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第九章 微分方程,第九章 微分方程,第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 高阶微分方程 第四节 微分方程在经济学中的应用,第一节 微分方程的基本概念,一.微分方程的定义,1.微分方程,含有自变量、,知函数的导数或微分的方程,称为微分方程.,2.阶,未知函数最高阶导数(或微分)的阶数.,未知函数以及未,方程,函数方程,微分方程,常微分方程,偏微分方程,二.微分方程的解,1.解,如果将已知函数,代入方程后,能使两端恒等,则称其为方程的解.,2.通解,如果微分方程的解所含任意常数的,个数等于方程的阶数,则称其为微分,方程的通解.,3.特解,给任意常数以特定的值所得到的解.,4.初始条件,用来确定任意常数的条件.,求部分一阶、二阶常微分方程的通解.,本章中心任务,第二节 一阶微分方程,一.可分离变量方程,一般形式:,分离变量,两边积分,解,例1 求方程,的通解.,解,分离变量,两边积分,方程通解为,注 本题中相关问题.,( 为任意常数).,例2 求方程,满足初始条件,的特解.,解,分离变量,两边积分,即得通解,将,代入得,故特解为,例3 求方程,的通解.,解,分离变量,两边积分,方程通解,一般形式,二.齐次方程,一般形式:,代入,令,则,即,解得,从而,解,例4 求方程,的通解.,解,一般形式,令,则,代入,即,分离变量,两边积分,原方程通解为,例5 求,的特解.,解,一般形式,令,则,代入,即,分离变量,两边积分,原方程通解为,满足,特解,补充:,例 求方程,的通解.,解,令,则,代入,即,解得,从而,注,补充:,例 求方程,的通解.,解,令,则,代入,即,解得,从而,三.可化为齐次方程的方程,代入,设,的交点为,令,则,解出此一阶齐次方程再将,代入.,解,三.可化为齐次方程的方程,代入上式得,设,无交点,则,原方程可化为,令,则,解出此一阶方程再将,代入.,解,例6 求解,解,方程组,的解为,令,则,代入原方程得,即,即,令,则,代入上式得,即,亦,积分得,即,故,从而通解,特解,例7 解方程,解,令,则,代入,解得,从而,四.一阶线性齐次微分方程,一般形式:,分离变量,两边积分,整理得,解,补充,微分方程,求方程的特解,(08年考研真题4分),解,特解,五.一阶线性非齐次微分方程,一般形式:,讨论:,设有解,代入上式得,常数变易法,例8 求方程,的通解.,解,补充,微分方程,的通解是,(08年考研真题4分),解,例9 求方程,的通解.,解,六.伯努利方程,令,则,再将 代入即可.,解,例10 求方程,的通解.,解,令,则,故,一.可分离变量方程,二.齐次方程,三.可化为齐次方程的方程,
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