毕业论文-线性代数教学案例编写及实例研究.doc

苏州科技学院本科生毕业论文 线性代数教学案例编写及实例研究 摘 要 线性代数是高等院校理工科及经济学科各专业均开设的一门重要的基础课 程，随着计算机技术的迅速发展，线性代数在理论和应用层面上越来越显示其 重要作用；它也是学习力学、运筹学、计算数学、离散数学、数学建模等后续 课程的必要基础。由于该课程的抽象性，在该课程的教学实践中，需要通过精 心编写课堂中的教学案例与现实生活中的实例来提炼相关概念，并用理论解决 实际问题。本文首先对线性代数的历史追溯，阐明线性代数主要由三个基本计 算单元构成的，即：向量（组） 、矩阵、行列式。其次，研究线性代数在各学科 领域以及在学习研究中的作用。再者，就是编写课堂教学案例和线性代数的实 际运用，对所编写的教学案例进行分析，阐明编写的缘由。最后，是探讨案例 教学与能力的培养的关系，以及积极关注教学案例研究对教与学的促进作用。 关键词：线性代数；教学案例；实例研究；行列式；矩阵 苏州科技学院本科生毕业论文 Teaching case writing and living examples study of Linear Algebra Abstract Linear Algebra and economic disciplines of science and engineering institutions of higher learning are the professional opened an important foundation courses, with the rapid development of computer technology, linear algebra in the theory and application level has increasingly shown its important role; it is also learn mechanics, operations research, computational mathematics, discrete mathematics, mathematical modeling and other necessary basis for follow-up courses. Since the course abstraction, in the course of teaching practice, need well-written classroom teaching cases and real life examples to refine the concepts and use theory to solve practical problems. This article first traced the history of linear algebra, linear algebra consists of three main clarify basic computational unit consisting of, namely: vector (group), matrix, determinant. Secondly, the study of linear algebra in various subject areas as well as the role of research in the study. Furthermore, is the preparation of teaching cases and the practical application of linear algebra, for the preparation of teaching case analysis to clarify the reason for writing. Finally, the case study is to explore the relationship and ability, as well as an active interest in teaching case studies on teaching and learning role in promoting. Keywords linear algebra;teaching case;study examples;matrix;determinant 苏州科技学院本科生毕业论文 目 录 第 1 章 绪论.1 1.1本论文的背景和意义.1 1.2 本论文的主要方法和研究进展.1 1.2本论文的主要研究内容与预期目标.2 第 2 章 