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第三章 质点系统的运动规律 习 题 3-1 一条均匀的,深长量忽略不记的绳子,质量为 m,长度为 ? ,一端栓在转动轴 上，并以匀角速率 在一光滑水平面内旋转，问转动轴为 r 处的绳子中张力 是多少？ 分析：取绳上一质量微元作受力分析，考察该微元左右两方对该微元施加的力， 即可求得。 解: 整条绳在光滑水平面内作圆周运动，绳上 的每一小段（质元）都作圆周运动，如图。 rdr l m dTrdmdTTT 2 2 )()(=+=+ 积分得： ) 22 ( 2 2 1 0 2 rlm l T Tr l rdr l m dT= 3-2 一个水分子(H2O)由一个氧原子 （mo=30.2 10-24千克） 和两个氢原子(mH=1.68 10-24千克 )组成，氧原子与氢原子的中心距 离均为 2.76 埃(1 埃= 10 -10米)，氧原子中心与 两个氢原子中心的连线夹角为 105o，试求水分 子的质心位置（如图所示） 。 分析：已知分立的质点组系统，求质心。适当选择 坐标系，运用质心的定义式即可求出。 解: 以 O 为坐标原点，如图: yc=0 )( 10 1077. 1 24 10)268. 12 .30( 2 105 cos 10 1076. 2 24 1068. 12 mX c x = + = = + = 3-3 一长为 l 的细杆， 若其密度按 0 x l =变化， 其中 x 是从杆的一端算起的距 r o dT T T+dT 105o HH x y o 离，0为一常量。求它的质心位置。 分析：本题为求变质量系统的质心，取质量微元来求解。 解: 如右图所示建立坐标系 根据质心定义有： l l xdx l dxx dx l l x dx l l x x l dx l dxx M xdm c x 3 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 = = = = = = 3-4 在光滑的水平冰面上, 静放着质量为 M 的大平板车, 车上站着一个质量为 m 的人，若人在车上走了 l 后而停止，那么平板车相对地走了多远. 分析：人和平板车组成一质点组系统，该系统在水平方向不受外力，即可认为是 一个在 x 方向上的不受外力的孤立系统。对此系统运用质心运动定理，首 先分别讨论人和车的运动，然后求质心的运动。即可求解。 解: 水平方向合外力为零, 根据质心运动定理, 有: ac=0 初始时刻: Vc=0 ，所以 xc=0 质心位置： mM mxMx c x + + = + + = 21 初始初始 mM xxmxxM c x + + = + + = ) 22 () 11 ( 终了终了 由相对运动可知 x1+ l =x2 由xc=0，得： xc 初始=xc 终了 l Mm m + = + = 1 x 3-5 两个小球用一细杆连结起来， 它们静止于一无摩擦的水平面上， m1=4.0 千克， m2=2.0 千克，第三个小球的质量为 0.5 千克，它以 iv 2 0 = = v (米/秒)趋近这系 统，并与 2 千克的小球相撞，如果 0.5 千克的小球以 j f v 跳开(vf =1.0 米/ 秒)，问这二小球系统的质心速度如何？ 分析：m1和m2组成一个质点组系统，将此系统视为一个整体，考虑它与第三个 O X dx l M m 小球之间的碰撞过程。利用碰撞过程动量守恒，即可求出m1和m2组成的 系统的质心的速度。 解: m1和 m2为子系统，杆中张力为内力， m1与 m2 碰撞前后动量守恒，有： ) 21 ( 0c vmm f vmvm vvv +=+= ) 1 .( 12 1 6 1 )24/()12( ) 21 /() 0 ( =+= += =+= += smjijim mm f vmvm c v vvvv vvv ( Vc/ 是子系统质心速度）是子系统质心速度） 3-6 一条质量为 m，长为 l 的细绳，拉直后平放在光滑的桌面上，让其一端略沿 桌面垂下，则细绳会顺其滑下，求细绳在滑下过程中的速率 v 与垂下部分绳 长的关系。 分析：绳只受重力作用，重力为保守力， 所以对绳与地面组成的系统，机械能 守恒。 