《偏导数全微分》PPT课件.ppt

2019年6月8日星期六,1,一、偏导数的定义及其计算法,第二节 偏导数,多元函数关于其中一个自变量的变化率，称为多元函数的偏导数。,定义,引例:,研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是将振幅,求u(x0, t)关于 t 的一阶与二阶导数。,u(x, t)中的 x 固定于x0 处,2019年6月8日星期六,2,偏导数的几何意义,如图,2019年6月8日星期六,3,几何意义,f x(x0, y0)是曲线 在点(x0, y0, z0)处的切线沿x轴的斜率。,f y(x0, y0)是曲线 在点(x0, y0, z0)处的切线沿y轴的斜率。,偏导函数,2019年6月8日星期六,4,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,2019年6月8日星期六,5,例设,求f (x, y)的偏导数。,解,2019年6月8日星期六,6,偏导数存在、连续、极限存在的关系,在(0,0)极限不存在，,例如,在(0,0) 不连续，,但 。,2019年6月8日星期六,7,二、高阶偏导数,2019年6月8日星期六,8,问题：,混合偏导数都相等吗？,例,设,求二阶混合偏导数。,解,2019年6月8日星期六,9,按定义可知：,2019年6月8日星期六,10,例9 证明函数 满足拉普拉斯方程,例8 证明函数 满足拉普拉斯方程,2019年6月8日星期六,11,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),2019年6月8日星期六,12,思考与练习：,设z = f (u) ，方程,确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且,解：,2019年6月8日星期六,13,作业,P63 5（1）（3）（5）；6 （1）（3）（5）； 7,（1）； 8； P69 3；4；5； 6（2）（3）；7；8； 9（2）,2019年6月8日星期六,14,第三节 、全微分的定义,一、全微分的概念,1. 回忆：一元函数的微分,2. 二元函数的偏增量与偏微分,中值定理：,2019年6月8日星期六,15,3.二元函数的全增量与全微分,全增量,例1,求 在(x,y)和(1,1)的全微分,其中,全微分定义（略）,则 称为二元函数在(x,y)的全微分。,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关。,若z=f(x,y)在区域D内处处可微分，则称z=f(x,y)在D内可微分。,2019年6月8日星期六,16,注：,类似与一元函数的微分，二元函数的微分也有两个特点： （1）dz是z的线性主部；（2）误差为o(),2. 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 函数在该点连续。,3. 几何意义：函数 z = f (x, y) 在 (x, y)点可微 曲面z = f (x, y)在 (x, y)点切平面存在。,由微分定义 :,2019年6月8日星期六,17,二、可微分的条件,证明：,定理1（必要条件）如果函数z=f (x, y)在点(x, y)可微，则该函数在点(x, y)的偏导数 存在，且z=f (x, y)在点(x, y)的全微分为: 。,2019年6月8日星期六,18,注意：定理1的逆定理不成立，即: 偏导数存在不一定可微!,反例：,则,2019年6月8日星期六,19,证明：,2019年6月8日星期六,20,例2 计算函数,的全微分。,2019年6月8日星期六,21,例3 设,解:,利用轮换对称性 , 可得：,2019年6月8日星期六,22,证明：,（1） 令：,则,?,2019年6月8日星期六,23,（2）,不存在。,2019年6月8日星期六,24,注: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件。,2019年6月8日星期六,25,内容小结,1. 微分定义:,2. 重要关系:,2019年6月8日星期六,26,课外作业：,2019年6月8日星期六,27,全微分在近似计算中的应用,也可写成,2019年6月8日星期六,28,解,由公式得,2019年6月8日星期六,29,练 习 题,2019年6月8日星期六,30,2019年6月8日星期六,31,2019年6月8日星期六,32,练习题答案,2019年6月8日星期六,33,2019年6月8日星期六,34,2019年6月8日星期六,35,不存在.,观察,播放,2019年6月8日星期六,36,不存在.,观察,2019年6月8日星期六,37,观察,不存在.,2019年6月8日星期六,38,观察,不存在.,2019年6月8日星期六,39,观察,不存在.,2019年6月8日星期六,40,观察,不存在.,2019年6月8日星期六,41,观察,不存在.,2019年6月8日星期六,42,观察,不存在.,2019年6月8日星期六