线性代数的发展历程.3 2.1线性代数概述.3 2.2 行列式的发展.3 2.3矩阵的发展.4 第 3 章 线性代数的作用.5 3.1线性代数在各学科领域中的作用.5 3.2线性代数在学习研究中的作用.5 第 4 章 线性代数的教学案例与实例研究.7 4.1线性代数课堂教学中的案例.7 4.1.1解线性方程组.7 4.1.2矩阵的逆.9 4.1.3 行列式的性质.10 4.1.4 特征方程.11 4.1.5 最小二乘问题.14 4.2线性代数在生活中的实例.15 4.1.6Euler 的四面体问题.15 4.1.7企业投入产出分析模型.17 4.1.8 生物上基因间“距离”的表示.19 4.1.9 剑桥食谱.20 第 5 章 教学案例编写的方法思路 .23 5.1学会利用初等数学的知识编写教学案例.23 5.2 利用趣味性案例教学.23 5.3利用应用型案例教学.24 结 论.25 苏州科技学院本科生毕业论文 致 谢.26 参 考 文 献.27 附录 A 译文.28 附录 B 外文原文.30 1 苏州科技学院本科生毕业论文 第第 1 1 章章 绪论绪论 1.11.1 本论文的背景和意义本论文的背景和意义 背景：线性代数是高等院校理工科及经济学科各专业均开设的一门重要的 基础课程，随着计算机技术的迅速发展，线性代数在理论和应用层面上越来越 显示其重要作用；它也是学习力学、运筹学、计算数学、离散数学、数学建模 等后续课程的必要基础。在教学改革后，由于授课时间的减少，加之该课程本 身具有较强的抽象性、逻辑性，很多学生陷入了“上课似懂非懂，课后解题却 不知如何让下手，考试更是无所适从”的困境。抽象的理论与繁琐的计算让学 生感觉不到线性代数的理论体系存在的实际意义，也就激发不了学生学习这门 课程的兴趣。而数学原本源于实际问题，何不从实际问题讲起，因此在教学中 我们必须考虑到这种因素，尽可能地列举一些典型的应用实例，让学生感觉到 学有所用，同时有助于强化学生的应用意识，培养学生的应用能力。为了让学 生能够更好地理解线性代数中的各类题型，帮助学生更好的学习后续课程，对 于教学方面进行研究，主要涉及如何编写高效的教学案例，分析已有的教学案 例，提出改进措施。 意义：无论解决哪一个数学难题，在其过程中都必将推动数学的发展，以 至于可能导致新的数学门类或分支的创立。本课题的最直接的研究意义是提高 线性代数的教学质量，帮助学生掌握并达到线性代数课程的教学基本要求，更 轻松的学习数学，让教师更好地教，学生更易接受，达到“知其然，更知其所 以然” 。当然，也会存在其它的研究意义，例如，顺利拿到学位、继续深造、考 研、提高自己的科研能力、毕业后找个好工作等等，这些都需要学好线性代数 的相关知识。 1.21.2 本论文的主要方法和研究进展本论文的主要方法和研究进展 1.1. 查阅有关资料；查阅有关资料；（3 月 4 日3 月 15 日） 主要是借阅图书馆的相关书籍，外加指导老师以及任课教师的相关 资 料，还有在电子图书馆下载相关文档。 2.2. 分析并整理资料；分析并整理资料；（3 月 18 日 4 月 8 日） 2 苏州科技学院本科生毕业论文 首先挑选出有利用价值的资料，删除用不到的书籍，以减少干扰，并 进一步寻找相关资料以充实自己的资料库。 3.3. 对资料进行汇总；对资料进行汇总；（4 月 10 日 4 月 22 日） 把挑选出的资料进行分类处理，因为本文框架主要有三个部分，线 性 代数在工科中作用、经典教学案例与能力培养，所以主要把资料分成 两类， 一是案例方面的，二是作用与意义方面的。 4.4. 开始写论文；开始写论文；（4 月 25 日 5 月 24 日） 开始论文写作，并定期向指导老师汇报论文进程，交流论文相关事 宜。 5.5. 修改论文。修改论文。 （5 月 27 日 6 月 7 日） 1.31.3 主要研究内容与预期目标主要研究内容与预期目标 本课题通过对线性代数案例教学的历史回顾和进展追索，加深对所研究问 题的了解，更好的将大课题分几个成子课题进行研究。研究内容：首先，通过 分析线性代数在工科中的作用，以积极关注如何进行线性代数的教与学的问题， 激发数学教学与学习研究兴趣。再者，通过对历史回顾，寻求线性代数的经典 教学案例，分析教学案例编写的原则以及案例教学的效果。列举出一些典型的 教学案例，并对每个列举的教学案例进行分析，分析案例是如何进行教课，学 生如何理解去学习的，以及这样的案例教学与普通教学的差异性。在列举了若 干前人经验总结的教学案例之后，自己结合自己的学习情境，或分析现实生活 中他人的学习情境，编写一个切合实际并能对教与学产生积极作用的教学案例。 我们知道，教学旨在教学生学会学习的技能，也就是教会学生如何去学，所以 在教学中我们会十分重视学生的能力培养。