2020版高考数学复习第五单元专题集训四数列的综合问题练习理新人教A版.docx

专题集训四 数列的综合问题 1.2018嘉兴二模 已知数列an为等差数列,且a8=1,则2|a9|+|a10|的最小值为()A.3B.2C.1D.02.在如下所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则a+b+c的值为()12121abcA.1B.2C.3D.43.已知数列an的各项均为整数,a8=-2,a13=4,前12项依次成等差数列,从第11项起依次成等比数列,则a15=()A.8B.16C.64D.1284.2018河北衡水中学模拟 已知1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则a1+a2b2的值是.5.定义:F(x,y)=yx(x0,y0).已知数列an满足an=F(n,2)F(2,n)(nN*),若对任意正整数n,都有anak(kN*)成立,则ak的值为.6.2018广东仲元中学模拟 已知数列an满足an=(1-3a)n+10a,n6,an-7,n6(nN*), 若an是递减数列, 则实数a的取值范围是()A.13,1B.13,12C.58,1D.13,587.2018山东济宁一中月考 设f(n)=2+24+27+210+23n+10(nN),则f(n)等于()A.27(8n-1)B.27(8n+1-1)C.27(8n+3-1)D.27(8n+4-1)8.今年“五一”期间,北京十家重点公园举行免费游园活动,北海公园免费开放一天,早晨6时30分有2人进入公园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来按照这种规律进行下去,到上午11时30分公园内的人数是()A.211-47B.212-57C.213-68D.214-809.2018山东烟台模拟 对于任意实数x,x表示不超过x的最大整数,例如3=3,-1.2=-2,1.2=1.已知数列an满足an=log2n,其前n项和为Sn,则满足Sn2018的正整数n的最小值为()A.305B.306C.315D.31610.2018四川三台中学模拟 在数列an中,a1=1,当n2时,其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn-1),设bn=log2SnSn+2,数列bn的前n项和为Tn,则满足Tn6的正整数n的最小值是()A.12B.11C.10D.911.2018四川双流中学一模 设公比不为1的等比数列an满足a1a2a3=-18,且a2,a4,a3成等差数列,则数列an的前4项和为.12.2018郑州三测 设有四个数的数列a1,a2,a3,a4,前三个数构成一个等比数列,其和为k,后三个数构成一个等差数列,其和为15,且公差非零.对于任意固定的实数k,若满足条件的数列个数大于1,则k的取值范围为.13.2018山东、湖北部分重点中学联考 已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn+Sn+1=2n2+n,若对任意nN*,anan+1恒成立,则首项a1的取值范围是.14.已知数列an满足a1=12,an+1=an-an2n(n+1),数列an+1an的前n项和为Sn.证明:(1)0an+1n-12.15.2018江西宜春中学、新余一中联考 设函数f(x)=x2+sinx的所有大于0的极小值点从小到大排成的数列为xn.(1)求数列xn的通项公式;(2)令bn=xn2,设数列1bnbn+1的前n项和为Sn,求证:Sn32.16.2018株洲二模 已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,且满足anan+1=2Sn,数列bn满足b1=15,bn+1-bn=2n,则数列bnan中第项最小.17.2018江苏南京师大附中模拟 设数列an的前n项和为Sn,且an=4+-12n-1,若对于任意的nN*,都有1x(Sn-4n)3成立,则实数x的取值范围是.专题集训(四)1.C解析 设等差数列an的公差为d.a8=1,2|a9|+|a10|=2|1+d|+|1+2d|=-3-4d,d-12,由分段函数的性质可得2|a9|+|a10|的最小值为1,故选C.2.A解析 由题意知,a=12,b=516,c=316,故a+b+c=1,故选A.3.B解析 设由前12项构成的等差数列的公差为d,从第11项起构成的等比数列的公比为q.由a13=a122a11=(-2+4d)2-2+3d=4,解得d=1或d=34,又数列an的各项均为整数,所以d=1,所以q=a13a12=2,所以an=n-10,n12,2n-11,n13,故a15=24=16,故选B.4.52解析 依题意可知a1+a2=1+4=5,b22=14=4,1b2=b120,所以b2=2,所以a1+a2b2=52.5.89解析 由题意得an=F(n,2)F(2,n)=2nn2且ak=(an)min,an+1an=2n2(n+1)2.2n2-(n+1)2=(n-1)2-2,当n3时,(n-1)2-20,即2n2(n+1)2,当n3时,an+1an,同理当n3时,an+1an-1a4a3a2a1,(an)min=a3=89,则ak=89.6.D解析 由题意得0a1,1-3aa7-7,解得13a58.7.D解析 因为数列2,24,27,23n+10,是一个首项为2,公比为23的等比数列,设23n+10是第k项,则23n+10=2(23)k-1=23k-2,所以3n+10=3k-2,则k=n+4,所以f(n)是该等比数列的前n+4项的和,于是f(n)=21-(23)n+41-23=27(8n+4-1).故选D.8.B解析 由题意,可知从早晨6时30分开始,接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项,2为公比的等比数列,出来的人数构成以1为首项,1为公差的等差数列.