重庆市第一中学2016届高三12月月考数学理试题带答案.doc

重庆一中高2016级2015-2016学年度高三上期第四次月考数学试题卷（理科）2015.12第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）A B-1 C0 D43.已知复数，且有，则（ ）A5 B C3 D4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的学生有30人，则n的值为（ ）A100 B1000 C90 D9005.已知椭圆和双曲线有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A B C D6.在区间内任取两个数，则满足概率是（ ）AB C D7右图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的体积为（ ）A B C D8莱因德纸草书（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包A4 B3 C2 D110.执行右图所示框图，若输入，则输出的p等于（ ）A120 B240 C360 D72011.已知函数图像上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B与C，则（ ）A B C D12.（原创）已知函数，若对任意三个实数、，均存在一个以、为三边之长的三角形，则的取值范围是（ ） A B C D第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.已知曲线在原点处的切线方程为，则_14.（原创）已知的展开式中的系数为0，则_15.（原创）设内角的对边分别是若的面积为2，边上的中线长为，且，则中最长边的长为_16.如右图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是：在杯内放一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大半径为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下面表中所示：是否需要帮助性别男女合计需要502575不需要200225425合计250250500（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由；（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？并说明理由附：独立性检验卡方统计量，其中为样本容量，独立性检验临界值表为：0.150.100.0500250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818.（原创）（本题满分12分）已知数列的前n项和为，且（1）求出数列的通项公式；（2）设数列满足，若对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围树茎树叶28 238 2 144 563 87719.（本题满分12分）我国政府对PM2.5采用如下标准：PM2.5日均值m（微克/立方米）空气质量等级 一级二级超标某市环保局从一年365天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（1）求这10天数据的中位数；（2）从这10天数据中任取4天的数据，记为空气质量达到一级的天数，求的分布列和期望；（3）以这10天的数据来估计这一年365天的空气质量情况，并假定每天之间的空气质量相互不影响记为这一年中空气质量达到一级的天数，求的平均值20.（本小题满分12分）已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由21.（本小题满分12分）已知存在实数和使得，（1）若，求的值；（2）当时，若存在实数使得对任意恒成立，求的最值22.（本小题满分10分）（原创）如右图，圆与圆内切于点，其半径分别为3与2，圆的弦交圆于点（不在上），是圆的一条直径（1）求的值；（2）若，求到弦的距离23.（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线将于点、，若点的坐标为，求的值 24.（本小题满分10分）（原创）已知函数，（1）解不等式；（2）若对于，有求证：参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案ACBADBACDCDB二、填空题（每小题5分，共20分）13-1 142 15 161三、解答题（共75分）17解：（1）调查的500位老年人中有75位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为15%（2），所以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人 是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好18解：（1）由已知，令可得，又，19.解：（I）10天的中位数为（微克/立方米）2分（II）由于，所以，即得分布列如下：012347分所以9分（III）一年中每天空气质量达到一级的概率为，由，得到（天），一年中空气质量达到一级的天数平均为146天12分20解：（I）则由题设可求的，2分又，则，所以椭圆的方程是4分（II）解法一：假设存在点，若直线的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理得5分设点的坐标分别为，则，因为及，所以8分当且仅当恒成立时，以为直径的圆恒过定点，9分所以，解得，此时以为直径的圆恒过定点10分当直线的斜率不存在，与轴重合，以为直径的圆为也过点综上可知，在坐标平面上存在一个定点，满足条件12分解法二：若直线与轴重合，则以为直径的圆为，若直线垂直于轴，则以为直径的圆为，6分由，解得，由此可知所求点T如果存在，只能是7分事实上点就是所求的点，证明如下：当直线的斜率不存在，即直线与轴重合时，以为直径的圆为，过点；当直线的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程并整理得，8分设点的坐标为，则，因为，所以有，所以，即以为直径的圆恒定过点，11分综上可知，在坐标平面上存在一个定点满足条件12分21解：（1）由题意4分（2）由题意知关于中心对称，所以取两个极值点的平均值，即，则有其中，令，则，所以在上递增，在上递减由此可求出，无最小值12分22解：（1）设交圆于点，连接，圆与圆内切于点A，点在AD上AD，AE分别是，圆与圆的直径6分（2）若，由（1）问结果可知，而