函数的极值与最值(11).ppt

二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与最值,第三章,函数的极值及其求法,由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。,一、函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,注,这个结论又称为Fermat定理,如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号,不可导点也可能是极值点,极值可疑点：驻点、不可导点,极值可疑点是否是真正的极值点，还须进一步 判明。由单调性判定法则知，若极值可疑点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理3(第二充分条件),证,例2,解,图形如下,注意:,例3,解,注:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,例4,证,（不易判明符号）,而且是一个最大值点，,利用导数的性质证明不等式是一种常用的,技巧, 它包含以下几个部分:,利用微分中值定理,利用泰勒公式 (二阶以上的),利用函数的单调性和凹凸性,利用函数的极值和最值,充分条件来判定有无极值;,对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值.,运用极值第一、第二充分条件需要注意:,若函数有导数不存在的点时,则可用第一,(1),(2),则,最大值、最小值问题,在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，怎样才能使用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值的存在性 ；最值的求法。,假定f ( x )在 a , b 上连续，除去有限个点外处处可导，且至多有有限个点处导数为0。我们就在这样的条件下讨论f ( x )在 a , b 上的最值的求法。,一、最值的求法,首先由闭区间上连续函数的性质, f ( x )在 a , b 上必存在最大值和最小值,其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得， 则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是,(1),其中最大(小)者,求连续函数 f (x)在闭区间a, b上的最大(小)值的方法:,将闭区间a, b内所有驻点和导数不存在的,区间端点的,就是 f (x),最值必在端,(2),点处达到.,点(即为极值可疑点)处的函数值和,函数值 f (a), f (b)比较,在闭区间a, b上的最大(小)值.,当 f (x)在闭区间a, b上单调时,(3),(4),若连续函数 f (x)在区间I内只有一个极值点,为极大 (小)值,区间 I上的最大 (小)值.,对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在,区间内部取得,如果连续函数在区间内又仅有,一个极值可疑点,那末这点处的函数值就是最,大(小)值.,二、应用举例,例1,解,计算,例2,解,得驻点,这些点处的函数值为：,比较以上各点处的函数值可知：,练习,解,驻点:,导数不存在的点:,最大值,最小值,最大值与最小值.,实际问题求最值应注意,(1) 建立目标函数;,(2) 求最值;,若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数,值即为所求的最大(小)值.,例3.,可口可乐公司要设计一个容量为 的圆柱体易拉罐饮料瓶, 试问易拉罐的半径和高的比例等于多少时所用材料最省？,则问题归结为求 r, h 在条件,解: 设 r, h 分别表示半径和高,下圆柱体饮料瓶的表面积,最小.,为此，将条件 带入表达式 中即得：,由条件,故可口可乐易拉罐饮料瓶的半径与高的比例为 时所用的材料最省。,令,例4,某房产开发商有50套公寓要出租，当租金定为每月1800元时，公寓会全部租出去当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每套每月需花费200元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为3500元时收入最高。,最大收入为,例5,解,如图,解得,小结,极值是函数的局部概念：可有多个极大值和极小值；可能有某个极小值大于某个极大值.,函数的极值必在驻点和不可导点取得.,充分性判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件)。,最值是整体概念.,求实际问题中的最值的步骤.,思考题,解答:,不一定 .,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,O,x,y,1,y=x,试问,为何值时,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,练习 1,求出该极值,并指出它是极大,练习2,解,目标函数,得,(1),(2),求最大值点,半径为R.,求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的,设圆柱体的高为2h,底半径为r,体积为V,圆柱体的最大体积一定存在,故唯一驻点,就是最大值点,最大体积为,令,得,(舍去负值),唯一驻点,费 马 Pierre de Fermat (16011665),费马，法国数学家. 出身于一个商人 家庭. 他的祖父、父亲、叔父都从商. 他 的父亲是当地的第二执政官, 经办着一个 生意