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文档简介
第二篇 重点专题分层练,中高档题得高分,第22练 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题压轴大题突破练,明晰考情 1.命题角度:圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考常考的问题;以椭圆或抛物线为背景,尤其是与条件或结论相关存在性开放问题. 2.题目难度:偏难题.,核心考点突破练,栏目索引,模板答题规范练,考点一 圆锥曲线中的定值问题,方法技巧 (1)求定值问题常见的方法有两种 从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. (2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题,然后证明与参数无关,这类问题选择消元的方向是非常关键的.,核心考点突破练,解答,(1)求椭圆的方程;,证明,因为M是椭圆C上一点,,解答,2.(2018北京)已知抛物线C:y22px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围;,解 因为抛物线y22px过点(1,2), 所以2p4,即p2. 故抛物线C的方程为y24x. 由题意知,直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为ykx1(k0),,依题意知(2k4)24k210,解得k0或0k1. 又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,2). 从而k3. 所以直线l的斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1).,证明,证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),,解答,(1)求椭圆C的方程;,证明,(2)设P是椭圆C上异于A,B的一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|BM|为定值.,证明 由(1)知,A(2,0),B(0,1).,当x00时,y01,|BM|2,|AN|2, |AN|BM|4. 故|AN|BM|为定值.,考点二 圆锥曲线中的定点问题,方法技巧 (1)动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为ykxt,由题设条件将t用k表示为tmk,得yk(xm),故动直线过定点(m,0). (2)动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点.,解答,(1)求动点P的轨迹C的方程;,解 设点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(0,y).,证明,(2)过F(1,0)作互相垂直的两条直线分别交轨迹C于点G,H和M,N,且E1,E2分别是GH,MN的中点.求证:直线E1E2恒过定点.,证明 当两直线的斜率都存在且不为0时, 设lGH:yk(x1),G(x1,y1),H(x2,y2),,消去y得(2k21)x24k2x2k240. 则0恒成立.,解答,(1)求椭圆C的方程;,解 设坐标原点为O, 四边形ABPQ是平行四边形,,证明,(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M,N.若M是椭圆的左顶点,D是直线MN上一点,且DAAM.点G是x轴上异于点M的点,且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点,求证:点G是定点.,证明 设直线MN的方程为yk(x2),N(x0,y0),DAAM, D(2,4k).,设G(t,0),则t2,若以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点,,t0,点G是定点(0,0).,解答,(1)求C的方程;,解 由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆C经过P3,P4两点.,所以点P2在椭圆C上.,证明,(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1,证明:l过定点.,证明 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2. 如果l与x轴垂直,设l:xt,由题设知t0,且|t|2,,从而可设l:ykxm(m1).,得(4k21)x28kmx4m240. 由题设可知16(4k2m21)0.,由题设k1k21, 故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0,,当且仅当m1时,0,,所以l过定点(2,1).,考点三 圆锥曲线中的存在性问题,方法技巧 解决存在性问题的一般思路:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在,否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.,解答,7.(2016全国)在直角坐标系xOy中,直线l:yt(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y22px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.,又N为M关于点P的对称点,,代入y22px,整理得px22t2x0,,解答,(2)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由.,解 直线MH与C除H以外没有其他公共点,理由如下:,代入y22px,得y24ty4t20,解得y1y22t, 即直线MH与C只有一个公共点, 所以除H以外,直线MH与C没有其他公共点.,解答,(1)求椭圆E的方程;,又a2b2c24,abc0,,解答,解 当直线l与x轴垂直时不满足条件. 故可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为yk(x2)1, 代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80,,即4(x12)(x22)(y11)(y21)5,,4(x12)(x22)(1k2)5, 即4x1x22(x1x2)4(1k2)5,,存在满足条件的直线l,其方程为x2y0.,模板答题规范练,模板体验,典例 (12分)已知椭圆C:9x2y2m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. (1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;,审题路线图,规范解答评分标准 (1)证明 设直线l:ykxb(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2), M(xM,yM). 2分 将ykxb代入9x2y2m2, 得(k29)x22kbxb2m20, 4k2b24(k29)(b2m2)0,,所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值. 6分,(2)解 四边形OAPB能为平行四边形. 7分,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0,k3.,设点P的横坐标为xP,,四边形OAPB为平行四边形,当且仅当线段AB与线段OP互相平分, 即xP2xM.,因为ki0,ki3,i1,2,,构建答题模板 第一步 先假定:假设结论成立; 第二步 再推理:以假设结论成立为条件,进行推理求解; 第三步 下结论:若推出合理结果,经验证成立则肯定假设;若推出矛盾则否定假设; 第四步 再回顾:查看关键点,易错点(特殊情况、隐含条件等),审视解题规范性.,规范演练,解答,(1)求点P的轨迹方程;,解 设P(x,y),M(x0,y0), 则N(x0,0),,因此点P的轨迹方程为x2y22.,证明,证明 由题意知F(1,0). 设Q(3,t),P(m,n),,又由(1)知m2n22,故33mtn0.,又过点P存在唯一直线垂直于OQ, 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,解答,(1)求椭圆E的方程;,证明,(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值.,证明 由题设知,直线PQ的方程为yk(x1)1(k2),,由已知0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,,故kAPkAQ为定值2.,解答,(1)求椭圆E的方程;,解答,(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ,yQ)(点Q异于点P),若0xQ1,求直线l的斜率k的取值范围.,0xQ1,,解答,(1)求椭圆M的方程;,解 由已知,得a2b252,,即axbyab0.,所以a216,b29,c21697.,解答,(2)证明:直线l与x轴交于定点,并求出定点的坐标.,解 由(1)知P(3,0),设C(x1,y1),D(x2,y2),,整理,得(16m29)y232mny16n21440,,因为以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P,,所以(x13)(x23)y1y20.,又x1my1n,x2my2n, 所以(my1n3)(my2n3)y1y20, 整理,得(m21)y1y2m(n3)(y1y2)(n3)20,,易知n3,所以16(m21)(n3)32m2n(16m29)(n3)0,,解答,5.
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