（光学专业论文）连续变量纠缠态的制备及其性质的理论研究.pdf

博士学住论文 d o c t o r a l d i s 蝴珉丑虹n 摘要 纠缠反映的是一个多体量子系统中各子系统之问所存在的非局域的量 子关联，它是量子力学有别于经典力学的基本概念。近年来有关连续变量 纠缠态的制备及其在量子信息处理中的应用是量子光学和量子信息科学的 前沿研究领域。这不仅是因为对于连续变量纠缠态性质的研究可以用于验 证量子力学的基本原理，而且还由于连续变量纠缠态是量子信息处理的基 本资源，因此如何制备连续变量纠缠态受到人们的广泛关注。另一方面， 由于体系与周围的环境的相互作用而导致的退相干的影响，使得所制备的 纠缠态十分脆弱而难于保存。因此，基于现有的实验条件和技术，如何制 备出抗环境干扰能力强、稳定的、高纠缠度的纠缠源是人们感兴趣的问题 之一。 我们研究了与压缩真空库耦合的光腔中量子点中激子自j 的纠缠。首 先，我们讨论与单模压缩库耦合的单模腔中单个量子点中激子和腔场模的 性质。分析发现，由于激子和腔场间的线性耦合，使得二者形成量子态交 换，这样腔场将其压缩传递给激予模，从u 仪得初态为真空的激子模形成 压缩；由于输入非经典的压缩光，线性耦合的激子和腔场可以形成纠缠， 且纠缠的性质依赖于输入压缩场的性质。以此为基础，我们分别讨论了与 双模压缩真空库耦合的两单模腔中两量子点中激子间的纠缠，以及与单模 压缩真空库耦合的单模腔中多量子点中激子间的纠缠行为。分析发现，在 不考虑系统衰减的情况下，激子间的纠缠性质依赖于腔场初始所处于的压 缩真空态；在考虑系统衰减的情况下，激子问稳态的纠缠只依赖于外加压 缩库的压缩性质。这里，我们解析证明了对于线性混合系统，非经典性的 输入是系统间形成纠缠的必要条件。 接下来我们讨论了利用非线性光学过程产生高纠缠度的明亮纠缠光。 首先讨论利用级联三能级原子关联发射激光来制备高强度的纠缠光。分析 发现，当系统工作在阈值以上时，在短时区域内能够产生光强较大的纠缠 光场；在强激光驱动场条件下，系统等效于非简并的光学参量下转换，腔 中的最大的双模压缩只能到达真空涨落的5 0 ，并且腔场处于混合的纠缠 态。基于此事实，我们研究了通过量子反馈来提高非简并光学参量下转换 博士学位论文 d o c r ( 球a l d 塔s e r t a t i o n 在腔中产生的纠缠以及纠缠态的纯度。分析发现，对于菲锁相的非简并参 量下转换，反馈可以使腔场处于纯的最大纠缠态；而在锁相的情况下，反 馈可以有效的提高腔场的纠缠，双模压缩以及腔场态的纯度。我们也讨论 了利用光腔中k e r r 非线性耦合器来制备三模完全不可分的高强度的纠缠 光。通过对系统线性化处理，发现此系统可以产生高强度的纠缠光。 最后我们研究了利用光腔中囚禁的二能级离子来相干制备纠缠光源。 首先讨论在激光场与原子共振跃迁频率大失谐的情况下，通过绝热消除离 子激发态，得到了两腔场模与声子模分别形成类似非简并参量下转换过程 和线性混合过程。分析发现，即使在考虑腔场的衰减和声子模加热的情况 下，光腔的输出场在中心频率总存在纠缠。接下来我们研究了在非大失谐 的条件，离子辐射场的纠缠特性。这里，除了包括前面的声子模和光场模 间的相互作用过程外，我们主要引入了两光场模直接的双光子过程。通过 分析发现，此双光子过程可以提高光场的纠缠。 关键词：量子纠缠，压缩，量子点，激子，关联发射激光，量子反馈，光 学参量下转换，l ( c r r 非线性耦合器，囚禁冷离子 一i i 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s i l t a t i o n a b s t r a c t i na d d i t i o nt ob e i n go ff u n d a m e n t a li n t e r e s ti nq u a n t u mm e c h a n i c s ，e n t a n g l e - m e n ta sq u a n t u mc o r r e l a t i o n sa m o n gq u a n t u ms y s t e m si sak e ye l e m e n ti nr a p i d d e v e l o p i n gq u a n t u mi n f o r m a t i c s n o w , c o n t i n u o u sv a r i a b l ee n t a n g l e m e n th a sa t t r a c t e dal o to fa t t e n t i o ni nq u a n t u mo p t i c sa n dq u a n t u mi n f o r m a t i o nd u et ot h e e x p e r i m e n t a lr e a l i z a t i o no fq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g si nc o n t i n u o