衡不完全区组设计， 简称区组设计或b i b设 计， 记作 b ( k , 凡的. 其中。叫 做，的阶， k 称为 区组长度， a 称为 相遇数. 引理 1 . 1若b ( k , a ; v ) 存在， 则 a ( 。 一1 ) =_ 0 ( m o d ( k 一1 ) ) , a v ( 。 一 1 ) 二0 ( m o d k ( k 一1 ) ) . 定义 1 . 2对一个给定的b ( k , a ; v ) ( x , t 3 ) ， 如果存在集合yc x且 y =。 ， 使得任意一个无序对 ( x , y ) e ( x x x ) ( y x y ) ， 恰 出现在b的a 个区组中， 那么这个平衡不完全区组设计称为阶为。 的带洞的b i b设计， 记为i b i b d ( k , a ; v , w ) 或 ( x , y ; b) . 定义1 . 3定义一个k 元组( a i , a z ， 一， a k ) ， 使其恰好包含 ( a s , a i ) 硕士研究生毕业论文 1 i _ 9 . 由上一章介绍的成对平衡设计p b d ， 我们可以相应的给出带洞 的成对平衡设计的概念， 或者称其为不完全成对平衡设计. 定义2 . 1 设v , 。 ， a 为给定的正整数，k为给定的正整数集 合，不完全成对平衡设计( 记作i p b d ) 定义为一个三元组 ( x , y , 川， ( v , ， k ) ， 其中x是一个v 元点集，y是一个、元点集， 并且 ycx , a是x的某些子集( 称为区组) 的族， 使得下列条件满足: 硕士研究生毕业论文 ( 1 ) 对于任意区 组ae a , 沐ny 3 w + 1 ， 那么 存在 一个( v , u ) ; 4 , 1 ) - i p b d ， 它 等 价于一个 组 型 为3 ( ” 一 ) a ( 。 一1 ) 的 4 , 1 卜 g d d . 对于一个给定的s c d b ( 4 , a ; v ) ( x , 1 3 , f ) ， 它的同构映射f 作为 集合x上的一个置换， 可以 看作若干个不相交的轮换的乘积. 设i 为恒等映射， 使得尹=i 的最小正整数k 称为f 的阶， 记为x f ) . 对任意的二 ex ， 如果f ( x ) = x ， 则称x 为f 的固定点 下面这个引 理是十分有用的. 引理2 . 5如果置换f 包含一个固定点， 那么以f 为同构映射的 s c d b ( k , a ; v ) 的 存在性等价于i s c d b ( k , a ; v , 1 ) 的 存在性 下面这个定理在后面的证明过程中多次用到， 在本文中有重要 的 地位， 它的 证明思 想在文献同中 可见. 定 理2 .6设v是 一 个v 元 集，w是一个。 元集， 并且vn w 二0 , 7r 是集合w上的任意一个置换. 对于1 j t , 寿是集合吼 上的 置换， 并 且寿的阶p ( 寿 ) 2 . 假设 有下 面的 设计 存在: ( 1 ) . k , .a 卜 g d d ( v , 9 , 5 ) ， 其中9 二 亿: 9 = 1 , 2 , . . . ， t ; ( 2 ) . i s c d b ( k , a ; i g ; i +、 ， 。 ) ( 吼u w , w , b ; ， 二 0 石 ) ， 其中 1 三夕三t 一1 . 那么存在一个i s c d b ( k , a ; v + w , g , +。 ) ， 它的同构映射f = 硕士研究生毕业论文 二 o f。 o f 2 o f l而且， 如果存在一个s c d b ( k , a ; g t ! +w ) ( g t +w, 尽， 二 0 人 ) ， 那么就有一个s c d b ( k , a ; 。 +。 ) 存在， 它的同构 映射即为f 证明:对于( 1 ) 中 给定的 k , a - g d d ( v , g , 匀， 定义一个集合 v上的置换。= .f 。 o f 2 o f l ， 从而能够得到另一个仕， 叮- g d d ( v , g , - ( b ) ) . 将b的 每一个区 组中的点按照它们 所在组的 顺序进行 升序排列，u ( 句 的每一个区组中的点按照它们所在组的顺序进行 降序排列， 得到的区组都作为可迁k 元组.这些可迁k 元组构成的 集合称作b o ， 它恰好包含了 所有由 不同组中的点所构成的有序对 a 次. 