2024年全国硕士研究生考试《数学二》（真题卷）

2024年全国硕士研究生考试《数学二》（真题卷）[单选题]1.函数的第一类间断点的个数是()。A.3B.2C.1D.0正确答案：C参考解析：根据题意，无定义的点为1，2，0。所以第一类间断点的个数是1个，故选择C项。[单选题]2.设函数y＝f（x）由参数方程确定，则()。A.2eB.C.D.正确答案：B参考解析：函数f（x）可导，且，当x＝2，t＝1时，，所以，，故选择B项。[单选题]3.设函数，，则()。A.f（x）是奇函数，g（x）是奇函数B.f（x）是奇函数，g（x）是偶函数C.f（x）是偶函数，g（x）是偶函数D.f（x）是偶函数，g（x）是奇函数正确答案：D参考解析：令，此时h（x）是一个偶函数，所以，f（x）＝h（sinx）为偶函数，从而g（x）为奇函数，故选择D项。[单选题]4.已知数列{an}（an≠0），若{an}发散，则()。A.发散B.发散C.发散D.发散正确答案：D参考解析：对于A项，令，，所以收敛。对于B项，令，，所以收敛。对于C项，令，，所以收敛。故选择D项。[单选题]5.已知函数，则在点（0，0）处()。A.连续，f（x，y）可微B.连续，f（x，y）不可微C.不连续，f（x，y）可微D.不连续，f（x，y）不可微正确答案：C参考解析：点（0，0）处，。同理。x≠0时，。因为故f（x，y）在（0，0）点处可微，排除B项和C项；当（x，y）→（0，0）时，极限不存在，故在（0，0）点处不连续，故选择C项。[单选题]6.设f（x，y）是连续函数，则()。A.B.C.D.正确答案：A参考解析：积分区域为D：，sinx≤y≤1，故交换积分次序可得：故选择A项。[单选题]7.设非负函数f（x）在[0，＋∞）上连续，给出以下三个命题：①若收敛，则收敛。②若存在p＞1，使得存在，则收敛。③若收敛，则存在p＞1，使得存在。其中真命题的个数为()。A.0B.1C.2D.3正确答案：B参考解析：若，收敛，但，故①错误。当p＞1时，收敛，由于存在，故根据比较判别法，可知收敛，故②正确。若，p＝4时，则不存在，故③错误。[单选题]8.设A为3阶矩阵，，若，则A＝()。A.B.C.D.正确答案：C参考解析：由，则可得：故选择C项。[单选题]9.设A为4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若A（A－A*）＝0，且A≠A*，则r（A）取值为()。A.0或1B.1或3C.2或3D.1或2正确答案：D参考解析：由题设知r（A）＋r（A－A*）≤4、A2＝AA*＝｜A｜E，又因为r（A－A*）≥1，则1≤r（A）≤3，则A2＝O，故r（A）＋r（A）≤4，即r（A）≤2，综上1≤r（A）≤2。故选择D项。[单选题]10.设A、B为2阶矩阵，且AB＝BA，则“A有两个不相等的特征值”是“B可对角化”的()。A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件正确答案：A参考解析：设Aα＝λα，同左乘B得BAα＝λBα，即ABα＝λBα。①若Bα≠0，则Bα为A对应于λ的特征向量，则Bα＝kα（k≠0），则α为B对应于λ＝k的特征向量。②若Bα＝0，则Bα＝0·α，则α为B对应于λ＝0的特征向量。综上：α必为B的特征向量，即A的特征向量都是B的特征向量，同理B的特征向量都是A的特征向量。故选择A项。[问答题]1.设平面有界区域D位于第一象限，由曲线，xy＝3与直线，y＝3x围成，计算。正确答案：详见解析参考解析：积分区域的图像关于y＝x对称，由轮换对称性可得：因此，有：[问答题]2.设y（x）为微分方程x2y″＋xy′－9y＝0满足条件，的解。（1）利用变换x＝et将上述方程化为常系数线性方程，并求y（x）；（2）计算。