（概率论与数理统计专业论文）近似正交设计的一个最优准则.pdf

摘要 摘要 超饱和设计是所有主效应的自由度超过了试验次数的因析设计，其出现源于 其试验的经济性。基于效应稀疏原则，我们可以用超饱和设计筛选重要因子。 有许多构造两水平超饱和设计的研究，如l i n ( 1 9 9 3 ，1 9 9 5 ) ，n g u y e n ( 1 9 9 6 ) ，l i 和w h ( 1 9 9 7 ) ，l i u 和z h a n g ( 2 0 0 0 ) ，b u t l e r , m e a d ，e s k r i d g e 和g i l m o u r ( 2 0 0 1 ) 等，常 用e ( s 2 ) 准则评估两水平超饱和设计的优劣。但试验各因子可能多于两水平或水 平数不同，这种情形下我们需采用高水平或混水平的超饱和设计。最近y a m a d a 和l i n ( 1 9 9 9 ，2 0 0 2 ) ，y a m a d a 和m a t s u i ( 2 0 0 2 ) ，f a n g ，l i i l 和l i u ( 2 0 0 3 ) ，f a n g ，g e ， l i u 和q i n ( 2 0 0 4 ) ，l i ，l i u 和z h a n g ( 2 0 0 4 ) ，k o u k o u v i n o s 和m a n t a s ( 2 0 0 5 ) ，l i u ，f a n g 和h i c k e m e l l ( 2 0 0 6 ) 以及l i u 和l i n ( 2 0 0 8 ) 等做了许多混水平方面的工作。从不 同的角度出发，评价混水平超饱和设计优劣的准则是不同的，最常用的是y a m a d a 和l i n ( 1 9 9 9 ) 提出的x 2 准则和f a n g ，l i n 和“u ( 2 0 0 3 ) 提出的e ( ，o d ) 准则。 这篇文章提出- f g e ( s 2 ) 准则来度量设计阵的正交性，还得到g e ( s 2 ) 的一个 下界，以判断设计是否是最优的，并解释了此准则的合理性。而e ( s 2 ) 是g e ( s 2 ) 准 则的一个特例。 关键词：正交对照；对照矩阵；近似正交设计 a b s t r a c t 一一- a b s t r a c t s u p e r s a t u r a t e dd e s i g ni saf o r mo ff a c t o r i a ld e s i g ni nw h i c ht h ed e g r e e so ff r e e d o m f o ra ui t sm a i ne f f e c t se x c e e dt h et o t a ln u m b e ro fd i s t i n c tf a c t o r i a ll e v e lc o m b i n a t i o n s o ft h ed e s i g n t h em a i nr e a s o nf o rc o n s i d e r i n gs u p e r s a t u r a t e dd e s i g ni s i t sr u ns i z e e c o n o m y b a s e do nt h ee f f e c ts p a r s i t yp r i n c i p l e ，w ec a nu t i l i z es u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s f o rs c r e e ns i g n i f i c a n tf a c t o r s t h e r ew e r em a n yr e s e a r c h e st h a ti n v e s t i g a t e dh o w t oc o n s t r u c tt w o 一1 e v e ls u p e r - s a t u r a t e dd e s i g n s ，s u c ha sl i n ( 1 9 9 3 ，1 9 9 5 ) ，n g u y e n ( 1 9 9 6 ) ，l ia n dw u ( 1 9 9 7 ) ，l i u a n dz h a n g ( 2 0 0 0 ) ，b u f l e l m e a d ，e s k r i d g ea n dg i l m o u r ( 2 0 0 1 ) t h ee ( s 2 ) c r i t e r i o ni s i n t r o d u c e dt oe v a l u a t e dt w o l e v e ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n a sf a c t o r si na ne x p e r i m e n t m a y b eh a v em o r et h a nt w ol e v e l so rd i f f e r e n tl e v e l s i nt h e s ea n do t h e rs c e n a r i o si n u l t