命题及其关系、充分条件与必要条件1.ppt

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件,3充分条件与必要条件 (1)如果pq，则p是q的 ，q是p的 ； (2)如果pq，qp，则p是q的 4反证法与证命题的逆否命题 反证法首先 ，即假定结论 由此出发直至推出 、 ；证命题的逆否命题，即由 的否定推出 的 ,充分条件,必要条件,充要条件,否定结论,不成立,与题设、定义,定理相矛盾,结论,题设,否定,1 已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q 是s的必要条件 现有下列命题： s是q的充要条件；p是q的充分条件，而不是必要条件；r是q的必要条 件， 而不是充分条件；綈p是綈s的必要条件， 而不是充分条件；r是s的 充分条件，而不是必要条件 则正确命题的序号是( ) A B C D,解析：由已知条件可知： ，则sq；p q；又p s， 则綈s 綈p，因此为正确命题 答案：B,2若集合P1,2,3,4，Q x|0x5, xR，则( ) A“xP”是“xQ”的充分条件但不是必要条件 B“xP”是“xQ”的必要条件但不是充分条件 C“xP”是“xQ”的充分必要条件 D“xP”既不是“xQ”的充分条件也不是“xQ”的必要条件 答案：A,3(2009重庆)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B“若一个数的平方是正数，则它是负数” C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B,4“2”是“函数ysin(x)的最小正周期为”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析：本题考查充分必要条件；由于ysin(x)的最小正周期为 T ，故其最小正周期若为，则2，故2是其最小周期为 的充分但不必要条件 答案：A,5一个整数的平方是偶数，则这个整数是偶数；是无理数；经过平面 内一点和平面外一点的直线一定不在平面内；若向量a、b是平面向量的 一组基底，则ab与ab也是平面向量的一组基底 其中正确命题的代号是_ 解析：可用反证法证明，都为正确命题 答案：,【例2】 若ab0，试证a3b3aba2b20成立的充要条件是ab1. 证明：先证必要性：a3b3aba2b20， (ab)(a2abb2)(a2abb2)0，即(ab1)(a2abb2)0， 又ab0， a2abb2 0，因此ab10，即ab1. 再证充分性：ab1，即ab10，(ab1)(a2abb2)0. 即a3b3aba2b20.,变式2.已知a、b是实数，求证：a4b42b21成立的充分条件是a2b21.该条件 是否为必要条件？试证明你的结论 证明：a2b21，a4b42b2(a2b2)(a2b2)2b2(a2b2)2b2 a2b21. 即a4b42b21成立的充分条件是a2b21. 另一方面又a4b42b21，即为a4(b42b21)0.a4(b21)20， (a2b21)(a2b21)0，又a2b210，a2b210，即a2b21. 因此a2b21既是a4b42b21的充分条件，也是a4b42b21的必要条件.,“正难则反”是常见的数学思想方法，比如证明一个数是无理数、一个函数不是周期函数等问题时，可考虑使用反证法，反证法在立体几何定理的推导过程中也有着较为广泛的应用,【例3】已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、bR，对命题“若ab0， 则f(a)f(b)f(a)f(b)” (1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论,解答：(1)逆命题是：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0为真命题 用反证法证明：假设ab0，则ab，ba. f(x)是(，)上的增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)， f(a)f(b)f(a)f(b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真 (2)逆否命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0为真命题 因为原命题它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可 ab0，ab，ba. 又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)， f(a)f(b)f(a)f(b)所以逆否命题为真,变式3. 设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和 (1)求证：数列Sn不是等比数列； (2)数列Sn是等差数列吗？为什么？ 解答：(1)证明：证法一：(反证法)若Sn是等比数列， 则 S1S3，即 a10，(1q)21qq2，即q0与q0矛盾，故Sn不是等比数列,证法二：只需证明SnSn2 ，Sn1a1qSn，Sn2a1qSn1， SnSn2 Sn(a1qSn1)(a1qSn)Sn1a1(SnSn1)a1an10. 故Sn不是等比数列 (2)当q1时，Sn是等差数列当q1时，Sn不是等差数列， 否则S1，S2，S3成等差数列，即2S2S1S3.2a1(1q)a1a1(1qq2) a10，2(1q)2qq2，qq2，q1，q0与q0矛盾.,1对命题正误的判断，正确的命题要加以论证；不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式在判断命题正误的过程中，要注意简单 命题与复合命题之间的真假关系；要注意命题四种形式之间的真假关系 2在充分条件、必要条件和充要条件的判断过程中，可利用图示这种数形结合的思想方法；在证明充要条件时，首先要弄清充分性和必要性 3特殊情况下如果命题以p：xA，q：xB的形式出现，则有：(1)若AB，则p 是q的充分条件；(2)若BA，则p是q的必要条件；(3)若AB，则p是q的充要条件,【方法规律】,（了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义/理解全称量词与存在量词的意义/能正确地对含有一个量词的命题进行否定 ）,1.3 逻辑联结词全称量词与存在量词,1命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词 2用来判断复合命题的真假的真值表,真,假,假,假,3. 