因为置换r 的阶p ( c ) 2 ， 所以 对于任意一个区 组b 场， 都有 c ( b - 1 ) e b o . 这时， 用( 2 ) 中 的i s c d b ( k , a ; i g j i +、 ， w ) ( g j u w, w , 马， 二 0 寿 ) ( i j t 一 1 ) 替 换吼 u w( 1 j t 一 1 ) ， 设x= vuw, y=g t uw, f =二 “ 。 二二 。 f t o . . . o f 2 o f , a=u b j . d j 三 一1 所得到的( x , y , a , f ) 就是一个i s c d b ( k , a ; v+。 ， 久 +。 )如 果用置换为二 0 f的s c d b ( k , a ; g t 1 +、 ) 代替g t uw， 就得到一 个s c d b ( k , a ; v + w ) ， 它的同构映射为f 推论2 . 7 设v 是一 个u 元点 集， 且00样 v , 寿是 集合几u o o 的 一 个 置 换， 使 得f;(00 ) 二 00且p (f j ) 5 2 ， 其中1 j t . 假 设 有 下面的设计存在: ( 1 ) 4 , 1 卜 g d d ( v , 9 , 8 ) ， 其中 区 组集g = 吼 : j =1 , 2 ， 一， t ; ( 2 ) i s c d b ( 4 , 1 ; 几 +1 , 1 ) ( 几u t o o , 二 ， 场， 石 ) ， 其中 1夕三去 那么存在一个s c d b ( 4 , 1 ; v + 1 ) ， 它的同 构映射f = f t o . . . o f 2 o f i - 硕士研究生毕业论文 证明由条件( 2 ) , i s c d b ( 4 , 1 ; 1 g c i + 1 , 1 ) 存在， 根据引理 2 . 5 可知， 即s c d b ( 4 , 1 ; 1 g t i + 1 ) 存在， 它的同构映射为几并且 满足人 ( 00) 二00. 应用 定 理2 .6 ， 让k =4 , a =1 , w =1 且二 =( oq ) ( 点集l oo 上的恒等映射) ， 可得本定理结论成立. 第三章 s c d b ( 4 , 1 ; 二 ) 的存在性 3 . 1存在性结果 在这一节中我们给出当a 二1 时，即s c d b ( 4 , 1 ; v ) 的存在性 结果，并在证明的过程中给出一个非常有用的直接构造. 定理 3 . 1 . 1对于正整数。三1 , 4 ( m o d 1 2 ) , s c d b ( 4 , 1 ; 。 ) 存 在， 并且等价于i s c d b ( 4 , 1 ; 。 ， 1 ) . 证明当v - 1 , 4 ( m o d 1 2 ) 时，b ( 4 , 1 ; v ) ( x , ti ) 存在( 见 文献 1 ) . 将区 组集b 中 的每个区 组的 原序及 反序形式共同 组成的区 组集 记为x 3 o ， 即b o =bu b ， 取同 构映射f 为集合x上的恒等置换， 那么( x , s o , f ) 即 为所求的s c d b ( 4 , 1 ; v ) . 根据引 理2 . 5 可知， 求 得的s c d b ( 4 , 1 ; 。 ) 即为i s c d b ( 4 , 1 ; 。 ， 1 ) . 定理3 . 1 . 2设g是一个。 阶的阿贝尔群， 其中。为奇数. 如果 a i , b i e g ， 使得 l，. 存 在u - i2 个 有序 对( a i , b i ) ， 其中 f a i , b i : a i , b i 。 g , 1 宁 =g f 0 1 , a 士 b i : a i , b i e g , 1 _3 1 时，由 定理 2 . 4 可知存 在( 二 ， 1 0 ; 4 1 , 1 升 i p b d , 由 此可以产生组型为3 4 n - 1 9 1 和组型为3 4 n 9 1 的 4 , 1 升 g d d ， 其中二为正整数且。_ 2 .利用定理 3 . 1 . 1 得到的 i s c d b ( 4 , 1 ; 4 , 1 ) 和引理3 . 1 . 4 得到的i s c d b ( 4 , 1 ; 1 0 , 1 ) ， 应用推论 2 . 7 ， 可得s c d b ( 4 , 1 ; 。 ) 硕士研究生毕业论文 3 . 