二面角求法大全讲义.doc

二面角求法之面面观求解二面角是立体几何中最基本最重要的题型,也是各地高考中的“热点”问题,虽然对此可说是“千锤百炼”,但我们必须面对新的情境新的变化,如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说,求解二面角的大体步骤为:“作证求”.其中“作证”是关键也是难点,“求”依靠的计算,也决不能忽视,否则因小失大,功亏一篑,也是十分遗憾之事.1 定义法即在二面角的棱上找一点,在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”,万变不离其宗,“树高千尺,叶落归根”,求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”!.DB1图1AOA1CBD1C1O1例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角A-BD-C1的正切值为 .分析与略解:“小题”不必“大做”,由图1知所求二面角为二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念,但通过几何直观又很容易理解其意义,这就叫做直觉思维,在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知COC1是二面角C-BD-C1的平面角,且tanCOC1=将题目略作变化,二面角A1-BD-C1的余弦值为 .在图1中,A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角,设出正方体的棱长,用余弦定理易求得MAFA1QPBCECBPEF图2(2)图2(1)QcosA1OC1=例2(2006年江苏试题)如图2(1),在正三角形ABC中,EFP分别是ABACBC上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:BP=1:2.如图2(2),将AEF折起到A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1BA1P.()与()略;()求二面角B-A1P-F的余弦值分析与略解:在例1中,图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用,在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点Q,连接EQ,则在正三角形ABC中,很容易证得BEQPEQPEFAEF,那么在图2(2)中,有A1Q=A1F.作FMA1P于M,连接QHQF,则易得A1QPA1FP,QMPFMP,所以PMQ=PMF=90o,QMF为二面角B-A1P-F的平面角,使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3,依次可求得A1P=,QM=FM=,在QMF中,由余弦定理得cosQMF=练习:2011广东高考理18.(本小题满分13分) 如图5.在锥体P-ABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且DAB=60,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点.PABCDFGPABCDFE(1) 证明:AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.解:(2) 由(1)知为二面角的平面角,在中,;在中,;在中,.2 三垂线法这是最典型也是最常用的方法,当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.A图3PBl此法最基本的一个模型为:如图3,设锐二面角,过面内一点P作PA于A,作ABl于B,连接PB,由三垂线定理得PBl,则PBA为二面角的平面角,故称此法为三垂线法.最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角,再在该角所在的三角形(最好是直角三角形,如图3中的RtPAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法,锐角的补角不就是钝角吗?图4B1AA1BlEF例3(2006年陕西试题)如图4,平面平面,=l,A,B,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=,求:()略;()二面角A1-AB-B1的正弦值.分析与略解:所求二面角的棱为AB,不像图3的那样一看就明白的状态,但本质却是一样的,对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A1EAB1于AB1于E,则可证A1E平面AB1B.过E作EFAB交AB于F,连接A1F,则得A1FAB,A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=,A1B=,A1E=,A1F=,则在RtA1EF中,sinA1FE=.与图3中的RtPAB比较,这里的RtA1EF就发生了“变形”和“变位”,所以要有应对各种变化,乃至更复杂变化的思想准备.3 垂面法P图5lCBA事实上,图1中的平面COC1图2(2)中的平面QMF图3中的平面PAB图4中的平面A1FE都是相关二面角棱的垂面,这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.例4空间的点P到二面角的面及棱l的距离分别为43,求二面角的大小.分析与略解:如图5,分别作PA于A,PB于B,则易知l平面PAB,设l平面PAB=C,连接PC,则lPC.分别在RtPACRtPBC中,PC=,PA=4,PB=3,则AC=,BC=.因为PACB四点共圆,且PC为直径,设PC=2R,二面角的大小为.分别在PABABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos=PA2+PB2-2PAPBcos(),则可解得cos=,=120o,二面角的大小为120o.4 面积法如图1,设二面角C-BD-C1的大小为,则在RtCOC1中,cos,在某些情况下用此法特别方便.例5 如图6,平面外的A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC,且AA1=2,BB1=3,CC1=4,求A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的余弦值分析与略解:问题的情境很容易使人想到用面积法,分别在BB1CC1取BD=CE=AA1,DAM图6ECBC1A1B1HG则A1B1C1A1DE,可求得A1B=,A1C1=,B1C1=,所以等腰A1B1C1的面积为,又正ABC的面积为.设所求二面角的大小为,则cos=.5 变式二面角的求法以上列举了求解二面角的四种基本方法,但在现实中,问题往往不是那么简单与单纯,而是有诸多的变化,“源于基本方法,适应各种变化”就是我们总的策略.5.1 “无棱”二面角的求法严格地说,任何二面角都是有棱的,“无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对于这样的问题,有两种处理办法:(1)用面积法,见例5;(2)找出隐含的棱,此法可称为“找棱法”.在例5中,延长C1B1和C1A1分别交CB和CA的延长线于GH,连GH.作CMGH于M,连C1M,C1MGH,则CMC1是所求二面角的平面角.由平几知识得CG=4,CH=2,则CGH的面积为,又CGH的面积为CHCM.又由余弦定理得GH=,所以CM=2,则在RtCMC1中,cos=.在原图中,面A1B1C1与的公共点都不知道,所以必须找出它们的两个公共点,才能找到二面角的棱;而在另一些问题中,知道两个面的一个公共点,那么只须再找出另一个公共点就可以了.面积法比找棱法似乎要简单些,但看问题不能简单化,例5的第二种解法是非常重要的一种方法,其中蕴涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的,所以决不要忽视找棱法.5.2 有关二面角的最值问题求最值是代数三角解几的“热点”问题,殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题.图7EDCBAl例6 二面角-l-的大小是变量,点BC在l上,AD分别在面内,且ADBC,AD与面成角,若ABC的面积为定值S,求BCD面积Q的最大值.分析与略解:如图