广东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：立体几何.doc

广东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练立体几何一、选择、填空题1、（2016年全国I卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17 （B）18 （C）20 （D）28 2、（2016年全国I卷）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为（A） （B） （C） （D）3、（2015年全国I卷）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛4、（2015年全国I卷）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（A）1（B）2（C）4（D）85、（2016年全国II卷）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20 （B）24 （C）28 （D）326、（佛山市2016届高三二模）已知一个几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的体积为( )ABCD27、（广州市2016届高三二模）如图, 网格纸上的小正方形的边长为, 粗实线画出 的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是(A) (B) (C) (D) 8、（茂名市2016届高三二模）若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ( ) A. B. C D9、（汕头市2016届高三二模）已知正三棱锥的六条棱长都为，则它的外接球的体积为 ( )A. B. C. D. 10、（深圳市2016届高三二模）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ ）A B C D11、（汕头市2016届高三上期末）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：若，则； 若，则； 若，则； 若，且，则，其中真命题的个数是 （ ） A0B1C2D312、（汕尾市2016届高三上期末）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 ( )二、解答题1、（2016年全国I卷）ABFEDC如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是（I）证明平面ABEFEFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值2、（2016年全国II卷）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到的位置.（I）证明：平面ABCD；（II）求二面角的正弦值.3、（2015年全国I卷）如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）证明：平面AEC平面AFC（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 4、（2014年全国I卷）如图三棱柱中，侧面为菱形，.() 证明：；（）若，AB=BC求二面角的余弦值.5、（佛山市2016届高三二模）如图，在直四棱柱中，（1）求证：平面平面；（2）若,直线BC与平面A1BD所成的角能否为45？并说明理由6、（广州市2016届高三二模）如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形， ，平面平面，平面. ()求证：； ()若，求直线与平面所成角的正弦值.7、（茂名市2016届高三二模）如图1，已知四边形为菱形，且,为 的中点。现将四边形沿折起至，如图2。（I）求证：（II）若二面角的大小为，求平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值。8、（深圳市2016届高三二模）在三棱柱中，侧面是边长为的正方体点分别在线段上，且（1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值9、（潮州市2016届高三上期末）如图，在四棱锥BACDE中，AE平面ABC，CDAE，ABC3BAC90，BFAC于F，AC4CD4，AE3。（I）求证：BEDF；（II）求二面角BDEF的平面角的余弦值。10、（佛山市2016届高三教学质量检测（一）如图，三棱柱中，侧面侧面，为棱的中点，在棱上，面（1）求证：为的中点；（2）求二面角的余弦值11、（惠州市2016届高三第三次调研考试）如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，分别是的中点。（）证明：平面；（）取，若为上的动点，与面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。参考答案一、选择、填空题1、【答案】A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是，故选A2、【答案】A如图所示：，若设平面平面，则又平面平面，结合平面平面，故同理可得：故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小而（均为面对交线），因此，即故选A3、【答案】B考点：圆锥的体积公式4、【答案】B5、【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为由图得，由勾股定理得：，故选C6、B 7、B 8、答案A，提示：由几何体的三视图知它是底面是正方形且有一侧棱垂于底面的四棱锥，可把它补成一个长方体，所以，它的外接球表面积为 9、A10.【答案】D【解析】该几何体的直观图，如图：，11、C12、A二、解答题1、为正方形面面平面平面由知平面平面平面平面面面四边形为等腰梯形以为原点，如图建立坐标系，设 ，设面法向量为.，即设面法向量为.即设二面角的大小为.二面角的余弦值为2、【解析】证明：，四边形为菱形，；又，又，面建立如图坐标系，设面法向量，由得，取，同理可得面的法向量，3、【答案】（）见解析（），EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. 6分（）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得A（0，0），E(1,0, )，F（1,0，），C（0，0），=（1，），=（-1，-，）.10分故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. 