2 s c d b ( 4 , 1 ; 7 ) 的不存在性 给定一个s c d b ( 4 , 1 ; 。 ) 二( x , b , f ) . 对任意区组bel t ， 有如 下定义 b 。 二b且b 二f ( b i - 2 - 2 ) , z 二1 , 2 , 如果 b : 二b a ， 且对于任意的， t ， 都有b s =,4 b o ， 那么 t 称作 区 组b在映射f 下的周期 ， 记 做p f ( b ) . 相 应的， 对任意的x e x , 如 果产( x ) =二 ， 且对于任意的， r2 ， 都有f m ( x ) 54 x ， 其中7 1 2 , 。 为正 整 数， 则称。 为 元素x 在映 射f 下的周 期 ， 记 做p f ( x )映 射f 作为 集 合x上的 置换， 可以 被 看 作是 若干 个不 相 交的 轮 换的 乘 积， 记作 f =7 r 2 7 r 2 7r , 轮 换7ri 的 长 度 记作t( 7 ri ) ， 其中1 * : ， t ( f ) 是f 中 最 大 轮 换 的 长 度 ， 即l ( f ) = m 怒 l( 7ri) 一 个 长 度 为t 的 轮 换 被 称 为 t 一 轮换. 根据上面的定义，可以知道有下列事实存在: 事实1不存在任何d b ( 4 , 1 ; 7 ) 能 够包含一个d b ( 4 , 1 ; 4 ) . 事实2设区 组b=( x , y , z , u ) 8 . 如果下列三个条件中 有一 个不满足: i . x 和u 在同 一个8 一 轮换中， i i . y 和: 在同一个t - 轮换中， i i i 一 二t 三2 ( m o d 4 ) , 那么p f ( b ) =1 . c . - . 2 , p f ( x ) , p f ( y ) , p f ( z ) , p f ( 二 ) 证明 假设 l . c .m . 2 , p f ( x ) , p f ( y ) , p f ( z ) , p 1 ( 二 ) =k ， 显然 p f ( b ) k .定义 p ( b ) 二 b o , b l ，二 ， b k - 1 接下来证明p ( b ) 中的任意两个区组不相同， 即证k p f ( b ) . 硕士研究生毕业论文 ( i ) 如 果b 2 i =b 2 i ， 其中0 i , j 奎 一 1 且i 0j ， 即( f 2 i ( 二 ) ， f 2 i 匆 ) ， f l i ( z ) , f 2 i ( _ ) ) = (f 2 ( x ) , f 2 ( y ) , f 2 ( z ) , f 2 ( u ) ) ， 即 尸 ， ( 动=f z i ( - ) , 且 f 2 i ( y ) = f 2 i ( y ) , f 2 i ( z ) =f 2 ( z ) , f 2 i ( u ) 二 p( u ) . 则必须有下列条件成立。 2 i 一2 j - 0 ( m o d p f ( 二 ) ) ， 2 一2 j 三0 ( m o d p f ( y ) ) , 且2 i 一 2 j - 0 (m o d p f (z ) , 2 i 一 2 ， 三。 ( m a d p f ( u ) ) . 即必须有恒等式2 i 一2 j =。 ( m o d k ) 成立， 而由 假设可知0 1 2 i 一匀 k ， 也就是等式2 : 一2 j =0 必须成立，即i 二7 ， 这与假设 中i 尹 夕 矛盾， 由 此可 知假 设 不 成 立， 即b 2 i 尹b 2 i 类 似 的 ， 可 以 证 明 对0 i , j 今 一 1 且: 0 j ， 有b 2 i+ 1 i 4 b 2 i + l 成立. ( i i ) 如 果b 2 i = b 2 i + 1 ， 即(u z i ( x ) , f 2 i ( y ) , f l i ( z ) , f 2 i ( 二 ) ) =( f ( ,u ) , f 2 + 1 ( z ) , f 2 i + i ( y ) , f 2 i + 1 ( x ) ) ， 则必 有下列 条 件成立: f 2 i ( 二 ) = f 2 j + 1 ( 二 ) ， 且 f 2 i ( y ) = f 2 i l l ( z ) , f z ( 、 ) = f 2 , ( z ) = 所以 中， i和 二在同一个轮换中， 称作 t 一 轮换因为x和。 