i 1 e v e lo rm i x e d l e v e ld e s i g n sm a yb ea d o p t e d r e c e n tr e s e a r c h e so n m i x e d 1 e v e ls u p e r - s a t u r a t e dd e s i g n si n c l u d ey a m a d aa n dl i n ( 1 9 9 9 ，2 0 0 2 ) ，y a r n a d aa n dm a t s u i ( 2 0 0 2 ) f a n g ，l i na n dl i u ( 2 0 0 3 ) ，f a n g ，g e ，l i ua n dq i n ( 2 0 0 4 ) ，l i ，l i ua n dz h a n g ( 2 0 0 4 ) ， k o u k o u v i n o sa n dm a n t a s ( 2 0 0 5 ) ，l i u ，f a n ga n dh i c k e m e l l ( 2 0 0 6 ) ，a n dl i ua n dl i n ( 2 0 0 8 ) t h eg o o d n e s so fm i x e d - l e v e ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n sc a nb ej u d g e db ys e v e r a lc r i t e r i ap r o p o s e df r o md i f f e r e n tv i e w p o i n t s w e u s u a l l yu s ex 2c r i t e r i o np r o p o s e d b yy a m a d aa n dl i n ( 1 9 9 9 ) a n dt h ee ( 厶d d ) c r i t e r i o np r o p o s e db yf a n g ，l i i la n dl i u ( 2 0 0 3 ) t oe v a l u a t em u l t i l e v e la n dm i x e d 1 e v e ls u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s i nt h i sp a p e r , g e ( s 2 ) c r i t e r i o ni se m p l o y e df o r c o m p a r i n gs u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s f r o mt h ev i e w p o i n to fo r t h o g o n a l i t y , a n dal o w e rb o u n do fg e ( s 2 ) w h i c hc a ns e r v e a sab e n c h m a r ko fd e s i g no p t i m a l i t yi so b t a i n e d i ti ss h o w nt h a tt h ee x i s t i n ge ( s 2 1 c r i t e r i o ni si nf a c tas p e c i a lc a s eo ft h i sc r i t e r i o n k e yw o r d s ：o r t h o g o n a lc o n t r a s t ；c o n t r a s tm a t r i x ；n e a r l yo r t h o g o n a ld e s i g n 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：私自 2 。5 年j 月 。日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：锄询 加孑年岁月弓be l 第一章前言 第一章前言 超饱和设计是需要估计的主效应个数大于等于试验次数的一个部分因析设 计。当需要的试验次数和费用数目都比较大的时候，超饱和设计就是一种很实用 的好方法。超饱和设计可以用来估计显著因子是建立在稀疏效应原则的假设下的， 即只有少数因子才是重要的。 前人对超饱和设计的绝大多数研究集中在平衡设计上，即设计阵中每一列的 每一水平出现的次数是相同的。s a t t e r t h w a i t e ( 1 9 5 9 ) 对超饱和设计提出了随机平 衡设计。b o o t h 和c o x ( 1 9 6 2 ) 第一次系统地研究了这些设计并提出t e ( s 2 ) 准则。 在这之后，很少有关于超饱和设计的研究，直到l i n ( 1 9 9 3 ) a n dw u ( 1 9 9 3 ) 所做的 工作。从这之后就出现了大量的关于这个主题的文章。混合水平的超饱和设计 第一次被研究是由y a m a d a 和l i n ( 1 9 9 9 ) 进行的，他们提出了2 ( d ) 准则( 对设计 阵d ) 来评估二三混合水平的超饱和设计。