犀牛和Alias的建模核心NURBS的由来和意义.doc

犀牛和Alias的建模核心 NURBS 的由来和意义NURBS这个字的由来NURBS 是 Non-Uniform Rational B Spline ( 非均匀有理 B 样条曲线 ) 的缩写， NURBS 可用于描述 3D 几何图形。使用 NURBS 描述 3D 几何图形的优点NURBS 几何图形有五个重要的特质，这些特质让它成为计算机辅助建模的理想选择。目前有许多交换 NURBS 几何图形的标准，用户可以在许多建模、渲染、动画、工程分析程序中移动宝贵的模型，而且以 NURBS 保存的几何图形在二十年后仍然可以使用。NURBS 有精确及广为人知的特质，各主要的大学也都有教授 NURBS 几何图形数学及计算机科学的课程，这代表专业软件厂商、工程团队、工业设计公司及动画公司可以找到受过 NURBS 程序训练的程序设什师。NURBS 可以精确地描述标准的几何图形 ( 直线、圆、椭圆、球体、环状体 ) 及自由造型的几何图形 ( 车身、人体 )。以 NURBS 描述的几何图形所需的数据量远比一般的网格形式要少。NURBS 的计算规则可以有效并精确地在计算机上执行，下面将会继续讨论。什么是 NURBS 几何图形?有许多方式可以回答这个问题，如果您对数学方程式有兴趣，您可以在 openNURBS网站(/books.htmRhino以 NURBS 描述曲线及曲面，NURBS 曲线和曲面有非常类似的特性，并且共享许多专有名词。Rhino 的曲面结构和以下会提到的曲线结构非常类似，因为曲线比较容易描述，我们将会详细地解说曲线结构 。NURBS 曲线是由以下四项所定义：阶数、控制点、节点及估计法则。阶数 ( Degree ) 是正整数。这个数字常用到的是 1、2、3 或 5，Rhino 的直线和多重直线的阶数是 1，圆的阶数是 2，大部分自由造型曲线的阶数是 3 或 5。Rhino 可以让您以阶数 1 到 11 的 NURBS 工作。有时候，Rhino 会用到线性、二次方、三次方或五次方等术语，线性表示阶数为 1、二次方表示阶数为 2、三次方表示阶数为 3、五次方表示阶数为 5。您也可能会看到某些地方提及 NURBS 曲线的次数 ( Order )，一条 NURBS 曲线的次数等于 ( 阶数 + 1 ) 的正整数，所以阶数也等于 ( 次数 - 1 )。提高 NURBS 曲线的阶数可以不改变曲线的形状，但通常降低曲线的阶数一定会改变曲线的形状。控制点是一个点的列表，控制点的最小数目是 ( 阶数 + 1 )。改变 NURBS 曲线形状最简单的方法之一是移动控制点，Rhino 有几种移动控制点的方式，您可以使用鼠标移动控制点对曲线形状做大幅度的自由调整，也可以使用其它专门设计的微调工具。每个控制点都带有一个数字 ( 权值 )，除了少数的特例以外，权值大多是正数。当一条曲线所有的控制点有相同的权值时 ( 通常是 1 )，称为非有理 ( Non-Rational ) 曲线，否则称为有理 ( Rational ) 曲线。NURBS 的 R 代表有理，意味着一条 NURBS 曲线有可能是有理的。在实际情况中，大部分的 NURBS 曲线是非有理的, 但有些 NURBS 曲线永远是有理的，圆和椭圆是最明显的例子。Rhino 也有检查和 改变控制点权值的工具。节点 ( Knot ) 是一个 ( 阶数 + N - 1 ) 的数字列表，N 代表控制点数目。有时候这个列表上的数字也称为节点向量 ( Knot Vector )，这里的向量并不是指 3D 方向。节点列表上的数字必须符合几个条件，确定条件是否符合的标准方式是在列表上往下时，数字必需维持不变或变大，而且数字重复的次数不可以比阶数大。例如，阶数 3 有 15 个控制点的 NURBS 曲线， 列表数字为 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 是一个符合条件的节点列表。列表数字为 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 则不符合，因为此 列表中有四个 2，而四比阶数大 ( 阶数为 3 )。节点值重复的次数称为节点的重数 ( Multiplicity )，在上面例子中符合条件的节点列表中，节点值 0 的重数值为三；节点值 1 的重数值为一；节点值 2 的重数为三；节点值 7 的重数值为二；节点值 9 的重数值为三。如果节点值重复的次数和阶数一样，该节点值称为 全复节点 ( Full-Multiplicity Knot )。在上面的例子中，节点值 0、2、9 有完整的重数，只出现一次的节点值称为单纯节点 ( Simple Knot )，节点值 1 和 3 为单纯节点。如果在节点列表中是以全复节点开始，接下来是单纯节点，再以全复节点结束，而且节点值为等差，称为一致 ( Uniform )。例如，如果阶数为 3 有 7 个控制点的 NURBS 曲线，其节点值为 0,0,0,1,2,3,4,4,4，那么该曲线有一致的节点。如果节点值是 0,0,0,1,2,5,6,6,6 不是一致的，称为非一致 ( Non-Uniform )。在 NURBS 的 NU 代表“非一致”，意味着在一条 NURBS 曲线中节点可以是非一致的。在节点值列表中段有重复节点值的 NURBS 曲线比较不平滑，最不平滑的情况是节点列表中段出现全复节点，代表曲线上有锐角控制点和节点是一对一成对的是常见的错误概念，这种情况只发生在 1 阶的 NURBS ( 多重直线 )。较高阶数的 NURBS 的每 ( 2 x 阶数 ) 个节点是一个群组，每 ( 阶数 + 1 ) 个控制点是一个群组。例如，一条 3 阶 7 个控制点的 NURBS 曲线，节点是 0,0,0,1,2,5,8,8,8，前四个控制点是对应到前六个节点；第二到第五个控制点是对应到第二到第七个节点 0,0,1,2,5,8；第三到第六个控制点是对应到第三到第八个节点 0,1,2,5,8,8；最后四个控制点是对应 到最后六个节点。某些建模软件使用较旧的 NURBS 估计算法，该算法需要额外的两个节点值，总数为 ( 阶数 + N + 1 ) 个节点。当 Rhino 导出或导入这种类型的 NURBS 几何图形时会自动加入或删除两个节点。输入一个数字到 NURBS 估计法则使用的数学方程式会得到一个点。该方程式涉及阶数、控制点、节点，并含有某些 B-样条线基础函数 ( B-spline basis functions )。NURBS 的 BS 代表 B-样条曲线 ( B-Spline )。NURBS 的估计法则是由参数开始，您可以将估计法则视为一个黑盒子，每当这个黑盒子吃进一个参数就会产生一个点，而黑盒子如何运作是阶数、节点、控制点所控制。Rhino 有一些估计工具可以让您选取一条 NURBS 曲线，输入