称作s 一 轮换; 不相同且 y 和 f 2 j 4 -1 ( 二 ) ， f 2 j + 1 ( y ) . ，和 : 在同一个轮换 : 不相同，由此可知 2 j 一2 i +1 葬。 ( m o d 。 ) 且2 j 一 2 i + 1 ; t 0 ( m o d t ) 硕士研究生毕业论文 设 2 ， 一2 i +1二r ( m o d s ) ， 其中0r 3 . 将证明分成下面5 种情况: 1 ， 当l (f ) =3 时， 设f=( 。 b c ) - 对于包含点a , b 的一个区 组 b , 假设其包含的其余两个元素为二和 ， ， 那么由事实 2 可 知p f ( b ) =6 . ( i ) 如 果m a x p f ( x ) , p f ( y ) =1 或2 ， 那么 有 序对( x , y ) 或佃 ， x ) 同时出现在区组b , b : 和b ; 中， 显然此假设不不成立. ( i i ) 如 果m a x p f ( x ) , p f ( y )= 3 ， 易 知b =b 3 - , b , b 3 是 包 含在此s c d b ( 4 , 1 ; 7 ) 的一个d b ( 4 , 1 ; 4 ) ， 这与事实1 矛盾 2 . 当 1 ( f ) = 4 时， 设f =( 0 1 2 3 ) 二 、 ( i ) 如果f = ( 0 1 2 3 ) ( a b c ) ， 对于包含有序对( a , b ) 的区组b , 由 事 实2 可知p f ( b ) 二1 2 ， 这与区 组 集ci 仅 含7 个区 组 矛盾. ( ii ) 如果f =( 0 1 2 3 ) ( a b ) ( c ) 或f =( 0 1 2 3 ) ( a ) ( b ) ( c ) ， 对于 包 含有序对( a , 句的区 组b ， 由 事实2 可知p f ( b ) 二4 . 但有序对 ( a , 句在p ( b ) 中不止出现一次， 这是不可能的. 3 . 当l ( f ) =5 时， 对于任意一 个区 组be s ， 由 事实2 可知p f ( b ) =1 0 ， 与 s c d b ( 4 , 1 ; 7 ) 仅包含7 个区组矛盾. 4 . 当 i ( f ) =6 时， 设f 二( 0 1 2 3 4 5 ) ( o 0 ) ， 易知含有点0 0 的有 序对应为1 2 个. 对于包含点o 0 的任意一个区组b ， 由事实2 可知p f ( b ) =6 ， 那么 可知包含点0 0 的有 序对为1 8 个， 显然此 假设不成立. 5 ， 当i (f ) =7 时， 对于任意一个区 组be 召 ， 由 事实2 可知p f ( b ) =1 4 ， 与s c d b ( 4 , 1 ; 7 ) 仅包含7 个区 组矛盾- 硕士研究生毕业论文 综上所述，当。=7 时，x上的同构映射f 取作任何一种置换 形式都存在矛盾， 所以s c d b ( 4 , 1 ; 7 ) 是不存在的. 3 . 3 结论 定理 3 . 3 . 1 s c d b ( 4 , 1 ; 讨存在的充分必要条件是 。 4 且 。 三1 ( m o d 3 ) 且。 547 . 证明 当。 _4 时，d b ( 4 ; 1 ; v ) 存在的充分必要条件是 。 =1 ( m o d 3 ) ， 且由 定理3 . 2 . 2 可知s c d b ( 4 , 1 ; 7 ) 是不存在的， 所以 本定 理的必要性显然可知. 当。 二1 ( m o d 3 ) 且。 尹1 0 , 1 9 , 2 2 时， 充分 性由定理3 . 1 . 1 和定理3 . 1 .6 可得. 对于。 = 1 0 , 1 9 , 2 2 , s c d b ( 4 , 1 ; 司的存在性由引理3 . 1 .4 ， 引理3 . 1 .5 ， 引 理3 . 1 . 3 可得. 第四章 s c d b ( 4 , 3 ; 句的存在性 4 . 1 导出结论 定理 4 . 1 . 1当v 二1 ( m o d 3 ) 且。 笋7 时，s c d b ( 4 , a ; 。 ) 存 在，其中人为任意整数. 证明 由定理3 . 3 . 1 可知， 当。 三1 ( m o d 3 ) 且v 兴7 时， s c d b ( 4 , 1 ; v ) 存在 无论a 为何值，s c d b ( 4 , a ; v ) 可以由s c d b ( 4 , 1 ; v ) 的所有区组重复取 入次而得到. 