然后y a m a d a 和m a t s u i ( 2 0 0 2 ) ，y a m a d a 和l i n ( 2 0 0 2 ) 用x 2 ( d ) 来评估混合水平的超饱和设计。f a n g ，“n 和“u ( 2 0 0 3 ) 提出 了e ( 厶o d ) 准则来比较混合水平的超饱和设计，还提出了构造e ( 厶。d ) 最优超饱和 设计方法。之后，f a n g ，g e ，l i u 和q i n ( 2 0 0 4 ) 和k o u k o u v i n o s 和m a n t a s ( 2 0 0 5 ) 构造 - j e ( 厶d d ) 最优的混合水平超饱和设计。l i ，l i u 和z h a n g ( 2 0 0 4 ) 得到了x 2 ( d ) 的下 界及达到下界的充要条件。最近l i u ，f a n g 和h i c k e m e l l ( 2 0 0 6 ) ，y a m a d a e ta 1 ( 2 0 0 6 ) ， a i ，f a n g 和h e ( 2 0 0 7 ) ，l i u ，z h a n g 和l i u ( 2 0 0 7 ) ，l i u 和l i n ( 2 0 0 8 ) ，t a n g ，a i ，g e 和f a n g ( 2 0 0 7 ) 也都得到了一些关于超饱和设计的) ( 2 ( d ) 准则的一些重要结论。 尽管上面做了很多的工作，但是都是对特定的低水平的研究结果，本篇文章 是要对它们进行推广，对多水平平衡设计提出一个最优准则来评价超饱和设计， 并证明该准则的有效性。第二章介绍已经存在的用来评价超饱和设计的准则。第 三章提出一个新的准则，并得出它的下界。第四章为了利用该准则，我们还要证 明该准则的合理性。最后是一些总结。 第二章现有的最优准则 第二章现有的最优准则 对每个因子有两水平的设计，有两种可能的水平设置，用4 - 1 来表示。所有因子 选取的水平所构成的任一组合都称为一个处理。让x = c 1 ，c 2 ，c m 作为实验的 设计矩阵，n 行表示有礼个处理，而这m 列中的每一列都表示一个因子所取的水平。 对每一个因子，它取的两个水平值的概率相同，且产生一样的影响，所以当礼为偶 数时，我们考虑每个因子的两种水平次数相同，即每一列有n 2 元素取+ 1 ，n a 的 元素取一1 。这种设计称为平衡设计。假设x 的每一列都不同，而m 佗所以不可 能所有的列之间都正交，因此我们要尝试构造一个尽量接近正交的设计阵。下面 简要介绍应用到构造和评价超饱和设计的几种最优准则。 e ( s 2 ) 一准则设s i j 为矩阵x t x 的第i 行第j 列元素。b o o t h 和c o x ( 1 9 6 2 ) 推荐 的比较设计的s 纛平均值的一个准则，记为e ( s 2 ) ， e ( s 2 ) = s 弓兹， ( 2 1 ) l i j m 其中碟= 巫竺2 尘，8 i j 是度量第i 个因子和第歹个因子的非正交性的。当s 巧= o 时，因 子i 和j 是正交的。当n 是偶数但不是4 的倍数时，有8 t f 0 。8 i j 接近于o 的时候我 们说因子i 和j 近似正交。若s t i = 4 - n l l l ：l c i = + c j ，我们称为全相关，而有这种全相 关因子的设计阵我们是不考虑的。n g u y e n ( 1 9 9 6 ) 及t a n g 和w u ( 1 9 9 7 ) 指出 啪耥 ( 2 2 ) 因此任何达到此下界( l b ) 的超饱和设计都一定是e ( s 2 ) 一最优的。 m 准则另一个构造最优超饱和设计的准则是使得m a 翰 j8 i j ni 尽可能 小，其中s 巧加= 是列q 和勺的相关系数。设计中所有列之间的相关系数中的 绝对值的最大值记为凹，即 m i a j x n1 2 茁， ( 2 3 ) 其中0 r 眦z = t n 1 且亡是正整数。r 眦z 应是越小越好，或者对给定的r 僦z 设计 的列数仇尽可能的多。 2 第二章现有的最优准则 a v e x 2 一准则对三水平的超饱和设计，y a m a d a 和l i n ( 1 9 9 9 ) 提出了一个度 量列q 和勺的相关性的准则： 砥小至3 蛾产， c 予挪 甘 n u v 是( q ，勺) 中( 缸， ) 一对的个数，而n 9 表示其平均数，他们通过对 凸口e 彤2 = 疋2 ( q ，c j ) l c l ( 2 5 ) 1 i 歹m 的最小化而提出准则，并得出了一个下界： a v e x 2 篇 l 佗一上j 【仇一上) ( 2 6 ) e ( f o d ) 一准则对混合水平的设计阵中任何两列q ，勺，f a n g ，l i i l 和l i u ( 2 0 0 3 ) 定义 q i乃 一 粥。一z 试e 脚( 佗舄l 云) 2 ， ( 2 7 ) 其中嘏) 是( q ，白) 中( u ，口) 一对的个数，而佗( 吼劬) 表示其平均数，e ( 瓜d d ) 准则就是 最小化 e ( f n o d ) = 稿d d 碟 ( 2 8 ) 1 9 j m 显然一个正交矩阵的e ( a o d ) = 0 让入射= 銎11 嘶：，入触是行z 南和现中有相 同数字的相同位置的个数。