几何与代数历年真题.doc

01-02学年第二学期几何与代数期终考试试卷一（30%）填空题：1 设，则 ；= ； ；2 设矩阵，则行列式 ；3 若向量组线性无关，则当参数 时，也线性无关；4 矩阵的伴随矩阵=；5 设矩阵及均可逆，则，且 ；6 与向量，均正交的单位向量为 ；7 四点共面的充要条件为 ；8 设实二次型，则当满足条件 时，是椭球面；当满足条件 时，是柱面。二（8%）记为由曲线绕轴旋转所产生的旋转曲面,为以与平面的交线为准线，母线平行于-轴的柱面。试给出曲面，并画出所截有界部分在平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。三（8%）求经过直线且与平面垂直的平面方程.四（12%）求矩阵方程的解，其中，.五（12%）设线性方程组1 问：当参数满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？2 当方程组有无穷多解时，求出其通解。六（12%）设矩阵，已知。1 求参数的值；2 求一3 问：是否存在秩大于2的矩阵使得？为什么？七（12%）设实对称矩阵1 求参数；2 求一正交阵八（6%）已知阶方阵相似于对角阵，并且，的特征向量均是矩阵的特征向量。证明：。02-03学年第二学期几何与代数期终考试试卷一 填空题、单选题（每小题分，共分）1；2；3若是正交矩阵，则行列式 ；4空间四点，共面的充要条件是；5点到直线的距离为；6若阶方阵的秩为，则伴随矩阵的秩为；7若可逆矩阵使，则方阵的特征多项式为 ；8若阶方阵使都不可逆，则与对角阵 相似（其中，是阶单位阵）；9若与对角阵相合，则 ；10设，其中列向量线性无关，则齐次线性方程组的一个基础解系是；11设都是阶方阵，则（） （）5；（）4；（）3；（）212设阶矩阵满足，则以下结论中未必成立的是（）（）可逆，且；（）或；（）若2不是的特征值，则；（）或。二 计算题（每小题8分，共24分）1314求直线在平面上的垂直投影直线方程15设，其中，求三 计算题、解答题（三小题共分）16设向量组是生成的空间已知，（） 求；（） 求的一个基，并求在此基下的坐标；（） 求的一个标准正交基17用正交变换化简二次曲面方程求出正交变换和标准形）并指出曲面类型18设为由平面中的直线，直线及抛物线围成的平面区域将绕轴旋转一周得旋转体（）画出平面区域的图形；（）分别写出围成的两块曲面的方程；（）求的交线在平面上的投影曲线的方程；（）画出和，的图形四 证明题、解答题（每小题分，共分）19设是线性方程组的一个解，是导出组的基础解系证明：线性无关20设是维非零实列向量，又（）求的秩；（）求的全部特征值；（）问是否与对角阵相似？（）求0-0学年第二学期几何与代数期终考试试卷一 （24%）填空题1若向量，共面，则参数满足 .2过点且包含轴的平面方程为 .3已知矩阵满足，则的逆矩阵= .4设矩阵，则行列式 .5设向量组，则当 时，线性相关.6向量空间中向量在的基，下的坐标为 .7满足下述三个条件的一个向量组为 ，这三个条件是：它是线性无关的；其中的每个向量均与向量正交；凡与正交的向量均可由它们线性表示.8已知矩阵，若对任意2维列向量有，则满足条件 .二 （12%）假设矩阵满足，其中.求.三 （15%）设向量，. 问：当参数满足什么条件时1能用唯一线性表示？2不能用线性表示？3能用线性表示，但表示法不唯一？求这时用线性表示的一般表达式.四 （8%）设实二次型 问：实数满足什么条件时，方程表示直角坐标系中的椭球面？五 （12%）设3阶方阵的特征值为，矩阵。1 求参数的值，使得矩阵不可逆；2 问：矩阵是否相似于对角阵？请说明你的理由.六 （12%）已知二次曲面的方程为：，的方程为：。1 问：，分别是哪种类型的二次曲面？2 求与的交线在平面上的投影曲线方程；3 画出由及所围成的立体的草图.七 （10%）假设实对称矩阵的秩为2，并且，其中，。求的所有特征值及相应的特征向量；并求矩阵及.八 （7%）证明题：1 设是齐次线性方程组的线性无关的解向量，不是其解向量。证明：也线性无关. 2 设是阶正定矩阵，证明：.04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷一、 (24%)填空题1 以，为顶点的三角形的面积为 ；2 设3阶矩阵，。