解: 取桌面所在的平面为零势能面, 单位长度绳的质量为 m/l, 当绳 的下垂部分长为 x 时, 其质量为 xm/l, 于是由机械能守恒, 可得: ) 2 1 ( 2 2 1 0xg l m xmv+=+= 得, x l g v = = 3-7 在地面上竖直向上发射火箭，已知火箭的初始质量 M0，喷气相对于火箭主 体的速度为 u，不计空气阻力，求使火箭刚能离开地面的最低喷气流量 qm 应为多大？ 分析：这里火箭是一个变质量系统，不能 应用牛顿第二定律来处理，需要用动 量定理来解题。 解: 设火箭在地面发射时只受引力 M0g， 其它各量如图所示 （竖直向上为 x 轴 正向） ，由动量定理： x m y v0 m 300 vfj m2 vv rr d+ + v r M dMM + + u v dm txdtt + + x x 零势能面 o l-x vv rr d+ + v r M dMM + u v dm txdtt + + dtgMvMdvvdMMuvdm=+=+ 00 )( 0 ()( 略去二阶无穷小量 dMdv， dMdm = =Q dtgMdvMudm=+=+ 00 dt d MgM dt dm u v 00 +=+= 0 dt dv Q g u M dt dm m q 0 = 3-8 有一个 6.0 千克的质点，位矢为 r =(3t2-6t)i-4t3j+(3t+2)k（米） 试求 （1）作用在这质点上的力； （2）作用在质点上的力矩（对原点） ； （3）这质点的动量和角动； （4）验证 和 分析：本题是关于力矩、动量、角动量等的概念问题。 解: k)t(jtit)t(r rrr r Q23 3 46 2 3+=+= kjti )t( dt rd rrr r v 3 2 1266 v = j ti dt vd a rr r v 246 = (1) j tij ti(amF rrrr r r 14436) 2466= (2) FrM r r r = kttjtitt kttttjtitt t tttt kji ) 2 864 3 288( )72108( )288 2 432( ) 3 4(36)6 2 3(144 )23(36 )23(144 014436 23 3 46 2 3 += += += += += += (3) kjti(tvmP rrr r r 18 2 72)136 +=+= P dt d F vv = =L dt d M vv = = prvmrL vvrr r = kttjttitt ktttttjtt ttittt tt tttt kji L ) 3 288 4 72( )7272 2 54( )1( 2 144 )3636( 3 4)6 2 3( 2 72 )6 2 3(18 )23)(1(36 )23( 2 72) 3 4(18 18 2 72)1(36 23 3 46 2 3 += + += += += + += += r (4) Fj tikjtit dt d dt Pd rrrrrr r = += += 14436 18 2 72)1(36 Mkttjtitt dt Ld rrrr r =+=+=)3( 2 288)23(36)23(144 3-9 两质点的质量分别为 m1=4.0 千克, m2=6.0 千克，位矢分别为 jr 0 . 3 1= = v 米， ir 0 . 3 2 = = v 米。它们的速度分别为 iv 0 . 2 1= = v 米/秒， jv 0 . 3 2 = = v 米/秒。 (1) 试求这系统相对于 O 和相对于质心的总角动量，并验证它们之间的关系； (2) 求这系统相对于 O 和相对于质心的动能并验证它们之间的关系。 分析：本题是关于质点系的动能、角动量等的概念问题，需要注意的是选择不同 的参考系，角动量和动能的值夜是不同的。有些量是与参考系的选择有关。 解: (1) Q jr 0 . 3 1 = = v ir 0 . 3 2 = = v iivm vv v 1234 11 = jjvm vv v 1836 22 = ) 12 (4818483 22110 =+= += =+= += smkgkjiij vmrvmrL vvvvv vvvv v x 3 4 y 1 v v 2 v v 1 m 2 m ) 21 ( 21 21 ) 21 ( 12 12 vv mm mm rrvrL vvvvvv v + = + = 内内 ) 12 ( 4.14 = =smkgkL rr 内内 ij ij c r vv vv 5 12 5 6 64 4634 += + + =+= + + = ji ji c v vv vv