很显然，k 七= m 跏0 d ) = 端n 2 删哪一g m ) n 豸罱m 端+ c ( 礼，9 1 ，g m ) ， 一 m ( m 一1 ) ( n 一1 ) 。、”“” 其中c ( 佗，g t ，q m ) = 而n m 了一m i - 1 ) ( e t - - ，鲁+ 易：。，j 和为) 对一般设计，y a m a d a 和m a t s u i ( 2 0 0 2 ) 推广t a v e x 2 一准则，提出了疋2 一准则，实 际上 疋2 ( 。) - 。 羡m 瑞。云j ( 2 9 ) l g j s m ”副 3 第三章g e ( s 2 ) 准则 第三章g e ( s 2 ) 准则 为了节省试验的次数，近似正交设计和它的一个特例超饱和设计经常在实际 中被采用同时有许多标准被提出，作为选择这种设计的一个准则本文给出了选 择近似正交设计的一个标准g e ( s 2 ) 准则，并解释了其合理性 引理3 1 若( a ) = ( b ) ，则 1 p a = 岛j 2 若还满足( c ) = ( d ) ，矩阵a ，b ，c ，d 的每个列都是单位向量且每个矩阵 的任两列正交r 即若a ，b ，c ，d i 丙nx 七阵，则有a 7 a = b 7 b = c = d 7 d = 厶， 其中厶为尼阶单位矩阵j ，那么t r ( a a 7 c c ) = t r ( b b 7 d d ，) ， 其中( a ) 表示由矩阵a 的列向量张成的线性子空间，p a = a ( a 7 4 ) 一a 7 即为( a ) 上的投影矩阵 证明1 任取z t p ，z = z 1 + z 2 ，其中z 1 ( a ) = 卅( b ) ，z 2 ( a ) 上= ( b ) 上则p a x = p a x l + p a x 2 = x l + 0 = x l ，p b x = p b x l + 尸b x 2 = x l + 0 = x 1 即r z = p b x ，由z 的任意性知p a = p s 2 由题设知( a ) = ( b ) ，( c ) = j 4 ( d ) ，则存在矩阵m k k ，札。使 得a = b m ，c = d n ，由a a = b 7 b = i k 知m 7 8 7 b m = m m = 厶，即m 为正交 矩阵同理也为正交矩阵贝u t r ( a a 7 c c 7 ) = t r ( b m m 7 8 7 d n n d 7 ) = t r ( b b 7 d d ，) 口 ， 对任意给定一个s 水平凡行仇个因子的平衡设计阵x = ( z 。，z 2 ，z m ) ，x i = ( z n ，z t 2 ，鼢n ) ，z t f = 0 ，1 ，s 一1 ， i = 1 ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，n ，且n s = 后( 整数) ，我们可以计算出每个因子对应的一组标准正交对照向量设第i 个因子 对应的一组标准正交对照向量为q 小q 锄，o l 址，令a = ( o q 。，a 锄，o l i 州) 显 然a “是对称幂等阵，由于同一个因子的两组对照向量生成的空间是一样的，从 而由引理3 1 知对于同一个因子的两组不同的对照向量b i = a “是同一个矩阵， 我们把最称为因子i 的对照矩阵，且因子i 的因子平方和可以写成s & = 可b i y 又 4 第三章g e ( s 2 ) 准则 若第t ，歹两个因子正交，则a ：a j = 0 即鼠岛= 0 有上面的准备我们可以定义一个 设计的g e ( s 2 ) 为 a e ( s 2 、= ，警掣1 碟 1 急m s _ ” = 掣嚷 ( 3 1 ) l _ i j r n 。 初看g e ( s 2 ) 的意义并不明显，事实上，对于任意两个因子t ，j 对应的标准正交对 照向量分别为q 小o t i 2 ，q 。1 ，1 ，o t j 2 ，州令a = ( o t i l ，o l i 2 ，o t i ) ， 山= ( o t j 。，o t j ：，哟) ，则 4 ：如 o t i lo t j z q t 2 1 g 蟊一1o f j l 1 0 l j 2 q t 2 2 口“一1 2 1 哟。一1 q t 2 哟5 1 a “一1 哟p 1 n n t - i ，歹是正交的则4 4 中元素全为零，从而4 如中元素绝对值的大小应是第i ，歹 因子正交性的一个很好的度量但是，在处理绝对值时会很不方便，所以我们用a ：如 中元素的平方和即；三j 厶拄s - - 八lz q “ 。) 2 来度量第t ，歹因子之间的正交性，而 由于第i ，j n - - - 子的标准正交x c 照n l i t _ 有好多中选法，从而a ，4 也有好多选法，但是 对于每一中选法，a ，4 的列向量生成的空间是一样的，从而由引理1 知打( a ：a 4 a ) 是定值，这就说明了上面定义的一致性在打( a a ：如4 ) 的基础上再除以s 一1 ，是 为了标准化；由上面的解释可知g e ( s 2 ) 的值越小越好，所以我们希望找到它的下 界下面的定理3 2 可以解决这个问题 定理3 2m a x o ，一m ( ( 而s - 。