2019届高考数学复习不等式推理与证明第5讲直接证明与间接证明分层演练直击高考文.docx

第5讲 直接证明与间接证明1(2018扬州质检)用反证法证明命题“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故应假设“a，b中没有一个能被5整除”答案：a，b中没有一个能被5整除2设a，b，c，则a、b、c的大小顺序是_解析：因为a，b，c，且0，所以abc.答案：abc3已知点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析：由条件得cnanbnn，所以cn随n的增大而减小，所以cn1cn.答案：cn11；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的序号是_解析：若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.答案：7已知函数f(x)，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A、B、C的大小关系为_解析：因为，又f(x)在R上是减函数所以ff()f，即ABC.答案：ABC8在R上定义运算：adbc.若不等式1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为_解析：据已知定义可得不等式x2xa2a10恒成立，故14(a2a1)0，解得a，故a的最大值为.答案：9若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1，1内至少存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_解析：法一：(补集法)令解得p3或p，故满足条件的p的取值范围为.法二：(直接法)依题意有f(1)0或f(1)0，即2p2p10或2p23p90，得p1或3p，故满足条件的p的取值范围是.答案：10设M，且abc1(a、b、c均为正数)，则M的取值范围是_解析：因为abc1，所以11，同理1，1，即8，当且仅当abc时取等号答案：8，)11求证：a，b，c为正实数的充要条件是abc0，且abbcca0和abc0.证明：必要性(直接证法)：因为a，b，c为正实数，所以abc0，abbcca0，abc0，因此必要性成立充分性(反证法)：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc0，则它们只能是两负一正，不妨设a0，b0，c0.又因为abbcca0，所以a(bc)bc0，且bc0，所以a(bc)0.又因为a0，所以bc0.所以abc0，这与abc0相矛盾故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数12设an是公比为q(q0)的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？解：(1)证明：若Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，解得q0，这与q0相矛盾，故数列Sn不是等比数列(2)当q1时，Sn是等差数列当q1时，Sn不是等差数列假设q1时，S1，S2，S3成等差数列，即2S2S1S3，则2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，所以2(1q)2qq2，即qq2，因为q1，所以q0，这与q0相矛盾综上可知，当q1时，Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列1某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在0，1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20，1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|.那么它的反设应该是_答案：x1，x20，1，使得|f(x1)f(x2)|x1x2|，则|f(x1)f(x2)|2设M，则M与1的大小关系为_解析：因为M(共210项)，所以M2101.答案：M13已知函数f(x)，当x(1，)时，恒有f(3x)3f(x)成立，且当x(1，3)时，f(x)3x.记f(3n1)kn，则i_解析：k1f(31)f3f3；k2f(321)f32；kn3n3n13n123n1，所以i2(3323n)n2n3n1n3.答案：3n1n34已知函数yf(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2D(x1x2)，都有f，则称yf(x)为D上的凹函数由此可得下列函数中的凹函数的序号为_ylog2x；y；yx2；yx3.解析：可以根据图象直观观察；对于证明如下：欲证f，即证，即证(x1x2)20.显然成立故原不等式得证答案：5若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(ab)，则称函数f(x)是a，b上的“四维光军”函数(1)设g(x)x2x是1，b上的“四维光军”函数，求常数b的值；(2)是否存在常数a，b(a2)，使函数h(x)是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由解：(1)由已知得g(x)(x1)21，其图象的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，即b2bb，解得b1或b3.因为b1，所以b3.(2)假设函数h(x)在区间a，b(a2)上是“四维光军”函数，因为h(x)在区间(2，)上单调递减，所以有即解得ab，这与已知矛盾故不存在6(2018常州模拟)已知非零数列an满足a11，anan1an2an1(nN*)(1)求证：数列是等比数列；(2)若关于n的不等式m3有解，求整数m的最小值；(3)在数列中，是否存在首项、第r项、第s项(1rs6)，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的r、s；若不存在，请说明理由解：(1)证明：由anan1an2an1，得1，即12，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列(2)由(1)可得，12n，故0，所以f(n)单调递增，则f(n)minf(1)，于是，故整数m的最小值为4.(3)由(1)(2)得，an，则设bn1(1