八年级数学下册17勾股定理教案新版.docx

第十七章勾股定理1.掌握勾股定理,能应用勾股定理进行简单的计算和实际应用.2.掌握勾股定理的逆定理(直角三角形的判定方法),会运用勾股定理逆定理解决相关问题.体验勾股定理的探索过程,经历观察猜想归纳验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.1.经历由情境引出问题,探索掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学数学、用数学的意识与能力.2.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情.本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用,教材从实践探索入手,给学生创设学习情境,接着研究直角三角形的勾股定理,介绍勾股定理的逆定理(直角三角形的判定方法),最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用.勾股定理是安排在学生学习了三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识之后,它反映了直角三角形三边之间一种美妙的数量关系,将数与形密切联系起来,在几何学中占有非常重要的位置,在理论和实践上都有广泛的应用.勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法.在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中,勾股定理知识将得到更重要的应用.【重点】会灵活运用勾股定理进行计算及解决一些实际问题,掌握勾股定理的逆定理的内容及其证明过程,并会应用其解决一些实际问题.【难点】掌握勾股定理的探索过程及适用范围,理解勾股定理及其逆定理.1.注重使学生经历探索勾股定理等过程.本章从实践探索入手,创设学习情境,研究勾股定理及它的逆定理,并运用于解决一些简单的数学问题与实际问题.在整个学习过程中应注意培养学生的自主探索精神,提高合作交流能力和解决实际问题的能力.2.注重创设丰富的现实情境,体现勾股定理及其逆定理的广泛应用.本章对勾股定理的探索就来源于生活,勾股定理的应用又直接应用于生活.因此,在探索、验证、应用等各阶段都应更多地设置与生活密切联系的现实情境,使学生能根据生活经验比较好地进行勾股定理应用的建模过程.教学时可更多地利用多媒体辅助教学手段,以丰富课堂教学.3.尽可能地介绍有关勾股定理的历史,体现其文化价值.与勾股定理有关的背景知识丰富,在教学中,应注意展现与勾股定理有关的背景知识,使学生对勾股定理的发展过程有所了解,感受勾股定理的丰富文化内涵,激发学生的学习兴趣.特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就,激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情,培养他们的民族自豪感,同时教育学生发奋图强,努力学习,为将来担负起振兴中华的重任打下基础.4.注意渗透数形结合的思想.数形结合是重要的数学思想方法,本章内容又恰是进行数形结合思想方法教学的较为理想的材料,因此,应强调通过图形找出直角三角形三边之间的关系,从而解决有关问题.17.1勾股定理3课时17.2勾股定理的逆定理1课时单元概括整合1课时17.1勾股定理1.掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理.2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.1.经历观察猜想归纳验证的数学发现过程.2.发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想,树立数形结合、分类讨论的意识.通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.【重点】知道勾股定理的内容,并能应用其进行简单的计算和实际运用.【难点】勾股定理的灵活运用.第课时1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.1.在勾股定理的探索过程中,经历观察猜想归纳验证的数学发现过程.2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.【重点】探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.【难点】用拼图的方法验证勾股定理.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】三角板、方格纸、三角形模型.导入一:国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议,被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.此图案就是大会会徽的图案.大会的会徽图案有什么特殊含义呢?这个图案与数学中的勾股定理有着密切的关系.中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.上述图案就揭示了“勾”“股”“弦”之间的特殊关系.我们学习过等腰三角形,知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形,它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方法,直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形,等腰直角三角形又是特殊的直角三角形,直角三角形的三边之间存在怎样的关系呢?