根据定理4 . 1 . 1 和d b ( 4 , 凡的存在的充 分必要条件可知， 只 需再考虑a _2 时 s c d b ( 4 , a ; 7 ) 的存在性， 以及a - 0 ( m o d 3 ) 且。 三。 ， 2 ( m o d 3 ) 时s c d b ( 4 , a ; 。 ) 的 存在性. 我们不 妨先考 虑 。 三0 , 2 ( m o d 3 ) 时s c d b ( 4 , 3 ; 。 ) 的存在性，当a 三0 ( m o d 3 ) 时 只 需将s c d b ( 4 , 3 ; v ) 的 每 个 区 组 重 复会 次 ， 即 得 到s c d b ( 4 , a ; 。 ) . 4 . 2二 三0 , 2 ( m o d 3 ) 时s c d b ( 4 , 3 ; v ) 的 存在性 对于一个区 组集13 ， 定 义f ( t3 - 1 ) = f ( b - 1 ) : b e t 3 . 为了 使用 定理2 .6 给出的递归构造来寻找阶数较大的s c d b ( 4 , 3 ; 动， 需要先 构造一些带洞的设计i s c d b ( 4 , 3 ; v , 司， 在构造过程中， 不妨先找到 i b i b d ( 4 , 3 ; v , w ) ， 然后选取适当的同构映射和区组集， 从而得到所 求的i s c d b ( 4 , 3 ; 。 ， 、 ) . 硕士研究生毕业论文 2 5 定理 4 . 2 . 1 当( v , w ) e ( 1 1 , 2 ) , ( 1 1 , 3 ) , ( 1 4 , 2 ) , ( 1 4 , 3 ) , ( 3 5 , 1 1 ) 时，同构映射f 的阶p ( f ) = 2 的i s c d b ( 4 , 3 ; v , w ) 存在. 证明 设x=z _ u y ， 其中z = -1 , . . . , o o w ， 首先证明 存在 i b i b d ( 4 , 3 ; v , w ) ( x , y , 丸 ) ， 区组集风包含的区组和集合x上定义 的置换 f分别如下所示: v=1 1 , .=2 : a : ( o o l , 0 , 1 , 4 ) ( + 1 , m o d 9 ) , ( 0 , 1 , 3 , 5 ) ( + 1 , m o d 9 ) , ( o o 2 , 0 , 1 , 3 ) ( + 1 , m o d 9 ) . f = ( 0 ) ( 1 ) ( 8 ) ( o o 1 002 ) - v=1 1 , w=3 : a : ( 0 , 2 , 4 , 6 ) , ( 1 , 3 , 5 , 7 ) , ( 0 0 1 , 0 , 1 , 3 ) ( + 1 , m o d 8 ) , f = ( 0 ) ( 1 ) ( 7 ) ( -i -2 ) ( -3 ) - ( 00 2 , 0 , 1 , 5 ) ( + 1 , m o d 8 ) , ( 0 0 3 ; 0 , 1 , 3 ) ( + 1 , m o d 8 ) , v=1 4 , w=2 : a ( 0 , 3 , 6 , 9 ) , ( 1 , 4 , 7 , 1 0 ) , ( 2 , 3 , 9 , 8 ) , ( 0 , 1 , 7 , 6 ) , ( 2 , 5 , 8 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 1 0 , 9 ) , ( 1 , 2 , 8 , 7 ) , ( 5 , 6 , 0 , 1 1 ) , ( 4 , 5 , 1 1 , 1 0 ) , ( 0 0 1 , 2 , 4 , 6 ) ( + 1 , m o d 1 2 ) , ( 0 , 1 , 3 , 8 ) ( + 1 , m o d 1 2 ) , ( 0 0 2 , 1 , 2 , 1 0 ) ( + 1 , m o d 1 2 ) . f =( 0 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( 0 0 1 0 0 2 ) - ”=1 5 , 二3 : a : ( 0 0 1 , 0 , 5 , 7 ) ( + 1 , m o d 1 2 ) , ( 0 , 1 , 4 , 9 ) ( + 1 , m o d 1 2 ) , ( 0 0 2 , 0 , 1 , 2 ) ( + 1 , m o d 1 