记第n个30分钟内进入公园的人数为an,第n个30分钟内出来的人数为bn,则an=42n-1,bn=n,因为从早晨6时30分至上午11时30分共有10个30分钟,所以上午11时30分公园内的人数S=2+4(1-210)1-2-10(1+10)2=212-57.9.D解析 由题意,an=log2n.当n=1时,a1=0,S1=0;当21n22时,a2=a3=1,共2项,S3=2;当22n23时,a4=a5=a6=a7=2,共4项,S7=24+S3=10;当23n24时,a8=a9=a15=3,共8项,S15=38+S7=34;当24n25时,a16=a17=a31=4,共16项,S31=416+S15=98;当25n26时,a32=a33=a63=5,共32项,S63=532+S31=258;当26n27时,a64=a65=a127=6,共64项,S127=664+S63=642;当27n28时,a128=a129=a255=7,共128项,S255=7128+S127=1538;当28n2018.当Sn=2018时,n=255+2018-15388=315,满足Sn2018的正整数n的最小值为316.故选D.10.C解析 在数列an中,a1=1,当n2时,其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn-1),当n2时,Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-1),化为1Sn-1Sn-1=1.数列1Sn是等差数列,且首项为1,公差为1,1Sn=1+(n-1)=n,Sn=1n.bn=log2SnSn+2=log2n+2n,数列bn的前n项和Tn=log231+log242+log253+log2n+1n-1+log2n+2n=log2314253n+1n-1n+2n=log2(n+1)(n+2)2.由Tn6,即log2(n+1)(n+2)26,得(n+1)(n+2)27.令f(x)=x2+3x-126=x+322-128-14,可得f(x)在1,+)上单调递增.而f(9)=-180,若xN*,则当x10时,f(x)0,满足Tn6的正整数n的最小值是10.11.58解析 公比不为1的等比数列an满足a1a2a3=-18,所以a23=-18,解得a2=-12.设公比为q,则a3=-12q,a4=-12q2,因为a2,a4,a3成等差数列,所以2a4=a2+a3,即2-12q2=-12-12q,解得q=-12或q=1(舍去),所以a1=1,由an的前n项和Sn=a1(1-qn)1-q,可得S4=58.12.154,5(5,15)(15,+)解析 因为后三个数成等差数列且和为15,故可依次设后三个数为5-d,5,5+d(d0且d5),又前三个数构成等比数列,则第一个数为(5-d)25,即(5-d)25+5-d+5=k,化简得d2-15d+75-5k=0,因为满足条件的数列的个数大于1,所以0,所以k154.又由d0且d5,得k5且k15,故k的取值范围为154,5(5,15)(15,+).13.-14,34解析 因为Sn+Sn+1=2n2+n,所以Sn-1+Sn=2(n-1)2+n-1(n2),两式相减得an+an+1=4n-1,n2,所以an-1+an=4n-5,n3,两式再相减得an+1-an-1=4,n3,可得数列an的偶数项是以4为公差的等差数列,从a3起奇数项也是以4为公差的等差数列. 若对任意nN*,anan+1恒成立,则a1a2a3a4.又a1+S2=3,所以a2=3-2a1,同理a3=7-a2=4+2a1,a4=11-a3=7-2a1,所以a13-2a14+2a17-2a1,解得-14a134,即首项a1的取值范围是-14,34.14.证明:(1)由于an+1-an=-an2n(n+1)0,所以an+1an.若an+1=an,则an=0,与a1=12矛盾,从而an+1a2a3an.又an+1an=1-ann(n+1)1-12n(n+1)0,所以an+1与an同号,又a1=120,所以an+10,即0an+1an.(2)由于0an+1an,所以an+1=an-an2n(n+1)an-anan+1n(n+1),即1an-1an+11n-1n+1.当n2时,1an=1an-1an-1+1an-1-1an-2+1a2-1a1+1a11n-1-1n+1n-2-1n-1+1-12+1a1=3-1n=3n-1n0,从而ann-12.15.解:(1)f(x)=x2+sinx,令f(x)=12+cosx=0,得x=2k23(kZ).由f(x)0,得2k-23x2k+23(kZ),由f(x)0,得2k+23x2k+43(kZ),所以当x=2k-23(kZ)时,f(x)取得极小值,所以xn=2n-23(nN*).(2)证明:因为bn=xn2=n-13=3n-13,所以1bnbn+1=33n-133n+2=313n-1-13n+2,所以Sn=312-15+15-18+13n-1-13n+2=312-13n+2=32-33n+2,又nN*,所以Sn32.16.4解析 当n2时,2an=2Sn-2Sn-1=anan+1-an-1an,an0,an+1-an-1=2;当n=1时,a1a2=2a1,解得a2=2.数列an的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差都为2,且a1=1,a2=2,数列an为等差数列,其首项为1,公差为1,an=1+n-1=n.数列bn满足b1=15,bn+1-bn=2n,当n2时,bn=2(n-1)+(n-2)+2+1+15=2(n-1)n2+15=n(n-1)+15,当n=1时,上式也成立,bn=n(n-1)+15,bnan=n-1+15n215-1(当且仅当n=15时取等号