我们的探究活动就从等腰直角三角形开始吧.设计意图勾股定理揭示的是特殊三角形的三边关系,从探索等腰直角三角形三边关系入手,揭示直角三角形的三边关系,体现了由特殊到一般的数学研究方法.导入二:请同学们认真观察课本封面和本章章前彩图,说一说封面和章前彩图中的图形表示什么意思?它们之间有联系吗?封面是我国公元3世纪汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的“弦图”,章前彩图是2002年世界数学家大会的会徽,大会的会徽使用的主体图案就是“赵爽弦图”.目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前,是非常了不起的成就.你知道为什么把这个图案作为这次大会的会徽吗?本节课,我们一起来解读图中的奥秘.设计意图以生活课本中的图案、故事导入,增强了趣味性,拉近了数学与生活的距离,激发了学生的民族自豪感和爱国情怀.导入三:如图所示,一座城墙高11.7 m,城墙外有一条宽为9 m的护城河,那么一架长为15 m的云梯能否达到城墙的顶端?这就是我们今天所要学习的内容,一个非常重要的定理“勾股定理”.设计意图以学生熟悉的生活情境作为教学活动的切入点,使学生对问题产生兴趣.让学生主动去分析,发现,亲身体验,产生学习“勾股定理”的主观愿望.1.探索勾股定理(1)探索等腰直角三角形三边之间的关系.过渡语(如教材第22页图)相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.师:这个地面图案中有大大小小、各种“姿势”的正方形.毕达哥拉斯在这些正方形中发现了什么呢?(出示教材图17.1 - 2)(1)问题提出:在图17.1 - 2中,是以等腰直角三角形三边为边长的三个正方形.这三个正方形面积之间存在怎样的关系?三个正方形之间的面积关系说明了什么?(2)学生活动:质疑、猜测、探索、交流三个正方形面积之间的关系.学生的探索方法可能是:通过数正方形内等腰直角三角形个数的办法,得出两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.(3)教师总结:通过直接数等腰直角三角形的个数,或者用割补的方法将小正方形中的等腰直角三角形补成一个大正方形,得出结论:小正方形的面积之和等于大正方形的面积,也就是等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.追问:在图17.1 - 2中,如果选取更大的等腰直角三角形,按照同样的方法作三个正方形,这三个正方形的面积关系还一样吗?如图所示.设计意图这个探索活动是学习、探索勾股定理的基础.借助三个正方形面积之间的关系,探索等腰直角三角形三边的数量关系,这是本活动的出发点.提出追问的问题,有助于学生的认识上升到整个直角三角形的一般性的高度,也为学生有个性的创意活动搭建了平台.(2)探索具体边长的非等腰直角三角形三边之间的关系.思路一过渡语除了等腰直角三角形之外,一些特殊边长的直角三角形,还有斜边的平方等于两条直角边的平方和的规律吗?(出示教材图17.1 - 3)提出问题:(结合带提示的下图)1.正方形A,B,C的面积分别是多少?它们之间的数量关系说明了什么?2.正方形A,B,C的面积分别是多少?它们之间的数量关系说明了什么?学生活动:依据教材探究的提示,根据直角三角形的边长,分别计算出正方形A,B,A,B的面积;再通过建立一个大正方形计算出正方形C,C的面积.探究提示:正方形A,B的面积分别为4和9,通过建立边长为5的正方形,计算出正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C的面积为13.同理,正方形A,B的面积分别为9和25,通过建立边长为8的正方形,计算出正方形C的面积为64减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C的面积为34.活动总结:直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.设计意图由特殊到一般,借助网格,利用面积割补法计算正方形的面积,探索直角三角形三边之间的关系,为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础,提供方法.思路二1.画一个两直角边长分别为3 cm和4 cm的直角三角形ABC,用刻度尺量出AB的长.再画一个两直角边长分别为5和12的直角三角形ABC,用刻度尺量AB的长.你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系?学生计算后发现:32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.学生讨论:对于任意的直角三角形,也有这个性质吗?2.如图所示,每个小方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A,B,C的面积,看看能得出什么结论.A的面积B的面积C的面积左上图16925右下图4913探究提示:右下图正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和12,也就是正方形C的面积为13.左上图亦是同样的思考方法.学生计算后发现:小正方形A,B的面积之和等于大正方形C的面积.追问:由以上你能得出什么结论?若直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,则a,b,c有什么关系?教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出:直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.数学表达式为:a2+b2=c2.