冲刺2019高考数学二轮复习核心突破专题20数列综合问题的探究（含解析）.docx

专题20 数列综合问题的探究【自主热身，归纳提炼】1、数列an为等比数列，且a11，a34，a57成等差数列，则公差d_.【答案】： 3【解析】：设数列an的公比为q，则(a11)(a1q47)2(a1q24)，即a1a1q42a1q2.因为a10，所以q21，a1a3a5，故公差d3.2、 设等比数列an的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2a54，则a8的值为_【答案】：. 2【解析】：当q1时，显然不符合题意当q1时，设Sn，因为S3，S9，S6成等差数列，所以2q9q6q30，即2q6q310，解得q3或q31(舍去)又a2a5a2(1q3)4，故a28，即a8a2q62. 3、已知数列为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为，则这个数列的公差为_【答案】：5【解析】 由题意偶数项和为192，奇数项和为162，又，所以这个数列的公差为54、已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 【答案】：5、 已知数列an是等差数列，且1，它的前n项和Sn有最小值，则Sn取到最小正数时的n 【答案】：12【解析】 由题意可知，又1，所以从而，所以Sn取到最小正数时的n的值为126、设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为 【答案】：129【解析】：设等比数列的公比为，则由题意得，也就是，即，解之得或；由于,所以不符合题意，舍；当时，从而，所以7、 设等比数列an的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a83，则a5的值为_8、设是数列的前n项和，且，则_【答案】：【解析】 由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以9、设数列an是首项为1，公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则数列an的公差为_【答案】：. 2思路分析 先用公差d分别表示S2，S4，列方程求出d.设公差为d，其中d0，则S1，S2，S4分别为1,2d,46d.由S1，S2，S4成等比数列，得(2d)246d，即d22d.因为d0，所以d2.10、设公差为d(d为奇数，且d1)的等差数列的前n项和为Sn，若Sm19，Sm0，其中m3，且mN*，则an_.【答案】： 3n12【解析】：因为Sm19，Sm0，所以am9.又Sm0，所以a1am0，即a19.又am9(m1)d9，即(m1)d18，因为m1为正整数，d为比1大的奇数，故d3，m7或d9，m3(舍)，故ana1(n1)d3n12.11、. 若公比不为1的等比数列an满足log2(a1a2a13)13，等差数列bn满足b7a7，则b1b2b13的值为_【答案】：. 26【解析】：因为等比数列an满足log2(a1a2a13)13，所以a1a2a13213，(a7)13213，a72，所以等差数列bn中，b7a72，b1b2b1313b713226.解后反思 记住一些常用的结论可以提高解题速度在等比数列an中，若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；在等差数列an中，若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq.12、已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和为Sn，若对nN*恒成立，则BA的最小值为 【答案】：【解析】 由题意可求得，令，则，从而，所以，所以BA的最小值为【问题探究，变式训练】例1、已知实数成等比数列，成等差数列，则的最大值为 【答案】【解析】解法1（基本不等式）由题意知，所以由基本不等式的变形式,则有：，解得，所以的最大值为.解法2（判别式法）由题意知， 则,代入得，即，上述关于的方程有解，所以，解得，所以的最大值为.【变式1】、在正项等比数列an中，若a4a32a22a16，则a5a6的最小值为_【答案】：. 48思路分析 首先根据基本量思想，可用首项a1和公比q来表示a5a6，即建立a5a6的目标函数但是它含有两个变量a1和q，可由a4a32a22a16再建立一个关于a1和q的等式，然后消去一个变量，那么消谁呢？原则：一是易于消去谁，二是对谁了解得更为详细，就保留谁由这两点可知，应消去a1，保留q，这就得到关于q的函数接下来用函数或不等式即可求出最值这里运用换元或整体思想结合基本不等式即可求出最值，但运用基本不等式求最值，一定要检验等号成立的条件解法1 由a4a32a22a16，得a1(q1)(q22)6，所以a1(q1).因为an0，所以q220，a5a6a1(1q)q466(q22)6q2246246848，当且仅当q22，即q2，a11时，等号成立，所以a5a6最小值为48.解法2 由a4a32a22a16，得(a2a1)(q22)6，所以a2a1.因为an0，所以q220，即q22，a5a6(a1a2)q4.令t，则t2t222，当t时，式子取得最大值，从而a5a6取得最小值6848.【变式2】、. 设Sn是等比数列an的前n项和，an0，若S62S35，则S9S6的最小值为_【答案】： 20思路分析1 从研究等比数列的基本方法基本量入手，将条件用a1，q表示出来，为此消去一个变量a1，从而将S9S6用q的表达式表示出来，由此转化为用基本不等式来求函数的最小值这当中要注意对公比q是否等于1进行讨论思路分析2 注意到所研究的是等比数列的前3项、前6项、前9项和的关系，因此，考虑将S3作为一个整体来加以考虑，从而将S6，S9转化为S3的形式，进而来研究问题解法2 因为S6S3(1q3)，所以由S62S35得S30，从而q1，故S9S6S3(q6q31)S3(q31)S3q6，以下同解法1.