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专题训练(三)平行四边形中的动态问题 班别 姓名 (教材P68习题第13题的变式与应用)【原题】(人教版八年级下册教材第68页第13题)如图,在四边形ABCD中,ADBC,B90,AB8 cm,AD24 cm,BC26 cm.点P从点A出发,以1 cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,以3 cm/s的速度向点B运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动从运动开始,使PQCD,分别需经过多少时间?为什么?1如图,在四边形ABCD中,ADBC,AD6,BC16,点E是BC的中点点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动点P停止运动时,点Q也随之停止运动求当运动时间t为多少秒时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形2如图,A,B,C,D为矩形ABCD的四个顶点,AB25 cm,AD8 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,运动到点B为止,点Q以2 cm/s的速度向点D移动(1)P,Q两点从出发开始到第几秒时,PQAD?(2)试问:P,Q两点从出发开始到第几秒时,四边形PBCQ的面积为84平方厘米3如图,平行四边形ABCD中,AC6,BD8,点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动,点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动(1)经过几秒,以P,Q,B,D为顶点的四边形为矩形?(2)若BCAC垂足为C,求(1)中矩形边BQ的长4如图,在四边形ABCD中,ADBC,B90,AB8 cm,AD12 cm,BC18 cm,点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,以2 cm/s的速度向点B运动,当点Q到达点B时,点P也停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(1)作DEBC于E,则CD边的长度为10cm;(2)从运动开始,当t取何值时,四边形PQBA是矩形?(3)在整个运动过程中是否存在t值,使得四边形PQCD是菱形?若存在,请求出t值;若不存在,请说明理由备用图5如图,已知矩形ABCD,AD4,CD10,P是AB上一动点,M、N、E分别是PD、PC、CD的中点(1)求证:四边形PMEN是平行四边形;(2)请直接写出当AP为何值时,四边形PMEN是菱形;(3)四边形PMEN有可能是矩形吗?若有可能,求出AP的长;若不可能,请说明理由 参考答案【例】(人教版八年级下册教材第68页第13题)如图,在四边形ABCD中,ADBC,B90,AB8 cm,AD24 cm,BC26 cm.点P从点A出发,以1 cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,以3 cm/s的速度向点B运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动从运动开始,使PQCD,分别需经过多少时间?为什么?【解答】设经过t s时,四边形PQCD是平行四边形,APt,CQ3t,DP24t,DPCQ.24t3t.t6,即经过6s时,四边形PQCD是平行四边形,此时PQCD,且PQCD.设经过t s时,PQCD,即四边形PQCD是等腰梯形,APt,BQ263t,t263t2,t7.综上所述当t6 s或7 s时,PQCD.【方法归纳】根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解1如图,在四边形ABCD中,ADBC,AD6,BC16,点E是BC的中点点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动点P停止运动时,点Q也随之停止运动求当运动时间t为多少秒时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形解:由题意可知,APt,CQ2t,CEBC8.ADBC,当PDEQ时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形当2t8,即t4时,点Q在C、E之间,如图甲此时,PDADAP6t,EQCECQ82t,由6t82t得t2.当82t16,且t6,即4t6时,点Q在B、E之间,如图乙此时,PDADAP6t,EQCQCE2t8,由6t2t8得t.当运动时间为2s或s时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形图甲 图乙2如图,A,B,C,D为矩形ABCD的四个顶点,AB25 cm,AD8 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,运动到点B为止,点Q以2 cm/s的速度向点D移动(1)P,Q两点从出发开始到第几秒时,PQAD?(2)试问:P,Q两点从出发开始到第几秒时,四边形PBCQ的面积为84平方厘米解:(1)设P,Q两点从出发开始到第x秒时,PQAD,四边形ABCD是平行四边形,ABCD,即APDQ.PQAD,四边形APQD是平行四边形APDQ.3x252x.解得x5.答:P,Q两点从出发开始到第5秒时,PQAD.(2)设P,Q两点从出发开始到第a秒时,四边形PBCQ的面积为84平方厘米,BP253a,CQ2a,根据梯形面积公式得:(253a2a)884.解得a4.答:P,Q两点从出发开始到第4秒时,四边形PBCQ的面积为84平方厘米3如图,平行四边形ABCD中,AC6,BD8,点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动,点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动(1)经过几秒,以P,Q,B,D为顶点的四边形为矩形?(2)若BCAC垂足为C,求(1)中矩形边BQ的长解:(1)当t7秒时,四边形BPDQ为矩形理由如下:当t7秒时,PAQC7,AC6,CPAQ1.PQBD8.四边形ABCD为平行四边形,BD8,AC6,AOCO3.BODO4.OQOP4.四边形BPDQ为平形四边形PQBD8,四边形BPDQ为矩形(2)由(1)得BO4,CQ7,BCAC,BCA90.BC2CQ2BQ2.BQ2.4如图,在四边形ABCD中,ADBC,B90,AB8 cm,AD12 cm,BC18 cm,点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,以2 cm/s的速度向点B运动,当点Q到达点B时,点P也停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(1)作DEBC于E,则CD边的长度为10cm;(2)从运动开始,当t取何值时,四边形PQRA是矩形?(3)在整个运动过程中是否存在t值,使得四边形PQCD是菱形?若存在,请求出t值;若不存在,请说明理由备用图解:(2)如图1,由题意得:APt,DP12t,CQ2t,BQ182t.要使四边形PQBA是矩形,已有B90,ADBC即APBP,只需满足APBQ即t182t,解得t6,因此,当t6秒时,四边形PQBA是矩形(3)不存在,理由:如图2,要使四边形PQCD是平行四边形,已有ADBC即DPCQ,只需满足DPCQ即12t2t,t4时,四边形PQCD是平行四边形,但DP12t810,即DPDC,按已经速度运动,四边形PQCD只能是平行四边形,但不可能是菱形5如图,已知矩形ABCD,AD4,CD10,P是AB上一动点,M、N、E分别是PD、PC、CD的中点(1)求证:四边形PMEN是平行四边形;(2)请直接写出当AP为何值时,四边形PMEN是菱形;(3)四边形PMEN有可能是矩形吗?若有可能,求出AP的长;若不可能,请说明理由解:(1)M、N、E分别是PD、PC、CD的中点,ME是PC的中位线,NE是PD的中位线MEPC,ENPD.四边形PMEN是平行四边形(2)当AP5时,在RtPAD和RtPBC中,PADPBC(SAS)PDPC.M、N、E分别是PD、PC、CD
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