2018_2019学年高中数学圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的几何性质学案苏教版.docx

2.2.2椭圆的几何性质学习目标：1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质(重点)2.感受如何运用方程研究曲线的几何性质(难点)3.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点(a,0)，(0，b)(b,0)，(0，a)轴长长轴长2a，短轴长2b焦点(c,0)(0，c)焦距F1F22c对称性对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)离心率e(0e1)2.椭圆的离心率基础自测1判断正误：(1)椭圆1(ab0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆()【解析】(1).椭圆1(ab0)的长轴长等于2a.(2).椭圆上的点到焦点的距离的最大值为ac，最小值为ac.(3).离心率e越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆【答案】(1)(2)(3)2椭圆1的离心率是_. 【导学号：95902089】【解析】由方程可知a225，a5，c2a2b225169，c3，e.【答案】合 作 探 究攻 重 难已知椭圆方程求其几何性质已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标思路探究【自主解答】椭圆方程可化为1.m0，m，即a2m，b2，c.由e得，m1.椭圆的标准方程为x21.a1，b，c.椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为F1，F2；四个顶点分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.规律方法用标准方程研究几何性质的步骤跟踪训练1求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 【导学号：95902090】【解】把已知方程化成标准方程1，于是a4，b3，c，椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，离心率e，两个焦点坐标分别是(，0)，(，0)，四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)，(0,3).由椭圆的几何性质求方程(1)已知椭圆1(ab0)的离心率为，点C在椭圆上，则椭圆的标准方程为_(2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的标准方程为_思路探究解决问题的关键是根据已知条件求出a2 和b2.【自主解答】(1)由e得，又c2a2b2，所以得. 又点C在椭圆上得1， 由，解得a29，b25.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)由已知从而b29，所求椭圆的标准方程为1或1.【答案】(1)1(2)1或1.规律方法1利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法2根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数”，一般步骤是：(1)求出a2，b2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程跟踪训练2直线x2y20过椭圆1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为_. 【导学号：95902091】【解析】直线x2y20与x轴的交点为(2,0)，即为椭圆的左焦点，故c2.直线x2y20与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b1.故a2b2c25，椭圆方程为y21.【答案】y21求椭圆的离心率(1)椭圆1(ab0)的半焦距为c，若直线y2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为_(2)已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的，则椭圆的离心率为_思路探究(1)求出点P的坐标，利用点P在椭圆上其坐标满足椭圆的方程构建关于离心率e的方程，解方程可得离心率(2)在焦点三角形PF1F2中利用椭圆的定义与勾股定理得到a，b的关系式，可求离心率；或仿照(1)题的做法也可以求解【自主解答】(1)依题意有P(c,2c)，点P在椭圆上，所以有1，整理得b2c24a2c2a2b2，又因为b2a2c2，代入得c46a2c2a40，即e46e210，解得e232(32舍去)，从而e1.(2)方法一：设焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c，b)在RtMF1F2中，F1FMFMF，即4c2b2MF，而MF1MF2b2a，整理，得3c23a22ab.又c2a2b2 3b2a.e21，e.法二：设M，代入椭圆方程，得1，即e.【答案】(1)1 (2)规律方法求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解.若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解.(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.跟踪训练3椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为45的直线与椭圆的一个交点为M，若MF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为_. 【导学号：95902092】【解析】因为MF2垂直于x轴，MF1F245，所以MF1F2是等腰直角三角形，以MF1为斜边设MF1m(m0)，则MF2F1F2m，又因为F1，F2是椭圆的左、右焦点，所以MF1MF22a，即2a(1)m，而2cF1F2m，所以e1.【答案】1直线与椭圆的综合应用探究问题1已知直线ykxm和椭圆1(ab0)，如何判断直线与椭圆的位置关系？【提示】由得(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0，设该二次方程的判别式为，若0，则直线与椭圆有两个交点；若0，则直线与椭圆有一个交点；若0，则直线与椭圆没有交点2如果直线与椭圆有两个交点，那么直线与椭圆交点的横坐标与探究1中得到的关于x的二次方程有什么关系？【提示】探究1中得到的关于x的二次方程(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0的两个根分别是直线与椭圆交点的横坐标3设直线与椭圆有两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，那么如何求线段AB的长和M的坐标？【提示】方法一：解方程(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0，可得x1，x2，由ykxm可得y1，y2，即得A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标，然后利用两点间距离公式和中点坐标公式可求线段AB的长和M的坐标方法二：根据根与系数的关系，采取“设而不求”思路解决问题即 AB，点M的坐标可直接利用根与系数的关系求解上述两种方法，第一种方法运算太过繁琐，一般采用第二种方法求解此类问题如图222所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的焦距为2，过右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，当l与x轴垂直时，AB长为.图222(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆上存在一点P，使得，求直线l的斜率. 【导学号：95902093】【自主解答】(1)由题意可知2c2，c1，当l与x轴垂直时|AB|，由a2b2c2，得a，b，故椭圆的标准方程是：1.(2)设直线l的斜率为k，则直线l的方程：yk(x1)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)由，可得(3k22)x26k2x3k260，则x1x2，x1x2.因为则，代入椭圆方程1，又1，1，化简得2x1x23y1y230，即(3k22)x1x23k2(x1x2)3k230将x1x2，x1x2代入得3k263k230，化简得k22，k，故直线l的斜率为.规律方法椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其它章节知识结合考查，如不等式、三角函数及平面向量，特别是与直线方程，解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧.跟踪训练4已知椭圆1(ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的方程；(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求的最大值与最小值【解】(1)设椭圆的半焦距为c，由题意，且a2，得c，b1，所求椭圆方程为y21.(2)设P(x，y)，由(1)知F1(，0)，F2(，0)，则(x，y)(x，y)x2y23x23x22，x2,2，当x0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值2；当x2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.构建体系当 堂 达 标固 双 基1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是_. 【导学号：95902094】【解析】由题意知c1，e，所以a2，b2a2c23.故所求椭圆方程为1.【答案】12已知椭圆1有两个顶点在直线x2y2上，则此椭圆的焦点坐标是_【解析】直线x2y2过(2,0)和(0,1)点，a2，b1，c，椭圆焦点坐标为(，0)【答案】(，0)3若椭圆x2my21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍则m的值为_. 【导学号：95902095】【解析】将原方程变形为x21.由题意知a2，b21，a，b1.2，m.【答案】4已知椭圆1(ab0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_【解析】设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则AF1c，AF2c，有2a(1)c，e1.【答案】15当m取何值时，直线l：yxm与椭圆9x216