电路方程矩阵形式列写的思考与教学实践.doc

电路方程矩阵形式列写的思考与教学实践刘健 刘良成（合肥工业大学电气与自动化工程学院 合肥 安徽 230009）摘要：本文对于目前通用电路理论教材中的有关电路方程的矩阵列写问题，通过多年教学实践，总结并得出一种采用扩展矩阵的方法，通过本文介绍与大家共同探讨。关键词：拓扑矩阵 电路方程的矩阵形式 扩展矩阵 改进法1前言电路方程的矩阵形式，是电路理论基础中一个结合网络图论方法、矩阵分析数学工具等的的方法对电路进行系统化分析，来研究网络结构复杂、难以手工观察法分析计算的问题，属于近代电路理论朝计算机辅助设计分析方向发展的产物。在目前通用的电路12教材中，常规的是先对拓扑矩阵一一介绍过程，然后再联系电路分析的基本方法如节点法、支路法、回路法来一一介绍列写电路方程矩阵的方法；教材3在此方面有较好的处理，通过定义复合支路的办法来列些方程，但是复合支路的定义有较多的补充的特例；因此较多情况下教学中按照选学内容来安排的。由于该内容是作为后续相关课程的重要引导和提示，我们在教学中一直都是作为必学知识来讲授的。通过多年的教学实践和总结，我们利用得出的一种扩展矩阵的方法，进行教学，效果不错，本文在此介绍，并与大家共同探讨。2拓扑矩阵与扩展矩阵电路的矩阵是先由电路图结构（托扑结构）定义出几个拓扑矩阵：（降阶）关联矩阵A、回路矩阵B（基本回路矩阵Bf）、割集矩阵Q（基本割集矩阵Qf）123，然后结合电路基本分析方法的节点法、回路法等知识，把这些拓扑矩阵应用到支路内容方程中，形成一电路方程组，称为电路方程的矩阵形式。关于拓扑矩阵，通用教材中都明确的定义了，这里不再赘述。所谓扩展矩阵，是这样的一个定义：先设定电路中每个二端元件均为一条支路（对于二端口类元件如理想变压器、耦合电感、线性受控源等先部考虑），把纯电压源支路编号按照E1，E2，E3，En等顺序列出；再把所有是阻抗（R、L、C）元件的支路编号用n+1，n+2，n+3，n+m等顺序列出；而把纯电流源支路编号按照In+m+1，I n+m+2，I n+m+2，等顺序列出；这样把所有支路定义后，再针对支路与节点、支路与回路、支路与割集关联情况，可以得出三类拓扑矩阵的扩展矩阵，区别在于把扩展矩阵带有“a”下标。看下面的例子：列写图1（a）所示电路的扩展割集矩阵。3+uS1-IS87654218c483 165427c2c3c1(a) 电路图(b) 基本割集00图1解 按照上述规则可得电路的图G，其中支路1、2、3、4作为树支，c1、c2、c3、c4为对应的基本割集，如图（b）所示。扩展的割集矩阵为 式中和分别与电压源和电流源支路有关。3用扩展矩阵在列些方程矩阵形式（1）结点电压方程的矩阵形式图2G1IS9(a)电路图G40IS8L3L2C 6C570935214168(b) 有向图GIs7由于电压源与电流源可以互为等效变换，以下仅讨论电流源作用的电路。在结点法中，第k个无源元件支路的电压、电流关系可写成YkUk = Ik。对图2（a）所示电路，所有无源元件支路的电压、电流关系可表示为 或简写为 （1）其中为对角矩阵，称为无源支路导纳矩阵，和分别为无源元件的支路电压向量和支路电流向量。由相应的G图，如图2（b）所示，先对无源支路编号，再对电流源支路编号，可建立扩展的关联矩阵 （2）其中，分成两部分，对应无源支路，对应电流源支路，KCL方程可写为其中，是电流源支路的电流向量，并有 将式（1）代入上式可得 （3）又由KVL方程 式中，为独立结点电压向量，令，其中和分别为无源支路和电流源支路的电压向量，则 或写成 （4） 由上式可知，若结点电压已知，则电流源端电压就可确定。又由式（3）和式（4）得结点电压方程的矩阵形式为或 （5）其中 （6）式中称为结点导纳矩阵，称为等效的结点电流源向量。