所以，最后，将探讨案例教学与能 力的培养的关系，以及积极关注教学案例研究对教与学的促进作用。 3 苏州科技学院本科生毕业论文 第第 2 2 章章 线性代数的发展历程线性代数的发展历程 2.12.1 线性代数概述线性代数概述 代数起源于人们对未知量的探索，由于我们要研究的事物是关联着多个因 素的量所引起的，那我们需要考虑多元函数。如果我们所研究的关联性是线性 的，那么我们就称这个问题是线性问题。历史上线性代数的第一个问题是 关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵 论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。 最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数 这一学科的诞生与发展。 了解线性代数的人都知道，线性代数由三个基本计算单元构成的，即：向 量（组） 、矩阵、行列式。线性代数是研究它们的性质和相关定理，能够求解线 性方程组，实现行列式与矩阵计算，构建向量空间和欧式空间。线性代数常用 的研究方法是构造法和代数法，基本思想是化简（降解）和同构变换。 经过不断地探索与研究，我们知道线性代数可以分为几个分支，其中最重 要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪就受到很大的注意，而 且学者们留下了成千篇关于这两个课题的文章。 2.22.2 行列式的发展行列式的发展 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在 1683 年 写了一部叫做解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法” ，书中对 行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的 是德国数学家莱布尼茨，他是微积分学奠基人之一。1750 年克莱姆（Cramer） 在他的线性代数分析导言一书中发表了求解线性系统方程的重要公式，即 人们所熟悉的 Cramer 克莱姆法则。1764 年，Bezout 把确定行列式展开后每一 项的符号系统化了。对所给的含有 n 个未知量的 n 次线性方程组，Bezout 证明 了行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde 第一个对行列式理 论（行列式理论与线性方程组求解相分离）进行系统的阐述，并且给出了用二 4 苏州科技学院本科生毕业论文 阶子式和它们的余子式来展开行列式，他是行列式理论研究的奠基人。Laplace 在 1772 年的论文对积分和世界体系的探讨中，证明了 Vandermonde 的一 些规则，并将他展开行列式的方法加以推广。德国数学家雅可比（Jacobi）在 1841 年总结出行列式的系统理论。另外，法国最伟大的数学大家柯西 （Cauchy） ，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记 法，同时还发现了两行列式相乘的公式以及改进并证明了 Laplace 的展开定理。 2.32.3 矩阵的发展矩阵的发展 相对而言，最早利用矩阵概念的拉格朗日（Lagrange）在 1700 年后的双线 性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法 是著名的拉格朗日迭代法。高斯（Gauss）大约在 1800 年提出了高斯消元法并 用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。1848 年 英格兰的 J.J.Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。 1855 年 Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换 ST 的系数矩阵变为 S 和矩阵 T 的乘积，他还研究了包括矩阵的逆在内的代数问 题。著名的 Cayley-Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的 根，就是有 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。数学家 Cauchy 首 先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对 称行列式都有实特征值；研究了代换理论，数学家试图研究向量代数，但在任 意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。