1 ) ) - - 研( n 一- - 1 ) 1 ) ) g e ( s 2 ) 1 证明由定义知g e ( s 2 ) o k g e ( s 2 ) = o 当且仅当对任意的i ，歹= 1 ，2 ，m 有a ：a = 0 ，即任两个因子都是正交的另外令a = ( a 1 ，a m ) ，则 a 7 a ： 5 、 a 如疋 也 打 = a t 山4 打 = 卜 哟 ，地 陋 “脚“脚 a a； ! 、 ，1 ，2 砷知；b如以；a 4 b ；如 以a a e 4 ；厶 i i 仇 m a n 如；帆 4 以 厶 2 2 屹 a ，1，2： 唧4 4 ；心 1 1 d a m4 4 ；心 第三章g e ( s 21 准则 后一等号是由如，j = 1 ，m 的列正交性而得从i f 面g e ( s 2 ) = 塑耸篡牟拶， 求g e ( s 2 ) 的下界，只需求t r ( a 7 a a a ) 的下界又t r ( a 。a 1 4 a ) = t r ( a a a a ) 则只 需求t r ( a a a a ) 的下界即矩阵a a 所有元素的平方和的下界由于每个a 为对 照矩阵，则似7 1 n = 0 ，其中1 n 表示元素全为1 的n 维列向量，即4 爿的所有元素 之和为0 叉t r ( a a ) = t r ( a 7 a ) = m ( 8 1 ) ，从而若设a a = ( a q ) n n ，则我们 有墨1a i i = m ( s 一1 ) ，洋fa j = 一m ( 8 1 ) 从而由柯西不等式知 = 口计2 。弓 、( ：1 吼i ) 2 。( t c ja i j ) 2 二 n n ( n 一1 1 ( m ( s 一1 ) ) 2 ( - m ( s 一1 ) ) 2 = = = 一+-_-_-一 佗 扎( 礼一1 ) ：m 2 ( s 1 - 一1 ) 2 ， ( 3 2 ) 2 _ = 一， p 二， 贝l j g e ( s 2 ) 的f 界为 n2(8-丽1)-2-m(s-1)2(s：鞴1 ， ( 3 3 ) 一1 ) 嚷( m 一1 ) ( 几一) ”7 等号成立的充分必要条件为似7 对角元素全为巫，非对角元全为焉鍪争此时 “= 争4 = 掣厶一揣厶， 4 ， 其中厶为礼阶单位阵，厶为元素全为1 的佗阶方阵另一方面 打( a a ：a 4 ) = 打( x , a j x j a t ) = ( q 复。) 2 = q 复a i a j a 幻 ( 3 5 ) 由于砒。都是单位向量，则 a 复如4 a 饥入僦z ( a 4 ) = 入( 4 如) = 入( 忍一1 ) = 1 七= 1 ，2 ，s 一1 ， ( 3 6 ) 2 一” 口 n m n 甜 第三章g e ( s 2 ) 准则 其中入僦z ( a ) 表示矩阵a 的最大特征值从而 所以 打( a a ：如4 ) = a 幺4 4 a t 。s 一1 ( 3 7 ) g e ( s 2 ) - 学碟 1 1 i f 仃一1 的g e ( 8 2 ) 最优的超饱和 设计只需从佗! 个置换矩阵中找m 个置换矩阵最，i = 1 ，m ，使得 g e ( s 2 ) = 掣碟 1 i j m 鼠= 最 ( r 最r r = 1 南17 南，r = 丢1 n 17 n ，k = n s 1 0 rh 第五章总结 第五章总结 超饱和设计是所有主效应的自由度超过了试验次数的因析设计，其出现源于 其试验的经济性。基于效应稀疏原则，我们可以用超饱和设计筛选重要因子。现 已有许多构造两水平超饱和设计的研究，常用e ( s 2 ) 准则评估两水平超饱和设计 的优劣。对高水平和混水平超饱和设计，最常用的是y a m a d aa n dl i n ( 1 9 9 9 ) 提出 的x 2 准则和f a n g ，l i na n dl i u ( 2 0 0 3 ) 提出的e ( 厶od ) 准则。 这篇文章提出- f g e ( s 2 ) 准则来度量多水平设计阵的正交性，还得至i j - f g e ( s 2 ) 的一个下界，以判断该设计阵是否是最优的，并解释了此准则的合理性。也算是 对多水平设计的最优性的一个探索。对于g e ( s 2 ) 准则的其它性质以及该准则下最 优设计的构造是需要进一步探讨的问题 参考文献 参考文献 【1 】，m y ，f a n g ，k t ，h e ，s y ，2 0 0 7 e ( x 2 ) 一o p t i m a lm i x e d - l e v e ls u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s j s t a t i s t p l a n n i n f e r e n c e13 7 ，3 0 6 - 3 16 【2 b o o t h ，k h v ，c o x ，d r ，1 9 6 2 s o m es y s t e m a t i cs u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s t e c h - n o m e t r i c s4 4 8 9 - 4 9 5 3 】b u t l e r , n ，m e a d ，r ，e s k r i d g e ，k m ，g i l m o u r , s g ，2 0 0 1 ag e n e r a lm e t h o