u sv a i l a b l er e g i m e a n ya t t e m p tt oe x p l o i tt h ee n t a n g l e m e n th a v et o ，h o w e v e r , f a c et h e c o r r u p t i o no ft h ee n t a n g l e m e n tb yu n a v o i d a b l ed e c o h e r e n c e a sar e s u l t ，h o wt o p r o d u c et h er o b u s t ，s t e a d y , a n dh i g he n t a n g l e m e n ti sa ni n t e r e s t i n gr e s e a r c hi s s u e i nt h i st h e s i s ，w ef o c u sm a i n l yo nt h ep r e p a r a t i o no fb r i g h ta n dh i g hc o n t i n u o u s v a r i a b l ee n t a n g l e m e n t w e i n v e s t i g a t eq u a n t u mp r o p e r t i e so f t h ec a v i t ym o d ea n de x c i t o ni nas i n g l eq u a n t u md o te m b e d d e di nac a v i t yw h i c hi sc o u p l e dt oab r o a d b a n ds q u e e z e d v a c u u mb a t h i ti sf o u n dt h a tt h ee x c i t o nc a l le x h i b i tt h es q u e e z i n gd u et h el i n e a rm i x i n gb e t w e e nt h ee x c i t o na n dt h ec a v i t ym o d e ，t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e n t h ee x c i t o na n dt h ec a v i t ym o d ec a nb ee s t a b l i s h e da sac o n s e q u e n c eo ft h ei n j e c t e ds q u e e z i n gt ot h ec a v i t ya n dt h el i n e a rm i x i n gb e t w e e nt h ee x c i t o na n dt h e c a v i t ym o d e w ed i s c u s st h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h ee x c i t o n si nt w oq u a n t u m d o t si n s i d e st w os e p a r a t es i n g l e - m o d ec a v i t yc o u p l e dt oab r o a d b a n dt w o - m o d e s q u e e z e dv a c u u m ，a n dt h ee n t a n g l e m e n ta m o n ge x c i t o n si nm u l t i p l eq u a n t u md o t s i nas i n g l e - m o d ec a v i t yd r i v e nb yas q u e e z e dv a c u u m i ts h o w st h a ti na b s e n c eo f t h e d i s s i p a t i o n s t h e e n t a n g l e m e n t i s d e p e n d e n t o f t h e i n i t i a ls q u e e z i n g o f t h e c a v i t y w h e n c o n s i d e r i n gt h ed i s s i p a t i o n so ft h es y s t e m t h el o n g t i m ee n t a n g l e m e n tb e - t w e e nt h ee x c i t o n sd e p e n d so n l yo nt h ep r o p e r t yo ft h ei n j e c t e ds q u e e z e dv a c u u m f r o mo u rd i s c u s s i