所以列写图2电路的结点电压方程，有由式（1）和式（2）可得、和，则结点导纳矩阵为 结点电流源向量为最后，求解式（5）可得结点电压。（2）回路电流方程的矩阵形式设所有独立电流源可等效成独立电压源，每个无源元件可用阻抗描述。第k个无源支路的关系为ZkIk = Uk，则整个电路的无源支路关系可用矩阵表示为 （7）式中，称为无源支路阻抗矩阵，和分别为无源支路的电流和电压向量。例如，由图3所示的电路，可得无源支路关系矩阵采用与上节类似的方法，建立扩展的回路矩阵 （8）由 （9）或 其中，是电压源支路电压向量。将式（7）代入上式，得 （10）又因为 或用分解的子矩阵表示即 （11） （12）式中，是电压源支路电流向量，若回路电流已知，则可由式（11）求得。将式（12）代入式（10）得回路电流方程的矩阵形式 或缩写为 （13）图 3+ E3 -+E1-+ E2 -R 1L5C2L4(a) 电路图C3C66(b) 图G3 4E1152E2E3l3l2l1式中，称为回路阻抗矩阵，称为等效的回路电压源向量。由式（13）可解得回路电流。例如推导图3所示电路的回路阻抗矩阵和回路电压源向量。 解 由式（8）和式（9）可分别得和，从而 等效的回路电压源向量为4改进法与推广以上几种方法都存在不足，例如在应用结点电压法列方程时，由于有些元件的约束方程不存在导纳形式，如无伴电压源，运算放大器，变压器，VCVS和CCVS等元件。而且为了便于数值计算，电感通常写成阻抗的形式，这样可使得s或j在分子上。因而，前面所介绍的结点电压法需要加以改进。下面介绍一种较为实用的方法改进的结点法。改进的结点法对导纳支路是以结点电压为变量，而对其它支路是以支路电流为变量。将支路分类，一组为导纳形式，另一组为阻抗形式，并适当编号，KCL方程写为 （14）其中对应于用导纳表示的支路电流向量，对应于用阻抗表示的支路电流向量，为电流源向量。同理，KVL也可写成 或 （15） （16）由式（14）得将相应的导纳支路关系或代入上式，得 （17）更一般的支路关系可表示为 （18）式中，中可以包括独立源、电感或电容的初始条件。例如第k个支路为电感，以阻抗形式表示为 其中I0为电感的初始值。又如第k支路为电压源，则表示为 由式（14），可将式（17）写为 （19）将式（16）和（18）写成矩阵形式，得到改进的结点方程 令 则有 式中，为结点导纳矩阵，为等效的结点电流源向量。例4 列写图4所示电路改进的结点方程。设电感电流初始值为I0，电容电压初始值为零。图40342511(b)有向图G+E-(a) 电路图G10L3C1C2解 将电路分类，由电导和电容构成的支路导纳矩阵为电感和无伴电压源的支路关系写成式（13-26）的形式，有式中，IL和IE分别为电感和电压源支路电流，并可知 ，由图G可得关联矩阵则最后，写成式（13-28）的形式，即改进的结点方程(b) 图G+u6-+ u7= u6-+E-IS8IS9C4C3G2G1987654321图5(a) 电路图例5 用改进的结点法列写图5所示电路的结点方程。解 由图G可得关联矩阵为支路导纳矩阵为结点导纳矩阵为由电压源和受控源构成的支路关系为（设电容初始值为零）及电流源向量为 ，并有最后得5结论本文是基于电路理论分析课程中关于如何列写电路方程的矩阵形式，把教学中积累的认识和教学实践中所做的思考，总结归纳出一种方法，并在多年的教学实践中得到学生好评，教学效果优良，有助于学生从数学矩阵角度掌握电路知识。【参考文献】1. 李瀚荪，电路分析基础（第三版）（上册），1992，北京，高等教育出版社。2. 范承志、江传桂等，电路原理，2001，北京，机械工业出版社。3. 邱关源，电路（第四版），1999，北京，高等教育出版社。4.