高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12_1 随机事件的概率课件 理 苏教版

12.1 随机事件的概率,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 ，称事件A出现的比例fn(A)_为事件A出现的 . (2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的 会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个 称为随机事件A的概率，记作P(A).,知识梳理,频数,频率,频率,常数,2.事件的关系与运算,包含,BA,AB,事件,并,事件A发生且事件B,发生,交事件,互为对立事件,P(A)P(B)1,3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： . (2)必然事件的概率P(E) . (3)不可能事件的概率P(F) . (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(AB) . (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A) .,0P(A)1,1,0,P(A)P(B),1P(B),互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)事件发生频率与概率是相同的.( ) (2)随机事件和随机试验是一回事.( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( ) (5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.( ) (6)两互斥事件的概率和为1.( ),考点自测,基本事件的个数有5315， 其中满足ba的有3种，,1.从1,2,3,4,5中随机选取一个数a，从1,2,3中随机选取一个数b，则ba的概率是_.,答案,解析,抛掷10次硬币正面向上的次数可能为010，都有可能发生，正面向上5次是随机事件.,2.(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是_.(填序号) 必然事件 随机事件 不可能事件 无法确定,答案,解析,3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175(单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为_.,答案,解析,0.3,因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm的概率为10.20.50.3.,4.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为_.,答案,解析,0.5,依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1(0.20.3) 0.5.,5.(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则恰有1个红球和全是白球；至少有1个红球和全是白球；至少有1个红球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个红球. 在上述事件中，是对立事件的为_.,答案,解析,是互斥不对立的事件，是对立事件，不是互斥事件.,题型分类 深度剖析,题型一 事件关系的判断,例1 (1)从1,2,3，7这7个数中任取两个数，其中： 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是偶数； 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中，是对立事件的是_.,答案,解析,中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从17中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.,(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)P(B)1”，则甲是乙的_条件.,若事件A与事件B是对立事件，则AB为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)P(B)1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A) ，P(B) ，满足P(A)P(B)1，但A，B不是对立事件.,充分不必要,答案,解析,(3)(2016镇江模拟)某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件. A与C；,由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.,解答,B与E；,事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件.由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件.,解答,B与C；,事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.,解答,C与E.,由的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件.,解答,(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生. 对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. (2)判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.,思维升华,跟踪训练1 从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件： 至少有1个白球与至少有1个黄球； 至少有1个黄球与都是黄球； 恰有1个白球与恰有1个黄球； 恰有1个白球与都是黄球. 其中互斥而不对立的事件共有_组.,答案,解析,1,中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，中的两个事件不是互斥事件. 中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥. 中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件. 中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件.,题型二 随机事件的频率与概率,例2 (2016全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：,随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：,(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；,解答,事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.,故P(A)的估计值为0.55.,(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；,解答,事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.,故P(B)的估计值为0.3.,(3)求续保人本年度的平均保费的估计值.,解答,由所给数据得,调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.,(1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值. (2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.,思维升华,跟踪训练2 (2015北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.,(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；,解答,从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，,(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；,解答,从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品. 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为,0.3.,(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？,解答,与(1)同理，可得： 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 0.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.,题型三 互斥事件、对立事件的概率,命题点1 互斥事件的概率 例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？,解答,方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有,又总球数是12，所以绿球有12453(个).,又得到黄球或绿球的概率也是 ，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有532(个). 所以黑球有124323(个),命题点2 对立事件的概率 例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)；,解答,(2)1张奖券的中奖概率；,解答,1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖. 设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC. A，B，C两两互斥， P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C),(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.,解答,设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，,求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.,思维升华,跟踪训练3 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：,求：(1)至多2人排队等候的概率；,解答,记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥. 记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC， 所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C) 0.10.160.30.56.,(2)至少3人排队等候的概率.,解答,方法一 记“至少3人排队等候”为事件H， 则HDEF， 所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44. 方法二 记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G， 所以P(H)1P(G)0.44.,用正难则反思想求互斥事件的概率,思想与方法系列24,典例 (14分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.,已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间 2分钟的概率.(将频率视为概率),思想方法指导,规范解答,若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解.,返回,解 (1)由已知得25y1055，x3045， 所以x15，y20. 2分 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为,返回,(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得,10分,返回,课时作业,1.(2016宿迁模拟)甲、乙两人下棋，若甲获胜的概率为 ，甲、乙下成和棋的概率为 ，则乙不输棋的概率为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球. 在上述事件中，是对立事件的为_.,答案,解析,至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生. 中两事件是对立事件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,是_.,3.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是 ，都是白子的概率是 ，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率,答案,解析,设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C， 则CAB，且事件A与B互斥.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016常州模拟)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是_. AB与C是互斥事件，也是对立事件； BC与D是互斥事件，也是对立事件； AC与BD是互斥事件，但不是对立事件； A与BCD是互斥事件，也是对立事件.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由于A，B，C，D彼此互斥，且ABCD是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,5.从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在30,40克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为_.,由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为10.30.50.2， 又0.50.20.7， 重量不小于30克的概率为0.7.,0.7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.从存放的号码分别为1,2,3，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：,答案,解析,则取到号码为奇数的卡片的频率是_.,取到号码为奇数的卡片的次数为1356181153， 则所求的频率为 0.53.,0.53,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： 在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； 在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； 在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品. 其中_是必然事件；_是不可能事件；_是随机事件.,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016苏州模拟)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_.,答案,解析,0.25,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为 0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)2a，P(B)4a5，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.(2016江苏苏州五中期中)一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为_.,记事件A，B，C分别是摸出红球，白球和黑球，则A，B，C互为互斥事件且P(AB)0.58，P(AC)0.62，所以P(C)1P(AB)0.42，P(B)1P(AC)0.38，P(A)1P(C)P(B)10.380.420.2.,0.2,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：,(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为 4 000元”，以频率估计概率得,由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为 0.24，由频率估计概率得P(C)0.24.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2016北京)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：,(1)试估计C班的学生人数；,由题意及分层抽样可知，C班学生人数约为,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i1,2，5， 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j1,2，8.,设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”， 由题意知， EA1C1A1C2A2C