若的行列式，则的行列式 ；3 若向量，共面，则参数 ；4 若为阶方阵，则方阵的逆矩阵 ；5 已知向量是矩阵的特征向量，则参数 ，相应的特征值等于 ； 6 假设矩阵，则在实矩阵中，与相抵的有 ；与相似的有 ；与相合的有 二、 （8%）计算行列式三、 （10%）假设，求矩阵方程的解四、 （14%）假设矩阵，1 已知齐次线性方程组的基础解系中有两个线性无关的解向量试确定这时参数的值，并求这时的一个基础解系2 若在非齐次线性方程组的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的解向量，试确定这时参数及的值，并求的通解五、 （10%）已知直线过点，与平面平行，且与直线 相交。求直线的方向向量，并写出直线的方程六、 （10%）假设二次曲面的方程为：；平面的方程为：1. 与的交线向平面作投影所得的投影曲线的方程为 ；2. 该投影曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为 ；3. 在坐标系中画出投影曲线的草图（请给坐标轴标上名称）；4. 在坐标系中画出与所围成的立体的草图（请给坐标轴标上名称）七、 （14%）设二次型1 试就参数不同的取值范围，讨论二次曲面的类型；2 假设若经正交变换，可以化成标准形，求参数及一个合适的正交矩阵八、 （10%）证明题1 假设维向量，。若线性无关，证明：线性无关，并且，行列式。2 假设都是阶实对称矩阵，并且，的特征值均大于，的特征值均大于，证明：的特征值均大于。05-06学年第二学期几何与代数期终考试试卷一. (24%)填空题1. 直角坐标系中向量与的向量积为 ；2. 过点且与直线垂直的平面的方程为 ；3. 设，则=；4. 若矩阵的秩为, 是线性方程组的解向量 ,并且 , , 则线性方程组的通解是 ；5. 设是维列向量，则阶方阵的行列式的值为 ；6. 设是矩阵，若矩阵均不可逆，则行列式 ；7. 若3是矩阵的特征值,是的伴随矩阵，则矩阵的一特征值为 ；8. 若表示一单叶双曲面，则满足条件 。二（12%）设，求以及矩阵，使。式中的均指相应的零矩阵。三（10%）设向量组 线性无关 , 问: 参数满足什么条件时, 向量组 ， ，也线性无关？四（14%）已知空间直角坐标系中三平面的方程分别为：, , 1. 问：当取何值时这三个平面交于一点？交于一直线？没有公共交点？2. 当它们交于一直线时，求直线的方程。五（12%）已知矩阵有一个二重特征值。1. 试求参数的值，并讨论矩阵是否相似于对角阵。2. 如果相似于对角阵，求可逆矩阵，使得是对角阵。六（10%）假设是实对称矩阵。证明：分块矩阵是正定矩阵的充分必要条件是都是正定矩阵。七（8%）由与平面及点等距离运动的动点所生成的曲面记为，将平面上曲线以轴为旋转轴所生成的旋转曲面记为。则：1.的方程是： ；的方程是： ； 2. 与的交线在平面上的投影曲线方程是： ；3. 在坐标系中画出由这两个曲面所围成的有限立体的简图 八（10%）证明题：1. 若实矩阵的行列式，证明：必定相似于对角阵2. 假设实对称矩阵的特征值为，是的属于特征值单位特征向量，矩阵证明：的特征值为06-07第二学期几何代数期终考试试卷一 (30%)填空题（表示单位矩阵）1. 向量共面时参数的值为 ，此时，与这三个向量都正交的一个单位向量是 ；2. 向量组的秩等于 ，这个向量组的一极大线性无关组是 ；3. 假设矩阵，若是的特征值，则参数的值为 ；4. 二次型的正、负惯性指数分别为 ，下列图形中，能表示二次曲面的图形的标号为 ：（A），（B） ， （C） ， （D） ； 5. 由曲线绕轴旋转所产生的旋转曲面方程为 ；6. 若向量组与向量组等价，则参数必定满足条件 ；7. 若与相似，则 。二 （10%）已知向量组线性无关，问：当参数取何值时，向量组也线性无关？三 （15%）假设是参数，空间直角坐标系中平面的方程分别如下：， ， （1） 问：当取何值时, 这三个平面的公共点构成一直线？（2） 当它们的公共点构成一直线时，求直线的方向向量，并给出该直线的对称方程。四 （15%）设，并且，求及。五 （15