《数学本质缺失》PPT课件.ppt

数学本质缺失归因与策略探讨,手机邮箱,晋江市教师进修学校 蔡福山 石狮市教师进修学校 黄玉香,一.提出话题的背景,“注重实质，淡化形式”,“把根留住追溯数学本源”,重形式轻内容、重气氛轻本质,实践层面,镜头回放： 案例1：一位教师上四年级下册图形分类一课，教师介绍了三角形具有稳定性的特点后，要求学生找生活中哪些事物应用了三角形的稳定性。 生1：我发现人字屋架具有稳定性。 生2：我发现了自行车的三角形车架具有稳定性。 生3：老师，红领巾也是三角形，但它不具有稳定性，可以任意地揉捏，容易变形。 这一回答大大出乎教师意料！教师略一思考，“是啊，红领巾是布做的，我们不能用红领巾理解三角形的稳定性，而要看人字架屋顶、自行车三角架这些物体，多牢固啊！” “拉得动、拉不动”“揉捏会不会变形”能作为判断图形是否具有稳定性的标准吗？,“只要三角形的边长确定，则这个三角形的形状和大小也就确定了。” 三角形稳定性的数学本质,活动1：围一围 师：刚才同学们用三根牙签围成了一个三角形。想一想，用这三根牙签还能围成其他形状的三角形吗？ 生（齐）：能。 教师请几位学生到投影仪上演示，若干次尝试后，大家发现，不管怎样移动牙签，三角形除姿势变化外，其形状、大小都不会改变。于是教师顺势引导学生归纳：“只要三角形三条边的长度确定，这个三角形的形状和大小也就确定了，这体现了三角形的稳定性。” 活动2：拉一拉。活动3：找一找。（略）,“数学教学是数学活动的教学” 数学活动有两个要素: 活动内容和活动组织 “内容决定形式” “本质决定形式” 晋江市第二实验小学许贻亮百分数的认识 福建教育09、7关注数学本质，组织有效教学活动 福建教育09、9把握起点 关注需求许贻亮,2009年福建省高考数学学科考试说明(文科)在命题指导思想中提出： 命题应体现普通高中数学课程标准（实验）的理念，体现对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标的要求，坚持能力立意，注重考查数学基础知识、基本技能和基本思想，着重考查考生的数学素养和对数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能。,福建高考命题组点评2009年高考数学试题： 着眼选拔 注重能力 适度创新 关注过程 合理开放 倡导探究 注重本质 强调应用 （突出对相关数学知识的本质含义的考查）,教什么比怎么教更重要！,理论层面,“这两日正看一些摄影的书，发现有一本极为独特，它不像别的书，一开始就介绍具体而烦琐的成像知识，而是先给你讲授摄影追求的是什么，一幅好照片有什么基本特征。寥寥数语，就将摄影的精华思想跃然纸上。当然操作技术也是重要的，可是没有这些灵魂的东西，你怎么去把握技术，去处理变化无穷的情境呢？不了解其终极意义，又怎么知道要追求什么？大音希声，大象无形。真正的效率来自思想的动力。来自意义的感悟。教学也是这样。”,数学教学的问题“并不在于教学的最好的方式是什么，而在于数学是什么。如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议”。 P欧内斯特(PErnest),同一个教学内容，可以有多种教学设计。无容置疑，每一种新设计都在探求教学的更好方式。但数学教学的首要问题，不在于教学的更好方式是什么，而在于所教内容的数学本质是什么。教学为什么这样安排，而不那么安排，首先是由所教内容的数学本质决定的，虽然它不是惟一的决定因素。 蔡圣宏,理论层面,数学课标修订稿“教学建议”中提出： 教师应当准确把握教学内容的数学本质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案。,数学课标修订稿“教学建议”中提出： 为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系。教师还应提示知识的数学本质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系。,数学课标修订稿“教学建议”中提出： 教学中应当努力创设源于学生生活的现实情境。好的“现实情境”，应当是学生熟悉的、简明的、有利于引向数学本质的、真实或合理的。