o n s ，i tc o n c l u d e st h a tt h en o n c l a s s i c a l i t yi sap r e r e q u i s i t ef o rt h e e n t a n g l e m e n t o f t h e l i n e a r - m i x i n gs y s t e m s n e x t ，w ed i s c u s sh o wt op r e p a r eb r i g h ta n dh i g he n t a n g l e m e n tb ym e a n so f n o n l i n e a ro p t i c s w ep r o p o s et og e n e r a t ee n t a n g l e dl a s e ri nat h r e e l e v e lc a s c a d e c o r r e l a t e ds p o n t a n e o u se m i s s i o nl a s e r , a n df i n dt h el a s e rf i e l de x h i b i t se n t a n g l e m e n tw i t hal o to fp h o t oa ts h o r tt i m er e g i o n w ei n v e s t i g a t et h ee n h a n c e m e n to f - i i i t h ei n t r a c a v i t ye n t a n g l e m e n to fas e l f - p h a s e - l o c k e dt y p e i in o n d e g e n e r a t eo p t i c a l p a r a m e t e ro s c i l l a t o rv i ah o m o d y n e - m e d i a t e dq u a n t u mf e e d b a c k i ti sf o u n dt h a t t h ef e e d b a c kc a ne f f e c t i v e l ye n h a n c et h es q u e e z i n g ，e n t a n g l e m e n ta n dp u r l t yo f t h et w o - m o d ei n t r a c a v i t yf i e l d e s p e c i a l l yf o ra no r d i n a r yn o p o ，o u rf e e d b a c k s c h e m ec a ns i m u l a t eas t a n d a r dt w o m o d es q u e e z e dv a c u u me n v i r o n m e n ta n dt h e p u r es t e a d yt w o m o d es q u e e z e dv a c u u mc a v i t yf i e l dc a nb eg e n e r a t e d i na d d i t i o n ， t h eg e n e r a t i o no fm a c r o s c o p i ca n ds p a t i a l l ys e p a r a t e dt h r e e m o d ee n t a n g l e dl i g h t f o rt r i p l yc o u p l e dx ( 封k e r r c o u p l e ri n s i d ea np u m p e do p t i c a lc a v i t yi si n v e s t i g a t e d w i t ht h el i n e a r i z e da n a l y s i sf o rs m a l lp e r t u r b a t i o na r o u n dt h es t e a d ys t a t eo ft h e p u m p e dc a v i t ym o d e s ，t h el i n e a r i z e dh a m i l t o n i a na n dt h ec o r r e s p o n d i n gm a s t e r e q u a t i o na l eo b t a i n e d i ti sf o u n dt h a tt h eb r i g h tt h r e e - m o d es q u e e z i n ga n df u l l i n s e p a r a b l ee n t a n g l e m e n tc a nb ea c h i e v e db o t hi n s i d ea n d o u t s i d et h ec a