高中数学第一章不等关系与基本不等式3第1课时平均值不等式学案北师大版.docx

第1课时平均值不等式学习目标1.理解并掌握平均值不等式的特征结构.2.了解平均值不等式的推广.3.会用平均值不等式解决相关问题知识点一二元平均值不等式思考回顾a2b22ab的证明过程，并说明等号成立的条件答案a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，当且仅当ab时，a2b22ab.梳理(1)重要不等式定理1：对任意实数a，b，有a2b22ab(当且仅当ab时取“”号)(2)二元平均值不等式定理2：对任意两个正数a，b，有(当且仅当ab时取“”号)定理2的应用：对两个正实数x，y，()如果它们的和S是定值，则当且仅当xy时，它们的积P取得最大值；()如果它们的积P是定值，则当且仅当xy时，它们的和S取得最小值知识点二三元平均值不等式思考类比二元平均值不等式：(a0，b0)，请写出a，b，cR时，三元平均值不等式答案.梳理(1)定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3b3c33abc(当且仅当abc时取“”号)(2)定理4：对任意三个正数a，b，c，有(当且仅当abc时取“”号)(3)平均值不等式的推广对于n个正数a1，a2，an(n2)，把数值，分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值，且有，当且仅当a1a2an时取“”号.类型一平均值不等式成立的条件例1给出以下说法：任意x0，lgx2；任意xR，ax2(a0且a1)；任意x，tanx2；任意xR，sinx2.其中正确的是()ABCD答案C解析在中，lg xR，sin x1,1，不能确定lg x0，sin x0，因此错误；在中，ax0，ax22，当且仅当x0时取等号，故正确；在中，当x时，tan x0，有tan x2，当且仅当x时取等号，故正确故选C.反思与感悟平均值不等式成立的条件(1)各项均为正数(2)当且仅当各项均相等时，“”才能成立跟踪训练1设a，b为实数，且ab0，下列不等式中一定成立的个数是()2；ab2；ab.A1B2C3D4答案B解析ab0，22，成立；当a，b0时，不成立；，成立；当a1，b2时，不成立因此，成立，故选B.类型二用平均值不等式证明不等式例2已知a，b，cR.求证：a3b3c32.证明a3b3c33abc2.当且仅当abc时等号成立a3b3c32.引申探究1若本例条件不变，求证：3.证明3333633，当且仅当abc时取等号2若本例条件不变，求证：(abc)9.证明当a，b，cR时，abc3，(abc)9，当且仅当abc时等号成立3若本例条件不变，求证：(abc).证明(ab)(bc)(ca)3，3，(abc)，当且仅当abc时等号成立反思与感悟证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件若满足即可利用平均值不等式证明(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子跟踪训练2(1)已知a，b，cR，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2；(2)设a，b，c都是正数，求证：abc.证明(1)a4b42a2b2，同理a4c42a2c2，b4c42b2c2，将以上三个不等式相加，得a4b4a4c4b4c42a2b22a2c22b2c2，即a4b4c4a2b2a2c2b2c2，当且仅当abc时，等号成立(2)当a0，b0时，ab2，22c.同理22b，22a.将以上三不等式相加，得22(abc)，abc，当且仅当abc时，等号成立类型三证明不等式的技巧“1”的代换例3已知a，b，cR，且abc1，求证：9.证明方法一a，b，c为正实数，且abc1，3332229，当且仅当abc时，等号成立9.方法二a，b，cR，且abc1，(abc)111332229，当且仅当abc时，等号成立9.引申探究1若本例条件不变，求证：1.证明a2b22ab，2ab.同理，2bc，2ca.(2ab)(2bc)(2ca)abc1，1，当且仅当abc时，等号成立2若本例条件不变，求证：a2b2c2.证明a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，a2b2b2c2a2c22ab2bc2ac，即2(a2b2c2)2ab2bc2ac，2(a2b2c2)a2b2c2a2b2c22ab2bc2ac(abc)21，a2b2c2，当且仅当abc时取等号3若本例条件不变，求证：.证明a2b22ab，2(a2b2)(ab)2.