设计意图通过学生画、量、算等形式,让学生在探究中发现结论,借助网格,利用面积割补法计算正方形的面积,探索直角三角形三边之间的关系,为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础,提供方法.2.勾股定理的证明教师提问:对于任意直角三角形三边之间应该有什么关系?教师引导学生猜想:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.追问:以上直角三角形的边长都是具体的数值,一般情况下,如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,我们的猜想仍然成立吗?思路一(出示教材图17.1 - 5)让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图所示的图形,利用面积证明.图中大正方形的面积是c2,直角三角形的面积是ab,中间正方形的面积为(b-a)2,则有c2=ab4+(b-a)2,即a2+b2=c2.教师适时介绍:这个图案是公元3世纪汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出:四个全等的直角三角形(朱实)可以按如图所示围成一个大正方形,中间部分是一个小正方形(黄实).我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形.教师在学生归纳基础上总结:直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.中国人称它为“勾股定理”,外国人称它为“毕达哥拉斯定理”.设计意图通过拼图活动,调动学生思维的积极性,为学生提供从事数学活动的机会,发展学生的形象思维,使学生对定理的理解更加深刻,体会数学中数形结合的思想.通过对赵爽弦图的介绍,了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献,增强民族自豪感.通过了解勾股定理的证明方法,增强学生学习数学的自信心.思路二学生利用拼图游戏验证定理,并思考:能用右图证明这个结论吗?已知:在ABC中,ACB=90,BAC,ABC,ACB的对边分别为a,b,c.求证:a2+b2=c2.(1)让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明.(2)拼成如图所示,其等量关系为4ab+(b-a)=c2,化简可证.(3)发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明.利用下面这些图也能证明这个结论吗?教师指导学生验证.我们证明了以上结论的正确性,我们就可称之为定理,这就是著名的“勾股定理”.请同学们用不同的表达方式(文字语言、符号语言)表述这一定理.勾股定理的名称介绍:3000多年前,我国古代有一个叫商高的人说:“把一根直尺折成直角,两端连接得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.因为勾股定理内容最早出现在商高的话中,所以又称“商高定理”.一千多年后,西方的毕达哥拉斯证明了此定理,因此又叫“毕达哥拉斯定理”,当时毕达哥拉斯学派为了纪念这一发现,杀了一百头牛庆功,故而还叫“百牛定理”.一个定理有如此多的“头衔”,可见勾股定理的不凡.设计意图通过拼图活动,充分调动学生的积极性,进一步激发学生的求知欲;通过借助不同图形探索证明,提高学生思维的活跃性;通过对赵爽弦图的介绍,了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献,增强民族自豪感.思路三过渡语以上猜想经过古今中外的人多次证明都是成立的.我国人称它为“勾股定理”,在西方,它被称作“毕达哥拉斯定理”.目前世界上可以查到证明勾股定理的方法不下500种.1876年,美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理.你也能完成证明过程吗?证明:以a,b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab.把这两个直角三角形拼成如图所示的形状,使A,E,B三点在一条直线上.RtEADRtCBE,ADE=BEC.AED+ADE=90,AED+BEC=90.DEC=180-90=90.DEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于c2.又DAE=90,EBC=90,ADBC.四边形ABCD是一个直角梯形,它的面积等于(a+b)2.(a+b)2=2ab+c2.a2+b2=c2.学生思考后,教师再展示证明过程.设计意图通过了解勾股定理的不同证明方法,丰富自己的知识;通过了解到古今中外无数人进行证明,激发学生学习数学的热情.知识拓展解决直角三角形有关计算和证明的问题时,要注意:(1)求直角三角形斜边上的高常运用勾股定理和面积关系式联合求解.(2)要证明线段的平方关系,首先考虑使用勾股定理,从图中寻找或构造包含所证线段的直角三角形,利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证.(3)由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b),b2=c2-a2=(c+a)(c-a)等.(4)在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2c2.3.例题讲解(补充)在直角三角形中,各边的长如图,求出未知边的长度.引导分析:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.通过对等式变形,可以得出直角三角形三边之间的关系:c=,b=,a=.解:(1)根据勾股定理,得AB=.(2)根据勾股定理,得AB=2.解题策略在直角三角形中,已知两边长,求第三边长,应用勾股定理求解,也可建立方程解决问题.