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第二篇 重点专题分层练,中高档题得高分,第19练 导数的综合应用压轴大题突破练,明晰考情 1.命题角度:函数与方程、不等式的交汇是考查的热点,常以指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 2.题目难度:偏难题.,核心考点突破练,栏目索引,模板答题规范练,考点一 利用导数研究函数的零点(方程的根),方法技巧 求解函数零点(方程根)的个数问题的基本思路:(1)转化为函数的图象与x轴(或直线yk)在该区间上的交点问题;(2)利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象;(3)结合图象求解.,核心考点突破练,解答,1.设函数f(x)x3ax2bxc. (1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程; 解 由f(x)x3ax2bxc, 得f(x)3x22axb. f(0)c,f(0)b, 曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为ybxc.,解答,(2)设ab4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围.,解 当ab4时,f(x)x34x24xc, f(x)3x28x4. 令f(x)0,得3x28x40,,当x变化时,f(x)与f(x)在区间(,)上的变化情况如下:,解答,(1)讨论函数f(x)的单调性;,当a0时,f(x)0,则f(x)在(0,)上单调递减;,解答,3.已知函数f(x)(x1)exax2,aR. (1)讨论函数f(x)的单调区间;,解答,解 f(x)ex(x1)ex2axx(ex2a). 若a0,则当x0时,f(x)0; 当x0时,f(x)0. 故函数f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增. 当a0时,由f(x)0,解得x0或xln(2a).,则xR,f(x)x(ex1)0, 故f(x)在(,)上单调递增;,则当x(,ln(2a)(0,)时,f(x)0; 当x(ln(2a),0)时,f(x)0. 故函数f(x)在(,ln(2a),(0,)上单调递增,在(ln(2a),0)上单调递减.,则当x(,0)(ln(2a),)时,f(x)0; 当x(0,ln(2a)时,f(x)0. 故函数f(x)在(,0),(ln(2a),)上单调递增,在(0,ln(2a)上单调递减.,(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.,解答,解 当a0时,由(1)知,函数f(x)在(,0)上单调递减, 在(0,)上单调递增. 因为f(0)10, 取实数b满足ba(b1)ab2a(b2b1)a(421)0, 所以f(x)有两个零点; 若a0,则f(x)(x1)ex,故f(x)只有一个零点. 若a0,由(1)知,,又当x0时,f(x)0,故f(x)不存在两个零点;,在(0,ln(2a)上单调递减. 又f(0)1,故不存在两个零点. 综上所述,a的取值范围是(0,).,考点二 利用导数证明不等式问题,方法技巧 利用导数证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x),然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h(x)0.其中找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口.,解答,4.设函数f(x)ln xx1. (1)讨论函数f(x)的单调性;,令f(x)0,解得x1. 当00,f(x)单调递增; 当x1时,f(x)0,f(x)单调递减. 因此,f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,)上为减函数.,证明,结合(1)知,当x1时,f(x)1, 则F(x)1ln x1ln x, 当x1时,F(x)0,可得F(x)在(1,)上单调递增, 即有F(x)F(1)0, 即有xln xx1.综上,原不等式得证.,解答,5.设函数f(x)e2xaln x. (1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数;,当a0时,f(x)0,f(x)没有零点;,在(0,)上单调递增,所以f(x)在(0,)上单调递增.,故当a0时,f(x)存在唯一零点.,证明,证明 由(1),可设f(x)在(0,)上的唯一零点为x0, 当x(0,x0)时,f(x)0. 故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增, 所以当xx0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).,解答,(1)若a0,求过点(0,1)且与曲线yf(x)相切的直线方程;,设切点为T(x0,1ln x0),,因为切线过点(0,1),,解答,(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2. 求实数a的取值范围;,(i)若a0,则f(x)0,所以函数f(x)在(0,)上单调递减, 从而函数f(x)在(0,)上至多有1个零点,不合题意.,解得0ae.,当x(0,1)时,g(x)0,函数g(x)在(1,)上单调递增, 所以g(x)g(1)0,,综上所述,a的取值范围是(0,e).,求证:f(x1)f(x2)0.,证明,证明 由x1,x2是函数f(x)的两个零点(不妨设0x1x2),,所以函数h(x)在(0,1)上单调递减, 所以h(x)h(1)0.,即f(x1)f(x2)0成立.,考点三 不等式恒成立或有解问题,方法技巧 不等式恒成立、能成立问题常用解法 (1)分离参数后转化为求最值,不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下,采用分离参数转化为函数的最值问题,形如af(x)max或af(x)min. (2)直接转化为函数的最值问题,在参数难于分离的情况下,直接转化为含参函数的最值问题,注意对参数的分类讨论. (3)数形结合,构造函数,借助函数图象的几何直观性求解,一定要重视函数性质的灵活应用.,7.