,“评价建议”中提出： 对基础知识和基本技能的考查，要注重考查学生对其所蕴涵的数学本质的理解，考察学生能否在具体情境中合理应用。,“教材编写建议”中提出： 素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验。这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可能地贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。,二.概念解读,本质: 就是指事物本身所固有的、决定事物性质、面貌和发展的根本属性。,数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯语，辞海）。 数学是一门自然科学、经验科学。 数学是一门演绎科学。 组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，是数学真理的抽象概括过程。 数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动（弗赖登塔尔）。,数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。 数学是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。,数学课程标准(实验稿) 在前言部分指出: 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。 在基本理念部分指出：数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。,数学课程标准(修订稿) 在设计理念部分指出：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。” 数学作为对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具 数学是人类文化的重要组成部分,数学本质既体现在数学研究结果上，又体现在研究过程中；不仅体现在数学知识上，还体现在数学思想、数学文化、数学精神里。它的特点集中体现在数学的抽象、严密、简洁，其中最本质的特点是抽象性。,在宏观上，可以说数学本质就是数学观问题。,在微观上，数学本质就是具体数学内容的本质意义。,隐藏在客观事物背后的数学知识,统摄具体数学知识与技能的数学思想方法,隐藏在数学知识背后的本质属性,长方体和立方体的表面积 创设情境，激趣引入：猜一猜，做一个长方体纸盒和一个立方体纸盒，哪个用纸板多？（店员阿姨做一个生日礼物包装盒需要多少包装纸？）,平行：用运动的观点观察直线的位置关系，平行是直线平移运动的状态。因此平行的数学本质应该是直线的平移运动，而画平行线的关键是使画直线的工具发生平移。,百分数：表示两个数比的关系，比的结果用百分数表示。 整数、小数、分数加减运算法则：相同计数单位相加减 。 测量：被测对象含有几个测量单位 。 解决问题：四则运算意义的运用。 交换律：运算形式变化但运算结果保持不变，即“数量不变”。 方程：为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立起来的一种等量关系。,正比例、反比例：函数思想,确定位置：坐标思想,圆面积公式推导： “化曲为直”、极限思想,平移、旋转：刚体变换,平均数、众数、中位数：反映一组数据的集中趋势的统计量,四.“数学本质”缺失归因分析,思考一：书本“存在的”就一定是“合理的”吗？,案例2：x1，是不是方程？,“为了求未知数，在己知数和未知数之间建立一种等式关系。” 方程的本质,四.“数学本质”缺失归因分析,思考一：书本“存在的”就一定是“合理的”吗？,案例3：到底应该怎么分？,二年级（上册）P35：,答案：下面几种排法都是正确的。 （1）每排4人，排6排（或每排6人，排4排）； （2）每排12人，排2排（或每排2人，排12排）； （3）每排24人，排1排（或每排1人，排24排）。,二年级（上册）P95第2题：,答案：24名同学进行分组有多种方法：每组2人，分12组；每组3人，分8组；每组4人，分6组但如何确定分组方法合适，则与跑道的条数有关。