v 5 9 5 4 64 188 += + + =+= + + = ) 12 (6 .33 = =smkgk c vM c rL v vv v 外外 ) 12 ( 48 0 =+= =+=smkgkLLL vvvv 内外内外 (2) )(35 22 2 1 11 2 1 0 Jvmvm k E=+=+= vv )(4 .19 2 ) 5 9 5 4 )(46( 2 1 2 2 1 Jji c vM k E=+=+= vv v 平平 )(6 .15 2 ) 21 ( 21 21 2 1 2 12 v 2 1 Jvv mm mm k E= + = + = vv 内内 ）（ 内平 ）（ 内平 J k E k E k E35 0 =+=+= 3-10 在中间有一光滑小孔的水平光滑桌面上放置着一个用绳子联结的质量为 4.0 千克的物体，绳的另一端穿过小孔下垂且用手握住，开始时，物体以半 径为 0.5 米，速率为 4.0 米/秒在桌面上作匀速圆周运动，然后，将手极其 缓慢地向下移动，直至运动半径变为 0.1 米 (1) 求这时物体的速度， (2) 在这一过程中，手的拉力作功多少？ (3) 写出拉力 F 与角动量 L，质量 m 以及 半径 r 的关系。 分析： 本题中物体在水平方向上所受的力只有绳 子的拉力。而绳子的拉力是一个有心力，物 体在有心力的作用下，角动量守恒。关于作 功的问题，可以从功能转换的角度去考虑。 解: (1) 绳拉力为有心力，物体的角动量守恒 RmvmvR= = 00 (m/s) 204 1 . 0 5 . 0 0 R 0 R v =v (2) 在物体运动中， 不垂直于 , 拉力作功。等于动能的增量。 )1 2 2 0 ( 2 0 2 1 2 0 2 1 2 2 1 = R R mvmvmv k EW (3) 缓慢地拉绳，物体做近似圆周运动，得： 3 2 )( 2 222 mr rmv mrr mvmr r v mF= = = 3 2 mr L F = 3-11 一个人从 10 米深的井中提水,起始桶内装有 25 千克的水.由于水桶漏水,没 升高 1.0 米要漏区 0.5 千克的水,求水桶匀速提升到井台上时这个人所作的 功. 分析：本题中物体的质量一直在变化，那么它所受到的重 力也是一个变化的力，对于变力作功，不能直接用力 乘以作用距离，我们可以从功能转化的角度去考虑。 解: 选地面为参照系。 因为是匀速提升，所以提升时用常力： mg y F= = 又因变质量： ymm = 0 米米/5 .0kg= = = h gdyym h ydFW 0 ) 0 ( 0 v v )(2205 2 2 1 Jhggh o m= 3-12 一个质量为 5.0 千克的环 m 在一固定的光滑的金属环 ABC 上滑动，ABC o y m h F rdr 是半径为 1.2 米的一个半圆的弧，作用在这小环 m 上的两个分力 F 和 F 的大小分别为 40 牛顿和 150 牛顿，力 F 始终保持与圆相切，力 F的作用 方向恒定，始终与直径 AOC 构成 30 度角，当这物体从 A 运动到 B 和从 A 运动到 C 时，如图所示，试计算作用在这物体上的这两个分力分别所做的 总功。 分析：本题中力F始终与圆相切，所以物体所受的力始终与物体移动的方向保 持垂直，可以直接用力乘以物体移动的距离来求功。而对于力F，它与物体 移动方向的夹角始终是变化的， 所以不能单纯用力乘以物体移动的距离来求 功。 解: 对于力 =FlFdlrdF F W v v A 到 B 的过程中， )(4 .75 2 1 JrF F W= A 到 C 的过程中， )(151 JrF F W= 对于力 =) cos( rFrFrFrdF F W v v v v v v A 到 B 的过程中， )(9 .65)4530cos(2 J oo rF F W=+=+= A 到 C 的过程中， )(76.31130cos2 J o rF F W= = 3-13一橡皮绳原长l0=20cm,上端固定在O点,当下端拴一质量为 m=50g的物体时, 其长度为 l1=22cm。若使这一物体在水平面 内做匀速圆周运动,当橡皮绳与竖直方向成 60 度角时, 求：(1) 橡皮绳长度 l ; (2) 物体的动能 ; (3) 橡皮绳的弹性势能。 分析：首先，我们要对物体进行受力分析，如下 图所示。对于圆周运动，已知向心力即可求 F r F r 60 O m T r gm r m F v F v r2 ), (rF v v A B C r2 得圆周运动的速度。