已知函数f(x)exex2ax(aR). (1)若f(x)在(0,1)上单调,求a的取值范围; 解 由题意知,f(x)ex2exa, 令h(x)ex2exa,则h(x)ex2e, 当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递减, 即f(x)在0,1)上单调递减. 若f(x)在(0,1)上单调递增,则f(1)0,即ae; 若f(x)在(0,1)上单调递减,则f(0)0,即a1. 综上可知,a的取值范围为(,1e,).,解答,解答,(2)若函数yf(x)exln x的图象恒在x轴上方,求a的最小整数解.,解 由题意知,yf(x)exln x,令t(x)ex1x,t(x)ex11,当x1时,t(x)0,t(x)单调递增, 当0x1时,t(x)0,t(x)单调递减,t(x)t(1)0,ex1x0.,结合题意,知a0,故a的最小整数解为1.,8.已知函数f(x)ln x.,由题意得方程x2ax10有两个不等的正实数根,,a2,即a的取值范围为(2,).,解答,解答,(2)若关于x的方程f(x)m(x1)(mZ)有实数解,求整数m的最大值.,当x(0,x0)时,h(x)0,h(x)单调递增; 当x(x0,)时,h(x)0,h(x)单调递减,,即mh(x)max(mZ), 故m0,经检验当m0时成立, 整数m的最大值为0.,(1)求函数g(x)f(x)f(x)的最大值;,解 g(x)f(x)f(x),解答,解答,模板答题规范练,模板体验,例 (16分)已知函数f(x)ln xmxm,mR. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)0在x(0,)上恒成立,求实数m的值;,审题路线图,规范解答评分标准,当m0时,f(x)0恒成立,则函数f(x)在(0,)上单调递增;,(2)解 由(1)知,当m0时显然不成立;,mln m1,,只需mln m10即可,令g(x)xln x1,,函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增, 所以g(x)ming(1)0. 故f(x)0在x(0,)上恒成立时,m1. 11分,构建答题模板 第一步 求导数. 第二步 看性质:根据导数讨论函数的单调性、极值、最值等性质. 第三步 用性质:将题中条件或要证结论转化,如果成立或有解问题可转化为函数的最值,证明不等式可利用函数单调性和放缩法. 第四步 得结论:审视转化过程的合理性. 第五步 再反思:回顾反思,检查易错点和步骤规范性.,规范演练,(1)求函数f(x)的单调区间;,解 函数f(x)的定义域为(0,),,解答,(2)当m1时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.,解答,解 令F(x)f(x)g(x),问题等价于求函数F(x)的零点个数.,当m1时,F(x)0, 函数F(x)在(0,)上为减函数,,当m1时,若0x1或xm,则F(x)0; 若1xm,则F(x)0, 所以函数F(x)在(0,1)和(m,)上单调递减,在(1,m)上单调递增,,所以F(x)有唯一零点. 综上,函数F(x)有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.,解答,2.(2017全国)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x. (1)讨论f(x)的单调性;,解 f(x)的定义域为(0,),,若a0,则当x(0,)时,f(x)0,故f(x)在(0,)上单调递增.,综上,当a0,f(x)在(0,)上单调递增;,证明,当x(0,1)时,g(x)0; 当x(1,)时,g(x)0.,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减. 故当x1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)0. 所以当x0时,g(x)0.,(1)求f(x)的单调区间;,f(x)的定义域为(0,).,由f(x)0,得01,,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,).,解答,解答,证明,f(x)在(0,)上的最大值为f(1)11ln 10,即f(x)0,,4.(2018江苏如东高级中学月考)已知函数f(x)xln xk(x1),kR. (1)当k1时,求函数f(x)的单调区间; 解 当k1时,f(x)xln xx1,f(x)ln x. 令f(x)0,解得x1, 令f(x)0,解得0x1, f(x)的单调增区间为(1,),单调减区间为(0,1).,解答,(2)若函数yf(x)在区间(1,)上有1个零点,求实数k的取值范围;,解答,解 f(x)ln x1k, 当k1时,由x1,知f(x)0, f(x)在(1,)上是单调增函数,且图象不间断, 又f(1)0,当x1时,f(x)f(1)0, 函数yf(x)在区间(1,)上没有零点,不合题意. 当k1时,由f(x)0, 解得xek11, 若1ek1,则f(x)0, 故f(x)在(ek1,)上是增函数,,当10,f(x)在(1,)上的图象不间断, 函数yf(x)在区间(1,)上有1个零点,符合题意. 综上所述,k的取值范围为(1,).,(3)是否存在正整数k,使得f(x)x0在x(1,)上恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,说明理
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