又a，b，cR，|ab|(ab)同理，(bc)，(ac)三式相加，得(abc)，当且仅当abc时取等号反思与感悟用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明跟踪训练3已知a，b，cR且abc1，求证：8.证明a，b，cR且abc1，1.同理1，1.由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得8，当且仅当abc时取等号.1下列不等式中，正确的个数是()若a，bR，则；若xR，则x222；若xR，则x212；若a，bR，则.A0B1C2D3答案C解析显然不正确；正确；对虽然x22无解，但x222成立，故正确；不正确，如a1，b4.2下列不等式的证明过程正确的是()A若a，bR，则22B若x0，则cosx22C若x0，则x24D若a，bR，且ab0，则22答案D解析对于A，a，b必须同号；对于B，cos x不一定大于0；对于C，由x0，得x24.对于D，由ab0，得0，0，所以22.3若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2B3C4D5答案C解析1过点(1,1)，1.ab(ab)2224.当且仅当ab2时，等号成立4当x1时，函数yx的最小值是_答案3解析因为x1，所以yx(x1)1213，当且仅当x1，且x1，即x2时等号成立故函数的最小值为3.5已知a0，b0，且ab1，求证：a2b2.证明a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab(ab)21，a2b2，当且仅当ab时，等号成立1应用平均值不等式证明问题时，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷对于二元平均值不等式有以下结论(1)ab2.(2)(a，bR)(3)2(a，b同号)(4)(ab)4(a，bR)(5)a2b2c2abbcca.2对于三元平均值不等式有以下结论(1)abc3.(2)a3b3c33abc.(3).上式中a，b，c均为正数，等号成立的条件均为abc.一、选择题1设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8B4C1D.答案B解析是3a与3b的等比中项，3a3b3ab3，ab1.(ab)24.2“a1”是“对任意正数x,2x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析当a1时，2x2x2(当且仅当x时取等号)，所以a12x1(x0)反过来，对任意正数x，如当a2时，2x1恒成立，所以2x1a1.3设0a1,0b1，且ab，则下列各式中值最大的是()Aa2b2BabC2abD2答案B4若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62B72C64D74答案D解析由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)77274，当且仅当，即a42，b23时取等号故选D.5设a0，b0，且ab4，则有()A.B.2C.1D.答案C解析ab2，2，B错误；0ab4，A错误；又ab4，D错误；，1.6若a，bR，且ab0，则下列不等式中恒成立的是()Aa2b22abBab2C.D.2答案D解析当ab时，a2b22ab，选项A不恒成立；当a0，b0时，B，C不成立；选项D中，与均大于0，2，等号成立的条件是ab.故选D.二、填空题7若a0，b0，ab1，则的最小值是_答案9解析因为1.由a0，b0，ab1，得ab2，所以4，所以9，当ab时取等号8已知abc，则与的大小关系是_答案解析abc，ab0，bc0，ac0，(ab)(bc)22，当且仅当abbc时取等号，.9M，N()x+y，P，其中0xy，则M，N，P的大小关系为_答案PNM解析N()x+y，且3x3y，MN，又0xy，P()xyN，PNM.10当x0时，有不等式：x2，x3，.受此启发，可以推广为xn1(nN)，则a_.答案nn解析由题意有x(n1)n1，所以ann.三、解答题11已知x0，y0，求证：(1xy2)(1x2y)9xy.证明由均值不等式，得分别当且仅当xy21，x2y1时，“”成立因此(1xy2)(1x2y)99xy，当且仅当xy1时，“”成立12已知a1,0b1，求证：logablogba2.证明a1,0b1，logab0，logba0，logab0，logba0，(logab)22，当且仅当a时取等号，logablogba2.13设a0，b0，ab1，求证：8.证明a0，b0，ab1，2ab1，4，(ab)2248，当且仅当ab时取等号四、探究与拓展14已知a，b，cR，且abc1.求证：(1)；(2)6.证明(1)，2ab.同理