,二年级（上册）P85第5题：,答案：,五年级上册P9第5题：把48个球装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？,答案：4814822431641268，48有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48这10个因数，最多有10种装法，但由条件可知至少用2个盒子，所以共有9种装法见下表。,四.“数学本质”缺失归因分析,思考一：书本“存在的”就一定是“合理的”吗？,归因：教材编写的局限性所导致。,四.“数学本质”缺失归因分析,思考二：“站在儿童角度看问题”就一定是对的吗？,案例4：一定要直观地平均分才能产生分数吗？,四.“数学本质”缺失归因分析,思考二：“站在儿童角度看问题”就一定是对的吗？ 案例4：一定要直观地平均分才能产生分数吗？,归因：教师教学思维的“童化”所导致。,四.“数学本质”缺失归因分析,思考三：我们自身的专业知识够用吗？,案例5：圆面积计算公式为什么不用“”？,归因：教师本体性知识的欠缺所导致。,什么叫教师本体性知识？,教师从事自己的专业工作所必须具备的学科知识。,案例6：能用抛硬币实验得出正面或反面朝上的概率相等吗？,为了让学生明白硬币正面或反面朝上的可能性相等，老师先安排同桌合作抛硬币10次，记下正、反面朝上的次数，再小组汇总、全班汇总，然后介绍数学家们的实验数据，如下页表格，最后告诉学生，随着实验次数越来越多，正面朝上与反面朝上的次数会越来越接近，所以说正面或反面朝上的可能性相等。,案例9：用面积公式算出的是面积大小，怎么会是钢管的根数呢？,认为答案是 的，是将甲数假设成1，乙数假设成 ， 1 。,案例10：在一教学论坛中看到这样一道数学题：乙数是甲数的 ，甲乙两数和的倒数除以甲数，商是（ ）。,结果出现了两种答案， 和 。,认为答案是 的，是把乙数假设成1，甲数假设成2， 2 ；,认为答案是 的，是将甲数假设成1，乙数假设成 ， 1 。,认为答案是 的，是将甲数假设成1，乙数假设成 ， 1 。,用“代数”的方法：假设乙数为x、甲数为2x，则有 假设甲数为x、乙数为 x，则有,2x x2x 。,四.“数学本质”缺失归因分析,思考四：“生活化”教学即忠实生活原貌吗？,折成的总份数-数学模型：2n,案例11：大数次折纸的可操作性值得质疑吗？ 拿一张长方形纸对折，然后摊开来看看，这样连续折几次，写出每次折成的一小块占整张的几分之几：,“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” 庄子天下篇,数学模型：2n (n取负整数),四.“数学本质”缺失归因分析,思考四：“生活化”教学即忠实生活原貌吗？ 归因：生活经验的干扰所导致。,四.“数学本质”缺失归因分析,思考五：这样的习题设计合理吗？,（1）最小的偶数是（ ）。,（2）0.50.2的积是（ ）位小数。,（4）判断：射线比直线短，比线段长。（ ）,四.“数学本质”缺失归因分析,思考五：这样的习题设计合理吗？,（5）判断：自然数的个数比偶数多。（ ）,（6）判断：某篮球运动员任意投篮一次，投中的可能性是1/2。（ ）,（7）任意抛40次硬币，可能有（ ）次正面朝上，可能有（ ）次反面朝上。,归因：不良习题的误导所导致。,四.“数学本质”缺失归因分析,思考六：多媒体这样使用合理吗？,案例12：铅笔有多长 在尺子上找毫米 “你能在尺子上找出1毫米吗，找到后指给你的同桌看看。”（同桌指了之后，请学生到课件中放大的尺子上指出1毫米） 指着课件中刻度0到刻度1之间的放大直尺图：“这样的1小格是1毫米，2小格是几毫米？3小格呢”发现：这1厘米里面有10毫米。 “是不是每1厘米里面都是10毫米呢，请同学们在自己的尺子中任选1厘米，数一数是否有10毫米。”（学生数格子验证）引导学生得出：1厘米=10毫米,四.“数学本质”缺失归因分析,思考六：多媒体这样使用合理吗？ 归因：多媒体的使用不当所导致。,小结： “数学本质”缺失归因分析 （一）教材编写的局限性所导致； （二）教师教学思维的“童化”所导致； （三）教师本体性知识的欠缺所导致； （四）生活经验的干扰所导致； （五）不良习题的误导所导致。 （六）多媒体的使用不当所导致。,几点建议： 正确归因，理性对待； 课标要求，准确把握； 充实知识，提升素养； 深入思考，丰富策略。 