Hermann Grassmann 在他的线性 扩张论一书中提出不可交换向量积的向量代数，1844 年他的观点还被引入一 个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是简单矩阵。在 19 世纪末美国数学物 理学家 Willard Gibbs 发表了关于向量分析基础的著名论述。我们习惯的列 矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给出的。 因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多 数生物的概念能对新的思想领域提供钥匙，并且这两个概念是物理上高度有用 的工具。 5 苏州科技学院本科生毕业论文 第第 3 3 章章 线性代数的作用线性代数的作用 线性代数是大学最重要的数学基础课之一。随着计算机技术的迅速发展，线 性代数在理论和应用层面上越来越显示其重要作用，对于学习其他后续课程的 有着不可或缺的作用。 3.13.1 线性代数在各学科领域中的应用线性代数在各学科领域中的应用 1、线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有着各种重要应用，因而 它在各种代数分支中占居首要地位。 2、向量空间是现代数学的一个重要课题，因而线性代数被广泛地应用于抽 象代数和泛函分析中，通过解析几何，线性代数得以被具体表示。 3、线性代数的理论已被泛化为算子理论，由于科学研究中的非线性模型通 常可以被近似为线性模型，使得线性代数广泛地应用于自然科学和社会科学中。 4、在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算进辅助设计、虚拟现实 等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。 5、线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及线性变换理 论的一门学科。 6、在研究线性方程组，因式化简、方程求根、高维几何、多元积分方面都 有广泛的应用。 7、随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的联系，还要进一步研 究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计 算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的 有力工具。 8、线性代数广泛应用于数学的各个分支以及物理、化学和科学技术中。如： 线性代数在“人口模型” 、 “马尔可夫链” 、 “投入产出数学模型” 、 “图的邻接矩 阵”等方面有着广泛的应用。 3.23.2 线性代数在学习研究中的作用线性代数在学习研究中的作用 6 苏州科技学院本科生毕业论文 1、想要顺利拿到学位，线性代数的学分对你有帮助。 2、想要继续深造、考研，必须学好线性代数。因为线性代数是必考科目， 也是研究生科目矩阵论 、 泛函分析的基础。 3、想要提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流抛弃，也必须学好， 因为瑞典的 L.戈丁说过，没有掌握线性代数的人简直就是文盲。 毕业后想找个好工作，也要学好线性代数：搞数学、搞电子工程、进行 IC 集成 电路设计、搞光电及射频工程、想搞软件工程、想搞图像处理、想搞经济研究、 想当领导（要会运筹学）等等，都离不开线性代数的应用。 7 苏州科技学院本科生毕业论文 第第 4 4 章章 线性代数的教学案例与实例研究线性代数的教学案例与实例研究 4.14.1 线性代数课堂教学中的案例线性代数课堂教学中的案例 线性代数是高等院校理工科及经济学科各专业均开设的一门重要的基础课 程，是学习力学、运筹学、计算数学、离散数学、数学建模等后续课程的必要 基础。但是在教学改革后，由于授课时间的减少，加之该课程本身具有较强的 抽象性、逻辑性，很多学生陷入了“上课似懂非懂，课后解题却不知如何让下 手，考试更是无所适从”的困境。由于课堂时间的紧凑，课堂中教师几乎把所 有的时间用于概念的讲解、定义的剖析、定理的证明，而具体例题的讲解则涉 及的少之又少。所以我觉得有必要在课堂教学中穿插个别典型的例题，让学生 切实体会运用定理性质等解决数学问题。下面我挑选几个大学线性代数考试、 考研、学术研究中几个知识点编写几个课堂教学中的例题。 