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,中考数学中的最短问题,-线段和的最小值问题,青田二中 虞伟杰,A,B,如图,要在街道旁修建一个奶站P,向居民区A、B提供牛奶,奶站P应建在什么地方,才能使从A,B到它的距离之和最短?为什么?,街道,P,P,A,B,如图,要在街道旁修建一个奶站P,向居民区A、B提供牛奶,奶站P应建在什么地方,才能使从A,B到它的距离之和最短?为什么?,街道,P,求线段和最小值的一般步骤:,连结对称点A与B之间的线段,交直线l于点P, 点P即为所求的点,线段AB的长就是AP+BP的最小值。,选点P所在直线l为对称轴;画出点A的对称点A;,B,L,A,基本图形:两点一线,B,L,A,基本解法:利用对称性,将“折”转“直”,1、如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点连结BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC称连结ED交AC于P,则PB+PE的最小值等于线段_ 的长度,最小值等于_;,2、小聪根据实际情况,以街道旁为x轴,建立了如图1所示的平面直角坐标系,测得A点的坐标为(0,3),B点的坐标为(6,5),求从A、B两点到奶站P距离之和的最小值。,练习,A,P,C,B,DE,出题背景变式有: 角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题思路: 找点关于线的对称点,实现“折”转“直”。,变式1(2008 年湖北荆门市中考题) 如图,菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8,点P是对角线AC 上的一个动点,点M、N 分别是边AB、BC 的中点,则PM+PN 的最小值是_,M,N,P,M,P,5,练习 (2011广西试题改编) 如图所示,在边长为2的正三角形ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,点P线段EF上一个动点,连接BP、GP,则(1)PB+PG的最小值是 (2)BPG周长的最小值是 。,P,3,2,变式2 如图,在直角坐标系中,点A的坐标是(2,4),点B的坐标是(6,2),在y轴和x轴上找两点P、Q,使得A,B,P,Q四点组成的四边形周长最小,请画出示意图,并求出P、Q两点的坐标。,B,A,P,Q,.,P,Q,.,课堂小结,不管在什么背景下,有关线段之和最短问题, 总是化归到“两点之间的所有连线中,线段最短”,而转化的方法大都是借助于“轴对称点”,实现“折”转“直”,本节课我们学习了 问题, 这类问题的解题方法是怎样的?,线段和的最小值,数学思想:转化思想,练习、(2010东营)如图,已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A(-1, 0)和点B(0,-5) (1)求该二次函数的解析式;,(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得ABP的周长最小请求出点P的坐标,B,P,谢谢,2、已知:如图,AB是O的直径,AB=4,点C是半圆的三等份点,点D是弧BC的中点,AB上有一动点P,连接PC,PD,则PC+PD的最小值是多少?并画出点P的位置.,A,B,C,O,P,D,D,P,2、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中,ADBC, ABBC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,APD中边AP上的高为( ) A、,B、,C、,D、3,D,C,4.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的坐标为,,交x轴于A、B两点,交y轴于点,(1)求抛物线的解析式 (2)把ABC绕AB的中点E旋转180,得到四边形ADBC 判断四边形ADBC的形状,并说明理由 (3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得FBD的周长最小, 若存在,请写出点F的坐标;若不存在,请说明理由,拓展,(2012台州
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