12分考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力4、【解析】：()连结，交于O，连结AO因为侧面为菱形，所以，且O为与的中点又，所以平面，故=又，故 6分（）因为且O为的中点，所以AO=CO=又因为AB=BC=，所以故OAOB，从而OA，OB，两两互相垂直以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-因为，所以为等边三角形又AB=BC=，则，设是平面的法向量，则，即 所以可取设是平面的法向量，则，同理可取则，所以二面角的余弦值为.5、【解析】（1）证明：， 为正三角形， ,为公共边，,四棱柱是直四棱柱，平面，平面平面，平面平面（2） 设ACBD= O ,以O为原点,建立空间直角坐标系O- xyz 如图所示,不妨设 AB = 2 , AA1 = h ( h 0 ),则 OA = , OB = OD = OC = 1 ,设平面 A1 BD 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则若直线BC 与平面 A1 BD 所成的角为45 ,则故直线BC 与平面 A1 BD 所成的角不可能为45 .12 分6、()证明：取的中点,连接,. 是等边三角形， . 1分 是等腰直角三角形， . 2分 平面平面，平面平面，平面， 平面. 3分 平面, . ,四点共面. 4分 ,平面,平面, 平面. 5分 平面, . 6分()解法1: 作,垂足为,则. 是等边三角形，, ,. 在Rt中, .7分 是等腰直角三角形， . 8分如图,以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴, 所在直线为轴,建立空间直角坐标系,则,. ,.设平面的法向量为,由,得 9分令,得,. 是平面的一个法向量. 10分设直线与平面所成角为,则. 11分直线与平面所成角的正弦值为. 12分解法2: 作,垂足为,则. 是等边三角形，, ,. 在Rt中, . 7分 是等腰直角三角形， .8分 由()知， 平面,平面, 平面. 点到平面的距离等于点到平面的距离.作,垂足为,平面，平面，.平面,平面,平面,且. 9分在Rt中, 在Rt中, 的面积为.设点到平面的距离为,由, 得,得. 10分设直线与平面所成的角为,则. 11分直线与平面所成角的正弦值为. 12分注:求的另法.由,得,得.7、解：(1)证明: 四边形为菱形，且 1分 又 3分 又4分5分 (注：三个条件中，每少一个扣1分)(2)解法一:以点为坐标原点,分别以线段所在直线为轴,再以过点且垂直于平面且向上的直线为轴,建立空间直角坐标系如图所示.平面,为二面角的一个平面角,6分则,7分则.设,则由得 解得8分那么.设平面的法向量为,则,即.即. 9分而平面的一个法向量为. 10分设平面与平面所成锐二面角的大小为 则. 11分所以平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为12分解法二:分别取中点,连结.由平面,可知为二面角的平面角,即有.6分 为中点,.,平面.则以点为坐标原点,分别以直线为轴,建立空间直角坐标系,如右图.则由条件,易得,.7分再设,而,则由,有,得.由,可得.将带入,可得,即,8分则.而,设平面法向量为,则,即.令,得,即.9分而平面的一个法向量为.10分设平面与平面所成锐二面角的大小为 则.11分所以平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为12分解法三:过点作且至点,延长至点,使.连结,则为三棱柱.延长交于点,连结由三棱柱性质,易知,则平面.过点作于点,过作于点.平面,平面,即,.,平面,故为平面与平面所成锐二面角的一个平面角,即为平面与平面所成锐二面角的一个平面角. 8分易得,即为正三角形.,.,则,故.,.故,11分即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.12分8、【解析】（1）取线段中点，连接， 在正方体中， 在和中， 又， ， 从而， ，即 又， 平面， 平面， ， 在等腰三角形中，又与相交，知平面，平面，平面平面；（2）在等腰三角形中，由知，且，记线段中点为，连接，由（1）知，两两互相垂直，以为坐标原点，分别以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，取，则，从而得到平面的一个法向量，记直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为9、方法一：（）证明：AE平面ABC，平面ABCAEBF，BFAC，BF平面AEC，平面AEC，BFDF，.2分，又，又BFAC，又CDAE，AE平面ABC，CD平面ABC又平面ABCCDAC，又，即DFEF.4分又，BF、平面BEFDF平面BEF，平面BEFDFBE；6分（）如图，过点作于点，连接由（）知BF平面AEC，又平面AEC，(所以又，、平面，所以平面又平面，)所以(三垂线定理)故二面角的平面角8分在中，在中，.9分在中，由得10分在中，在中，11分所以二面角的平面角的余弦值为. .12分方法二：过F作，由AE平面ABC可知Fz平面ABC，又、平面ABC，于是，又BFAC，BF、AC、Fz两两垂直以F为原点，FA、FB、Fz依次为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）7分由()可得于是，由()知是平面的一个法向量设是平面BDE的一个法向量，则 取，得到10分，11分又二面角是锐二面角二面角的平面角的余弦值为. .12分方法二：()证明：过F作，由AE平面ABC可知Fz平面ABC，又、平面ABC，于是，又BFAC，BF、AC、Fz两两垂直 以F为原点，FA、FB、Fz依次为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）1分， 3分于是， 故 所以DFBE.6分；()由()知，于是，所以，又FBAC 所以是平面的一个法向量.8分设是平面BDE的一个法向量，则 取，得到.10分 又二面角是锐二面角 二面角的平面角的余弦值为. 12分10、【解析】向量法()连结,因为为正三角形,为棱的中点, 所以,从而,又面面,面面,面,所以面.1分以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,2分不妨设,则,设,则,3分因为平面,平面,所以,所以,解得,即,所以为的中点.5分 (), 设平面的法向量为,则,即,解得, 令,得,9分 显然平面的一个法向量为,10分 所以,所以二面角的余弦值为.12分传统法()设,由,所以,因为平面,平面,所以,从而,所以,所以,故,所以为的中点.5分()连结,由可得为正三角形,取中点,连结,则, 因为面面,面面,面,所以面.7分作于,连结,则,所以是二面角的平面角.9分经计算得,所以二面角的余弦值为.12分11、解：（）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形，因为为的中点，所以（1分） 又，因此 （2分）因为平面，平面，所以 （3分）而平面，平面，所以平面 （5分）（）（法1：为上任意一点，连接由（1）知平面，则为与平面所成的角 （6分）在中，所以当最短时，即当时，最大，