4.1.14.1.1 解线性方程组解线性方程组 求解方程组 02 321 xxx 88-2 32 xx 9954- 321 xxx 解：我们在消去未知数的同时用方程组与相应的矩阵形式表示出来以便比 较。 02 321 xxx 1 -2 1 0 88-2 32 xx 0 2 -8 8 9954- 321 xxx -4 5 9 -9 保留第一个方程组中的，把其他方程组中的 1 x 消去。为此，把第 1 个方 1 x 程乘以 4，加到第 3 个方程组上。熟练之后可以通过心算完成： 8 苏州科技学院本科生毕业论文 ：新方程 ：方程 ：方程 3 3 14 9133 9954 0484 32 321 321 xx xxx xxx 把原来的第三个方程用所得新方程代替： 02 321 xxx 1 -2 1 0 88-2 32 xx 0 2 -8 8 9133 32 xx 0 -3 13 -9 其次，把方程 2 乘以 2 1 ，使 2 x 的系数变成 1。 02 321 xxx 1 -2 1 0 44 32 xx 0 1 -4 4 9133 32 xx 0 -3 13 -9 利用方程 2 中的 2 x 项消去方程 3 中的项 2 3- x ，用心算计算如下： ：新方程 ：方程 ：方程 3 3 23 3 9133 12123 3 32 32 x xx xx 所得的新方程组有三角形形状： 02 321 xxx 1 -2 1 0 44 32 xx 0 1 -4 4 3 3 x 0 0 1 3 现在我们想消去第一个方程中的项 2 2- x ，不过先利用方程 3 消去第一个方程 中的项 3 x 和第二个方程中的项 3 4- x 更为有效。这两个运算如下： 9 苏州科技学院本科生毕业论文 ：新方程 ：方程 ：方程 2 2 34 16 44 124 2 32 3 x xx x ：新方程 ：方程 ：方程 1 1 31- 32 02 3x- 21 321 3 xx xxx 这两次变换的结果如下： 32 21 xx 1 -2 0 -3 16 2 x 0 1 0 16 3 3 x 0 0 1 3 现在，在 3 x 的一列中只剩下一项，我们回头来消去第一个方程中的 2 x 项。把方 程 2 的 2 倍加到方程 1，得到方程组： 3 16 29 3 2 1 x x x 3 6 9 100 1010 2001 我们已经得出结果：原方程组的唯一解是（29,16,3） ，我们做了这么多计算，最 好还是检验一下结果。为证明（29,16,3）是方程组的解，把这些值代入原方程 组的左边： （29）-2（16）+（3）=29-32+3=0 2（16）-8（3）=32-24=8 -4（29）+5（16）+9（3）=-116+80+27=-9 结果与原方程组右边相同，所以（29,16,3）是原方程组的解。 分析：本例题通过简化线性方程组以及将每一步得到的线性方程组所对应的矩 阵一并表示出来，在解方程组的同时也教会了学生如何化简矩阵，相继也可以 的到后续行列式的化简性质。这种例题还可以稍作变形，即判断一个所给的线 性方程组是否有解、确定方程组是否相容、几条直线交点等问题，这些问题的 解决也是通过上述例题的方法来实施的，也就是通过线性方程组的系数矩阵的 增广矩阵的一系列变型得到最终结果的。所以，教师在讲解线性方程组的时候， 应该对于该类型的题目进行讲解，以便更好的学习后续内容。 4.1.24.1.2 矩阵的逆矩阵的逆 10 苏州科技学院本科生毕业论文 的逆。，分别求 83-4 301 210 B 65 43 A 解：有 detA=3（6）-4（5）=-20，因此 A 可逆且 23-25 23- 2-32-5- 2-4-2-6 35- 4-6 2- 1 A 10083-4 001210 010301 10083-4 010301 001210 IB 14-3200 001210 010301 14-04-3-0 001210 010301 212-23100 1-42-010 23-729-001 212-23100 001210 010301 因为 BI，由定理 7 可知 B 可逆，且 21223 142 23729 1 - B 最好将答案验证一下： 100 010 001 21223 142 23729 834 301 210 1 BB 因 B 可逆，不必验证 IBB 1 。 。变成把的一系列初等变换同时变为把 ，这是，行等于是可逆的，当且仅当矩阵：定理注： 1 - 7 AIIA IAAnn nn n 分析：这个例题中涵盖了两类矩阵逆的求法，对于 A，其实两种方法都适用， 但我们往往会选择简便不易出错的方法 1 来解答。对于 B，我们不能用方法 1 来解，需要通过矩阵的行列变换来实现。