把握本质，淡化形式。,如何提升自身的数学素养？,“八个一”,一本辞海,一台电脑（利用网络资源：百度搜索、论坛）,一本专业杂志（全年订阅）,一套中学数学教材（补充本体性知识）,一套小学数学教材（精读熟读，了解知识前后联系）,一组优秀中、小学数学教师通讯录,一本读书笔记（摘录对自己有启发的观点）,一本问题记录薄（问题来自：学生、同伴、自己的 课堂）,四.凸显“数学本质”教学实施策略,“四关注”: 关注核心知识 关注思想方法 关注理性精神 关注数学化过程,结构性：有结构便有网络、便有体系，有体系便有核心知识,（二）关注核心知识,“越是简单的往往越是本质的”,今年高考数学命题把重点放在高中数学课程最基础、最核心的内容上，试卷紧紧地围绕“双基”，对中学数学的核心内容和基本能力进行重点考查，特别是对高中数学的主干知识进行较为全面的考查，主干知识的占分比例在文科卷中约为88%，在理科卷中约为79%。（福建省数学学科高考命题组）,整体把握 把握本质属性,把握知识的本质属性：,（二）关注核心知识,要了解为什么要学习这一个知识（必要性）。 这个知识的现实原型是什么。 这个知识特有的数学内涵是什么。 以这个知识为核心能否构建一个“概念网络图”。,（二）关注核心知识,案例12：铅笔有多长 首先要让学生感受引入长度单位分米、毫米的必要性，是度量精确性的需要。 野猪菲菲的脚印比7厘米多一些，又不够8厘米，多出来的这部分长度怎么表示呢？ 感受1分米和1毫米有多长 。 总结米、分米、厘米、毫米之间的关系，并从大到小排序知识为核心能否构建一个“概念网络图”。,“思想有多远，我们就能走多远。” “世界上有两种力量，一种是剑，一种是思想，而思想最终总是战胜剑。” （拿破仑）,（二）关注思想方法,抓“数学本质”教学，离不开对数学思想方法的挖掘与渗透，让学生从数学学习过程中获得朴素而又广泛的、深厚而又灵动的、能广泛迁移的、具有生长性的思想，帮助学生通过数学学会思维。,（二）关注思想方法,变量（函数）思想 设有两个变量x和y，当x取其变化范围中的每一个特定的值时，相应的有唯一的y与它对应，则称y是x的函数。,有了这些变量思想的渗透，上初中后，学生接触到一次函数、二次函数学习时，就会有一种似曾相识的感觉，可以减轻许多由陌生感而带来的认知上的负荷。,（二）关注思想方法,数形结合思想 就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。,数形结合思想在小学数学教学中运用很广，比如： 数的认识：直观的计算器、计数单位模型抽象的数字 数的运算：计数器算理 常见的量：如面积、体积单位模型进率 探索规律：借助直观图（点阵、三角形小棒图、摆方块）理解规律 解决问题：线段图,数学思想方法表格(链接).doc,方程思想 在处理某些问题时，往往根据已知与未知之间的内在联系和相等关系先建立方程（或方程组），再通过解方程（或方程组）求得未知量的值，这种通过方程（组）来沟通已知与未知，从而使问题获得解决的思想方法称之为方程思想。,（三）关注理性精神,数学可以在人的内心深处培植理性的种子，可以让你拥有一颗理性的大脑，学会严谨、审慎地看待问题、理解世界，而关注“数学本质”教学的文化意义也恰在于此：体验数学探索过程中的执著和坚韧、体验论证过程中的严谨和务实，这些深沉的文化力量正是在揭示“数学本质”的过程中慢慢得以彰显出来的。,课堂实录交换律 一个例子，究竟能说明什么？ 师：观察板书“3+4=4+3”，你有什么发现？ 生：我发现，交换两个加数的位置和不变。 师：其他同学呢？有没有补充意见？ 生：我觉得单就一个式子就得出“交换两个加数的位置和不变”好像不太好。万一其他两个数相加，交换它们的位置和不等呢？ 师：的确，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置和不变”这样的结论，似乎草率了点。但我们不妨把这一结论当作一个猜想（教师随即将结论中的“。”改为“？”）。既然是猜想，那么我们还得 生：验证。,验证猜想，需要怎样的例子？ 师：怎么验证呢？ 生：我觉得应该举无数个例子才行。不然，永远没有说服力。万一你没有举到的例子中，正好有一个加法算式，交换它们的位置和变了呢？ 生：我反对！举无数个例子是不可能的，永远也举不完！