课本探源 (本题改编自必修5p62题10)设Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列解后反思 整体法是研究问题的一种常用的方法，它可以起到化繁为简、化难为易的作用，对于一些复杂的且有一个特征的代数式，经常采用整体法来研究【变式3】、. 已知等比数列an的公比q1，其前n项和为Sn.若S42S21，则S6的最小值为_【答案】：. 23思路分析 首先根据基本量思想，可用首项a1和公比q来表示S6，即建立S6的目标函数，但是它含有两个变量a1和q，可由S42S21再建立一个关于a1和q的等式，然后消去一个变量，那么消谁呢？原则如下：一是谁易于消去就消去谁；二是对谁了解的更为详细，就保留谁由这两点可知，应消去a1，保留q，这就得到S6是关于q的一元函数，接下来用函数或不等式即可求出最值，这里运用换元或整体思想结合基本不等式即可求出最值，但运用基本不等式求最值，一定要检验等号成立的条件因为等比数列an的公比q1，所以Sn，由S42S21，得21，解得a1，所以S6(q21)3，因为q1，所以q210，因此(q21)323，当且仅当q21，即q时，S6取得最小值23.【关联1】、已知等比数列an满足a2a52a3，且a4，2a7成等差数列，则a1a2an的最大值为_【答案】. 1 024解法1 设等比数列an的公比为q，根据等比数列的性质可得a2a5a3a42a3，由于a30，可得a42.因为a4，2a7成等差数列，所以2a42a7，可得a7，由a7a4q3可得q，由a4a1q3可得a116，从而ana1qn116n1(也可直接由ana4qn4得出)，令bna1a2an，则an116，令161，可得n4，故b1b2b6bn，所以当n4或5时，a1a2an的值最大，为1 024.解法2 同解法1得an16n1，令an1可得n5，故当1n5时，an1，当n6时，0an0，a2b20，则a3b3的取值范围是_【答案】： (，2)解法1 由题意得在平面直角坐标系a1Ob1中作出可行域，如下图，即得目标函数za3b3a144b1的取值范围是 (，2)解法2 由题意得所以a3b3a144b12(a1b1)3(a12b1)4642.【关联3】、 已知数列an的首项a11，前n项和为Sn，且满足2an1Sn2(nN*)，则满足0的所有正整数n.【解析】令a2(n1)(a2n)，得a2(n1)a2n，所以.(4分)此时，a21.(5分)所以存在，使得数列a2n是等比数列(6分)(2) 由(1)知，数列是首项为，公比为的等比数列，所以a2nn1，即a2n.(8分)由a2na2n1(2n1)，得a2n13a2n3(2n1)6n3，(10分)所以a2n1a2n6n32n6n9.所以S2n(a1a2)(a3a4)(a2n1a2n)22n6(12n)9n3n26n1，(12分)从而S2n1S2na2n3n26n.因为和3n26n3(n1)23在nN*时均单调递减，所以S2n和S2n1均各自单调递减(14分)计算得S11，S2，S3，S4，所以满足Sn0的所有正整数n的值为1和2.(16分) 对于通项公式分奇偶不同的数列an求Sn时，一般先把a2k1a2k看做一项，求出S2k，再求S2k1S2ka2k.例3、设数列an的前n项和为Sn.若2(nN*)，则称an是“紧密数列”(1) 若数列an的前n项和为Sn(n23n)(nN*)，证明：an是“紧密数列”；(2) 设数列an是公比为q的等比数列若数列an与Sn都是“紧密数列”，求实数q的取值范围【解析】： (1) 由数列an的前n项和Sn(n23n)(nN*)，得an所以ann(nN*)(2分)所以1，(4分)因为对任意nN*,0，即11，所以11，所以2，即an是“紧密数列”(6分)当q1时，Sn，则.因为数列Sn为“紧密数列”，所以2对于任意nN*恒成立() 当q1时，(1qn)1qn12(1qn)，即对于任意nN*恒成立因为0qnq1,02q11，q21，所以qn(2q1)q1，所以当q1时，对于任意nN*恒成立(13分)() 当11,2q11，1q20.所以解得q1.又1q2，此时q不存在综上所述，q的取值范围是.(16分)解法2 因为an是“紧密数列”，所以q2.(8分)当q1时，Snna1，1，所以112，故当q1时，数列Sn为“紧密数列”，故q1满足题意(10分)当q1时，Sn，则.因为数列Sn为“紧密数列”，所以2对于任意nN*恒成立() 当q1时，(1qn)1qn12(1qn)，即对于任意nN*恒成立所以解得q1.(13分)() 当1q2时，同理可得无解综上所述，q的取值范围是.(16分)【变式】、若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”(1) 已知数列an中，a12，an12an1.求an的通项公式； 试判断an是否为“等比源数列”，并证明你的结论(2) 已知数列an为等差数列，且a10，anZ(nN*)求证：an为“等比源数列”【解析】： (1) 由an12an1，得an112(an1)，且a111，所以数列an1是首项为1，公比为2的等比数列(2分)所以an12n1.所以数列an的通项公式为an2n11.(4分)数列an不是“等比源数列”，用反证法证明如下：假设数列an是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(mnk)按一定次序排列构成等比数列因为an2n11，所以amanak，(7分)所以aamak，得(2n11)2(2m11)(2k11)，即22n222n11