随之就可以求出物体的动能。 解: 由题意, ) 01 (llkmg= ) 2 (5 .24) 01 /( = =mNllmgk 物体做圆周运动 (1) cosmgT= = (2) sin 22 sin l v m R v mT= (3) ) 0 (llkT= 联立解得: 0 l k T l+=+= (1) cml ll l24 0 cos 01 =+ =+ = (2) (1) cosmgT= = (2) sin 22 sin l v m R v mT= Jl mg lTmv 2 108 . 8 2 sin cos2 2 sin 2 1 2 2 1 = = Jmv k E 2 108 . 8 2 2 1 = = (3) Jllk p E 2 1096. 1 2 ) 0 ( 2 1 = = 3-14 质量分别为 m1和 m2的两个球沿一条直线分别以速度 v10和 v20运动，求它 们发生完全弹性的对心碰撞后的速度，并就两个球质量相等和两个球质量 相差甚远两种情况作出讨论。 分析：这是一个碰撞问题,完全弹性碰撞系统的动量守恒，动能也守恒。 解: 完全弹性的对心碰撞， 即碰撞前后速度均在联线上。 碰前速度为 V10， V20 碰 后的速度为 v1 ,v2 。则系统动量守恒、动能守恒: 2 v 21 v 120 v 210 v 1 rrrr mmmm+=+=+ 2 2 v 2 2 1 2 1 v 1 2 1 2 20 v 2 2 1 2 10 v 1 2 1 mmmm+=+=+ 21 20 v 2 2 10 v) 21 ( 1 v mm mmm + + = + + = rr r 21 20 v) 12 ( 10 v 1 2 2 v mm mmm + + = + + = rr r 讨论： (1) 时时 21 mm= = 20 v 1 v rr = = 10 v 2 v rr = = (2) 时时 21 mm 的定义 （分为质量分 立和质量连续两种情况讨论） 。 分析：根据质心定义列式子即可。 答： 对于质量分立的情况： = i i i ii m mBm B )( v v 对于质量连续的情况： = dm dmmB B )( v v 3-23 将一个钢笔帽立于一张纸条上，试试看如何抽取桌面上的纸条能使钢笔帽 保持静止，不致倒下。用动量定理解释其中的原因。 分析：动量定理即动量的增量等于冲量，而冲量与作用力之间有直接关系:冲量 等于力与力的作用时间的乘积。对于本题，力的作用时间越短，其动量的 增量越小，那么钢笔帽越不容易倒下。 答：非常快速的抽取纸条时，可以使钢笔帽保持静止，不致倒下。 2 r v m1 m2 l1 l2 1 r v 0 r v 根据动量定理，动量的增量等于合外力的冲量。而冲量是力的时间积累结果，也 就是说，冲量是力与力的作用时间的乘积，那么在相同大小的力的作用下，作用 时间越短，冲量越小。冲量越小，动量的增量就越小；动量的增量小，说明钢笔 帽没有获得足够大的初速度，那么它就不至于倒下去。 3-24 一根绳的上端固定，下端系一重物m，重物的下端系一根同样的绳，如题 3.24图所示。如果极其缓慢地往下拉下端的绳，则上面的绳被拉断；如果是突然 用力往下拉下端的绳，则下面的绳将会先断。试解释这一现象。 分析：用隔离体法分析两条绳子的受力情况。 答：当用力拉下面的绳时，下面的绳只受到拉力 F 的 作用，而上端的绳受到的力为拉力与重物的重力的 合力，即：F+mg 当及其缓慢的拉下端的绳子时，上端绳子受到的拉 力比下端绳子受到的力大，所以上端的绳子先断； 而当突然用力拉下端的绳子时，由于力的作用时间 非常短，在拉力还没有来得及传递到上端绳子上的 时候，下端的绳子已经被拉断了。所以，突然用力 拉绳子时，下端的绳子先断。 3-25 火箭能够在真空中被加速吗？此时火箭的推力是指什么力？ 分析： 实际上也是受力分析的问题， 不过本题中向火箭施加力的并不仅仅是空气， 燃料燃烧也会像火箭施加力的作用。 答： 火箭当然可以在真空中被加速， 因为火箭被加速的推力并不是空气给与它的， 而是火箭自身携带的燃料燃烧并且喷出火箭主体，燃料向后喷出，从而给火 箭主体一个反推力，因此火箭会产生一个向前的加速度。 3-26 对于可变质量系统， 是否可用方程F外= dv m dt 来描述； 又是否用方程F外= dmv dt 来描述，为什么？ 分析：根据牛顿第二定律，施加在物体上的力使产生加速度：力等于质量与加速 度的乘积。