v i t y f i n a l l y , t h ep r e p a r a t i o no ft h ee n t a n g l e db e a m sf r o ma ni n t r a c a v i t yt r a p p e d t w o - l e v e li o ni si n v e s t i g a t e d b ym e a n so fa d i a b a t i c a le l i m i n a t i o no ft h ee x c i t e d l e v e lw i t ha s s u m p t i o no f t h e l a r g ed e t u n i n gb e t w e e nt h ep u m p i n g a n di o n ，w eh a v e o n ec a v i t ym o d e c o u p l e st ot h ev i b r a t i o n a lm o d eo ft h ei o nw i t han o n d e g e n e r a t e d o w n v e r s i o na n dt h el i n e a rm i x i n gh a p p e n sb e t w e e nt h es e c o n dc a v i t ym o d ea n d t h ev i b r a t i o n a lm o d e i ti sf o u n dt h a tt h eb r i g h to u t p u tf i g h tw i t ht h es t e a d yr o b u s te n t a n g l e m e u tc a nb ea l w a y sa c h i e v e de v c ni nt h ep r e s e n c eo ft h ed e c o h e r e n c e i n v o l v i n gt h ev i b r a t i o n a lh e a t i n ga n dt h ec a v i t yd a m p i n g n e x t ，w ei n t r o d u c et h e b i p h o t o np r o c e s so ft h ec a v i t ym o d e st ot h em a s t e re q u a t i o nd i s c u s s e da b o v eb y c o n s i d e r i n gt h ec a s eo fn o n a d i a b a t i c a le l i m i n a t i o n w ef i n dt h et h ee x t r ab i p h o t o n p r o c e s sc a ne n h a n c et h ee n t a n g l e m e n to ft h ec a v i t yf i e l d k e yw o r d s ：e n t a n g l e m e n t ，s q u e e z i n g ，q u a n t u md o t ，e x c i t o n ，c o r r e l a t e de m i s s i o nl a s e r , q u a n t u mf e e d b a c k ，k e r rn o n l i n e a rc o u p l e r , t r a p p e di o n i v 博士学位论文 d o c “) r a l d i s 羽丑h 蜘o n 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：f 幸绰室 日期：扣哆年，月j 二日 ， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名事军牮坌 日期：如髀月f l 日 ， 导师签名：考鬲知 日期：少铲月f t 日 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。园重迨塞握变压澄丘! 旦圭生；旦二生；旦三生筮查! 作者张。i 事馅 日期：叩年月伽 导师签名：考岛和 日期：纠年月，t 日 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s 日h 1 0 n 第一章绪论 纠缠是量子力学有别于经典力学的基本概念，反映一个多体量子系统 中各子体系所存在的非局域的量子关联。在量子力学建立之初，围绕量子 力学完备性与否人们开展了激烈的讨论。最著名的是爱因斯坦等人在1 9 3 5 年发表的“e p r 佯谬”，其中则包含了纠缠的概念【1 ，2 】。1 9 6 4 年贝尔基于 定域隐变量假设给出了“b e l l 不等式”，才将对量子力学的争论定量化。