高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限.ppt

,二、 两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则,第六节,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,1. 函数极限与数列极限的关系,定理1.,有定义,为确定起见 , 仅讨论,的情形.,有,定理1.,有定义,且,设,即,当,有,有定义 , 且,对上述 ,时, 有,于是当,时,故,可用反证法证明. (略),有,证：,当,定理1.,有定义,且,有,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,例1. 证明,不存在 .,证: 取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 1 知,不存在 .,2. 函数极限存在的夹逼准则,定理2.,且,( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ),圆扇形AOB的面积,二、 两个重要极限,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,注,注,当,时,例2. 求,解:,例3. 求,解: 令,则,因此,原式,例4. 求,解: 原式 =,例5. 已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,说明: 计算中注意利用,2.,证: 当,时, 设,则,(P5354),当,则,从而有,故,说明: 此极限也可写为,时, 令,例6. 求,解: 令,则,说明 ：若利用,则,原式,例7. 求,解: 原式 =,的不同数列,内容小结,1. 函数极限与数列极限关系的应用,(1) 利用数列极限判别函数极限不存在,(2) 数列极限存在的夹逼准则,法1 找一个数列,且,使,法2 找两个趋于,及,使,不存在 .,函数极限存在的夹逼准则,2. 两个重要极限,或,思考与练习,填空题 ( 14 ),作业 P56 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5),第七节,第一章,都是无穷小,第七节,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,无穷小的比较,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例1. 证明: 当,时,证:,例2. 证明:,证:,目录 上页 下页 返回 结束,因此,即有等价关系:,说明: 上述证明过程也给出了等价关系:,定理1.,证:,即,即,例如,故,定理2 . 设,且,存在 , 则,证:,例如,设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明:,无穷小的性质,(1) 和差取大规则:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则.,若 = o() ,(2) 和差代替规则:,例如,例如,(见下页例3),(3) 因式代替规则:,界, 则,例如,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解:,例5. 证明: 当,时,证:,利用和差代替与取大规则,说明,内容小结,1. 无穷小的比较,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,2. 等价无穷小替换定理,思考与练习,Th 2,P59 题1 , 2,作业 P59 3 ; 4 (2) , (3) , (4) ; 5 (3),常用等价无穷小 :,第八节,二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,continue,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,例如,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如, 有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列等价命题:,例. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一, 函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,3. P65 题 3 , *8,为,连续函数.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,P65 题*8 提示:,作业 P65 4 ; 5,第九节,备用题 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1, 1上也连续单调,(递减),递增.,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,证: 设函数,于是,故复合函数,又如,且,即,单调 递增,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,例1 .,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则 ,可知,也在,上,连续 .,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例2. 求,解:,原式,例3. 求,解: 令,则,原式,说明: 由此可见当,时, 有,例4. 求,解:,原式,说明: 若,则有,例5. 设,解:,讨论复合函数,的连续性 .,故此时连续;,而,故,x = 1为第一类间断点 .,在点 x = 1 不连续 ,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算结果仍连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,思考与练习,续?,反例,处处间断,处处连续 .,反之是否成立?,作业 P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 6,提示:,“反之” 不成立 .,第十节,第十节,一、最值定理,二、介值定理,*三、一致连续性,闭区间上连续函数的性质,第一章,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点 ,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,二、介值定理,由定理 1 可知有,证: 设,上有界 .,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,( 证明略 ),推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3. ( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,证: 作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,推论: 在闭区间上的连续函数,使,至少有,必取得介于最小值与,最大值之间的任何值 .,例. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,内容小结,*三. 一致连续性,已知函数,在区间 I 上连续,即:,一般情形,就引出,了一致连续的概念 .,定义:,对任意的,都有,在 I 上一致连续 .,显然:,例如,但不一致连续 .,因为,取点,则,可以任意小,但,这说明,在( 0 , 1 上不一致连续 .,定理4.,上一致连续.,(证明略),思考: P74 题 *7,提示:,设,存在,作辅助函数,显然,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,思考与练习,一刀剪为面积相等的两片.,提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,则,证明至少存在,使,提示: 令,则,易证,2. 设,作业 P74 (习题110） 2 ; 3; 5,一点,习题课,备用题,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,正根 .,二、 连续与间断,一、 函数,三、 极限,习题课,函数与极限,第一章,一、 函数,1. 概念,定义:,定义域,值域,图形:,( 一般为曲线 ),设,函数为特殊的映射:,其中,2. 特性,有界性 ,单调性 ,奇偶性 ,周期性,3. 反函数,设函数,为单射,反函数为其逆映射,4. 复合函数,给定函数链,则复合函数为,5. 初等函数,有限个常数及基本初等函数,经有限次四则运算与,复合而成的一个表达式的函数.,思考与练习,1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么?,相同,相同,相同,2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?,不是,是,不是,提示: (2),3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?,以上各函数都是初等函数 .,4. 设,求,及其定义域 .,5. 已知, 求,6. 设,求,由,得,4. 解:,5. 已知, 求,解:,6. 设,求,解:,解:,利用函数表示与变量字母的无关的特性 .,代入原方程得,代入上式得,设,其中,，求,令,即,即,令,即,画线三式联立,即,例1.,二、 连续与间断,1. 函数连续的等价形式,有,2. 函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,有界定理 ;,最值定理 ;,零点定理 ;,介值定理 .,3. 闭区间上连续函数的性质,例2. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,例3. 设函数,试确定常数 a 及 b .,例4. 设 f (x) 定义在区间,上 , 若 f (x) 在,连续,提示:,阅读与练习,且对任意实数,证明 f (x) 对一切 x 都连续 .,P65 题 1 , 3(2) ; P74 题 *6,证:,P74 题*6. 证明: 若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理, 使,取,则,在,内连续,存在, 则,必在,内有界.,上连续 , 且恒为正 ,例5. 设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令, 则,使,故由零点定理知 , 存在,即,证明:,即,上连续, 且 a c d b ,例6. 设,在,必有一点,证:,使,即,由介值定理,证明:,故,即,三、 极限,1. 极限定义的等价形式,(以 为例 ),(即 为无穷小),有,2. 极限存在准则及极限运算法则,3. 无穷小,无穷小的性质 ;,无穷小的比较 ;,常用等价无穷小:,4. 两个重要极限,6. 判断极限不存在的方法,5. 求极限的基本方法,或,例7. 求下列极限：,提示:,令,则有,复习: 若,例8. 确