(补充)有两边长分别为3 cm,4 cm的直角三角形,其第三边长为 cm.解析分情况讨论:当4 cm为直角边长时,当4 cm为斜边长时,依次求出答案即可.当4 cm是直角边长时,斜边=5(cm),此时第三边长为5 cm;当4 cm为斜边长时,第三边=(cm).综上可得第三边的长度为5 cm或 cm.故填5或.解题策略注意掌握勾股定理的表达式,分类讨论是解决此题的关键,难点在于容易漏解.师生共同回顾本节课所学主要内容:1.如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.2.注意事项:(1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.(2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错.(3)注意勾股定理公式的变形:在直角三角形中,已知任意两边长,可求第三边长,即c=,b=,a=.1.如图所示,字母B所代表的正方形的面积是()A.12B.13C.144D.194解析:根据勾股定理知,斜边长的平方等于两直角边长的平方和,则字母B所代表的正方形的面积等于以三角形斜边长为边长的正方形的面积减去以另一直角边长为边长的正方形的面积,即169-25=144.故选C.2.如图所示,若A=60,AC=20 m,则BC大约是(结果精确到0.1 m)()A.34.64 mB.34.6 mC.28.3 mD.17.3 m解析:A=60,C=90,B=30,AB=2AC,AC=20,AB=40,BC=2034.6(m).故选B.3.在RtABC中,C=90.(1)若a=3,b=4,则c=;(2)若b=6,c=10,则a=;(3)若a=5,c=13,则b=;(4)若a=1.5,b=2,则c=.解析:根据勾股定理计算即可.(1)c=5;(2)a=8;(3)b=12;(4)c=2.5.答案:(1)5(2)8(3)12(4)2.54.如图所示,RtABC中,C=90,AD平分CAB,DEAB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长;(2)求ADB的面积.解:(1)AD平分CAB,DEAB,C=90,CD=DE,CD=3,DE=3.(2)在RtABC中,由勾股定理得AB=10,SADB=ABDE=103=15.第1课时1.探索勾股定理2.勾股定理的证明3.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第24页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第1题.【选做题】完成教材第30页勾股定理的几种证法的证明过程.二、课后作业【基础巩固】1.在RtABC中,C=90,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是()A.B.C.D.2.如图所示,有一张直角三角形纸片,两直角边长分别为AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于()A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm3.(2015黑龙江中考)ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PDAB于点D,PEAC于点E,则PD+PE的长是()A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.54.如图所示,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到ABC,则ABC中BC边上的高是.【能力提升】5.若直角三角形的两直角边长为a,b,且满足+=0,则该直角三角形的斜边长为.6.如图所示,在ABD中,D=90,C是BD上一点,已知CB=9,AB=17,AC=10,求AD的长.7.在ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,求ABC的周长.8.(2014温州中考)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形按图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按如图(1)所示摆放,其中DAB=90,求证:a2+b2=c2.证明:连接DB,过点D作DFBC于F,则DF=EC=b-a.S四边形ADCB=SACD+SABC=b2+ab,又S四边形ADCB=SADB+SDCB=c2+a(b-a),b2+ab=c2+a(b-a).a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按如图(2)所示摆放,其中DAB=90,求证:a2+b2=c2.证明:连接.S五边形ACBED=,又S五边形ACBED=,.a2+b2=c2.【拓展探究】9.如图所示,在平面直角坐标系中,RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3,).点C的坐标为,点P为斜边OB上的一个动点,求PA+PC的最小值.【答案与解析】1.A(解析:如图所示,AC=9,BC=12,ACB=90,由勾股定理可得AB=15,再由等面积法可得912=15CD,CD=.故选A.)2.B(解析:由题意可知ACD和AED关于直线AD对称,因而有ACDAED,所以AE=AC=6 cm,CD=ED,AED=ACD=90.在RtABC中,由勾股定理可得AB=10(cm).若设CD=ED=x cm,则在RtBDE中,由勾股定理可得DE2+BE2=BD2,即x2+(10-6)2=(8-x)2,解得x=3.