根据这个例题，可涉及的题目有：判 11 苏州科技学院本科生毕业论文 断矩阵可逆性、求矩阵的逆、矩阵的乘法、运用逆矩阵解线性方程组以及后续 学习对称矩阵的对角化都是有帮助的。所以学好矩阵的相关问题是必不可少的， 也是十分重要的。 4.1.34.1.3 行列式的性质行列式的性质 6041 2103 10593 8682 detAA，这里计算 解：为化简计算，设法使左上角为 1，可将第一行与第 4 行交换，也可由第 1 行提出因子 2,再对第 1 行做行倍加： 2300 1010120 2430 4341 2 6041 2103 10593 4341 2det A 然后，可再从第 3 行中提出 2，或利用第 2 列中的 3 作为一个主元。此处，我 们用后者，将第 2 行的 4 倍加到第 3 行： 2300 2600 2430 4341 2det A 最后，将 21- 倍的第 3 行加到第 4 行，再计算这个“三角形”行列式得： 36) 1 ()6()3() 1 (2 1000 2600 2430 4341 2det A 分析：行列式是线性代数中的一大模块，会计算行列式是解决线性代数各类题 目的重要途径。在计算这类问题时，涉及到行列式的变换性质，这与前述提到 的矩阵运算有大大的区别，但这也为后续运用克拉默法则解决线性方程组作好 铺垫。在 1750 年，瑞士数学家克拉默写了一篇文章指出行列式在解析几何中很 有用处。所以线性代数中对于行列式的学习是十分重视的，因为对后续学习解 析几何或者其他数学课程是密不可分的。 12 苏州科技学院本科生毕业论文 4.1.44.1.4 特征方程特征方程 量。的特征值与所有特征向）求出（ 的特征方程。）写出（ ，解决下列问题：对所给的矩阵 A A A 2 1 1000 4500 0830 1625 解：(1)写出 IA 并利用定理 3：A 是 nn 矩阵，若 A 是三角矩阵，那么 detA 是 A 主对角线元素的乘积。 )1)(5)(3)(5( 1000 4500 0830 1625 det)det( IA 特征方程是 0)1)(3()5( 2 或 0) 1)(3()5( 2 展开乘积，特征方程也可以写为 075130-6814- 234 (2)根据上述特征方程 075130-6814- 234 或 0) 1)(3()5( 2 知 A 的特征值为 531 4321 ， 。 当 1 1 时，由 0 0 0 0 1-1000 41-500 08-1-30 1-62-1-5 4 3 2 1 x x x x 取 4 x =1，则 41, 44, 1 13243 xxxxx ，得基础解系 13 苏州科技学院本科生毕业论文 4 4 16 1 1 p 所以， )0( 1 kkp 是对应于 1 1 的全部特征向量。 当 3 2 时，由 0 0 0 0 3-1000 43-500 08-3-30 162-3-5 3 3 2 1 x x x x 得 0, 4321 xxxx ，取 1 21 xx ，得基础解系 0 0 1 1 2 p 的全部特征向量。是对应于所以，3)0( 22 kkp 当 5 43 时，由 0 0 0 0 5-1000 45-500 08-5-30 162-5-5 4 3 2 1 x x x x 得基础解系取得, 1, 0 1432 xxxx 0 0 0 1 3 p 特征向量。的全部是对应于所以，5)0( 433 kkp 分析：行列式的特征方程是在学习了特征向量和特征值得基础上学习的， 学习特征方程一方面是对矩阵特征向量与特征值的进一步研究；另一方面也为 计算行列式寻求了另一种途径；再者，是学习 矩阵- 的的重要知识。本例题不 14 苏州科技学院本科生毕业论文 仅涉及特征方程的知识，而且教会学生对于多阶矩阵的特征值，特别是特征向 量的求解。在线性代数的学习中，特征方程、特征值是一个重要的考点，而矩 阵的特征向量求起来也不是很简单，同时，这和线性方程组的求解也是有些相 关联的，所以，定理的讲解配以综合的例题，切实让学生掌握求解的技巧。 4.1.54.1.5 最小二乘问题最小二乘问题 求不相容方程 AX=b 的最小二乘解，其中 11 0 2 11 20 04 bA， 11 19 11 0 2 120 104 51 117 11 20 04 120 104 bA AA bAAxA T T TT 计算解：利用 那么方程 bAAxA TT 变成 11 19 51 117 2 1 x x 行变换可以用于解此方程组，但由于 AAT 是 22 可逆矩阵，很快计算 得到 171 15 84 1 )( 1 AAT 那么可解得 bAAxA TT 如下： 2 1 168 84 84 1 11 19 171 15 84 1 )( 1 bAAAx TT 分析： 虽然最小二乘问题在线性代数中没有过度的重视，但是，在测绘学， 大地测量学有着必不可少的作用。