2 ) , ( 0 , 3 , 6 , 9 ) ( + 1 , m o d 1 2 ) , 硕士研究生毕业论文 ( o o 3 , 0 , 6 , 8 ) ( + 1 , m o d 1 2 ) f =( 0 ) ( 1 ) 一( 1 1 ) ( 0 0 1 0 0 2 ) ( 0 0 3 ) v=3 5 , m=1 1 : a : ( 0 , 6 , 1 2 , 1 8 ) ( + 1 , m o d 2 4 ) , ( 0 , 4 , 1 3 , o o s ) ( + 1 , m o d 2 4 ) , ( 0 , 1 , 3 , o o l ) ( + i , m o d 2 4 ) , ( 0 , 5 , 1 4 , o o 7 ) ( + 1 , m o d 2 4 ) , ( 0 , 3 , 8 , o o 2 ) ( + 1 , m o d 2 4 ) , ( 0 , 4 , 1 2 , o 0 8 ) ( + 1 , m o d 2 4 ) , ( 0 , 1 , 2 , 0 0 3 ) ( + 1 , m o d 2 4 ) , ( 0 , 4 , 1 3 , o o g ) ( + 1 , m o d 2 4 ) , ( 0 , 2 , 5 , 0 0 4 ) ( + 1 , m o d 2 4 ) , ( 0 , 6 , 1 3 , o o l o ) ( + 1 , m o d 2 4 ) , ( 0 , 6 , 1 4 , o o s ) ( + 1 , m o d 2 4 ) , ( 0 , 7 , 1 4 , p o l l ) ( + 1 , m o d 2 4 ) . f = ( 0 ) ( 1 ) 一( 2 3 ) ( 0 0 1 00 2 ) 二( -9 -1 0 ) ( 0 0 3 ) - 取13 二 a u f ( a - ) ， 容 易 验 证( x , y , b , f ) 即 为 所 求的i s c d b ( 4 , 3 ; 。 ， 、 ) . 定理4 . 2 . 2当。 三0 , 1 ( m o d 4 ) 时，s c d b ( 4 , 3 ; 。 ) 存在. 证明 当。 二0 , 1 ( m o d 4 ) 时，b ( 4 , 3 ; v ) ( x , a ) 存在( 见文献 1 ) . 取同 构映射f 为x上的 恒等置换， 设区 组集 b =au a - ， 则 ( x , b , f ) 即为所求的s c d b ( 4 , 3 ; 。 ) . 下面我们来考虑其余的情况， 即。三2 , 3 , 6 , 1 1 ( m o d 3 ) 时 s c d b ( 4 , 3 ; v ) 的存在性. 首先通过直接构造找到一些较小阶数的 s c d b ( 4 , 3 ; 司， 其中的几个将在后面的递归构造中起到重要作用. 定理 证明 4 . 2 . 3同构映射f 的阶p ( f ) =2 的s c d b ( 4 , 3 ; 6 ) 存在. 设 x=1 6 ， 映射 了= 组 成， 即b =b o u b l u f ( b 1 一 ， ) ， ( 0 1 ) ( 2 3 ) ( 4 5 ) ， 区组集 召由 三部分 其中b o 和b 1 所含区组如下列出: 场:( 0 , 2 , 3 , 1 ) , ( 3 , 4 , 5 , 2 ) , ( 5 , 1 , 0 , 4 ) ; 硕士研究生毕业论文 2 7 b i : ( 0 , 2 , 4 , 1 ) , ( 0 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 0 , 5 ) ( 1 , 2 , 4 , 5 ) , ( 3 , 2 , 0 , 5 ) , ( 1 , 3 , 5 , 4 ) . 容易验证( x , b , f ) 是一个s c d b ( 4 , 3 ; 6 ) . 定理4 . 2 .4当v =1 4 , 1 8 , 2 6 时，同构映射f的阶p ( f ) =2 的 s c d b ( 4 , 3 ; 。 ) 存 在. 证明 设x = z v ， 映 射f 为:x -4 2 十号 ， 其中2 e z v . 区 组集 b 可以由 三部分 构成， 即b = b o u b , u f ( b ， 一 ) ， 其中b o 和b l 分别 如下列出: v 二1 4 :场:( 0 , 1 , 8 , 7 ) ( + 2