高等数学第七章第四部分.ppt

,第四节,一、点的轨迹，方程的概念,二、平面的点法式方程,平面及其方程,三、平面的一般方程,四、 两平面的夹角,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程,一、点的轨迹，方程的概念,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面的实例：,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,两个基本问题 :,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.,(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,空间曲线的一般方程,特点：曲线上的点都满足方程， 满足方程的点都在曲线上， 不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该,二、平面的点法式方程,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,平面的法线向量,设一平面通过已知点,且垂直于非零,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,向量,则有,故,平面的点法式方程,法向量,已知点,平面上的点都满足方程,不在平面上的点都不满足方程, 方程称为平面的方程,平面称为方程的图形,解,所求平面方程为,化简得,例2.求过三点,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,由点法式方程,平面的一般方程,法向量,三、平面的一般方程,任一三元一次方程的图形总是一个平面。,平面通过 轴；,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示,平行于 y 轴的平面;, A x+B y+D = 0 表示,平行于 z 轴的平面;,A = 0 ,D = 0时, B y + C z = 0, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,例3. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴 , 从而平面过原点，且,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,法向量垂直于x轴，,所以，平面方程为,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,按照两向量夹角余弦公式有,特别有下列结论：,例5. 求两平面,解:,的夹角.,例6. 一平面通过两点,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 设所求平面的法向量为,即,的法向量,和,故,方程为,且,所求平面过 点，所以所求平面,为所求平面上的向量,因此有,约去C , 得,即,外一点,求,例7. 设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),到平面,的距离,点,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,点到平面距离公式,备用题,求过点,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解: 已知二平面的法向量为,取