实际上，在理工科的数学分析、运筹学、计 算方法（Mtable）等学科中有着广泛的应用。所以，可稍作提示语讲解，以便 15 苏州科技学院本科生毕业论文 后续课程的学习。 4.24.2 线性代数在生活中的实例研究线性代数在生活中的实例研究 线性代数的思想已经渗透到数学的每一个分支。当我们研究多变量函数及 其微分时，向量和矩阵便成为必不可少的工具。有些复杂的问题，看起来捉摸 不定，但如果运用线性代数的方法来描述，则可以使问题的表达极为简洁，并 且使问题实质的刻画更为深刻。下面将以线性代数作为主要工具，研究来自现 实生活中的实例。 4.2.14.2.1 EulerEuler 的四面体问题的四面体问题 问题 ： 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由 Euler（欧拉）提出的. 解 建立如图 2.1 所示坐标系，设A，B，C三点的坐标分别为（a1,b1,c1）,( a2,b2,c2)和（a3,b3,c3） ，并设四面体 O-ABC 的六条棱长分别为由立.,rqpnml 体几何知道，该四面体的体积 V 等于以向量组成右手系时，以它们 OCOBOA, 为棱的平行六面体的体积 V6的 .而 1 6 . 333 222 111 6 cba cba cba OCOBOAV 于是得 .6 333 222 111 cba cba cba V 将上式平方，得 16 苏州科技学院本科生毕业论文 . 36 2 3 2 3 2 3323232323131 323232 2 2 2 2 2 212121 313131212121 2 1 2 1 2 1 333 222 111 333 222 111 2 2 cbaccbbaaccbbaa ccbbaacbaccbbaa ccbbaaccbbaacba cba cba cba cba cba cba V 根据向量的数量积的坐标表示，有 ., , , 2 3 2 3 2 3323232 2 2 2 2 2 2313131 212121 2 1 2 1 2 1 cbaOCOCccbbaaOCOB cbaOBOBccbbaaOCOA ccbbaaOBOAcbaOAOA 于是 （2.1）.36 2 OCOCOCOBOCOA OCOBOBOBOBOA OCOAOBOAOAOA V 由余弦定理，可行 . 2 cos 222 nqp qpOBOA 同理 . 2 , 2 222222 lrq OCOB mrp OCOA 将以上各式代入（2.1）式，得 （2.2）. 22 22 22 36 2 222222 222 2 222 222222 2 2 r lrpmrp lrp p nqp mrpnqp p V 这就是 Euler 的四面体体积公式. 分析：这是属于几何问题，对于求四面体的体积问题，通过几何或者数学 分析中的积分是可以求的，但是那样求起来比较繁琐，而且对于不同的题目， 求法不一样。但是通过线性代数将其转化为代数问题，我们将其作为公式记忆 17 苏州科技学院本科生毕业论文 （如初中对三角形面积的记忆） ，从而遇到一类问题都可以套用公式，简便准确 节省时间。其中，公式的探究过程涉及到了行列式表示与计算问题，是线性代 数的一大应用问题。 4.2.24.2.2 企业投入产出分析模型企业投入产出分析模型 问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开 采一元钱的煤，煤矿要支付 0.25 元的电费及 0.25 元的运输费.生产一元钱的电 力，发电厂要支付 0.65 元的煤费，0.05 元的电费及 0.05 元的运输费.创收一 元钱的运输费,铁路要支付 0.55 元的煤费及 0.10 元的电费.在某一周内，煤矿 接到外地金额为 50000 元的定货，发电厂接到外地金额为 25000 元的定货，外 界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界 的需求？ 数学模型 设x1为煤矿本周内的总产值，x2为电厂本周的总产值，x3为铁 路本周内的总产值，则 （7.1） , 0)005 . 0 25 . 0 ( ,25000)10 . 0 05 . 0 25 . 0 ( ,50000)55 . 0 65 . 0 0( 3213 3212 3211 xxxx xxxx xxxx 即 . 0 25000 50000 005 . 0 25 . 0 10 . 0 05 . 0 25 . 0 55 . 0 65 . 0 0 3 2 1 3 2 1 x x x x x