线性方程组的求解.ppt

线性方程组的求解,中国青年政治学院 郑艳霞,使用建议：建议教师具备简单的MATHMATICA使用知识。 课件使用学时：4学时 面向对象：文科经济类本科生 目的：掌握线性方程组的知识点学习。,假设在美国某一固定选区国会选举的投票结果用三维向量表示为,假设一次选举中结果为,确定下一次和再下一次可能结果。,每次选举得票情况的变化为,我们用上述类型的向量每两年记录一次国会选举的结果，同时每次选举的结果仅依赖前一次选举的结果。,对于给出的选举变化情况，我们可以用一个矩阵进行表达,一般地，总可以由这次的选举结果和下一次选举的转移情况 得到下一次选举的结果：,于是下一次和再下一次可能结果为：,表示第j个党向第i个党转移的比例,假设选举得票情况的变化是恒定P, 问从现在开始经过多年 若干选举之后,投票者可能为共和党候选人投票的百分比是多少？,若P是一个矩阵，满足各列向量均非负，且各列向量纸盒等于1，则相对于P的稳定向量必满足：Pq=q。可以证明每一个满足上述条件的矩阵，必存在一个稳定向量；并且，若存在整整数k，使得Pk0,则P存在唯一的向量q满足条件。,即方程组(P-I)x=0的解，就是我们需要的结果。,齐次线性方程组,1. 齐次线性方程组（2）有解的条件,定理1：齐次线性方程组 有非零解,定理2：齐次线性方程组 只有零解,有解的条件 解的性质 基础解系 解的结构,2. 解的性质,（可推广至有限多个解）,解向量：每一组解都构成一个向量,性质：若 是齐次线性方程组Ax=0的解，,则 仍然是齐次线性方程组Ax=b的解。,3. 基础解系,线性无关；,证明分三步:,1. 以某种方法找 个解。,注：,(2) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。,(3) 基（基础解系）不是唯一的。,称为通解。,4. 解的结构,的通解是,最终大约有的选票被共和党人得到.,r(P-I)=23,解决我们的问题：,利用软件求解,因此齐次线性方程组的解为：,再由问题的实际意义可知：要求向量的各 分量均非负，且满足： 。 因此只能取k0。再将求出的解进行归一， 就得到了满足条件的解，此时的解是唯一的。,一栋大的公寓建筑使用模块建筑技术。每层楼的建筑设计由3种设计中选择。A设计每层有18个公寓，包括3个三室单元，7个两室单元和8个一室单元；B设计每层有4个三室单元，4个两室单元和8个一室单元；C设计每层有5个三室单元，3个两室单元和9个一室单元。设该建筑有x层采取A设计，y层采取B设计，z层采取C设计。,（2）写出向量的线性组合表示该建筑包含的三室、两室和一室单元的总数。,（3）是否可能设计出该建筑，使恰有66个三室、74个两室和136一室单元？如可能的话，是否有多种方法？说明你的答案。,解答（1）表示当建筑x层采取A设计时，包括三室 单元，两室单元和一室的公寓数目。,（3）问题转化为：求非负整数x,y,z满足：,也就是非求齐次线性方程组 的解的问题。,非齐次性线性方程组,1. 有解的条件,定理3：非齐次线性方程组,有解,分析:,3. 解的结构,是（1）对应的齐次线性方程组 的通解。,2. 解的性质,性质1：,性质2：,由此可得 ， 因此该非齐次线性方程组有解，且基础解系含有一个向量。,进行计算：,利用软件求解,房屋设计问题的解答,由问题的实际意义可知，方程组通解中k可以取值为0、