全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、 “所有的”等 (2)常见的存在量词有：“存在一个”、“ 有一个”、“有些”、“有一 个”、“某个”、“有的”等 (3)全称量词用符号“ ”表示；存在量词用符号“”表示 4全称命题与特称命题 (1)含有 量词的命题叫全称命题 (2)含有 量词的命题叫特称命题,至少,全称,存在,5命题的否定 (1)全称命题的否定是 命题；特称命题的否定是 命题 (2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.,特称,全称,1已知命题p：xR，sin x1，则( ) A綈p：xR，sin x1 B綈p：xR，sin x1 C綈p：xR，sin x1 D綈p：xR，sin x1 解析：命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题 答案：C,2设p、q是两个命题，则复合命题“pq为真，pq为假”的充要条件是( ) Ap、q中至少有一个为真 Bp、q中至少有一个为假 Cp、q中有且只有一个为真 Dp为真、q为假 答案：C,3下列命题： 有的实数是无限不循环小数；有些三角形不是等腰三角形；有的菱 形是正方形；2x1(xR)是整数；对所有的xR，x3；对任意 一个xZ,2x21为奇数 其中假命题的个数为( ) A1 B2 C3 D5 答案：B,4下列命题的否定错误的是( ) Ap：能被3整除的数是奇数；綈p：存在一个能被3整除的数不是奇数 Bp：任意四边形的四个顶点共圆；綈p：存在一个四边形的四个顶点不共圆 Cp：有的三角形是正三角形；綈p：所有的三角形都不是正三角形 Dp：xR，x22x20，綈p：当x22x20时，xR 答案：D,判断命题真假的一般步骤： (1)首先确定新命题的构成形式； (2)判断出用逻辑联结词联结的每个命题的真假； (3)根据真值表判断这个复合命题的真假,【例1】 判断下列命题的真假 (1) 属于集合Q，也属于集合R； (2)矩形的对角线互相垂直或相等； (3)不等式|x2|0没有实数解,思路点拨：先确定组成复合命题的每个简单命题的真假，再根据真值表判断复合命题的真假 解答：(1)此命题为“pq”的形式，其中p： Q，q： R，因命题p为假命题，命题q为真命题，所以命题“pq”为假命题故原命题为假命题 (2)此命题为“pq”的形式，其中p：矩形的对角线互相垂直，q：矩形的对角线相等，因命题p为假命题，命题q为真命题，所以pq为真命题，故原命题为真命题 (3)此命题是“綈p”的形式，其中p：不等式|x2|0有实数解因为x2是该不等式的一个解，所以命题p为真命题，即綈p为假命题所以原命题为假命题.,1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个xx0，使得p(x0)不成立即可 2要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个 xx0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题,【例2】 判断以下命题的真假： (1)xR，x2x10； (2)xQ， 是有理数； (3)，R，使sin()sinsin； (4)x，yZ，使3x2y10； (5)a，bR，方程axb0恰有一个解 思维点拨：(1)(2)(5)中含全称量词，使每一个x都成立才为真；(3)(4)中含 特称量词，存在一个x0成立即为真,解答：(1)x2x1 ，命题为真命题 (2)真命题 (3)0时，sin()0，sin sin 0， sin()sin sin，命题为真命题 (4)xy10时，3x2y10，命题为真命题 (5)a0，b1时，axb10，a0，b1时，axb0无解， 命题为假命题,变式2. (2009辽宁)下列4个命题 p1：x(0，)， ；p2：x(0,1)， p3：x(0，)， ；p4：x ， 其中的真命题是( ) Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4,解析：对于p1，当x(0，)时，总有 成立，故是假命题；对于p2，当x 时，1 成立，故是真命题；对于p3，结合指数函数y 与对数函数 在(0，)上的图象可以判断其是假命题；对于p4，结合指数函数y 与对数函数 y 在 上的图象可以判断其是真命题 答案：D,对一个命题的否定是全部否定，而不是部分否定：(1)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可(2)要判断“綈p”的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假，利用p与“綈p”的真假相反判断,【例3】 写出下列命题的“否定”，并判断其真假 (1)p：xR，x2x 0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：xR，x22x20； (4)s：至少有一个实数x，使x310. 思维点拨：解决这类问题一定要抓住决定命题性质的量词，从量词的 否定入手，书写命题的否定,解答：(1)綈p：xR，x2x 0，是假命题， 这是因为xR， 恒成立 (2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题 (3)綈r：xR，x22x20，真命题，这是由于xR，x22x2 (x1)2110成立 (4)綈s：xR，x310，假命题这是由于x1时，x310.,1一个命题的否定与否命题的区别 否命题与命题的否定不是同一概念，否命题是对原命题“若p则q”既否定其 条件，又否定其结论；而命题p的否定即非p，只是否定命题的结论 命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假；而否命题与原命题的真假无必然联系 另外，在写“非p”形式时常用以下表格中的否定词语：,【方法规律】,2. 逻辑联结词与集合间的关系 逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着相近的关系，要注 意类比其中对逻辑联结词“或”的理解是难点(“或”有三层含义，以“p或q为真” 为例：一是p成立但q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立).,(2009宁夏、海南)有四个关于三角函数的命题： p1：xR， ；p2：x，yR，sin(xy)sin xsin y； p3：x0，, sin x；p4：sin xcos yxy . 其中的假命题是(