北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题(word版).doc

丰台区20122013学年度第一学期期末练习高三数学（理科）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设全集U=1，3，5，7，集合M=1， 5，7，则实数a的值为(A)2或8 (B) 2或8 (C) 2或8 (D) 2或82“”是“”的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件3从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是 (A) (B) (C) (D) 4如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A) (B) (C) 1 (D) 25函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是(A) (B) (C) 开 始结 束S=0, n=0输出Sn=n+1n4?否是(D) 6执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（表示不超过x的最大整数）(A) 4(B) 5(C) 7(D) 97在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B（0,1），点C在第二象限内，且|OC|=2，若，则，的值是（ ）(A) ，1 (B) 1， (C) -1， (D) -，1 8已知函数f(x)=,且，集合A=m|f(m)0，则 (A) 都有f(m+3)0 (B) 都有f(m+3)0(C) 使得f(m0+3)=0 (D) 使得f(m0+3)0二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分9某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 _10已知直线y=x+b与平面区域C:的边界交于A，B两点，若|AB|2，则b的取值范围是_.11是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是 12圆与双曲线的渐近线相切，则的值是 _. ，13已知中，AB=，BC=1，sinC=cosC，则的面积为_14右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，.三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（本题共13分）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B（）求集合A，B；（）若集合A，B满足,求实数a的取值范围16（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点（）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （） 若AB=, 求的值. 17（本题共14分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.（）求证：DE平面PBC;（）求证：ABPE；（）求二面角A-PB-E的大小. 18（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0. （）求的单调区间；（）若f(x)的极小值为，求f(x)在区间上的最大值.19（本题共13分） 曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）（）当m= ， 时，求椭圆的方程；（）若OBAN，求离心率e的取值范围20（本题共13分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形（）求、的坐标；（）求数列的通项公式；（）令，是否存在正整数N，当nN时，都有，若存在，求出N的最小值并证明；若不存在，说明理由丰台区20122013学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案一、选择题题号12345678答案DCCABCDA二、填空题：920； 10.-2,2 ； 11. x+2y-3=0； 12(只写一个答案给3分)； 13； 14 (第一个空2分，第二个空3分)三解答题15（本题共13分）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B （）求集合A，B； （）若集合A，B满足,求实数a的取值范围解：（）A=，.3分B= .7分（）， . 9分 或， .11分 或，即的取值范围是.13分16（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点 （）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （） 若AB=, 求的值. 解：（）根据三角函数的定义得， ， 2分的终边在第一象限， 3分的终边在第二象限， 4分=+=7分（）方法（1）AB=|=|, 9分又，11分，13分 方法（2）， 10分 = 13分 17(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点（）求证：DE/平面PBC;（）求证：ABPE；（）求二面角A-PB-E的大小解：（） D、E分别为AB、AC中点， DE/BC _E_D_B_C_A_P DE平面PBC，BC平面PBC， DE/平面PBC 4分（）连结PD， PA=PB， PD AB .5分 ，BC AB， DE AB . .6分 又 ， AB平面PDE.8分 PE平面PDE， ABPE .9分（）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD AB， PD平面ABC.10分 如图,以D为原点建立空间直角坐标系_E_D_B_C_A_Pzyx B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,0) , =(1,0, )，=(0, , ） 设平面PBE的法向量， 令 得 .11分 DE平面PAB， 平面PAB的法向量为.12分 设二面角的大小为， 由图知， 所以即二面角的大小为 .14分18（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0. （）求的单调区间；（）若f(x)的极小值为，求在区间上的最大值.解：（）.2分 令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同.又因为，所以时，g(x)0,即， 4分当时,g(x)0 ,即， 6分所以的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-，-3），（0，+）7分（）由（）知，=-3是的极小值点，所以有 解得， 11分 所以.的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-，-3）,（0，+），为函数的极大值, 12分在区间上的最大值取和中的最大者. .13分而5，所以函数f(x)在区间上的最大值是.14分19（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴 . 直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧） （）当m= ， 时，求椭圆的方程； （）若OBAN，求离心率e的取值范围解：（）设C1的方程为,C2的方程为,其中.2分 C1 ,C2的离心率相同，所以,所以，.3分 C2的方程为 当m=时，A,C .5分 又,所以，解得a=2或a=(舍)， .6分 C1 ,C2的方程分别为，.7分（）A(-,m), B(-,m) 9分 OBAN, , .11分 ， 12分 ，.13分20.（本题共13分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形（）求，的坐标；（）求数列的通项公式；（）令，是否存在正整数N，当nN时，都有，若存在，写出N的最小值并证明;若不存在，说明理由解：（）B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形， 直线B0A1的方程为y=x 由 得，即点A1的坐标为（2，2），进而得.3分（）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得 ，即 （*） .5分 和均在曲线上， ，代入（*）式得， ， .7分 数列是以为首项，2为公差的等差数列， 其通项公式为() .8分（）由（）可知， ， 9分 ， = =.10分 .11分（方法一）-=当n=1时不符合题意， 当n=2时，符合题意， 猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有（） 观察知，欲证（）式，只需证明当n2时，n+12n 以下用数学归纳法证