2019届高考数学二轮复习专题二导数第1讲曲线的切线学案.docx

第1讲曲线的切线 1. 曲线的切线及切线方程是高考中的一个重要考点，曲线的切线与直线与二次曲线相切的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切则只有一个公共点2. 高考中涉及曲线的切线，往往有如下题型：一是直接求切线的方程；二是通过曲线的切线求相关的参数；三是求切点的坐标或公切线等1. (2018苏州期中调研)已知曲线f(x)ax3ln x在(1，f(1)处的切线的斜率为2，则实数a的值是_答案：解析：因为f(x)3ax2，所以f(1)3a12，解得a.2. (2018南通一调)若曲线yxln x在x1与xt处的切线互相垂直，则实数t的值为_答案：e2解析：因为y1ln x，所以当x1时，y1，当xt时，y1ln t因为曲线yxln x在x1与xt处的切线互相垂直，所以1(1ln t)1，得te2.3. 已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_答案：3解析：已知曲线y3ln x(x0)的一条切线的斜率为，由yx，得x3(x2舍去)4. (2018淮安期中)已知函数f(x)x3.设曲线yf(x)在点P(x1，f(x1)处的切线与该曲线交于另一点Q(x2，f(x2)，记f(x)为函数f(x)的导数，则的值为_答案： 解析：设点P(x1，x)，曲线yf(x)在点P(x1，x)处的切线方程为y3xx2x，由解得Q(2x1，8x)，所以x22x1，所以.,一) 求切线的方程,1) 已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l.(1) 求斜率最小的切线方程；(2) 求切线l的倾斜角的取值范围解：(1) yx24x3(x2)211，所以当x2时，y1，y，所以斜率最小的切线过点(2，)，斜率k1，所以切线方程为3x3y110.(2) 由(1)得k1，所以tan 1.因为0，)，所以0，)，)故的取值范围是0，)，)点评：求切线方程的方法： 求曲线在点P处的切线，则表明点P是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程； 求曲线过点P的切线，则点P不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程(2018济南一模)已知曲线f(x)ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为_答案：解析：因为f(x)ln x，x(0，)，所以f(x).设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率为kf(x0)kOP.所以ln x01，所以x0e，所以k.,二) 利用导数的几何意义求参数的值,2) 已知函数f(x)ex，g(x)xm，mR.(1) 若曲线yf(x)与直线yg(x)相切，求实数m的值；(2) 若h(x)f(x)g(x)，求h(x)在0，1上的最大值解：(1) 设曲线f(x)ex与g(x)xm相切于点P(x0，y0)，由f(x)ex知ex01，解得x00，可求得点P为(0，1)，代入g(x)xm，得m1.(2) 因为h(x)(xm)ex，所以h(x)ex(xm)exx(m1)ex，x0，1 当m10，即m1时，h(x)0，此时h(x)在0，1上单调递增，所以h(x)maxh(1)(1m)e. 当0m11，即1m2时，当x(0，m1)时，h(x)0，h(x)单调递增，h(0)m，h(1)(1m)e.() 当m(1m)e，即m2时，h(x)maxh(0)m；() 当m(1m)e，即1m时，h(x)maxh(1)(1m)e. 当m11，即m2时，h(x)0，此时h(x)在0，1上单调递减，所以h(x)maxh(0)m.综上，当m时，h(x)max(1m)e；当m时，h(x)maxm.点评：处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： 切点处的导数是切线的斜率； 切点在切线上； 切点在曲线上设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行(1) 求a的值；(2) 求此切线方程解：(1) 由题得f(x)3x22ax93(x)29，即当x时f(x)取得最小值9.因为斜率最小的切线与直线12xy6平行，所以912，解得a3.由题设a2)，则(M，N).设g(x)x，x4，则g(x)10，所以g(x)在(4，)上单调递增，所以g(x)g(4).所以t22，所以0(M，N).设函数f(x)ax(a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1) 求f(x)的解析式；(2) 证明函数yf(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心(1) 解：f(x)a，于是解得或因为a，bZ，故f(x)x.(2) 证明：已知函数y1x，y2都是奇函数，所以函数g(x)x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形而f(x)x11，故函数f(x)的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形1. (2018天津卷)已知函数f(x)exln x，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_答案：e2. (2017天津卷)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_答案：1解析：因为f(x)a，所以f(1)a1.又f(1)a，所以函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线l的方程为ya(a1)(x1)，整理得y(a1)x1，所以切线l在y轴上的截距为1.3. (2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为_答案：yx解析：因为f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa为奇函数，设g(x)x2(a1)xa，则g(x)为偶函数，故a10，则a1.设f(x)x3x，从而f(x)3x21，切线斜率kf(0)1，因此切线方程为yx.4. (2018全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为2，则a_答案：3解析：f(x)aex(ax1)ex，则f(0)a12，所以a3.5. (2017北京卷)已知函数f(x)excos xx.(1) 求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2) 求函数f(x)在区间0，上的最大值和最小值解：(1) 因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2) 设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x(0，)时，h(x)0，所以h(x)在区间0，上单调递减，所以对任意x(0，有h(x)h(0)0，即f(x)0，所以函数f(x)在区间0，上单调递减因此f(x)在区间0，上的最大值为f(0)1，最小值为f().(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知函数f(x)ln xax2，g(x)x2(b1)x，a，bR.(1) 若函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线与g(x)的图象也相切，求a，b的值；(2) 若不等式f(x)0对于任意x(0，)恒成立，求a的取值范围(注：e是自然对数的底数，e2.718)解：(1) 由f(1)a1，得a，所以f(x)ln xx2，(2分)所以f(x)x，从而f(1)2，所以函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即2xy10.(4分)联立方程组消y得x2(b1)x10，由(b1)240，得b3或b1，所以a，b3或a，b1.(8分)(2) 不等式ln xax20对于任意x(0，)恒成立，即为a对于任意x(0，)恒成立设函数t(x)，x(0，)，则t(x).(10分)令t(x)0，得x1，且当0x1时，t(x)1时，t(x)0，所以函数t(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以t(x)mint(1)，(12分)所以a.故实数a的取值范围是.(14分)1. 曲线ylog2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于_答案：解析：因为y，所以k，所以切线方程为y(x1)，令y0，得x1，令x0，得y，所以所求三角形面积为S1.2. 已知函数f(x)xaln x，g(x)(aR)(1) 当a1时，求曲线f(x)在x1处的切线方程；(2) 设函数h(x)f(x)g(x)，求函数h(x)的单调区间解：(1) f(x)的定义域为(0，)当a1时，f(x)xln x，f(x)1，f(1)1，f(1)0，切点为(1，1)，斜率k0，所以曲线f(x)在点(1，1)处的切线方程为y1.(2) h(x)xaln x，h(x)1. 当a10，即a1时，在(0，1a)上，h(x)0，所以h(x)在(0，1a)上单调递减，在(1a，)上单调递增； 当1a0，即a1时，在(0，)上，h(x)0，所以函数h(x)在(0，)上单调递增综上，当a1时，h(x)在(0，1a)上单调递减，在(1a，)上单调递增；当a1时，h(x)在(0，)上单调递增3. 已知函数f(x)ex(ax22x2)，其中a0.(