实 验上，a s p e c t 等人利用光学手段首次证实了“b e l l 不等式”的违背，从而有 力地证明了量子力学的非局域性【3 】。因此，理解纠缠是人们认识量子力学 的关键。另一方面，作为量子信息处理中的基本资源，纠缠又具有重要的 实际应有价值。例如，利用量子纠缠作为信息通道可以实现经典方法不能 实现的量子通讯【4 】。所以，近年来对量子纠缠的研究一直是人们感兴趣的 研究方向之一。另外，由于环境诱导的退相干的影响，使得所产生的纠缠 很容易被破坏而不易存储。基于上述，如何制备抗环境干扰能力强、稳定 的、高纠缠度的纠缠光源是本文所要解决的主要问题。作为基础部分，本 章将介绍本文所需的概念，方法和判据。 1 1 电磁场量子态的连续描述 1 1 1 线性谐振子与量子化的电磁场 在经典力学中，粒子受到弹性力f = 一妇作用时，其势能为u = 一譬f f ) 如= ；后茁2 ，粒子将作简谐振动。那么，在量子力学中，我们把 在势场u = ；七。2 中运动的微观粒子称为线性谐振子。质量为芦、角动量为 0 1 的线性谐振子的哈密顿算符为 日= 去矿+ 互1 删2 。2 = 一瓦h 2 砸+ 互1 m 2 圮 1 ) 上式中，童和庐分别为线性谐振子的坐标和动量算符。引入互相厄米共轭的 算符a 和扩 a = 层c 抖扔 ( 1 2 ) 博士学位论文 d o c t o t “l d i s s e r t k t i o n 把上式代入式( 1 1 ) ，有 日= 勘( 如+ 互1 ) ( 1 3 ) 设算符= 甜a 且其本征方程为l n ) = n 1 7 1 ) 。可以证明，算符由的本征 值礼的取值为n = 0 ，1 ，七【5 】。所以 日f 磅= ，( + ；) i n ) = ，( n + ；) l n ) 上式表明了谐振予本征态为l 佗) ，与之对应的能级为 玩= 鼬+ 五1 ) ，n = o ，1 ，2 ， ( 1 4 ) ( 1 5 ) 所以谐振子以基态的能量岛= 7 为计算能量的起点，它的定态的能量 恰好是，l u 的整数倍。谐振子与外界的能量交换的最小单位为壳u ，可以看 作一个基本粒子。例如：对于量子化电磁场的谐振子，就是光子：对于固 体中离子场的简谐振动，则称之为声子。所以，以 | n ) 为基底的表象称之 为粒子数表象。这里我们看到，当谐振子处于没有基元粒子的态即真空态 m = 0 ) ，振子任然有基态能量昂= 危u 。这与经典是不同的。 p 皿我们简早阴介缁电缀场阴量子化。将看到，量子化的电短场是由 一系列线性谐振子组成。从m a x w e l l 电磁场方程组出发，在库仑规范下， 电场和磁场都决定于矢势a ( nt ) ，即 e = 一百o a ，b = 4 ， ( 1 6 ) 脚( r ，归刍掣 ( 1 7 ) 采用周期性的边界条件，可以将矢势用正交归一的模函数 l 触( r ) 晡( r ) d r = 良展开为 枷) 2 莩( 去) l 2 吣咖) e 饥+ 0 ：晰料 ( 1 8 ) 博士学位论文 d 0 c t o r a l 傩s l 孺1 1 0 n 相应的电场为 聊问莩( 等) 1 2 k 俐e - t w k _ 俐e 叶 ( 1 9 ) 这里，k 表示第k 个场模。电磁场的量子化是将复的经典振幅a 换为电磁 场算符【6 ，7 】，满足对易关系 ，】= 【a ：，a l ，】- 0 ，a ：，】= 以 ( 1 1o ) 这样，电磁场的哈密顿量h = f ( e o e 2 + v o h 2 ) d 3 r 的量子化的形式为 日= k ( a + 互1 ) ( 1 1 1 ) 因此，量子化的电磁场由一系列不同频率的线性谐振子组成。 1 1 2 光场相干态及压缩态 我们知道，在经典电动力学中，我们可以同时确定电磁场的相位和强 度。在量子力学中，光子数n 对应电磁场得强度，它是粒子图像，而相位 则是波动得概念，两者不能同时确定。用粒子数态1 7 1 , ) 描述的单模光场，光 予数是确定值，而相位则不确定。我们也可以采用另一种描述光场的态函 数，称之为相干态。用这种态函数描述光场可以构成一个波包，其相位有 近似的确定值，但光子数具有较大的不确定度【6 】。理论上相干态定义为 o l o ) = 口l 口)( 1 1 2 ) 由于。是非厄米算符，所以o t 是复数，可以写为o t = 川e 坩。相干态o t 在粒 子数表象的形式为 = e x p ( 埘2 ) 薹c o 丽o t n m 一3 一 ( 1 1 3 ) 博士学位论文 d o c t o r a l d l s s 日h 1 0 n 数学上还可以等价地把相干态表示为平移算符d ( n ) 作用于真空态 n ) = d ( a ) 1 0 ) = e x p ( a a 一o l * a ) l o ) ( 1 1 4 ) 下面我们简单讨论相干态的基本性质。首先讨论相干态不具备正交性。由 式( 1 1 3 ) 可知， ( p l n ) = e x p 【一1 ( i 。1 2 + = e x p 一；( 1 n 1 2 + = e x p 一；( | n 1 2 + i 卢1 2 ) + 。