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极限的概念,2.1 极限概念(limit),极限概念是微积分的基本概念。也是微积分学研究的基本工具 .后面将要介绍的函数的连续性、导数、积分等重要概念，都是以极限为基础的。,极限是研究函数的一种重要的方法。,极限是描述变量在某个变化过程中的变化趋势。,2.1 极限概念(limit),简单说：,现代日常生活中人们常用这种变化趋势来判断事物的发展趋势。,2.1 极限的概念,2.1 极限的概念,【古代极限思想】 庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。,2.1 极限的概念,三国时期的刘微利用的割圆术求出圆周率近似值时，提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣 ”,圆内接正六边形,圆内接正十二边形,圆内接下24边形,边长越多，正多边形的周长越接近圆的周长,【古代极限应用】,数列的定义：,数列按照一定规律有次序排列的一串数 简记 （数列也可看作是定义在正整数集合上的函数 =f(n)n=1,2, ） 称为数列的通项或一般项。,例如：,记作：,记作：,记作：,数列的极限,考察当n时，通项xn的变化趋势。,数列极限的实质：,随着项数n的变化,通项xn的变化趋势,也就是,例 如,趋势不定,数列,的极限定义：,则称常数,为该数列的极限。,记作,或,（lim来自于英文单词“limit”极限）,给定一个数列 如果当项数n无限增大时，xn无限趋近于 某个固定的常数A,常数 0 称为此数列的极限,记作：,例：,0,极限不存在,例：,收 敛,发 散,如果一个数列的极限存在,则称该 数列是收敛(converge)； 如果一个数列的极限不存在,则称该 数列是发散(diverge)。,1,课堂练习：判别下列数列是否收敛,1,数列收敛,函数 值 随着自变量x的变化而变化,2.1.2函数的极限,(limit of function),研究函数的极限,就是研究当自变量按照某种方式变化时所对应的函数值的变化趋势。,二、自变量趋于有限值时函数的极限,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,变化趋势?,变化趋势?,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,时,函数f(x)的极限（变化趋势）,1、,时,函数f(x)的极限,例：,y,y=f(x) 0,0,-,y,(X0),y=f(x) 0,y=f(x) 0,时,函数f(x)的极限,定义2.2：设函数 ，如果当X无限增大时，函数无限趋近于某个固定的常数 A,则称当X趋于正无穷时， f(x) 以A为极限，,1.,时,函数f(x)的极限,记为,定义2.2：设函数 ，如果当X0,而|X|无限增大时，函数无限趋近于某个固定的常数 A,则称当X趋于负无穷时， f(x) 以A为极限，,2.,时,函数f(x)的极限,记为,定义2.2:设函数 ，如果自变量X可取正值也可取负值，X的绝对值无限增大时，函数无限趋近于某个固定的常数 A,则称当X趋于无穷时， f(x) 以A为极限，,3.,时,函数f(x)的极限,记为,例,不存在,0,正弦函数,不存在,例7 讨论当 时，函数,二、自变量趋于有限值时函数的极限,的变化趋势,f(x) 变化趋势?,为有限值,1,x2 , f(x) 4（22）,例8,x1 , f(x) 2,讨论函数,x1,函数值的变化趋势,定义2.3：设函数y=f(x)在点x0的邻域内(点x0 可以除外)有定义，如果当自变量x无限趋近于x0(但xx0)时，函数f(x)无限趋近于某个固定常数A,则称当x趋于x0时，函数以A为极限，,记作,函数极限定义：,上例可记作,函数极限定义的注意点,1、邻域内有定义（xx0）,不存在,2、 x无限趋近于x0,例：,0,图象,例,（课后思考：函数极限存在的充分必要条件）,不存在,X从右测接近于0，y+,X从左测接近于0，y-,根据定义可以证明：以下的极限均成立,C,-、数列 的极限：,给定一个数列 如果当项数n无限增大时，xn无限趋近于 某个固定的常数A则称常数A为该数列的极限。,-、数列 的极限：,记作,或,给定一个数列 如果当项数n无限增大时，xn无限趋近于 某个固定的常数A则称常数A为该数列的极限。,设函数y=f(x)在点x0的邻域内(点x0 可以除外)有定义，如果当自变量x无限趋近于x0(但xx0)时，函数f(x)无限趋近于某个固定常数A,则称当x趋于x0时，函数以A为极限。,二、函数 y=f(x)的极限：,记作,小结,思考练习题,2、已知函数,讨论,是否存在？,1、求下列极限的值,3.单侧极限 - 左极限与右极限,左极限 :,如果当 从,的左侧无限趋近,时,记着,函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当,时的左极限。记作,类似可定义右极限 :,函数的左极限和右极限 统称为单侧极限。,对数函数,例如：,定理1.1：,当 时,函数 极限存在的 充要条件是左、右极限存在且相等， 即,例6. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理,因为,显然,所以,不存在 .,例7 问a为何值时,所给函数x=2处极限存在。,解：左极限,右极限,欲函数在x=2处极限存在，必须左极限,等于右极限，,即a=8,思考： 1)研究函数极限时,是否要考虑f(x)在x=x0时的性态？为什么？ 2)若f (x0+0)和f (x0-0)都存在,当x趋于x0时,f(x)的极限存在吗？ 3)如何利用f (x0+0)和f (x0-0)来判断当x趋于x0 时,f(x)的极限不存在？,？,4)若极限,是否一定有,？,常