正确答案：详见解析参考解析：（1）对于x＝et，有t＝lnx，因此可得：从而原方程化为，即。故可得通解y＝C1e3t＋C2e－3t＝C1x3＋C2x－3，代入，可得C1＝2，C2＝0。因此，y（x）＝2x3。（2）[问答题]3.设t＞0，平面有界区域D由曲线与直线x＝t，x＝2t及x轴围成，D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为V（t），求V（t）的最大值。正确答案：详见解析参考解析：则V′（t）＝－πte－2t（1－4e－2t），令V′（t）＝0，可得t＝ln2。因为t∈（ln2－δ，ln2）有V′（t）＞0，t∈（ln2，ln2＋δ）有V′（t）＜0，所以t＝ln2为V（t）的极大值点即最大值点。故最大值为。[问答题]4.已知函数f（u，v）具有2阶连续偏导数，且函数g（x，y）＝f（2x＋y，3x－y）满足。（1）求；（2）若，，求f（u，v）的表达式。正确答案：详见解析参考解析：（1），。，，。代入原方程：。（2）因为。又因为。所以。因为。所以。[问答题]5.设函数f（x）具有2阶导数，且f′（0）＝f′（1），|f″（x）|≤1，证明：（1）当x∈（0，1）时，；（2）。正确答案：详见解析参考解析：（1）证明：令g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x。令。因为F（0）＝0，F（1）＝0。且F″（x）＝f″（x）＋1≥0。（|f″（x）|≤1）所以F（x）为凹函数，因此F（x）≥0。所以。令。因为F（0）＝0，F（1）＝0。且F″（x）＝f″（x）－1≤0。（|f″（x）|≤1）所以F（x）为凸函数，因此F（x）≥0。所以。综上，。（2）由（1）中由第（1）中综上，。[问答题]6.设矩阵，，二次型。已知方程组的解均是的解，但这两个方程组不同解。（1）求a、b的值；（2）求正交变换x＝Qy将f（x1，x2，x3）化为标准形。正确答案：详见解析参考解析：由题知与同解，故。又由，故a＝1，b＝2。（2）由（1）知，故二次型矩阵为，由，得λ1＝λ2＝0，λ3＝6。当λ1＝λ2＝0时，Cx＝0，可得基础解系为：，。当λ3＝6时，（6E－C）x＝0，可得基础解系为：。可知η1，η2，η3为正交向量组，将其单位化如下：，，故正交矩阵为：此时二次型经正交变换x＝Qy可化为标准形为。[填空题]1.曲线y2＝x在点（0，0）处的曲率圆方程为()。正确答案：或x2－x＋y2＝0参考解析：曲线的参数方程为。由曲率公式，可得在（0，0）处的曲率K＝2，则（0，0）处的曲率半径，又曲线在（0，0）处的切线为y轴，则曲率中心为，故曲率圆的方程为，即x2－x＋y2＝0。[填空题]2.函数f（x，y）＝2x3－9x2－6y4＋12x＋24y的极值点是()。正确答案：（1，1）参考解析：由，可得驻点（1，1）和（2，1）。，，。①对于驻点（1，1）：A＝－6，B＝0，C＝－72，由AC－B2＞0且A＜0可知，驻点（1，1）是f（x，y）的极小值点。②对于驻点（2，1）：A＝6，B＝0，C＝－72，由AC－B2＜0可知，驻点（2，1）不是f（x，y）的极值点。[填空题]3.微分方程满足条件y（1）＝0的解为()。正确答案：参考解析：令x＋y＝u，等式两边同时对x求导，得到u′＝1＋y′，代入原式可得，整理得，即，求得u－arctanu＝x＋c，即y－arctan（x＋y）＝c，把初始条件代入可得，解得。[填空题]4.已知函数f（x）＝（ex＋1）x2，则f（5）（1）＝()。正确答案：31e参考解析：由莱布尼兹公式可得。因此，f（5）（1）＝31e。[填空题]5.某物体以速度v（t）＝t＋ksinπt做直线运动，若它是从t＝0到t＝3的时间段内平均速度为，则k＝()