卢】 ( 1 1 5 ) 当o = 卢时，( 口l 口) = l ；但是，当o t 卢时，有i ( p i q ) 1 2 e x p 1 a卢一 0 。说明对于两个本征值不同的相干态并不具备正交性，而随着i o t 一卢 的增 加而趋于正交。 由于相干态的本征值。是连续的变化的复数， 谱，并满足完备性关系 妻i 口) ( 。i d 2 口= ， 上式的证明见【6 】。 重新引入算符 x = 击( 0 + n t ) ，p = 诱- i ( 。一) 将上式代入到由单模电磁场 e ( t ) = a ( a e 嘲+ 0 t 扩) ， 4 所以相干态具有连续 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) m 焉m。删妙 言脚 纠 钥 剜 纠 博士学位论文 d o c t o r a l d l s s e r t a t i o n 中，可以得到 即) = 去【x c 。s ( 词+ p s i n ( 】 ( 1 1 9 ) 可见，厄米算符x 和p 是光场e ( t ) 两个相位正交的振幅算符。并且，与 式( 1 2 ) 相比较，正交振幅算符x 和p 与电磁场的正则坐标圣和多分别成正 比。 由对易关系，p 】= i ，粒子的坐标和动量的海森伯不确定关系为 a x a p2 。其中，定义均方涨落( a a ) 2 = ( a 2 ) 一似) 2 ( a = x ，p ) 。可以 求出算符x 和p 在相干态i o t ) 中的量子涨落为 x = 砺1 ，y = 砺1 ( 1 2 。) 所以x y = 说明了相干态是光场振幅算符x 和p 的最小不确定态。 由于光场的两振幅算符的涨落与相干态的本征值无关，且真空态是相干态 的特例 = o ) ，因此，光场振幅的量子涨落实质是由真空涨落决定的，而 在通过平移算符d ( 口) 将真空态变为相干态的过程中，光场振幅的量子涨落 保持不变。 通过前面的讨论，我们知道相干态( 真空态) 是光场正交振幅算符的最 小不确定态。而光场的压缩态是指光场的某一正交振幅算符的涨落小于真 空量子涨落。为了具体说明，我们先看光场的单模压缩真空态 i 妒) 。= s ( f ) l o ) ，s 代) = e x p ( 一；n t 2 + ；扩) ，f = r e x p ( i g ) ( 1 2 1 ) cc 这里，算符。为光场的湮灭算符。在此量子态中，光场的正交振幅算符的 量子涨落为 ( a x 2 ) = ；【e x p ( 2 r ) s i n 2 ( 妒2 ) + e x p ( _ 2 r ) c o s 2 ( 妒2 ) 】， ( a y 2 ) = ； e x p ( 2 r ) c o s z ( 妒2 ) + e x p ( 砌) s i n 2 ( 班) 】 ( 1 2 2 ) 取妒= 0 ，此时有( a x ) 2 = e x p ( 一2 r ) 2 ；，说明算符p 在压缩态中的 量子涨落大于其在真空态的涨落。其原因是单模压缩真空态为最小测不准 态，即( a x ) 2 ( p ) 2 = 。当妒= 2 的时候，与上面情况相反，算_ i v f p 的 量子涨落被压缩。当妒为其他一般的值时，我们可以定义一般的光场的正 交振幅算符 硒= - 击2 ( a e - i 口+ a t e i 4 ) ，局= 硒州。= 了- ；z , - i o a t e i o ) ( 1 2 3 ) 我们可以算出 ( a x e ) 2 = ； e x p ( 2 r ) s i n 2 ( 一妒2 ) + e x p ( - 2 r ) 耐( i j i 一妒2 ) 1 ， ( 均) 2 = ； e x p ( 2 r ) c o s 2 ( 西一 p 2 ) + e x p ( _ 2 r ) s i n 2 ( 一妒2 ) 1 2 4 ) 当= 妒2 和1 - - - 妒2 + 7 r 2 时，光场的振幅算符j 0 和p o 的量子涨落分别 得到压缩。 非线性光学参量下转换是实验上典型的制备压缩光的过程。此时介质 从外加的激光场吸收一个高频光子，而同时发射出两个频率简并的低频光 子。这两个光子具有高度的关联，从而展现出量子压缩。当介质发出的两 个光予低频光子为频率非简并( 如图1 1 ) ，则此过程为非简并的光学参量下 转换。此过程将产生双模压缩真空态 妒) 。= s f f ) l o ) ，s ( f ) = e x p ( 一a t b t + f + a b ) ，= r e x p ( i q o ) ( 1 2 5 ) 一6 一 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s i l t a t i o n 这里，口和b 分别为两光场模的湮灭算符。对于双模光场，我们可以定义其 正交的幅度算符 x = - 击2 ( a + a t + b + 矿) ，p = 历- i ( 。一n t + 6 6 f ) ( 1 2 6 ) 它们满足i x ，p 】= 2 i ，所以有a x a p 1 。