所以CD=3 cm.)3.A(解析:过A点作AFBC于F,连接AP,ABC中,AB=AC=5,BC=8,BF=4,在ABF中,AF=3,83=5PD+5PE,即12=5(PD+PE),PD+PE=4.8.故选A.)4.(解析:由题意知SABC=S正方形AEFD-SAEB-SBFC-SCDA=22-12-11-12=.BC=,ABC中BC边上的高是2=.)5.5(解析:+=0,a2-6a+9=0,b-4=0,解得a=3,b=4,直角三角形的两直角边长分别为a,b,该直角三角形的斜边长=5.)6.解:设CD=x.在RtACD中,由AD2=AC2-CD2,可得AD2=102-x2.在RtABD中,由AD2=AB2-BD2,可得AD2=172-(x+9)2,所以102-x2=172-(x+9)2,解得x=6.AD=8.7.解:当ABC的高在三角形内时,如图(1)所示,由题意可知BD2=AB2-AD2=152-122, BD=9,CD2=AC2-AD2=132-122,CD=5,BC=9+5=14,因此ABC的周长为14+15+13=42. 当ABC的高在三角形外时,如图(2)所示,由题意可知BD2=AB2-AD2=152-122,BD=9,CD2=AC2-AD2=132-122,CD=5,BC=9-5=4,因此ABC的周长为4+15+13=32.综上所述,ABC的周长为32或42.8.证明:如图所示,连接BD,过点B作BFDE于F,则BF=b-a.S五边形ACBED=SACB+SABE+SAED=ab+b2+ab,又S五边形ACBED=SACB+SABD+SBDE=ab+c2+a(b-a),ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a).a2+b2=c2.9.解:如图所示,作A关于OB的对称点D,AD交OB于点M,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DNOA于N,则此时PA+PC的值最小,由作图知DP=PA,PA+PC=PD+PC=CD.B(3,),AB=,OA=3,由勾股定理得OB=2,易得在RtOAB中,AOB=30.由三角形面积公式得OAAB=OBAM,AM=,AD=2=3.AMB=90,B=60,BAM=30,BAO=90,OAM=60,DNOA,NDA=30,AN=AD=,由勾股定理得DN=.C,CN=3-=1,在RtDNC中,由勾股定理得DC=,即PA+PC的最小值是.本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境分析探究得出猜想实践验证总结升华”为主线,使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.在教学过程中,高估了学生证明勾股定理的能力,主要困难在于一些学生不能对图形进行正确的割补.对图形的割补过程没有给学生详细的呈现.适当增加学生拼图的时间,通过实践操作,画图分析,独立分析证明思路,正确完成证明过程.练习(教材第24页)1.解:(1)根据勾股定理a2+b2=c2,得b=8.(2)根据勾股定理a2+b2=c2,得c=13.(3)根据勾股定理a2+b2=c2,得a=20.2.解:如图所示,在RtFHG中,FG2=SA+SB=122+162=400,HG2=SC+SD=92+122=225,大正方形的面积SE=FH2=FG2+HG2=400+225=625.挖掘勾股定理的科学文化价值勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系.在直角三角形中,已知任意两边长,就可以求出第三边长.勾股定理常用来求解线段长度或距离问题.勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发,到网格中的直角三角形,再到一般的直角三角形,体现了从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.证明勾股定理的关键是利用割补法求以三角形的斜边长为边长的正方形的面积,教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质,提出一般的猜想,并获得定理的证明.我国古代在数学方面有许多杰出的研究成果,对于勾股定理的研究就是一个突出的例子.教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的贡献,以培养学生的民族自豪感.围绕证明勾股定理的过程,培养学生学习数学的热情和信心.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,则S2的值是.解析解题的关键在于理解如何拼接成“弦图”,并运用弦图中隐含的结论寻找新的等量关系.设直角三角形的两直角边长分别为a,b(ba).S1=(a+b)2,S2=a2+b2,S3=(b-a)2,(a+b)2+(a2+b2)+(b-a)2=10,得a2+b2=,即S2=.故填.解题策略本题运用数形结合思想,先表示出S1,S2,S3,灵活用勾股定理方可解决问题.第课时能说出勾股定理,能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型,强化转化思想,培养学生解决现实问题的意识和能力.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的应用方法.在例题分析和解决过程中,让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦,提高学生学习数学的兴趣和信心.【重点】运用勾股定理解决实际问题.【难点】勾股定理的灵活运用.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】三角板、三角形模型.导入一:电视的尺寸是屏幕对角线的长度.小华的爸爸买了一台29英寸(74 cm)的电视机,小华量电视机的屏幕后,发现屏幕只有58 cm长和46 cm宽.