但是这里的力士施加在某一个质量不变的物体上的。所以对于 变质量系统，应该应用动量定理，即动量的变化量等于冲量。而冲量是力 的时间积累效果。 F 答：不可以用 dt vd M v v = 外 F来描述,因为是可变质量系统，也就是说质量会随时间 变化。所以，对变质量系统，应该用方程)vM( dt dv v = 外 F来描述 3-27 试试看如何能将一细长铁杆（例如一把细长状不锈钢饭勺）的中间部分扭 成麻花状，并用力矩概念解释其中的原因。 分析：若要将杆扭曲，需要施加一力矩而不是单纯的力。力矩是力与作用距离的 乘积。所以要想得到较大的力矩，除需要大的力之外，还需要大的作用距离。 答：由于细长铁杆的横截面积很小，直接扭动不能获得很 大的力矩。如图 a 所示，直接扭动时，其作用距离即力 臂仅为铁杆横截面积的半径。力矩等于力乘以力臂，力 臂很小，力矩也就不会很大，那么就不可能达到扭转的 目的。 如果我们改变力的方向，则同时改变了力的作用距离，如图 b 所示。此时，力 臂变成了杆长的一半，力臂大大增加了，那么力矩也会大大增加。细铁杆很容 易被扭曲。 用如图 b 所示的力将杆扭成如图 c 所示的情形。继续 用力扭曲铁杆，直至铁杆再次展开。此时，在杆的中 间有一个“结” ，如图 d 所示。 如此反复操作，即可将细铁杆扭成麻花状。 3-28 一对大小相等、方向相反的力对某参考点产生的力矩一定为零吗？举例说 明之。 分析：本题考察力矩的概念。构成力矩，需要有两个要素：一是力；二是力的作 用距离，这二者缺一不可。 答：不一定。如果这对力作用在同一点上，那么它们对任一参考点产生的力矩均 为零。 如果这对力的作用点不同， 那么它们对某一参考点产生的力矩不一定为零。 由于力矩是力与力臂的乘积， 只有力的大小相等和方向相反还不能说明力矩也是 大小相等方向相反。 a b c d 3-29 直升机是靠什么力停止在空中的？它为什么要用很大的螺旋桨？直升机尾 端的小的辅助螺旋桨又起到什么作用？ 分析：仍然是受力分析得问题。 答： 燃料燃烧驱动螺旋桨旋转， 形成气流， 飞机给气流一个向下的力， 那么反之， 气流就会给飞机一个向上的反冲力-浮力，使飞机停在空中。 大螺旋桨使气流顺利通过，产生升力。如果螺旋桨很小，飞机就会受到局部的 力，不容易保持平衡。 发动机带动大螺旋桨高速旋转， 即系统内力使得螺旋桨产生了一个对直升机质 心的很大的角动量。由于内力不改变系统的角动量（或者由于系统不受外力， 因此系统的总角动量不变） ，因此，该内力势必使机身产生一个相反方向的角 动量，它将导致机身绕质心转动，则直升机无法保持稳定。如果在直升机尾部 装有辅助螺旋桨， 它的转动将平衡大螺旋桨转动产生的角动量， 保持机身的稳 定。所以小螺旋桨的作用是为了使飞机保持平衡。 3-30 通过船舱一个不大的洞进一股水，一个人想用木板堵住洞，单无力克服水 流的 力量，可是，在另一个人的帮助下将木板堵上了，这时，只原来的一个人 便能推住木板，为什么？ 分析：本题实际上是要分析流体在不同情况下（船上的洞堵住和未堵住时）的压 力。流体的压力可用伯努力方程来分析。 答：根据伯努利方程，常量=+ 2 2 1 vghp 当船上的洞未被堵住时，此处的水与空气接触，压力为大气压p0，假设此时 水的速度为 0 v 当船上的洞被堵住后，水不再与空气接触，这时船洞处水的压力(p)就是与同 一液面高度处压力相同，大于水面大气压，假设此时水的速度为v。 这里船的高度不变，所以在船上洞被堵住前后h相同。所以， 0 vv 而堵住速度快的水流（使水的速度减小到0）比堵住速度慢的水流需要的力要大 （同样时间内要将动量大的水堵住需要的冲量大，力就大） ，所以，开始洞未堵 住时，一个人的力量不够，而当洞堵住后，一个人的力量就可以按住木板。 3-31 只有外力才能改变物体质心的运动状态，为什么制动及对车轮所时的内力 能使车停下来？ 分析：本题是内力和外力的区别问题。题目中有一个概念的模糊，就是使车停下 来的力是地面给它的摩擦力，是外力，而不是制动机对车轮所施加的内力。 答：只有外力才能改变物体质心的运动，这句话是对的。但是制动机对车轮施加 的内力使车停下来这句话是错误的。使车停下来的是地面的摩擦力，而非制 动力。假设车在一个无限光滑，没有摩擦力的平面上运动，无论制动力多大， 车都不会停下来。摩擦力越大，车停的越快。 3-32 在质心参考系中角动量定理和动能定理具有和惯性系相同的形式，这是不 是说明