d o fc o n s t r u c t i n g6 ( 8 2 ) 一o p t i m a ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s j r o y s t a t i s t s o c s e r b 6 3 6 21 6 3 2 4 】f a n g ，k t ，l i n ，d k j ，l i u ，m q ，2 0 0 3 o p t i r n a lm i x e d l e v e ls u p e r s a t u r a t e d d e s i g n m e t r i k a5 8 ，2 7 9 - 2 9 1 5 】f a n g ，k t ，g e ，g n ，l i u ，m q ，q i n ，h ，2 0 0 4 c o m b i n a t o r i a lc o n s t r u c t i o n s f o ro p t i m a ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s d i s c r e t em a t h 2 7 9 ，1 9 1 2 0 2 6 】k o u k o u v i n o s ，c ，m a n t a s ，p ，2 0 0 5 c o n s t r u c t i o no fs o m ee ( 厶o d ) o p t i m a l m i x e d l e v e ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s s t a t i s t p r o b a b l e t t 7 4 ，312 - 3 21 【7 l i ，pe ，l i u ，m q ，z h a n g ，r c ，2 0 0 4 s o m et h e o r ya n dt h ec o n s t r u c t i o no f m i x e d - l e v e ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s s t a t i s t p r o b a b l e t t 6 9 10 5 一1 16 8 】l i l l ，d k j 。1 9 9 3 an e wc l a s so fs u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s t e c h n o m e t r i c s3 5 ，2 8 3 1 9 】l i u ，m q ，f a n g ，k t ，h i c k e m e l l ，f j ，2 0 0 6 c o n n e c t i o n sa m o n gd i f f e r e n t c r i t e r i af o ra s y m m e t r i c a lf r a c t i o n a lf a c t o r i a ld e s i g n s s t a t i s t s i n i c a16 ，12 8 5 - 1 2 9 7 【1 0 】l i u ，m q ，l i n ，d k j ，2 0 0 8 c o n s t r u c t i o no fo p t i m a lm i x e d l e v e ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s s t a t i s t s i n i c a ，t oa p p e a r 【11 】l i u ，yk ，l i u ，m q ，z h a n g ，r c ，2 0 0 7 c o n s t r u c t i o no fm u l t i - l e v e ls u p e r s a t u - r a t e dd e s i g nv i ak r o n e c k e rp r o d u c t j s t a t i s t p l a n n i n f e r e n c e13 7 ，2 9 8 4 - 2 9 9 2 1 2 n g u y e n ，n k ，1 9 9 6 a na l g o r i t h m i ca p p r o a c ht oc o n s t r u c t i n gs u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s t e c h n o m e t r i c s3 8 ，2 0 5 - 2 0 9 1 2 参考文献 1 3 】s a t t e r t h w a i e ，e ，1 9 5 9 r a n d o mb a l a n c ee x p e r i m e n t a t i o n ( w i t hd i s c u s s i o n ) t e c h n o m e t r i c s1 1 l1 1 3 7 【1 4 】t a n g ，b a n dw u ，c ej ( 1 9 9 7 ) am e t h o df o rc o n s t r