他觉得一定是售货员搞错了,你同意他的想法吗?你能解释是为什么吗?引导学生回忆勾股定理的内容,学生再尝试解决上面的问题.设计意图让学生回忆勾股定理的内容,并注意文字语言、图形语言、符号语言的规范统一,尝试解决生活中的实际问题,以激发学生学习的兴趣和探究的欲望.导入二:上节课,我们学习了勾股定理,它的具体内容是什么呢?它有什么作用呢?教师出示问题:求出下列直角三角形中未知的边.提出问题后让一位学生板演,剩下的学生在课堂作业本上完成.教师巡视指导答疑,在活动中重点关注:(1)学生能否正确应用勾股定理进行计算;(2)在解决直角三角形的问题时,需知道直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边;(3)让学生了解在直角三角形中斜边最长.设计意图通过简单的提问帮助学生回顾勾股定理,加深定理的记忆理解,为学习新课做好准备.过渡语勾股定理应用比较广泛,我们一起来看看下面几个问题.1.木板进门问题思路一(1)分析导入一提出的问题.教师在学生讨论基础上明确解决问题的方法:计算电视机对角线的长度,看是否为74 cm.解:根据勾股定理,得74(cm).因此,这台电视机符合规格.(2)自学教材第25页例1.教师提问:门框能通过薄木板的最大宽度是多少?学生带着问题阅读题目,试写解答过程.(3)变式练习:长方体盒内长、宽、高分别为3 cm,2.4 cm和1.8 cm,盒内可放的棍子最长为 cm.本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长,为=(cm).这根最长的棍子和长方体的高,以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形,则棍子最长为=3(cm).教师引导学生小结:遇到求木板进门或将物体放入立体图形内的问题,常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断是否可以通过(放入).设计意图通过讲练结合,引导学生独立分析,自主学习,提高学生运用勾股定理解决简单问题的能力.思路二(教材例1)一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?逐步引导提问:(1)木板的短边比门的高还要长,是否一定不能通过?还可以分析比较哪两个长度?(2)这两个长度一个是木板的短边长,另一个是长方形的对角线的长,能求吗?如何求?学生先尝试后发现:木板横着进,竖着进,都不能从门框内通过.再试一试斜着能否通过.门框对角线 AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC,再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过.解:如图所示,在RtABC中,根据勾股定理,得AC2=AB2+BC2=12+22=5.AC=2.24.因为AC大于木板的宽2.2 m,所以木板能从门框内通过.解题策略在遇到木板进门或将物体放入立体图形内的问题,常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断是否可以通过(放入).设计意图运用转化思想,将求门框的对角线的长转化为已知两直角边长求斜边长,从而用勾股定理解决.2.梯子靠墙问题如图所示,一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B也外移0.5 m吗?引导学生分析:利用勾股定理算出梯子底端B外移多少即可,转化为BD=OD-OB,需要根据勾股定理先计算OD,OB的长度.解:可以看出,BD=OD-OB.在RtAOB中,根据勾股定理,得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,OB=1.在RtCOD中,根据勾股定理,得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,OD=1.77.BD=OD-OB1.77-1=0.77.所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时,梯子底端并不是也外移0.5 m,而是外移约0.77 m.解题策略已知直角三角形的两边长,可以根据勾股定理求出第三边长.已知直角三角形的一边长及两边之间的关系,也可以求出各边长.在求锐角三角形或钝角三角形的边长时,可以将其转化为直角三角形,应用勾股定理求解.设计意图巩固性练习,本题涉及已知斜边长和一直角边长求另一直角边长,也用勾股定理解决.3.表面距离最短问题(补充)如图所示,一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为()A.aB.(1+)aC.3aD.a解析:将正方体侧面展开,部分展开图如图所示.由图知AC=2a,BC=a.根据勾股定理,得AB=a.故选D.解题策略平面图中,可以直接用勾股定理求两点之间的距离,而在求表面距离最短的问题时,需要将立体图形展开后,将实际问题转化成可以用勾股定理进行计算的问题.设计意图通过例题分析解决,建立数学模型,提高学生分析问题和解决问题的能力.知识拓展勾股定理应用的条件必须是直角三角形,所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.常见的应用类型为:化非直角三角形为直角三角形;将实际问题转化为直角三角形模型.用勾股定理计算时,要先画好图形,并标好图形,理清各边之间的关系,再灵活运用勾股定理计算.在利用勾股定理进行有关计算和证明时,要注意运用方程的思想;求直角三角形有关线段的长,有时还要运用转化的数学思想,或利用添加辅助线的方法构造直角三角形,再运用勾股定理求解.1.