2019-2020学年高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1.ppt

3.1.1方程的根与函数的零点,一,二,三,一、函数的零点1.已知函数f(x)=2x+6.(1)求方程f(x)=0的解;提示:由2x+6=0,解得x=-3.(2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标.提示:交点坐标A(-3,0).(3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关系?提示:相等.,一,二,三,2.填空:函数的零点(1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点.3.函数y=f(x)的零点是点吗?为什么?提示:不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.4.你能说出函数y=lgx;y=lg(x+1);y=2x;y=2x-2的零点吗?提示:y=lgx的零点是x=1;y=lg(x+1)的零点是x=0;y=2x没有零点;y=2x-2的零点是x=1.,一,二,三,5.做一做:函数f(x)=x2-1的零点是()A.(1,0)B.(1,0)C.0D.1解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=1,因此函数f(x)=x2-1的零点是1.答案:D,一,二,三,二、方程、函数、图象之间的关系1.考察下列一元二次方程与对应的二次函数:方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.(1)你能够画出关于上述方程的根,函数图象与x轴的交点及函数的零点的表格吗?,一,二,三,提示:,一,二,三,(2)从你所列的表格中,你能得出什么结论?提示:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.,一,二,三,三、函数零点存在性定理1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间-2,1上有零点x=-1,而f(-2)0,f(1)0,即f(2)f(4)0.由以上两步探索,你可以得出什么样的结论?提示:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.2.填空:函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.,一,二,三,3.如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是间断的,上述定理成立吗?提示:不一定成立,由下图可知.4.反过来,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点,f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.()答案:6.做一做:函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上()A.-2,-1B.-1,0C.0,1D.1,2解析:因为f(-2)=-110,f(1)=40,f(2)=130,所以f(-1)f(0)0时,由f(x)=0,即-1+lnx=0,解得x=e,满足x0.所以函数的零点为-4和e.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的根求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实根.,所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究二判断函数零点的个数例2判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,解:(方法一)f(0)=1+0-2=-10,f(x)在区间(0,2)内必定存在实根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟判断函数零点个数的常用方法1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数.3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象交点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.4.若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练2(1)若abc0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是()A.0B.1C.2D.1或2(2)判断函数f(x)=x-3+lnx的零点个数.(1)解析:b2=ac,方程ax2+bx+c=0的判别式=b2-4ac=b2-4b2=-3b2.abc0,b0.因此0,f(2)=-1+ln2=ln0,所以f(3)f(2)0,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3).(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实根.由题表可知f(-1)=0.37-10,f(3)=20.09-50.由零点存在性定理可得f(1)f(2)0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.答案:(1)C(2)1,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟1.依据函数零点存在性定理判断函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点,关键看两点:一是曲线是否连续不断;二是f(a)与f(b)是否异号,就是说这种方法只能判断变号零点(即在零点左右两侧附近函数值的符号发生改变的零点).2.判断函数零点所在区间的三个步骤:(1)代.将区间端点代入函数求出函数的值.(2)判.把所得函数值相乘,并进行符号判断.(3)结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则函数在该区间内无零点,若符号为负且函数图象连续,则函数在该区间内至少有一个零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,答案:(1)B(2)A,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,函数与方程思想在一元二次方程根的分布问题中的应用典例关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时:(1)方程有一个正根和一个负根;(2)方程的两个根都大于1.【审题视角】题意画草图转换为数量关系求解,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.(1)当方程有一个正根和一个负根时,f(x)对应的草图可能如图,所示.,解得0a1.所以当0a0时,方程的一个根大于1,一个根小于1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,1.函数f(x)=log5(x-1)的零点是()A.0B.1C.2D.3解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2,故选C.答案:C2.若x0是方程lnx+x=4的解,则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:设f(x)=lnx+x-4,则f(1)=-30,f(4)=ln40,则x0(2,3).答案:C,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,3.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为.解析:当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点.当a0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.函数y=ax2-x-1只有一个零点,方程ax2-x-1=0有两个相等的实数根.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,4.函数y=2|x|+x-2的零点的个数为.解析:令2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2|x|与函数y=2-x的图象,如图,图象有2个交点,即方程2|x|+x-2=0有2个实数根,也就是函数