《高数22导数的计算》PPT课件.ppt

,第二节,三、反函数的求导法则,四、复合函数求导法则 （含幂指函数求导顶起来）,二、四则运算求导法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数的计算,第二章,一、定义求导,五、隐函数的导数（含幂指函数求导取对数）,六、由参数方程确定的函数的导数,七、高阶导数,思路:,(定义式 ),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了 两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,机动 目录 上页 下页 返回 结束,初等函数求导法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、定义求导：（见上节）,二、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意： ,的导数存在,分母的导数不为零,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( C为常数 ),(3),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( C为常数 ),公式7、公式8、公式9公式10. 求证,证:,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数四则运算练习:,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,求下列导数:,（课本例1）,(2),（课本例2）,(3),练：,练：,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:略,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反函数的导数和原函数的导数互为倒数,公式11、公式12、公式13、公式14. 求反三角函数.,解: 设,则,类似可求得, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,公式3、公式4. 指数函数的导数,小结:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:略,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复合函数链式求导法则：是先把函数对中间变量求导再乘以中间变量对自变量的导数,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: (1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 设,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,练习: 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,2 . 设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,复合函数求导例题:,例. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,初等函数的求导问题,1. 常数和基本初等函数的导数 (P35),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 有限次四则运算的求导法则,( C为常数 ),3. 复合函数求导法则,5. 初等函数 在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 反函数求导法则,例7.,求,解:,例8.,设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,求导公式 (见 P35),2）复合函数 由外向内逐层求导 .,1.,思考与练习,对吗?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3）反函数 由原函数求导.,1）四则运算求导,2. 设,其中,在,因,故,正确解法:,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 求下列函数的导数,解: (1),(2),或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 设,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,练习册 函数求导法则 A卷 一、110 二、三、（一） B卷 一、14 二、（一),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,五、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课本例18,例3. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐函数的形式,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课本例14,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（可做为推论）,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例如,两边取对数,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,对 x 求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,对 x 求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课本例15,例6. 方程,解: 方程两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课本例17,求:,3） 显函数也一样可两边对 x 求导,练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 设,求,提示: 分别用对数求导法求,答案:,2. 设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,求其反函数的导数 .,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,3. 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,六、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 设由方程,求,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课本例19,例2. 设由椭圆方程,求：,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课本例20,处的切线方程,例4. 设, 且,求,解:,例3:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求：,例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 设由方程,确定函数,求,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习, 求,解：,2. 设,方程组两边同时对 t 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相关变化率应用问题,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察员,视线的仰角增加率是多少?,解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则,两边对 t 求导,已知,h = 500m 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时, 仰角的增加率是多少 ?,提示:,对 t 求导,已知,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求当容器内水,例2. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,对数求导法 :,适用于幂指函数,2. 参数方程求导法,*3. 相关变化率应用问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分别把X、Y直接对参数求导,及某些用连乘,连除表示的函数,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,七、高阶导数,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,解:,依次类推 ,例1.,思考: 设,问,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通式,例2. 设,求,解:,特别有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考： 设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通式,解:,规定 0 ! = 1,思考:,例3. 设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通式,例4. 设,求,解:,一般地 ,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通式,练习,1. 下列函数的 n 阶导数,解:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,解:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,推导 目录 上页 下页 返回 结束,用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推证：,例5.,求,解: 设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,求,机动 目录 上页 下页 返回