小明用火柴棒摆直角三角形,已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒,他摆完这个直角三角形共用火柴棒()A.20根B.14根C.24根D.30根解析:摆两直角边分别用了6根、8根长度相同的火柴棒,由勾股定理,得摆斜边需用火柴棒=10(根),他摆完这个直角三角形共用火柴棒6+8+10=24(根).故选C.2.为迎接新年的到来,同学们做了许多花布置教室,准备召开新年晚会.小刘搬来一架高2.5米的木梯,木梯放好后,顶端与地面的距离为2.4米,则梯脚与墙脚的距离应为()A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米解析:仔细分析题意得:梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形,梯高为斜边,利用勾股定理解即可.梯脚与墙脚距离为=0.7(米).故选A.3.(2015厦门中考节选)已知A,B,C三地的位置如图所示,C=90,A,C两地相距4 km,B,C两地相距3 km,则A,B两地的距离是km.解析:C=90,A,C两地的距离是4 km,B,C两地的距离是3 km,AB=5(km).故填5.4.(2014潍坊中考)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是尺.解析:将圆柱平均分成五段,将最下边一段圆柱的侧面展开,并连接其对角线,即为每段的最短长度,为=5,所以葛藤的最短长度为55=25(尺).故填25.5.如图(1)所示,两点A,B都与平面镜CD相距4米,且A,B两点相距6米,一束光由A点射向平面镜,反射之后恰好经过B点,求B点与入射点间的距离.解:如图(2)所示,作出B点关于CD的对称点B,连接AB,交CD于点O,则O点就是光的入射点,连接OB.因为AC=BD,ACO=BDO=90,AOC=BOD,所以AOCBOD.所以OC=OD=AB=3米.在RtODB中,OD2+BD2=OB2,所以OB2=32+42=25,所以OB=5米.第2课时1.木板进门问题例12.梯子靠墙问题例23.表面距离最短问题例3一、教材作业【必做题】教材第26页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第2,3,4,5题.【选做题】教材第29页习题17.1第9,10,11题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行()A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m2.如图所示的是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A.12a13B.12a15C.5a12D.5a133.如图所示,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.4.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点A处,则AE的长为.【能力提升】5.(2014龙东中考)一圆锥体形状的水晶饰品,母线长是10 cm,底面圆的直径是5 cm,点A为圆锥底面圆周上一点,从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点,则彩带最少用(接头处重合部分忽略不计)()A.10 cmB.10 cmC.5 cmD.5 cm6.如图所示,某会展中心准备在高5 m,长13 m,宽2 m的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼梯至少需要元钱.7.如图所示,要制作底边BC的长为44 cm,顶点A到BC的距离与BC长的比为14的等腰三角形木衣架,则腰AB的长至少需要 cm.(结果保留根号的形式)8.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不至于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙两人相距多远?还能保持联系吗?9.如图所示,有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6 m,8 m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8 m为直角边长的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.【拓展探究】10.ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若C=90,如图(1)所示,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若ABC不是直角三角形,如图(2)和图(3)所示,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.【答案与解析】1.B(解析:如图所示,设大树AB高为10 m,小树CD高为4 m,过C点作CEAB于E,则四边形EBDC是长方形,连接AC,则EB=4 m,EC=8 m,AE=AB-EB=10-4=6(m).在RtAEC中,AC=10 m.)2.A(解析:a的最小长度显然是圆柱的高12,根据勾股定理,得=13.故a的取值范围是12a13.故选A.)3.4(解析:在RtABC中,AB=5(m).再进一步求得少走的路的米数,即(AC+BC)-AB=3+4-5=2(米),也就是少走了4步.)4.(解析:由勾股定理得BD=13,由题意知DA=DA=BC=5,DAE=DAE=90.设AE=x,则AE=x,BE=12-x,BA=13-5=8,在RtEAB中,(12-x)2=x2+82.解得x=,即AE的长为.)5.B(解析:由题意,圆锥的侧面展开图为扇形,如图所示,连接AA,AA的长即为最小值.由圆锥的底面周长等于展开图扇形