可以证明，此时双模压缩态也为 最小不确定态【6 】，并且，与单模压缩相同，当妒= 0 或妒= 7 r 2 时，光场 的正交振幅算符x 和p 的涨落被压缩。 除了利用非线性参量下转换来产生单模和双模压缩态外，最近，人们 也提出了利用c a v i t yq e d 来制备压缩光 8 - 1 3 。 基于双模压缩真空态的定义，多模压缩真空态的定义为【1 4 - 1 6 】 妒=s 阵( 扩) 1 1 6 ) ， s 鼬) 】= 磊d z 唧雕) 叭一一一一) d ：+ 以一 ( 1 2 7 ) 其中，1 6 ) 表示多模真空态，( z ，) = r ( ) e x p p 妒( 州。上式表明，与中心频率 对称的，频率为p + 和一处于双模压缩态，压缩程度和压缩方向分 别为r ( v ) 和1 p ( v ) 。 1 1 3 光场量子态的零拍测量 利用光子探测器，通过光子记数可以直接测量光场的光子数分布。光 场强度测量可以测光场的的平均光子数、反聚束效应以及光场的亚泊松 分布等。但是，对于光场压缩态，由于其压缩与方位角有关，所以一般 的光子记数不能测量光场的压缩态。另外，下节将要介绍的光场连续变 量的纠缠在多数情况下也是通过测量光场的压缩来测得的。因此在这里有 必要简单的介绍利用零拍探测( h o m o d y n ed e t e c t i o n ) 来测量光场的压缩态 【7 ，1 7 1 9 1 。 如图1 2 所示，将频率相同的待测光场a 和外加的本振强场b ( l o c a l o s c i l l a t o r ) 在一个无吸收的分束器上混合。假设分束的透射系数和反射系数 一7 一 博士学位论文 咖r i d l s s e i o n l o 图1 2 零拍测量。 分别为町和1 一叩。从分束器输出的两光场表示为 c = 伽+ i 厕，d = 西+ 捅 ( 1 2 8 ) 上式中的虚数i 来源于分束器反射导致的7 r 2 的相移。探测器所测得到的电 流信号决定于两输出场的光子数算符 c t c = t l a t a + ( 1 一彩扩6 + l 、与两( 0 6 一b t a ) ， d t d = 叩矿b + ( 1 一 7 ) a t a i 厕( b t a a l b ) = 叩卢2 + ( 1 一叩) ( 0 d ) 一、石百动( ( x p + 7 r 2 ) ) ) ( 1 3 2 ) 其中，定义x ( ) = 花1 ( 一坤+ 0 ) 从上面两式可以看出，测量信号含 有依赖于本振信号相位的待测光场的振幅算符。假设分束器的反射系数和 透射系数相等( ，7 = 1 2 ) ，将两探测器得到的信号相减，从差分器中出来 一8 一 博士学住论文 d o c t o r a l d l s s 日u 盯1 0 n 的光电流为 j = 2 7 撕石j 渺( ( x 妒+ 7 r 2 ) ) ) ( 1 3 3 ) 这样通过调节本振信号的相位o ，可以测量光场的振幅算符的涨落，即可 以测得光场的压缩 ( a 1 ) 2 = 4 卢2 f ( x ( m 2 ) ) 2 】 ( 1 3 4 ) 实际上，这里我们介绍的是平衡零拍测量( b a l a n c e dh o m o d y n ed e t e c t i o n ) 。如 果只测量图1 2 中分束器的输出光c 或d 的过程为一般的零拍测量。与一般 的零拍测量相比，平衡零拍测量可以消除本振强场的噪音和测量噪音( s h o t n o i s e ) 7 。 1 1 4 光场量子态的相空间描述 通过前面( 1 1 2 ) 节，我们知道相干态可以形成一个完备集。将光场的量 子态p 在相干态中展开 p = d 2 。脚) ( a i ( 1 3 5 ) 这里，复平面上定义的函数p ( 口) 称为光场量子态p 对应的p 表象中的准概 率分布函数【2 0 , 2 1 ，这里我们简称为尸函数。知道了光场量子态对对应的 p 函数，就可以求出任意正规序排列的玻色算符的期望值 ( a ) n 硝= 彻倒伽) = 彻矧萎。( n t 炒 d z a p ( a ) g 。扩q ” ( 1 | 3 6 ” b m = o 这样，通过准分布函数，就把较为复杂的求算符的期望值转换为较为容易 的c 数积分运算。与p 函数一一对应的光场量子态的特征函数定义为p 函 一9 一 博士学位论文 d o c t o r a l d 璐s e i a a t i o n 数傅立叶变换，即 x ( f ) = t r l o e x 球。) e x p ( 】_ d 2 叫a ) e x 出卜欢) ( 1 3 7 ) 同样，利用光场态在p 表象中的特征函数也可以求正规排序的玻色算符a 的期望值 p 卅= ( 鑫) m ( - 丢) 嘲k = 。 ( 1 3 8 ) 由于光场的有些量子态没有正定的p 函数，为了避免这种情况，人们 还引入了其他的分布函数。如q 表象和w i g n e r 表象中的准概率分布函数 2 2 ，2 3 ，即q 函数和w i g n e r 函数，它们分别对应于玻色算符的反正规序和 对称序的情况。下面我们将多模光场量子态p 对应的上面三种分布函数用 一个统一的公式表达。