如果每次验证都需要这样的话，那我们永远都别想得到结论。 师：综合两人的观点，我觉得是不是可以这样，我们每人都来举三四个例子，全班合起来那就多了。同时大家也留心一下，看能不能找到“交换加数位置和发生变化”的情况，如果有及时告诉大家。,生写完汇报 生：我也举了三个例子，5+4=4+5，30+15=15+30，200+300=300+200。我发现，不管是一位数、两位数，还是三位数，交换两个加数的位置和都不变。 生：我举的是0+8=8+0，6+21=21+6，1/9+4/9=4/9+1/9，我发现，不但交换两个整数加数的位置和不变，交换两个分数加数的位置和也不变。 生：,师：现在，有了这么多例子，能得出“交换两个加数的位置和不变”这个结论了吗？有没有谁举例时发现了反面的例子，也就是交换两个加数和变了的？（学生摇头）这样看来，我们能验证刚才的猜想吗？ 生：能。（教师重新将“？”改成“。”并补充成为：“在加法中，交换两个加数的位置和不变。”） 师：回顾刚才的学习，除了得到这一结论外，你还有什么其他收获？ 生：我发现，只举一两个例子，是没法验证某个猜想的，应该多举一些例子才行。,生：举的例子尽可能不要雷同，最好把各种情况都举到。 师：在这一规律中，变化的是两个加数的（板书：变） 生：位置。 师：但不变的是 生：它们的和。（板书：不变） 师：原来，“变”和“不变”有时也能这样巧妙地结合在一起。 结论，是终点还是新的起点？ 师：从个别特例中形成猜想，并举例验证，是一种获取结论的方法。但有时，从已有的结论通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如（教师指读刚才的结论，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交换两个加数的位置和不变。”那么，在,生：减法中，交换两个数的位置，差会不会也不变？ （学生中马上有人作出反应：差肯定会变！） 生：同样乘法中，交换两个乘数的位置积会不会变？ 生：除法中呢？交换两个数的位置商会不会变呢？ （教师板书上述三个猜想。） 师：通过联想，同学们由“加法”拓展到了减法、乘法和除法，这是一种很有价值的思考。大家选择猜想，再举例验证。 全班交流 生：我只举了一个例子，8-6=2，但6-8却不够减，所以我认为，减法中交换两个数的位置差会变的，也就是减法中没有交换律。,生：我发现，要想说明某个猜想是对的，必须举好多例子来证明，但要想说明某个猜想是错的，只要举出一个不符合的例子就可以了。 师：多深刻的认识啊！事实上，你们刚才所提到的符合猜想的例子，数学上我们就称作“正例”，不符合猜想的例子，数学上我们就称为“反例”。 （猜想乘法、除法的过程略） 怎样的收获更有价值？ 师：通过今天的学习，你有哪些收获？ 生：加法和乘法中有交换律，减法和除法却没有。 生：我发现，有了猜想，还需要举许多例子来验证，这样得出的结论才准确。,生：我还发现，只要能举出一个反例，那我们就能肯定猜想是错误的。 生：举例验证时，例子应尽可能多，而且，应尽可能举一些特殊的例子，这样，得出的结论才更可靠。 必要的拓展：让结论增值！ 师：在本课即将结束时，依然有一些问题要留给大家进一步展开思考。（教师出示如下算式：20-8-620-6-8；60236032） 师：交换两个减数或除数，结果又会怎样？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本课所掌握的方法，你能通过进一步的举例验证猜想并得出结论吗？,思考：“交换律”只是一个简单的知识点，为什么张齐华老师能把它上成为一节超越知识之上的体现思想的启迪、精神的熏陶的具有多元文化价值的数学课呢？,“超越知识之上”作为某一特定运算的交换律知识被弱化了；,“思想的启迪”渗透“变与不变”的辨证关系，突显由“此知”及“彼知”的数学联想；,“精神的熏陶”超越知识学习的技巧性与功利性追求，拥有数学课堂本该拥有的思辨的文化气质和从容姿态。,（四）关注数学化过程,“用数学方法把实际材料组织起来叫做数学化。”（弗赖登塔尔）数学化由低到高有两个层次：一是横向数学化，即把生活世界引向符号世界；二是纵向数学化，即在符号世界里，符号生成、重塑和被使用。,“将实际问题抽象成数学模型”即数学建模的过程，我认为这就既是数学化的过程，也是数学化的结果。,数学抽象的本质属性