定义一个s 序中的特征函数 x 馐，s ) = t r p e x p ( 白0 ；一嚣叼) e x p ( s i 白1 2 2 ) 】 ( 1 3 9 ) j = l 这里，8 = l ，0 ，一1 分别对应于正规序，反正规序和对称序中的特征函数。 那么，与它们对应的准概率分布函数为 跑 s ) = 去d 2 6 蕊噻e x p ( g 一唰 ( 1 4 0 ) 除了上面我们介绍的三种准概率分布函数外，还有一种在量子光子中 用的比较多的准概率分布函数，即由p d d r u m m o n d 和cw g a r d i n e r 共同 提出的推广的正定的p 函数【2 4 。其具体定义和应用在文献【2 2 】中有详细 的介绍。 1 1 5 高斯态 高斯态在连续变量的量子信息处理中占据着非常重要的地位。高斯态 是指具有高斯形式的特征函数或准概率分布函数的量子态。任意高斯态可 以由场算符的一次项和二次项的期望值确定，特别是高斯态的纠缠特性只 一l o 博士学位论文 姗r a i ，d i s s e r t a t i o n 与场算符的二次项的期望值有关，这使得理论上处理和研究高斯态的纠缠 特性变得相对简单。另一方面，从实验的角度来讲，高斯态很容易利用线 性光学元件如光学分束器、相移器以以及产生压缩算符的元件来产生高斯 光场。因此，近年来，基于高斯纠缠的量子信息处理得到了广泛的研究。 考虑作用在个无穷维n i l b c l t 直积空间上的分别代表个模的玻色系统， 定义每个模的湮灭算符为8 f = ( 置4 - i s ) 2 ，相应的每个模的复振幅为 = 巧4 - 巧。定义矢量 毒= ( x l ，p 1 ，鼍，p j ，x n ，p ) 亭= ( z l ，p l ，盼，z ，p ) 对易关系为 ，】- t q 。，佗，m = 1 ，2 ； q = 如正t ，= ( 三：) ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) ( l 4 3 ) ( 1 4 4 ) n 模玻色场的高斯态的w i g n e r 特征函数的定义【2 5 】 x ( ) = 唧 一事瞪 ( 1 4 5 ) 与之对应的w i g n e r 函数为 咪) = 西石南e x p 一；旷1 n ( 1 4 6 ) 这里，矩阵y 为2 nx2 n 实对称矩阵，称之为协方差矩阵。其定义为 k 。= ( ( 矗矗+ 矗金) ) 2 ( 1 4 7 ) 测不准关系要求协方差矩阵v 在物理上存在的条件为 2 6 ，2 7 】 v + 2 f l 0 ( 1 4 8 ) 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n 1 2 连续变量纠缠及纠缠判据 1 2 1 量子纠缠 量子纠缠是存在于多子系的量子系统中的一种奇妙现象，即对一个子 系统的测量结果无法独立于对其他子系统的测量参数。虽然近些年来， 随着量子信息的蓬勃发展，量子纠缠逐渐成为人们的热门话题，但它并 不是什么新事物。“纠缠”这一名词的出现可以追溯到量子力学诞生之 初。例如，在爱因斯坦等人在讨论量子力学不完备性的时候提出的著名的 “e p r ”佯谬【1 1 ，便包含有了纠缠的概念。经过近几十年的研究，人们对 纠缠性质有了较为完整的理解。 那么，什么样的量子态才算是纠缠态呢? 设有个由a 和b 构成的两体 系统，若其量子态不能表述为两子系统量子态的直积，即 妇口) l 妒a ) l oi 妒口) ，( 1 4 9 ) 则态i 机口) 为a ，b 系统形成的纠缠态。纠缠态l 妒 占) 表示了子系统a 和b 间在物理上的非局域的关联特性：即无论a 和b 系统在空间中相隔多远， 彼此间都有量子关联，于是对子系统a ( 或b ) 的测量都会导致子系统b 或( a ) 的量子态塌缩。 b e l l 态是两粒子体系构成的最大纠缠的纠缠态，即 妊= 历1 ( + | 1 1 ) ) ， 妇= 去m 0 ) + 1 0 1 ) ) ( 1 5 0 ) ( 1 5 1 ) 这里，“0 ”和“1 ”分别代表二能态量子系统的两个量子态。例如：自旋 为1 2 的二能级原子自旋向上和自旋向下；极化光子的水平极化和垂直极 化。所以，上面的四个b e l l 纠缠态反映了两二能级原子的自旋纠缠和两光 子间的极化纠缠。 一1 2 一 博士学位论文 d o c r a l d i s s 日n 1 0 n 1 2 - 2 连续变量的纠缠 尽管量子信息是基于类似b e l l 态这样的分离变量( d i s c r e t ev a r a i b l e ) 纠 缠基础上发展起来的，而就纠缠本身的概念来讲，最早是用连续变量来反 映的。即如前所述，纠缠的概念是1 9 3 5 爱因斯坦等人在文献【l j 中讨论量子 力学的不完备性提出来的，他们讨论了两个微观粒子间的动量和坐标的量 子关联。为了说明，这里我们先讨论前面我们已经介绍的光场的双模压缩 真空态 妒) 。= s f f ) l o ，o ) ，s ( ) = e x p ( 一f a t b t + f